RESPUESTA EN FRECUENCIA

En este captulo se pretende analizar la respuesta de ciertos circuitos en la medida en que la frecuencia se vara. Para esto se va a suponer que la seal se aplica en un par de puntos del circuito y se miden en otro par distinto, la seal aplicada se denominar y la medida se denominar .

FILTROS PASIVOS

a. PASA BAJO DE PRIMER ORDEN

En la fig. 1 se tiene en el dominio de la frecuencia.

.Fig. 1 Filtro pasa-bajo de primer orden

En el dominio de transformada de Laplace, la impedancia del condensador es: y la impedancia de la bobina es:, la resistencia no cambia al pasar a este dominio, siendo tambin validas las leyes de OHMS y KIRCHHOFF en este dominio, por tanto al escribir la salida en trminos de la entrada en el circuito de la figura y aplicando divisor de tensin s, previa transformacin de vi(t) y vo(t) a Vi(S) y Vo(S) se tiene:

Ntese que la Ec. (1) se obtiene al hacer en la Ec. (2); ahora se analiza que sucede con en la medida que se vara desde 0 hasta infinito para esto analizaremos en:

1. 2. 3.

Caso 1.

Caso 2. (Frecuencia de corte)

(tomando la magnitud de Entonces:

, es decir que en la frecuencia de corte la salida es de 70% del valor mximo.

La fase de en la frecuencia de corte la fase es de -45; esto significa que la seal seno de la salida est atrasada con respecto a la entrada 45 (Fig. 2).

Fig. 2 Desfase entre la entrada y la salida a la frecuencia de corte.

Caso 3.

Si graficamos y la fase de la funcin de transferencia, esta es como aparece en la fig.3

Fig. 3A. Magnitud de en la medida que varia de 0 a .

Fig. 3B. Fase de en la medida que varia

Ahora bien de a 10 se dice que hay una dcada de frecuencia lo mismo que de 0,1 a es decir dada una determinada frecuencia para moverse una dcada adelante, solo basta con multiplicar esta frecuencia por 10 o para moverse una dcada hacia atrs solo basta con dividir por 10.

Generalmente la funcin de transferencia se expresa en decibelios para lograr esto se toma el logaritmo base 10 de la magnitud de la funcin y se multiplica por 20, es decir:

es decir, para:

1. 2. 3. Para una dcada ms delante de la frecuencia de corte , es decir que la grfica de la funcin de transferencia en dBs es como indica la Fig. 4.

Fig. 4A. Funcin de transferencia del pasa-bajos en dBs.

-20dbs

Fig. 4B. Grfica asinttica de la funcin de transferencia.

De la grfica asinttica de la fig. 4B se observa que la funcin de transferencia cae con 20 dBs/dec. La figura 3C y 4B se obtuvieron de la funcin de transferencia que tiene 1 en el numerador y el factor ST+ 1 en el dominador, donde T = RC , adems ntese que la frecuencia de corte es . El programa siguiente en MATLAB calcula el diagrama de bode para un circuito R-C pasabajos con R = 1 K y C = 1 microfaradio.

R = 1000;C = 0.000001;num = [0,1];den = [R*C,1];circuito = tf(num,den)bode(circuito)grid on

y en la figura siguiente se ilustra el resultado.

Diagrama de bode de un circuito R-C pasa-bajo

El circuito de la Fig. 5 saliendo por R tambin es pasa-bajo analicemos:

5. Circuito RL saliendo por R

Si hacemos el mismo anlisis del circuito anterior las grficas son las mismas por tanto este circuito es un pasabajo saliendo por R y la frecuencia de corte es

b. PASA ALTO DE PRIMER ORDEN

Circuito RC saliendo por R:

Fig. 6.0 circuito RC saliendo por R

El polinomio 1+RCS en el denominador Ya fue analizado y tiene una funcin de transferencia que aparece en la Fig. 4B. Ahora se analiza el polinomio RCS en el numerador: .

1.

2.

3.

Fig. 6 Funcin de transferencia para el factor RCS=ST en el numerador

Al combinar la grfica de la fig. 4B y la de la fig. 6 se obtiene la grfica de trazo continuo de la fig. 7.

Fig. 7 Funcin de transferencia de

ANLISIS DE LA FASE

La grfica del factor para la fase es la que aparece en la Fig 3B y la grfica del factor RCS en el numerador es una constante de luego la combinacin de las dos grficas es la fase total.

EJERCICIO: Determinar el diagrama de bode de la funcin de transferencia:

Esta funcin tambin es:

ANLISIS DE MAGNITUD

a. Factor

b. Factor

c. Factor

d. Magnitud total

Es un filtro con frecuencia de corte entre 500 Hz y 1000Hz y con atenuacin de banda de -20 dB/dec fuera de la banda de paso.

ANLISIS DE FASE

a. Factor

b. Factor

c. Factor

d. Fase total

PASA BAJO PASIVO DE SEGUNDO ORDEN

En la fig. 1 se tiene en el dominio de transformada de Laplace.

+ V1 (S)-Fig. 1 Filtro pasa-bajo de segundo orden

Ahora se analiza que sucede con H(s). Entonces tenemos que

Reemplazamos Zeq1 en Zeq2 y tenemos que

Por divisor de voltaje tenemos que

Remplazamos Zeq2

La relacin

Y sabemos que la relacin de la figura2 es

+V1 (S)-Figura2. Pasa-bajo de primer orden

Ahora igualamos las dos relaciones

Y tenemos que

Si organizamos la ecuacin

Y este es de la forma EC (1)

En el dominio de la frecuencia EC (2)

Ntese que la Ec. (2) se obtiene al hacer S=j en la Ec. (1); ahora se analiza que sucede con en la medida que se vara desde 0 hasta infinito para esto analizaremos en:

1. 2. 3.

Caso 1. T