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27
第 ! 章 ! 行 ! 列 ! 式 引 !! 言 !! 行列式的概念最早是在 !" 世纪由日本数学家关孝和 #$%& '(%(%()* 约 !+,- !"./ 提出来的 ! 他在 !+/0 年写了一部名为 解伏 题之法 的著作 意思是 解行列式问题的方法 书中对行列式的概念 和它的展开已经有了清楚的叙述 ! 欧洲第一个提出行列式概念的是德 国数学家 微积分学奠基人之一莱布尼兹 12324$&56&7) !+,+ !"!+ ! !+80 年 , 月 莱布尼兹在写给法国数学家洛比达 49:;< = &7(> !++! !"., 的一封信中使用了行列式 并给出了线性方程组的系数行 列式为零的条件 ! !"?. 年 瑞士数学家克莱姆 12@A(B$A !"., !"?- 在其著作 线性代数分析导引 中 对行列式的定义和展开法则给出了比较完整 明确的阐述 并给出了我们现在熟知的解线性方程组的克莱姆法则 ! !"+, 年 法国数学家贝祖 C2D$);*7 !"0. !"/0 将确定行列式每一 项符号的方法进行了系统化 利用系数行列式概念指出了如何判断一 个齐次线性方程组有非零解 ! 在很长一段时间内 行列式只是作为解线性方程组的一种工具 没 有人意识到它可以独立于线性方程组之外 单独形成一门理论 ! 在行列式的发展史上 第一个把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人是法国数学家范德蒙 E2'2F(6G$AB;6G$ !"0? !"8+ ! 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐 但对数学有浓厚的兴趣 后来终 于成为法兰西科学院院士 ! 他给出了用余子式来展开三阶行列式的法 则 并研究了被后人以他的名字命名的 范德蒙行列式 ! 范德蒙是行列 式理论的奠基人 ! 法国数学家拉普拉斯 H2#24( = >(I$ !",8 !/-" 在 !""- 年发
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书书书
第!
章!
行!
列!
式
引!!
言
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行列式的概念最早是在!"
世纪由日本数学家关孝和!
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#提出来的!
他在!+/0
年写了一部名为$解伏
题之法%的著作"意思是&解行列式问题的方法'"书中对行列式的概念
和它的展开已经有了清楚的叙述!
欧洲第一个提出行列式概念的是德
国数学家(微积分学奠基人之一莱布尼兹!
12324$&56&7)
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年,
月"莱布尼兹在写给法国数学家洛比达!
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#的一封信中使用了行列式"并给出了线性方程组的系数行
列式为零的条件!
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年"瑞士数学家克莱姆!
12@A(B$A
"
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#在其著作
$线性代数分析导引%中"对行列式的定义和展开法则给出了比较完整(
明确的阐述"并给出了我们现在熟知的解线性方程组的克莱姆法则!
!"+,
年"法国数学家贝祖!
C2D$);*7
"
!"0.
!
!"/0
#将确定行列式每一
项符号的方法进行了系统化"利用系数行列式概念指出了如何判断一
个齐次线性方程组有非零解!
在很长一段时间内"行列式只是作为解线性方程组的一种工具"没
有人意识到它可以独立于线性方程组之外"单独形成一门理论!
在行列式的发展史上"第一个把行列式理论与线性方程组求解相
分离的人是法国数学家范德蒙!
E2'2F(6G$AB;6G$
"
!"0?
!
!"8+
#
!
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐"但对数学有浓厚的兴趣"后来终
于成为法兰西科学院院士!
他给出了用余子式来展开三阶行列式的法
则"并研究了被后人以他的名字命名的&范德蒙行列式'
!
范德蒙是行列
式理论的奠基人!
法国数学家拉普拉斯!
H2#24(
=
>(I$
"
!",8
!
!/-"
#在!""-
年发
表的论文$对积分和世界体系的探讨%中"推广了范德蒙的行列式展开
法则"这个方法现在称为拉普拉斯展开法则!
