第一章 行列式

1.1 二阶与三阶行列式

1.2 n 阶行列式

1.3 行列式的性质1.4 行列式按行（列）展开1.5 克莱默法则

基本要求:1 熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法;

2 了解n阶行列式的定义, 理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的n阶行列式;

3 理解和掌握克拉默法则（Cramer’s rule).

行 列 式——determinant

用消元法解二元线性方程组⎩⎨⎧

=+

=+

.,

2222121

1212111

bxaxabxaxa ( )1

( )2

( ) :1 22a× ,2212221212211 abxaaxaa =+

( ) :2 12a× ,1222221212112 abxaaxaa =+

，得两式相减消去 2x

一、二阶行列式的引入

第一节 二阶与三阶行列式

;212221121122211 baabxaaaa −=− ）（

;212221121122211 baabxaaaa −=− ）（

，得类似地，消去 1x,211211221122211 abbaxaaaa −=− ）（

时，当 021122211 ≠− aaaa 方程组的解为

，21122211

2122211 aaaa

baabx−−

= ）（3.21122211

2112112 aaaa

abbax−−

=

由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排

称列）的数表

)4(2221

1211

aaaa

)5(

4

2221

1211

21122211

aaaa

aaaa

行列式，并记作

）所确定的二阶称为数表（表达式 −

即 .aaaaaaaa

211222112221

1211 −=

11a 12a

22a21a

主对角线

副对角线

对角线法则对角线法则

2211aa= .2112aa−

二阶行列式的计算

若记 ,2221

1211

aaaa

D =

⎩⎨⎧

=+=+

.,

2222121

1212111

bxaxabxaxa

对于二元线性方程组

系数行列式

⎩⎨⎧

=+

=+

.,

2222121

1212111

bxaxabxaxa

,222

1211 ab

abD =

⎩⎨⎧

=+

=+

.,

2222121

1212111

bxaxabxaxa

.221

1112 ba

baD =

则二元线性方程组的解为

,

2221

1211

222

121

11

aaaaabab

DDx ==

注意 分母都为原方程组的系数行列式.

.

2221

1211

221

111

22

aaaababa

DDx ==

例例11

⎩⎨⎧

=+=−

.12,1223

21

21

xxxx

求解二元线性方程组

解1223 −

=D )4(3 −−= ,07 ≠=

11212

1−

=D ,14=12

1232 =D ,21−=

DDx 1

1 =∴ ,27

14==

DDx 2

2 = .3721

−=−

=

二、三阶行列式

333231

232221

131211

)5(

339

aaaaaaaaa

列的数表行个数排成设有

记记

,312213332112322311

322113312312332211 )6(aaaaaaaaa

aaaaaaaaa−−−

++=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式三阶行列式.

列标 行标

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

332211 aaa=

.322311 aaa−

对角线法则对角线法则

注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三

元素的乘积冠以负号．

说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

322113 aaa+312312 aaa+

312213 aaa− 332112 aaa−

如果三元线性方程组

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

的系数行列式

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D = ,0≠

利用三阶行列式求解三元线性方程组

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,

不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

,

33323

23222

13121

1

aabaabaab

D =若记

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D =或

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1

2

1

bbb

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

,

33323

23222

13121

1

aabaabaab

D =记

,

33323

23222

13121

1

aabaabaab

D =即

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

,

33331

23221

13111

2

abaabaaba

D =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++

得

=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

,

33331

23221

13111

2

abaabaaba

D =得

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

.

33231

22221

11211

3

baabaabaa

D =⇒

,

33331

23221

13111

2

abaabaaba

D = .

33231

22221

11211

3

baabaabaa

D =

则三元线性方程组的解为:

,DDx 1

1 = ,22 D

Dx = .33 D

Dx =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D = ,

33323

23222

13121

1

aabaabaab

D =

2-43-122-4-21

D =计算三阶行列式例２例２

解解 按对角线法则，有

=D 4)2()4()3(12)2(21 ×−×−+−××+−××

)3(2)4()2()2(2411 −××−−−×−×−××−

24843264 −−−+−−=

.14−=

.09432

111

2

=xx求解方程例例33

解解 方程左端

12291843 22 −−−++= xxxxD

,652 +−= xx

解得由 0652 =+− xx

3.2 == xx 或

例4 解线性方程组

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−++−=+−

.0,132,22

321

321

321

xxxxxx

xxx

由于方程组的系数行列式解解

111312

121

−−−

−=D ( )111 −××= ( ) ( ) ( )132 −×−×−+

121 ××+ ( )111 −××− ( ) ( )122 −××−− ( ) 131 ×−×−5−= ,0≠

同理可得

110311

122

1

−−

−−=D ,5−=

101312

121

2

−−−

−=D ,10−=

011112221

3

−

−−=D ,5−=

故方程组的解为:

,111 ==

DDx ,22

2 ==DDx .13

3 ==DDx

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.

