1.3 n 阶行列式的计算

例 1.8 求方程

0

163

222

123

x

x

x

的根。解：

162

220

122

163

222

12331

xx

x

x

x

x

xcc

0)4()2()82)(2(

4

22)2(

40

220

121

)2(

22

)2(13

1

xxxxx

x

xx

x

xxrrcx

所求根为 x=2 和 x=-4 。

xaaa

axaa

aaxa

aaax

Dn

1

),,3,2:(

),,3,2:(

)]()1([

000

...............

00

0

1

])1([

)1(

)1(

)1(

)1(

1

1

n

njrr

nicc

n

axanx

ax

aax

aaax

aaa

anx

xaaanx

axaanx

aaxanx

aaaanx

D

j

i

例 1． 10 计算 n+1 阶行列式

nn

n

db

db

db

aaaa

D

00

00

00

22

11

210

解

0,;...

),...,2,1(0;)(

00

00

00

1121

1210

22

11

210

iniiii

k

n

kn

k

kk

nn

n

didddddba

nkddddd

baa

db

db

db

aaaa

D

例 1． 11 设 n 阶三对角行列式

nn

nnn

nnn

nD

1

112

223

332

221

11

证明 :递推关系式

)2(2111 nDDD nnnnnn 证明 对第 n列用性质 6展开，得

12

223

332

221

11

nn

nnn

nnD

1

223

332

221

11

1

n

nnn

n

.2111 nnnnn DD

例 1.12 计算 n阶行列式

21

121

121

121

12

nD

例 1． 13 证明 n阶行列式

1

1

1

1

nD

11 nn a

证明 对行列式阶数 n用数学归纳法证明

n=2 时，

12D 2)(

33 a

结论成立。

21)( nnn DDD

nn a

假设结论对 n-1 阶行列式成立，即

则对于 n阶行列式 有nD

1nD

11 nnnn aa

11 nn a

例 1.14 证明 n 阶范德蒙德（ Vandermonder ）行列式

)2()(

1111

1

113

12

11

223

22

21

321

nxx

xxxx

xxxx

xxxx

Vnji

ij

nn

nnn

n

n

n

证明 对行列式阶数 n 用数学归纳法， n=2 时，

1221

2

11xx

xxD

结论成立。

假设结论对 n-1 阶行列式成立，即

11

1 )(nji

ijn xxD

则对于 n阶行列式 有nD

0

0

0

1111

21

11

22

12

21

11

12

12221

21

12112

21

1

nnn

nnn

nnn

nn

nnnnn

nnnnrxr

rxrrxr

n

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

Dn

nnn

nnn

njiij

njiij

nkkn

nnnnnn

nn

xx

xxxx

Dxxxxxx

A

1

1111

11211

11

)(

))()()((

)())(()1(

)1(

由数学归纳法，结论对任意自然数 n都成立 .1． 4 拉普拉斯（ Laplace ）展开定理

定义 1.7 在 n阶行列式 D中 ,任取 k行 k 列 ,位于这 k行 k 列交叉位置的元素按原行列式 D中的相对位置排成的 k阶行列式 N称为行列式 D的一个 k阶子式 .

定义：在 D中 ,划去 k阶子式 N所在的 k行 k 列 ,剩余元素按原行列式 D中的相对位置排成的 n -k 阶行列式 M称为 k阶子式 N 的余子式 .

如果子式 N的 k行 k列在 D中的行标与列标分别为

则称为 N的代数余子式 .例如 , 在 5阶行列式 中 ,取第 2,4 行和第 1,4 列 ,

kk jjjiii ,,,,,,, 2121

MA kk jjjiii )()( 2121)1(

5ijaD

4441

2421

aa

aaN 是 D的一个二阶子式 ,

555352

353332

151312

aaa

aaa

aaa

M 是 N的余子式 ;

MMA )41()42()1( 为 N的代数余子式 .定理 1.3 (Laplace 定理 ) 设在 n阶行列式 D中 ,取

某 k行 ,则位于这 k行的所有 k 阶子式 ),...,,2,1( tiN i

与它们各自对应的代数余子式 的乘积之和等于行列式 D,

iA

即

t

iiiMND

1

解 对 D的第 1,3 行用 Laplace 定理 ,在第 1,3 行中不为零的二阶子式分别是

303

12,1

01

11,1

32

11321 NNN

它们各自对应的代数余子式是

31430

01220

00031

03210

10021

D例 1.15 计算 5阶行列式

0,6

143

122

321

,12

314

012

032

321 AAA

所以 D=12-6=6

例 1.16 计算 2 n 阶行列式

11

22

11

11

22

11

2

ab

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ba

D

nn

nn

nn

nn

n

解 对的第 n, n+1 行应用 Laplace 定理（按第 n, n+1行展开）得

2222

11

22

11

11

22

11

2

)(

nnn

nn

nn

nn

nnn

Dba

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ab

baD

利用这个递推关系式有

定理 1.4 (行列式乘法法则)

若 2

1

DO

ODD , 则 21DDD

推论若

2

1

DC

ODD , 则 21 DDD

1.5 克莱姆（Cramer）法则

定理 1.5 （Cramer法则）如果 n元线性方程组

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

的系数行列式不等于零，即 0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

D

Dx

D

Dx

D

Dx n

n ,,, 22

11

其中jD是把D的第j列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即

nnnjnnjn

njj

njj

j

aabaa

aabaa

aabaa

D

111

21221221

11111111

0

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D