在行列式理论方面做出突出贡献的还有法国大数学家柯西
!
E242@(*IJ
K
"
!"/8
!
!/?"
#
!!/!?
年"柯西在一篇论文中给出了行列
式的系统理论!
他给出了行列式的乘法定理)在行列式的记号中"他首
次采用了双重足标的新记法)引进了行列式特征方程的术语)改进了拉
普拉斯的行列式展开定理"并给出了一个证明!
继柯西之后"在行列式理论方面最多产的人是德国数学家雅可比
!
L2L(I;5&
"
!/.,
!
!/?!
#
!
他引进了函数行列式"即&雅可比行列式'"指
出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用"给出了函数行列式的
导数公式!
雅可比的著名论文$论行列式的形成和性质%标志着行列式
系统理论的形成!
行列式在许多数学分支中都有着非常广泛的应用"是常用的一种
计算工具!
在本门课程中"它是研究线性方程组(矩阵及向量组线性相
关性的一种重要工具!
本章主要介绍"
阶行列式的定义(性质及其计算方法!
此外"还要
介绍解线性方程组的克莱姆法则!
!!!
!
二阶与三阶行列式
!!!!!
!
二阶行列式
历史上"行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的!
下面我们通过解二元线性方程组引出二阶行列式的概念!
对于二元线性方程组
#
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当#
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时"用消元法易得
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#
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#式中的分子(分母都是四个数分两对相乘再相减而得"其中
!
线 性 代 数
分母#
!!
#
--
M#
!-
#
-!
是由方程组!
!!!
#的四个系数确定的!
将这四个
系数按它们在方程组!
!!!
#中的位置"排成两行两列的数表
#
!!
#
!-
#
-!
#
--
" !
!!0
#
表达式#
!!
#
--
M#
!-
#
-!
称为数表!
!!0
#所确定的二阶行列式"并记为
#
!!
#
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#
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#
--
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#
数#
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*
!
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"
*
&
!
"
-
#称为行列式!
!!,
#的元素!
元素#
)
*
的第一个
下标)
称为行标"表明该元素位于第)
行)第二个下标*
称为列标"表
明该元素位于第*
列!
图!!!
由上述定义可知"二阶行列式是由四个数按一
定的法则运算所得的代数和"这个法则称为对角线
法则!
如图!!!
所示"从#
!!
到#
--
的实连线称为主对
角线"从#
!-
到#
-!
的虚连线称为副对角线!
按照对角
线法则"二阶行列式等于主对角线上两元素之积减
去副对角线上两元素之积所得的差!
利用二阶行列式的概念"!
!!-
#式中的分子也可以写成二阶行列
式"即
'
!
#
--
(
#
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'
-
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#
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第#
章!
行!
列!
式
当+
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#
-!
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时"则方程组!
!!!
#的解可记为
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+
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#
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#
这里的分母+
是方程组!
!!!
#的系数所确定的二阶行列式"称为
系数行列式)
$
!
的分子+
!
是用常数项'
!
"
'
-
替换+
中$
!
的系数
#
!!
"
#
-!
所得的二阶行列式)
$
-
的分子+
-
是用常数项'
!
"
'
-
替换+
中$
-
的系数#
!-
"
#
--
所得的二阶行列式!
例!!!
!
解方程组
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-
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"
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#
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从而
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"
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-
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+
-
+
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(
!,
(
"
&
-!
!!!!"
!
三阶行列式
与二阶行列式类似"同样可得三阶行列式的概念!
$
线 性 代 数
定义!!!
!
设有九个数排成三行三列的数表
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
" !
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#
记
#
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#
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#
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#
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#
--
#
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#
0!
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0-
#
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#
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--
#
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#
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#
-!
#
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(
#
!0
#
--
#
0!
"
!
!!"
#
称!
!!"
#式为数表!