对角线法则二阶与三阶行列式的计算

.211222112221

1211 aaaaaaaa

−=

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−

++=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

三、小结

一、全排列及其逆序数引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没

有重复数字的三位数？

解 1 2 3

1 2 3百位 3种放法

十位 1 2 31

个位 1 2 3

2种放法

1种放法

种放法.共有 6123 =××

第二节 n阶行列式

同的排法？

，共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题

定义1 由 个不同地正整数组成的一个有序数组，称为一个n元排列。

n n

个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.

nnP

由引例 1233 ⋅⋅=P .6=

nPn = )1( −⋅ n )2( −⋅ n 123 ⋅⋅⋅⋅L !.n=同理

在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序.

( )nst iiiii LLL21

st ii >定义2

我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准排列或自然排列.

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

例如 排列32514 中，逆序数为3+1+0+1+0=5.

计算排列逆序数的方法

方法1

分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素

的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.

n,n,,, 121 −Ln,n,,, 121 −L n

逆序数为奇数的排列称为奇排列;

逆序数为偶数的排列称为偶排列.

排列的奇偶性

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

方法2

例1 求排列32514的逆序数.

解 在排列32514中,

3排在首位,逆序数为0;

2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;

3 2 5 1 40 1 0 3 1

于是排列32514的逆序数为

13010 ++++=t .5=

5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;

1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;

4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;

定义3 将一个n元排列中某两个数的位置互换，而其

余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。

412104213 =+++=t

110001243 =+++=t

对换会改变排列的奇偶性？

定理1 对换一次改变排列的奇偶性。

证明： （1） 对换的两数相邻。设n元排列为

其逆序数为 ，将相邻两数i，j对换，得到新排列

其逆序数为 ，于是

当 i>j 时，

当 i<j 时，

ml bbijbaaa KK 2121

ml bbjibaaa KK 2121

1τ

2τ

112 −=ττ

112 +=ττ

所以，一次相邻对换改变排列的奇偶性。

（2） 一般情况。设n元排列为

将两数i，j对换，得到新排列

（2）可看作是由（1）把i依次和 对换，即作了m次相邻对换得到的排列

pml ccicbbjbaaa KKK 212121

mbbb ,,, 21 K

后，再将（3）中的j依次和 作m＋1次对换而得。这样由（1）经2m＋1次相邻对换可得到排列（2），由前面证明可知，排列（2）和（1）奇偶性不同。 证毕

mbbbi ,,,, 21 K

pml ccijcbbbaaa KKK 212121

pml ccjcbbibaaa KKK 212121

2 排列具有奇偶性.

3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.

1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n

全排列及其逆序数小结

4 对换一次改变排列的奇偶性

二、 n 阶行列式的定义

三阶行列式

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D = 322113312312332211 aaaaaaaaa ++=

332112322311312213 aaaaaaaaa −−−

说明

（1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的

乘积．

（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．

例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为

( ) ,t 211312 =+=

322311 aaa 列标排列的逆序数为

( ) ,t 101132 =+=

偶排列

奇排列

正号+

,负号−

.)1(321 321

333231

232221

131211

∑ −=∴ pppt aaa

aaaaaaaaa

nnnn

n

n

npppt

aaa

aaaaaa

D

aaa

nnn

n

L

MMM

L

L

L

21

22221

11211

21

2

.)1(21

=

−∑

记作

的代数和

个元素的乘积取自不同行不同列的

阶行列式等于所有个数组成的由

).或det( ija简记作

定义4

的元素．称为行列式数 )det( ijij aa

ija

为这个排列的逆序数．

的一个排列，，，，为自然数其中

tnppp n LL 2121

( ) ( )n

n

nnppp

ppp

pppt

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaaaaa

D

L

L

LLLLLLL

L

L

L

L

21

21

2121

21

22221

11211

1∑ −=

=

说明

1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方

程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;