!!+
#所确定的三阶行列式!
由上述定义可见"三阶行列式有六项"每一项均为不同行不同列的
三个元素的乘积再冠以正负号"其运算规律遵循图!!-
所示的对角线
法则*图中的三条实线看做是平行于主对角线的连线"三条虚线看作
图!!"
是平行于副对角线的连线"实线上三
元素的乘积冠正号"虚线上三元素的
乘积冠负号!
例!!"
!
计算三阶行列式
+
&
! - 0
, . ?
(
! . +
!
解!
+
&
!
,
.
,
+
%
-
,
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,
!
(
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0
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,
,
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!
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,
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,
,
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(
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.
,
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(
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#
&(
!.
(
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&(
?/!
例!!#
!
求解方程
+
&
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- 0 $
, 8 $
-
&
.!
%
第#
章!
行!
列!
式
解!
方程左端
+
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-
%
,$
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!/
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8$
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?$
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"
由$
-
(
?$
%
+
&
.
"解得$
&
-
或$
&
0!
必须指出的是"对角线法则只适用于二阶和三阶行列式!
要研究四
阶及更高阶行列式"必须先定义全排列与逆序数"然后才能给出一般行
列式的概念!
习!
题!
!!!
!!
利用对角线法则计算下列三阶行列式!
"
!
#
! .
(
!
0 ? .
. , !
$
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"
-
#
# ' -
' - #
- # '
$
"
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#
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# ' -
#
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#
$
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.
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$
.
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证明等式!
#
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#
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#
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0
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#
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-
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'
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!
#
-
-
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#
0
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0
%
-
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#
-
'
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#
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'
0
!
0!
当$
取何值时%
0 ! $
, $ .
! . $
%
.!
!!-
!
"
阶行列式的定义
!!"!!
!
全排列与逆序数
定义!!"
!
将!
"
-
"+"
"
这"
个数任意组合后排成的数组
*
!
*
-
+
*
"
称为一个"
阶全排列"简称排列!
&
线 性 代 数
例如"
!-0,
和,0!-
都是四阶全排列"而?0-!,
为一个五阶全
排列!
对于"
阶全排列*
!
*
-
+
*
"
"从!
"
-
"+"
"
这"
个数中任取一个放
在第一个位置"有"
种取法)从剩下的"M!
个数中任取一个放在第二
个位置"有"M!
种取法)依次类推"直到最后一个数放在第"
个位置
上"只有一种取法!
因此"
"
阶全排列的总数为/
"
&
"
,
!
"
(
!
#
,
+
,
-
,
!
&
"
-
!
若在全排列中规定一种标准排列次序!通常为由小到大的递增次
序#"那么便有了下列逆序及逆序数的概念!
定义!!#
!
在全排列中任取两个数"如前面的数大于后面的数"则
称它们构成一个逆序!
一个全排列中所有逆序的总和称为此全排列的
逆序数"记为0!
逆序数为奇!偶#数的全排列称为奇!偶"排列!
计算全排列*
!
*
-
+
*
"
的逆序数较为简单!
对于数*
1
!
1
&
!
"
-
"+"
"
#"如果比*
1
小且排在*
1
后面的数有0
1
个"那么*
1
的逆序数
就是0
1
!
所有数的逆序数的总和
0
&
0
!
%
0
-
%
+
%
0
"
&
)
"
1
&
!
0
1
"
即为此全排列的逆序数!
例!!$
!
求下列全排列的逆序数*
!
!
#
0!-
)
!
!
-
#
!0,"/-+8?
)
!
0
#
"
!
"M!
#+
0-!
)
!
!
,
#
!-0
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"M!
#
"!
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#
0
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&
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"
0
-
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.
"
0
0
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.
"
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-
%
.
%
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-
#
0
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&
.
"
0
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"
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"
0
,
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"
0
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0
"
0
+
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.
"
0
"
&
!
"
0
/
&
!
"
0
8
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.
"
0
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0
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.
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#
0
1
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"
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!
1
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"
-
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"
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0
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"
(
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#
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"
(
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#
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-
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%
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!
-
"
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"
(
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#
!
!
,
#
0
1
&
.
!
1
&
!
"
-
"+"
"
#"
0
&
.!
!!"!"
!
"
阶行列式的定义
为了给出一般的"
阶行列式的定义"先来研究一下三阶行列式的
'
第#
章!
行!
列!
式
定义!
三阶行列式的定义为
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
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#
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#
--
#
00
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#
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#
-0
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0!
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#
!0
#
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#
0-
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#
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#
-0
#
0-
(
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#
-!
#
00
(
#
!0
#
--
#
0!
!
不难看出*
!
!
#三阶行列式共有+N0
-项"其中正(负项各为0
项)
!
-
#每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积)
!
0
#确定每项的符号的法则是*当该项元素的行标按自然数顺序
排列后"若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号"是奇排列则取
负号!
例如"项#
!!
#
-0
#
0-
的列标!0-
的逆序数为!
"为奇排列"所以此项
符号为负!
综上所述"三阶行列式可定义为
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
&
)
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
#
0
*
0
" !
!!/
#
其中0
为排列*
!
*
-
*
0
的逆序数"
)
表示对!
"
-
"
0
三个数的所有排列
*
!
*
-
*
0
求和!
仿照上述三阶行列式的定义"可以给出一般的"
阶行列式的
定义!
定义!!$
!
设有"
-个数"排成"
行"
列的数表
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
" !
!!8
#
做出表中位于不同行不同列的"
个数的乘积"并冠以符号!
M!
#
0
"得
到形如
(
线 性 代 数
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
!
!!!.
#
的项"其中*
!
*
-
+
*
"
为!
"
-
"+"
"
的一个全排列"
0
为此排列的逆序
数!
由于这样的排列共有"
-个"因而形如!
!!!.
#式的项共有"
-项!
所
有这"
-项的代数和
)
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
!
!!!!
#
称为"
阶行列式"记为
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
&
)
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
"!
!!!-
#
简记为G$7#
)
! #
*
"
#
)
*
称为行列式的元素!
按此定义的二阶(三阶行列式"与!!!
节中用对角线法则定义的二
阶(三阶行列式显然是一致的!
当"
&
!
时"一阶行列式2
#
2&
#
"注
意不要与绝对值记号相混淆!
这里"我们顺便给出行列式的几何意义"其结论只需根据空间解析
几何知识获得!
!
!
#二阶行列式#
!!
#
!-
#
-!
#
--
的绝对值在几何上表示以向量
#
!!
"
#
/ 0
!-
"
#
-!
"
#
/ 0
--
为邻边的平行四边形的面积)
!
-
#三阶行列式
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
的绝对值在几何上表示以向量
#
!!
"
#
!-
"
#
/ 0
!0
"
#
-!
/
"
#
--
"
#
0
-0
"
#
0!
"
#
0-
"
#
/ 0
00
为相邻棱的平行六
面体的体积)
!
0
#
"
阶行列式
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
的绝对值在几何上表示
行列式所对应的向量组按照平行四边形法则组合成的超空间立体的
)
第#
章!
行!
列!
式
体积!
例!!%
!
试证明*若"
阶行列式+
中非零元素的个数少于"
"则
+
&
.!
证!
因为+
中非零元素的个数少于"
"所以+
的一般项
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
&
.!
根据行列式的定义"
+
&
.!
例!!&
!
证明下三角行列式
+
"
&
#
!!
#
-!
#
--
. .
*
#
"!
#
"-
+
#
""
&
#
!!
#
--
+
#
""
!
证!
由于当*+
)
时#
)
*
&
.
"所以+
"
中可能不为.
的元素#
1
*
1
"
其下标应满足*
1
,
1
"即*
!