2、 阶行列式是 项的代数和;n !n

3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;

nn

4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;aa =

5、 的符号为nnppp aaa L21 21

)( 211)( npppt L−

例2 计算行列式

0004003002001000

分析

展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa

41 ≠p若 ,011 =⇒ pa 从而这个项为零，

所以 只能等于 , 1p 4 同理可得 1,2,3 432 === ppp

解

0004003002001000

( ) ( ) 43211 4321 ⋅⋅⋅−= t .24=

即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314

例3 计算上三角行列式

nn

n

n

a

aaaaa

L

LLLLLLL

L

L

00

0 222

11211

分析

展开式中项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa L

,npn = ,11 −=− npn ,1,2,3 123 ==−=− ppnpn L

所以不为零的项只有 .2211 nnaaa L

nn

n

n

a

aaaaa

L

LLLLLLL

L

L

00

0 222

11211

∴ ( ) ( )nn

nt aaa LL

2211121−=

.2211 nnaaa L=

解

例4 ?

8000650012404321

==D

44332211

8000650012404321

aaaaD == .1608541 =⋅⋅⋅=

同理可得下三角行列式

nnnnn aaaa

aaa

L

LLLLLLLL

L

L

321

2221

11

00000

.2211 nnaaa L=

nλ

λλ

N2

1

( )( )

.1 2121

n

nnλλλ L

−−=

;21 nλλλ L=

nλ

λλ

O2

1

例5 证明对角行列式（主对角线以外全为0的行列式）

和次对角行列式

nλ

λλ

N2

1

( ) ( )[ ]11,21

2111 nnnnnt aaa L

L

−−−=

( )( )

.1 2121

n

nnλλλ L

−−=

证明 第一式是显然的,下面证第二式.

若记 ,1, +−= inii aλ 则依行列式定义

1

1,2

1

n

n

n

a

aa

N−=

证毕

定理2 n阶行列式 的一般项可以记为ijaD =

njijiji n

njjjniii aaa KKK

21 21

)21()21()1( ττ +−

推论 n阶行列式也可以定义为

∑ −n

n

niii

iiiniii aaa

K

KK

21

21

)21(

21)1( τ

证明略，见书上Page7

1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解

方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.

2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.

nn

!n

三、小结

性质性质11

定义：行列式 称为行列式 的转置行列式. TD D

设

nna

aa

O22

11

M

L

L

n

n

aaa

2

112

L

M

21

21

nn aa

a=D

第三节第三节 行列式的性质行列式的性质

nna

aa

O22

11

M

L

L

2

121

n

n

aaa

L

M

nn aa

a

21

12=TD

DDT =

一、行列式的性质

证明 的转置行列式记令 )det(, ijjiij aDab ==

nnnn

n

n

T

bbb

bbbbbb

D

L

LLLLLLL

L

L

21

22221

11211

= ( )n

nnppp

ppp bbb LL

21

2121

)(1∑ −= τ

( )∑ −= nppppppt

n

n aaa LL

21)(

21

211

.)72( DPage =的推论根据上节定理

性质性质11 DDT =

性质性质11说明：说明：

行列式的行与列的地位是对称的，即凡对行成立的的性质对列也成立。

因此，我们下面着重以行来介绍行列式的性质。

性质性质22 互换行列式的两行 ,行列式变号.

证明证明 由行列式定义

== nijaD )det(

（列）

,

21

21

21

11211

nnnn

knkk

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

LLLL

L

LLLL

L

1D

交换D的i,k行，得D1

,

21

21

21

11211

nnnn

inii

knkk

n

aaa

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

LLLL

L

LLLL

L

=

( )nki

nkinjijkjj

jjjj aaaa LLLLLL

1

11

)(1∑ −= τ

( )nik

nkinjkjijj

jjjj aaaa LLLLLL

1

11

)(1∑ −= τ

( )nik

niknjkjijj

jjjj aaaa LLLLLL

1

_11

1)(1∑+

−= τ

)1()1()1()1( njijkjjnjkjijj LLLLLL ττ

−−=−

根据定理一，对换一次改变行列式得奇偶性，即：

( )nik

nnjkjijj

jjjj aaaa LLLLLL

1

ik11

)(1∑ −= τ－上式

D＝－ 即：D1＝－D 。任意互换行列式的两行

（列），行列式变号！证毕！

( )nik

nkinjkjijj

jjjj aaaa LLLLLL

1

11

)(1∑ −= τ

( )nki

nkinjijkjj

jjjj aaaa LLLLLL

1

11

)(1∑ −= τ

例如

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，

证明 互换相同的两行，有 ,DD −=

473212101

.0=∴ D

21 cc ↔

32 rr ↔,

212473101

−

.437221110

−

则此行列式为零.