,
!
"
*
-
,
-
"+"
*
"
,
"!
在所有排列*
!
*
-
+
*
"
中"能满足上述关系的排列只有一个自然排
列!-
+
"
"即+
"
中可能不为.
的项只有一项!
M!
#
0
#
!!
#
--
+
#
""
!
显然
0
&
.
"所以
+
"
&
#
!!
#
--
+
#
""
!
类似地可证明*
上三角行列式
+
"
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
--
+
#
-"
*
.
#
""
&
#
!!
#
--
+
#
""
)
对角行列式
+
"
&
#
!!
#
--
*
#
""
&
#
!!
#
--
+
#
""
!
例!!'
!
计算反对角行列式
*#
线 性 代 数
+
"
&
#
!"
#
-
"
"
(
!
-
#
"!
!
解!
观察通项#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"M!
"
*
"M!
#
"
*
"
知"要想使之不为零"必须
*
!
&
"
"同理*
-
&
"
(
!
"+"
*
"
(
!
&
-
"
*
"
&
!
"而0
!
*
!
*
-
+
*
"
#
&
0
1
"
!
"
(
!
#+
-!
2
&
!
-
"
!
"
(
!
#"故
+
"
&
!
(
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#
"
!
"
(
!
#
-
#
!"
#
-
"
"
(
!
+
#
"!
!
!!"!#
!
对换
为进一步研究"
阶行列式的性质"先要讨论对换的概念及其与排
列奇偶性的关系!
定义!!%
!
将一个排列中的两个数位置对调称为对换!
将相邻两
个数对换称为相邻对换!
例如"对换排列-!0?,
中!
和,
的位置后"得到新排列-,0?!!
对换与排列的奇偶性有直接的关系!
定理!!!
!
一个排列中的任意两个元素对换"排列改变奇偶性!
证!
先证相邻对换的情形!
设排列为#
!
+
#
3
#''
!
+
'
4
"对换#
与'
"变为#
!
+
#
3
'#'
!
+
'
4
!
显然"
#
!
"+"
#
3
和'
!
"+"
'
4
这些元素的逆序数经过对换并不改
变"而#
"
'
两元素的逆序数改变为*当#
.
'
时"经对换后'
的逆序
数增加!
而#
的逆序数不变)当#
+
'
时"经对换后'
的逆序数不变
而#
的 逆 序 数 减 少!!
因 此"排 列#
!
+
#
3
#''
!
+
'
4
与 排 列
#
!
+
#
3
'#'
!
+
'
4
的奇偶性不同!
再证一般对换的情形!
设排列为#
!
+
#
3
#'
!
+
'
4
'-
!
+
-
"
"先将它作4
次相邻对换"变
成#
!
+
#
3
#''
!
+
'
4
-
!
+
-
"
"再作4 O!
次相邻对 换"变 成
#
!
+
#
3
''
!
+
'
4
#-
!
+
-
"
!
也就是说"经-4O!
次相邻对换"排列
#
!
+
#
3
#'
!
+
'
4
'-
!
+
-
"
变成排列#
!
+
#
3
''
!
+
'
4
#-
!
+
-
"
"所以这两
个排列的奇偶性相反!
##
第#
章!
行!
列!
式
推论!
奇排列变成标准排列的对换次数为奇数"偶排列变成标准
排列的对换次数为偶数!
证!
由定理!!!
知"对换的次数就是排列奇偶性的变化次数"而标
准排列是偶排列"其逆序数为.
"因此推论成立!
定理!!"
!
在所有"
阶排列中"奇(偶排列各半"各为!
-
"
-个!
证!
设奇(偶排列分别为5
"
6
个"则5
%
6
&
"
-"不妨假定5,6
!
对所有排列作同一对换"由定理!!!
"奇(偶排列的个数变为6
"
5
个!
根据假定"又有6,5
"从而5
&
6
&
!