473212101

性质性质3 3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面，即：

.

21

21

11211

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

L

LLLLLLL

L

LLLLLLL

L

推论推论11 用数k乘行列式D等于D中某一行（列）所有元同乘以数k。

( )ni npipp

t akaa LL )(111∑ −=左

( )ni npipp

t aaak LL111∑ −= .右=

=

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

L

LLLLLLL

L

LLLLLLL

L

k k k k

证明

290184317012826330

−−

−−−

例：

29018431706416330

2

−−

−−−

19018231706413330

22

−−

−−−

××

KK=

−−

−−−

××

13018211702413130

34

22 ÷r

24 ÷c

33 ÷c

推论推论22 行列式中如果有两行（列）对应元素成比例,

证明

nnnn

inii

inii

n

aaa

kakaka

aaa

aaa

L

LLLLLLL

L

LLLLLLL

L

LLLLLLL

L

21

21

21

11211

nnnn

inii

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

k

L

LLLLLLL

L

LLLLLLL

L

LLLLLLL

L

21

21

21

11211

.02 =的推论，根据性质

krj ÷

则此行列式为零．

性质性质44 若行列式的第i行（列）的每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即：

=

′+

′+

′+

nnnininn

nii

nii

aaaaa

aaaaaaaaaa

LL

MMMM

LL

LL

)(

)()(

21

2222221

1111211

nnnin

ni

ni

aaa

aaaaaa

LL

LLLL

LL

LL

1

2221

1111

.

1

2221

1111

nnnin

ni

ni

aaa

aaaaaa

LL

LLLL

LL

LL

′

′′

+

(1):(1):

(2):(2):

=′+′+′+

nnnn

ininiiii

n

aaa

aaaaaa

aaa

L

MMM

L

MMM

L

21

2211

11211

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

MMM

L

21

21

11211

.

21

21

11211

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

MMM

L

′′′+

性质性质55 把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变，即：

nnnjnin

nji

nji

aaaa

aaaaaaaa

LLL

MMMM

LLL

LLL

1

22221

11111

;

)(

)()(

1

222221

111111

nnnjnjnin

njji

njji

ji

aakaaa

aakaaaaakaaa

kcc

LLL

MMMM

LLL

LLL

+

++

+

×kji ckc ×+:(1)

nnnn

jnjj

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

MMM

L

MMM

L

21

21

21

11211

×k

+

ji krr +

nnnn

jnjj

jninjiji

n

aaa

aaa

kaakaakaa

aaa

L

MMM

L

MMM

L

MMM

L

21

21

2211

11211

+++

ji rkr ×+:(2)

说明：使用行列式性质时，为了使过程清晰醒目，约定如下记号：

)( jiji ccrr ↔↔

)( ii kckr

)( jiji kcckrr ++

例１

21010446147531240259733

13211

−−−−−

−−−−−

=D计算

◆计算行列式的基本方法:

.ji krr +

二、行列式性质应用举例

三角化.

◆计算行列式的主要手段:

21010446147531240259733

13211

−−−−−

−−−−−

=D计算

3×⊕

解

12 3rr +

例１

210104461475312402

13211

−−−−−

−−

D0 0 1− 0 2−

( )2−×

⊕

2101044614753

2010013211

−−−−

−−−−

( )2−×

⊕

( )3−×

⊕13 2rr −

解

12 3rr +

2101044614753

−−−−

12402

13211

−

−−

D0 0 1− 0 2−

0 2 0 4 1−

14 3rr −

( )4−×

2101044614753

2010013211

−−−−

−−−− ( )3−×

⊕13 2rr − 0 2 0 4 1−

⊕

2101044

1402020100

13211

−−

−−−

−−

0 2− 1 5− 3

14 3rr −

( )4−×

⊕

2101044

1402020100

13211

−−

−−−

−−

0 2− 1 5− 3

351201402020100

13211

−−−−−

−−

15 4rr −

0 0 2 2 2−

42 rr ↔

222002010014020

3512013211

−−−−

−−−−

− ⊕

351201402020100

13211

−−−−−

−−

15 4rr −

0 0 2 2 2−

2220020100

3512013211

−−−

−−−−

−23 rr +

⊕

42 rr ↔

222002010014020

3512013211

−−−−

−−−−

− ⊕

0 0 1 1− 2

34 rr +( )2−×

⊕

2220020100

3512013211

−−−

−−−−

−23 rr +

⊕0 0 1 1− 2

22200

211003512013211

−

−−−−−

−

0 0 0 1− 0

01000211003512013211

−−−−−−

−35 2rr −

4×⊕

34 rr +( )2−×

⊕22200

211003512013211

−

−−−−−

−

0 0 0 1− 0

0 0 0 4 6−

01000211003512013211

−−−−−−

− ( )( )( )612 −−−−=45 4rr +.12=

01000211003512013211

−−−−−−

−35 2rr −

4×⊕0 0 0 4 6−

0 0 0 0 6−

例2 计算 阶行列式n

abbb

babbbbabbbba

D

L

LLLLL

L

L

L

=

解

( )( )( )

( ) abbbna

babbnabbabnabbbbna

L

LLLLL

L

L

L

1

111

−+

−+−+−+

=D

将第 列都加到第一列得n,,3,2 L

[ ]

abb

babbbabbb

bna

L

LLLLL

L

L

L

1

111

)1( −+=

[ ]

ba

baba

)b(na,n,j

bcc j

−

−−

−+=======

−

001

011

0001

12

1

L

OM

M

L

L

[ ] .)()1( 1−−−+= nbabna

例3 ,

0

1

111

1

111

1

111

nnn

n

nkn

k

kkk

k

bb

bb

cc

ccaa

aa

D

L

MM

L

L

MM

LL

MM

L

=设

,

1

111

1

kkk

k

aa

aaD

L

MM

L

= ,

1

111

2

nnn

n

bb

bbD

L

MM

L

=

.21DDD =证明

问题：是不是所有的行列式都可以化为三角行列式？

证明

kkk pp

pD

L

OM

1

11

1

0=设为

化为下三角形行列式把作运算对 11 , DkrrD ji +

化为下三角形行列式把作运算对 22 , DkrrD ji +

nnn qq

qD

L

OM

1

11

2

0=设为

;11 kkpp L=

.11 nnqq L=

,

0

1

11

1

111

1

11

nnnnkn

k

kkk

qq

q

dd

ddpp

p

D

L

OM

L

MM

LL

OM

=

化为下三角形行列式把算

列作运，再对后行作运算的前对

Dkcc

nkrrkD

ji

ji

,+

+

nnkk qqppD LL 1111 ⋅=故 .21DD=

例4 .

14013072200002/100069

5

−

−=

fedcbaD计算

=5D解: ⋅02/169

140130722

−

−

⋅−= 314

132

−⋅− )7()2()3( −⋅−⋅−= .42−=

注意: 行列式中行与列具有同等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

◆计算行列式常用方法：

(1) 利用定义;

(2) 利用性质.

◆行列式的6个性质3个推论

三、小结

性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 任意互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为0。性质3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号

的外面。推论1 用数k乘以行列式D等于D中某一行（列）所有元素同乘以数k。推论2 若行列式的任意两行（列）对应元成比例，则行列式为0。性质4 若行列式的第i行（列）的每一个元都可表示为

两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。性质5 把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）

的对应元上，行列式的值不变。

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−

++=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

例如

( )3223332211 aaaaa −= ( )3321312312 aaaaa −+( )3122322113 aaaaa −+

3332

232211 aa

aaa=

第四节第四节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开

一、余子式与代数余子式

.131312121111 AaAaAa ++=

3331

232112 aa

aaa−

3231

222113 aa

aaa+

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，留下来的元按原来的次序构成阶行列式叫做元素 的余子式，记作

n ija i j1−n

ija .M ij

( ) ，记 ijji

ij MA +−= 1 叫做元素 的代数余子式．ija

例如

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

D =444241

343231

141211

23

aaaaaaaaa

M =

( ) 2332

23 1 MA +−= .23M−=

定义5：

引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ．ijij AaD =

n iija ija

44434241

33

24232221

14131211

000aaaa

aaaaaaaaa

D =

3333 Aa= ( )

例如

.1

444241

242221

141211

3333

aaaaaaaaa

a+−=

二、行列式按行(列)展开

证 当 位于第一行第一列时,ija

nnnn

n

aaa

aaaa

D

L

MMM

L

L

21

22221

11 00

=

.1111即有 MaD =

又 ( ) 1111

11 1 MA +−= ,11M=

从而 .1111AaD =

对于一般情形,

n

n

n

n

n

n

n

n

n

njjjjj

jj

njjjjj

jj

njjjjjj

jjj

aaa

aaa

aaa

L

L

L

L

L

L

L

L

L

2

21

2

2

21

2

21

21

21

2)(

11

211)1(

21)(

)1(

)1(

)1(

∑

∑

∑

−=

−=

−=

τ

τ

τ

,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 −− iiiD

得

nnnjn

ij

nj

aaa

a

aaa

D

LL

MMM

LL

MMM

LL

1

1111

00= ija

( )