-
"
-
!
下面我们利用定理!!!
给出行列式的另一种表示法!
定理!!#
!
"
阶行列式也可定义为
+
&
)
!
(
!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
" !
!!!0
#
其中7
为行标与列标排列的逆序数之和"即
7
&
0
!
)
!
)
-
+
)
"
#
%
0
!
*
!
*
-
+
*
"
#
!
!
!!!,
#
证!
对于行列式+
中的一般项!
M!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
"若交换两
元素的位置"相当于同时进行一个行标的对换和一个列标的对换!
根据
定理!!!
"行标和列标排列的逆序数都要发生改变!
因此"无论交换前
一般项行标和列标排列的逆序数为奇或偶"交换后一般项行标和列标
排列的逆序数之和的奇偶性始终保持不变"即7
的奇偶性保持不变"从
而一般项!
M!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
的符号始终保持不变!
这样"我们总可以经过有限次交换"使其行标为自然数顺序排列"即变
为!
!!!-
#式的一般项"从而"
阶行列式也可以定义为!
!!!0
#式的形式!
特别地"若经过有限次交换将一般项!
M!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
的列
标变为自然数顺序排列"则可得"
阶行列式的另一种定义
+
&
)
!
(
!
#
0
#
)
!
!
#
)
-
-
+
#
)
"
"
" !
!!!?
#
其中0
为行标排列)
!
)
-
+
)
"
的逆序数!
例!!(
!
在六阶行列式中"下列两项各应带什么符号3
!
!
#
#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
!,
#
+?
)
!!!!
!
-
#
#
0-
#
,0
#
!,
#
?!
#
++
#
-?
!
解!
!
!
#用定义!!,
讨论*
!#
线 性 代 数
#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
!,
#
+?
&
#
!,
#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
+?
"
列标,0!-+?
的逆序数0
&
0
%
-
%
!
&
+
为偶数"所以#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
!,
#
+?
前
应带正号!
!
-
#用定理!!0
讨论*
行标0,!?+-
的逆序数为0
!
N-O-O!O!N+
)
列标-0,!+?
的逆序数为0
-
N!O!O!O!N,!
行标与列标排列的逆序数之和7N0
!
O0
-
N!.
为偶数"所以
#
0-
#
,0
#
!,
#
?!
#
++
#
-?
前应带正号!
例!!)
!
用行列式定义计算
+
"
&
. .
+
. ! .
. .
+
- . .
. . . . .
"
(
! .
+
. . .
. .
+
. . "
!
解!
显然"此行列式中不为零的不同行不同列的乘积只有
#
!
"
"
(
!
#
-
"
"
(
-
+
#
"
(
!
"
!
#
""
&
!
"
(
!
#!
"
(
-
#
,
+
,
-
,
!
,
"
&
"
-一项"
而0
1!
"
(
!
#!
"
(
-
#+
-!"
2
&
!
"
(
-
#
%
!
"
(
0
#
%
+
%
!
&
!
-
!
"
(
!
#!
"
(
-
#"所以
+
"
&
!
(
!
#
!
"
(
!
#!
"
(
-
#
-
"
-
!
习!
题!
!!"
!!
求下列排列的逆序数!
"
!
#
0+"!?-/,
$
!!!!!!!
"
-
#
!0
&"
-"M!
#
-,
&"
-"
#$
"
0
#
!0
&"
-"M!
#"
-"
#"
-"M-
#&
-!
-!
写出四阶行列式中含有因子#
!!
#
-0
的项!
0!
在六阶行列式#
)
*
中%下列各元素乘积应取什么符号'
"
!
#
#
!?
#
-0
#
0-
#
,,
#
?!
#
++
$
!!
"
-
#
#
-!
#
?0
#
!+
#
,-
#
+?
#
0,
!
,!
选择1
%
3
%使#
!0
#
-1
#
0,
#
,-
#
?3
成为五阶行列式#
)
*
中带负号
的项!