nnnjn

nijii

ij

i

aaa

aaa

a

D

LL

MMM

LL

MMM

LL

1

,1,11,11

00

1 −−−−−=

ija

对于一般情形,

设

,1,2,1

对调

列第列第列列依次与第的第再把 −− jjjD得

( ) ( )

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

D

LL

MMM

LL

MMM

LL

1,

,11,1,111

00

11

−

−−−−−− −⋅−=

ija

得 ( )

nnnjn

nijii

ij

i

aaa

aaa

a

D

LL

MMM

LL

MMM

LL

1

,1,11,11

00

1 −−−−−=

ija

( )

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

LL

MMM

LL

MMM

LL

1,

,11,1,12

00

1

−

−−−−−+−=

ija

( ) ( )

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

D

LL

MMM

LL

MMM

LL

1,

,11,1,111

00

11

−

−−−−−− −⋅−=

ija

( )

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

LL

MMM

LL

MMM

LL

1,

,11,1,12

00

1

−

−−−−−+−=

ija

( )

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

LL

MMM

LL

MMM

LL

1,

,11,1,1

00

1

−

−−−−+−=

ija

( )

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

LL

MMM

LL

MMM

LL

1,

,11,1,1

00

1

−

−−−−+−=

ija

( ) ⋅−= + ji1 ⋅ija ijM

.ijij Aa=

定理３ n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

),,,2,1( 22111

niAaAaAaAaD ininiiii

n

jijij LL =+++== ∑

=

证

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

D

L

LLLL

LLLL

LLLL

L

21

21

11211

000000 +++++++++=

).,,2,1( 22111

njAaAaAaAaD njnjjjjj

n

iijij LL =+++== ∑

=

nnnn

i

n

aaa

a

aaa

L

LLLL

L

LLLL

L

21

1

11211

00=

nnnn

i

n

aaa

a

aaa

L

LLLL

L

LLLL

L

21

2

11211

00+

nnnn

in

n

aaa

a

aaa

L

LLLL

L

LLLL

L

L

21

11211

00++ .2211 ininiiii AaAaAa +++= L

( )ni ,,2,1 L=

说明：

计算行列式时，直接利用定理3展开行

列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时，应先运用行列式性质，将某一行（列）尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开。

例1

335111024315

2113

−−−−−

−

=D

0355010013111

1115

−−

−−−

( ) 31 2 cc −+

34 cc +

0551111

115)1( 33

−−−−−= +

055026115

−−−

5526

)1( 31

−−−

−= + .40=

12 rr +

定理4 n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ;,02211 jiAaAaAa jninjiji ≠=+++ L

,

1

1

1

111

111

nnn

jnj

ini

n

jnjnjj

n

kjkjk

aa

aa

aa

aa

AaAaAaD

L

MM

L

MM

L

MM

L

L =++== ∑=

, 时当 ji ≠证

.,02211 jiAaAaAa njnijiji ≠=+++ L

有行展开按第把行列式 ,)det( jaD ij=

nnn

jninji

ini

n

ij

nnn

jnj

ini

n

aa

aaaa

aa

aa

rr

aa

aa

aa

aa

L

MM

L

MM

L

MM

L

L

MM

L

MM

L

MM

L

1

11

1

111

1

1

1

111

++====

+

按 j 行展开： jk

n

kjkik Aaa∑

=

+=1

)(

jk

n

kjkjk

n

kikjk

n

kjkik AaAaAaa ∑∑∑

===

+=+=111

)(

01

=∑=

jk

n

kik Aa所以： 另一条同理可证。证毕！

★关于代数余子式的重要性质:

=∑=

n

kkjki Aa

1ij

n

kjkik DAa δ=∑

=1

⎩⎨⎧

≠=

=.,0

,1jiji

ij当

，当δ

,ijDδ

证 用数学归纳法

212

11xx

D =Q 12 xx −= ,)(12

∏≥>≥

−=ji

ji xx

）式成立．时（当 12=∴ n

例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

∏≥>≥

−−−

−==1

112

11

222

21

21

).(

111

jinji

nn

nn

n

n

n xx

xxx

xxxxxx

D

L

MMM

L

L

L

)1(

)()()(0

)()()(00

1111

12

132

3122

2

1133122

11312

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

D

nnn

nn

nn

n

n

−−−

−−−−−−

=

−−− L

MMMM

L

L

L

Q

，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11 −n

)()()(0

)()()(00

1111

12

132

3122

2

1133122

11312

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

D

nnn

nn

nn

n

n

−−−

−−−−−−

=

−−− L

MMMM

L

L

L

Q

=

223

22

3211312

111

)())((

−−−

−−−=

nn

nn

nn

xxx

xxxxxxxxx

L

MMM

L

L

L

)()()(0

)()()(00

1111

12

132

3122

2

1133122

11312

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

D

nnn

nn

nn

n

n

−−−

−−−−−−

=

−−− L

MMMM

L

L

L

Q=

n-1阶范德蒙德行列式

)()())((2

11312 jjin

in xxxxxxxx −∏−−−=≥>≥

L ).(1

jjin

i xx −= ∏≥>≥

解

例3 计算

.

0

00

0

2

dcdc

dc

ba

baba

D n

ON

NO

=

对行列式按第一行展开，得：

=nD2 +1aD

解

例3 计算

.

0

00

0

2

dcdc

dc

ba

baba

D n

ON

NO

=

对行列式按第一行展开，得：

=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−

解

例3 计算

.

0

00

0

2

dcdc

dc

ba

baba

D n

ON

NO

=

对行列式按第一行展开，得：

=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−

0

0

)1(2 −= nadD +

.

0

00

0

2

dcdc

dc

ba

baba

D n

ON

NO

=

计算

解

例3

对行列式按第一行展开，得：

=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−

0

0

)1(2 −= nadD + )1(2111 )1()1( −

+−+ −− nnn Ddc

.

0

00

0

2

dcdc

dc

ba

baba

D n

ON

NO

=

计算

解

例3

对行列式按第一行展开，得：

=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−

0

0

)1(2 −= nadD + )1(2111 )1()1( −

+−+ −− nnn Ddc )1(2 −− ndcD )1(2)( −−= nDdcad

解 对行列式按第一行展开，得：

=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−

)1(2 −= nadD )1(2 −− ndcD )1(2)( −−= nDdcad

)2(22)( −−= nDdcad

21)( Ddcad n−−=

dcba

dcad n 1)( −−=

.)( ndcad −=

L=

递推法

解

计算

.

0

00

0

2

dcdc

dc

ba

baba

D n

ON

NO

=

例3

)1(22222

2 )1()1( −−− −⋅−= n

nnn D

dcba

D

最后一行和最后列逐次向上和向左换行和换列,得

.)( )1(2 −−= nDbcad

◆ 行列式按行(列)展开是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

,1

ij

n

kkjki DAa δ=∑

=

,1

ij

n

kjkik DAa δ=∑

=

⎩⎨⎧

≠=

=.,0

,1jiji

ij当

，当其中 δ

三、小结

◆

本次课的教学要求

1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解

线性方程组。

2、通过练习巩固行列式的性质和运算。

第五节 克拉默法则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

2211

22222121

11212111

设线性方程组

,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb L 则称此方程组为

非齐次线性方程组; ,,,, 21 全为零若常数项 nbbb L

此时称方程组为齐次线性方程组.