!!
?!
设"
阶行列式中有"
-
M"
个以上的元素为零%证明该行列式
"#
第#
章!
行!
列!
式
为零!
+!
用行列式的定义计算下列行列式!
"
!
#
. . ! .
. ! . .
. . . !
! . . .
$ "
-
#
. ! .
&
.
. . -
&
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"
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" . .
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"
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#
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#
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#
!?
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-!
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-,
#
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#
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. . .
#
,!
#
,-
. . .
#
?!
#
?-
. . .
!
!!0
!
行列式的性质
!!
由上节行列式的定义可知"
"
阶行列式等于不同行不同列的"
个
元素的乘积之和"这种和共有"
-项!
显然"当"
较大时"用定义计算行
列式是不现实的!
在本节中"我们要介绍行列式的一系列性质"这些性质在行列式的
理论研究和计算中起着非常重要的作用!
首先引入转置行列式的概念!
定义!!&
!
将行列式+
的行与列互换后得到的行列式称为+
的
转置行列式"记为+
'
!
即若
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
"
则
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线 性 代 数
+
'
&
#
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#
-!
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#
"!
#
!-
#
--
+
#
"-
. . .
#
!"
#
-"
+
#
""
!
性质!
!
行列式与它的转置行列式相等"即+N+
'
!
证!
记+
&
G$7
!
#
)
*
#的转置行列式
+
'
&
'
!!
'
!-
+
'
!"
'
-!
'
--
+
'
-"
. . .
'
"!
'
"-
+
'
""
"
则'
)
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)
!
)
"
*
&
!
"
-
"+"
"
#
!
根据行列式的定义"有
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'
&
)
!
(
!
#
0
'
!
*
!
'
-
*
-
+
'
"
*
"
&
)
!
(
!
#
0
#
*
!
!
#
*
-
-
+
#
*
"
"
"
而由定理!!0
"有
+
&
)
!
(
!
#
0
#
*
!
!
#
*
-
-
+
#
*
"
"
"
所以+
&
+
'
!
由此性质可知"行列式中的行与列具有相同的地位!
行具有的性
质"列也同样具有)反之亦然!
性质"
!
交换两行!列#"行列式仅改变符号!
证!
设"
阶行列式
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
#
)!
#
)-
+
#
)"
. . .
#
*
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#
*
-
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#
*
"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
"
交换行列式的第)
行与第*
行对应元素!
!
,
)
.*,
"
#"得行列式
%#
第#
章!
行!
列!
式
+
!
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
#
*
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#
*
-
+
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)"
. . .
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"!
#
"-
+
#
""
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根据定理!!0
"有
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(
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#
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#
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5
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)
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*5
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"
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"
"
+
!
&
)
!
(
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#
7
!
#
!
5
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+
#
*5
)
+
#
)
5
*
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#
"
5
"
"
其中#
!
5
!
+
#
)
5
)
+
#
*5
*
+
#
"
5
"
和#
!
5
!
+
#
*5
)
+
#
)
5
*
+
#
"
5
"
都是+
中取
自不同行不同列的"
个元素的乘积"且
7
&
0
!
!
+
)
+
*
+
"
#
%
0
!
5
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+
5
)
+
5
*
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5
"
#"
7
!
&
0
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!
+
*
+
)
+
"
#
%
0
!
5
!
+
5
)
+
5
*
+
5
"
#
!
由定理!!!
可知"
7
与7
!
的奇偶性相反"即+
的一般项与+
!
的一
般项符号相反"从而+
&(
+
!
!
一般地"用A
)
表示行列式的第)
行"用I
*
表示第*
列!
交换)
"
*
两
行记作A
)
/
A
*
"交换)
"
*
两列记作I
)
/
I
*
!
推论!
若行列式中有两行!列#完全相同"则此行列式等于零!
证!
互换相同的两行!列#"由性质-
"得+
&(
+
"故+
&
.!
性质#
!
用数1
乘行列式的某一行!列#"等于用数1
乘此行列式"
即
+
!
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
1#
)!
1#
)-
+
1#
)"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
&#
线 性 代 数
&
1
#
!!
#
!-
+
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!"
. . .
#
)!
#
)-
+
#
)"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
&
1+!
!
!!!+
#
证!
根据行列式的定义"用数1
乘行列式的第)
行后"行列式为
+
!
&
)
!
(
!
#
0
!
*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
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1#
)
*
)
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#
"
*
"
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)
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(
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#
0
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*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
!
+
#
)
*
)
+
#
"
*
"
&
1+!
用数1
乘第)
行!列#通常记作A
)
P1
!
I
)
P1
#
!
由性质0
可知"行列式的某一行!列#中所有元素的公因子可以提
到行列式符号的外面!
这里要提醒读者注意的是"从行列式中提取公因
子时"只需行列式的某一行!列#有公因子即可)同样"用数1
乘行列式
时"只能用1
乘此行列式的某一行!列#的各元素!
这与第-
章中要介
绍的矩阵的性质有很大的不同!
例!!!*
!
设#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
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0!
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0-
?#
00
'#
第#
章!
行!
列!
式
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-
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00
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形如
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0"
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(
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-"
(
#
0"
+
.
的行列式称为反对称行列式!
例!!!!
!
证明奇数阶反对称行列式的值为零!
证!
设
+
&
. #
!-
#
!0
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#
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(
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-0
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!0
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-0
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0"
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(
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0"
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.
"
利用行列式的性质!
及性质0
"有
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&
+
'
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(
#
!-
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线 性 代 数
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"即+
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性质$
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行列式中若有两行!列#对应元素成比例"则此行列式为零!
证!
由性质0
和性质!
的推论可直接得出此结论!
例如"行列式
-
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0
(
+ 0
(
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中的第一列与第二列对应元素成比
例"根据性质,
"此行列式等于零!
性质%
!
若行列式的某一列!行#的元素都是两数之和"例如"第)
列的元素都是两数之和*
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上述结果可以推广到有限个和的情形!
性质&
!
把行列式的某一行!列#的各元素乘以同一数后加到另一
行!列#对应元素上"行列式不变!
例如"用数1
乘第*
列加到第)
列上!
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用数1
乘第*
行!列#加到第)
行!列#通常记作A
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介绍了行列式关于行和列的三种运
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这些运算可以简化行列式的计算"特别是利用运算A
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)
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1I
*
#可以把行列式中许多元素化为.!
计算行列式常用的一种方法
就是利用行列式的性质将其化为上三角行列式"从而得到行列式
的值!
例!!!#
!
计算行列式
#!
第#
章!
行!
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式
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例!!!$
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! ! ! 0
!
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注意到行列式中各行!列#四个数之和都为+
"故可把第二(
!!
线 性 代 数
三(四列同时加到第一列"提出公因子+
"然后各列减去第一列"化为上
三角行列式来计算!
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. . . -
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解!
根据行列式的特点"可将第一列加至第二列"然后第二列加至
第三列"再将第三列加至第四列"目的是使+
中的零元素增多!
"!
第#
章!
行!
列!
式
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-
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)
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-
化为下三角形行列式"设为
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的前1
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O
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!
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阶行列式
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# '
- 8
- *
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!
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-"
中的第-"
行依次与第-"M!
行"+"第-
行对调!作
-"M-
次相邻对换#"再把第-"
列依次与第-"M!
列"+"第-
列对
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第#
章!
行!
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式
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线 性 代 数
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#%依下列次序对
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*
进行变换后%求其结果!
交换第一行与第五行%再转置%用-
乘所有元素%再用! #
M0
乘以
第二列加到第四列%最后用,
除以第二行各元素!
,!
用行列式性质证明下列等式!
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