非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念

如果线性方程组

)1(

2211

22222121

11212111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

的系数行列式不等于零，即

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

D

L

LLLLLLL

L

L

21

22221

11211

= 0≠

一、定理5 克拉默(Cramer)法则

.,,,, 33

22

11 D

DxDDx

DDx

DDx n

n ==== L

nnjnnjjnn

njjj

aaaaa

aaaaaD

LL

LLLLLLLLLLL

LL

1,1,1

11,111,111

+−

+−

=

那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且

解可以表示为( )1

jnb

bL

1其中：

证明

( ) 得个方程的依次乘方程组

列元素的代数余子式中第用

,1

,,, 21

n

AAAjD njjj L

证明

( ) 得个方程的依次乘方程组

列元素的代数余子式中第用

,1

,,, 21

n

AAAjD njjj L

)1(

11

222121

111111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++++

=++++

在把 个方程依次相加，得n

=++++

nnnnjnjn

nnjj

nnjj

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

LL

LLLLLLLLLLLL

LL

LL( ) jA1 jA1

)2(

11

1 xAan

kkjk ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

j

n

kkjkj xAa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ∑

=1L n

n

kkjkn xAa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ∑

=1L

,1∑=

=n

kkjk Ab

( ) jA2 jA2

( ) njA njA

,1

111

11

∑

∑∑∑

=

===

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

n

kkjk

n

n

kkjknj

n

kkjkj

n

kkjk

Ab

xAaxAaxAa LL

由上一节定理3和定理4可知,

( ).,,2,1 njDDx jj L==

DDx

DDx

DDx

DDx n

n ==== ,,,, 33

22

11 L

,Dx j的系数等于上式中

( ) ;0的系数均为而其余 jixi ≠ .jD又等式右端为

于是 ( )3

当 时, 方程组 有唯一的一个解0≠D ( )3

DDx

DD

xDDx n

nj

j === ,,,,11 LL

也是方程组的 解.( )1

另外，可以证明

有 ,,,2,1 ni KQ =∀

nnnnn

iinii

n

baaa

baaa

baaa

L

MMMM

L

MMMMM

L

21

21

111211

iinii baaa L21

,0=

in

inj

iji bDDa

DD

aDDa =+++ LL1

1

nnnnn

iinii

n

baaa

baaa

baaa

L

MMMM

L

MMMMM

L

21

21

111211

iinii baaa L21

,0=

得行展开按第 , 1 11

1 )1( +−ia 11)1( Dn−−

2ia+ 2221 )1()1( Dn−+ −−

jjnj

ij Da −+ −−++ )1()1( 1L

nnnn

in Da −+ −−++ )1()1( 1L

Db ni

)1(1)1( ++−+ ,0=

Db

DaDaDan

i

nn

injn

ijn

i

1

111

11

)1(

)1()1()1(+

+++

−=

−+−++− LL

DbDaDaDa ininjiji =+++∴ LL11

.11 i

nin

jiji b

DDa

DD

aDDa =+++∴ LL

例1 用克拉默则解方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+−=+−

=−−=+−+

.0674,522

,963,852

4321

432

421

4321

xxxxxxxxxx

xxxx

解

674121206031

1512

−−

−−−

=D ,027 ≠=

674021256039

1518

1

−−−

−−−

=D ,81= ,1082 −=D

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+−=+−

=−−=+−+

.0674,522

,963,852

4321

432

421

4321

xxxxxxxxxx

xxxx

674121206031

1512

−−

−−−

=D 27=

,27 ,27 43 =−= DD

,311 ==∴

DDx ,42

2 −==DDx .1 ,1 4

43

3 ==−==DDx

DDx

例2 已知多项式函数

).(.6)2(,6)2()1()1(

2,1)( 33

2210

xfffff

xxxaxaxaaxf

试求

处的值：

在

−=−−=−=

==+++= +−

+−

解 将 代入函数.由题设得到关于 的线性方程组:

2,2,1,1 −+−+=x3210 ,,, aaaa

结论1 如果线性方程组 的系数行列式

则 一定有解,且解是唯一的 .( )1

( )1,0≠D

结论2 如果线性方程组 无解或有两个不同的

解，则它的系数行列式必为零.( )1

二、重要结论

)1(

2211

22222121

11212111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

齐次线性方程组的相关定理

( )2

0

00

2211

2222121

1212111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

定理

0,,0,0 21 === nxxx L

.)2( 的零解称为方程组

.)2(, 的非零解称为方程组不是零解的解

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+−=++

000

31

321

321

xxxxxxxx

,0321 === xxx.0,1,1 231 =−== xxx

⎩⎨⎧

=−=+

00

21

21

xxxx

.无非零解

.,

有零解则该齐次线性方程组只

数行列式不为零若齐次线性方程组的系

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

0

00

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

必有非零解.

另外，以后将证明：若系数行列式 0=D

定理6 齐次线性方程组有非零解的充要条件

是系数行列式等于零.

◎

.,

零解则该齐次性方程组只有

数行列式不为零若齐次线性方程组的系

例3 问 取何值时，齐次方程组

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++=+−+=+−−

,01,032,0421

321

321

321

xxxxxxxxx

λλ

λ有非零解？

λ

解

λλ

λ

−−−−

=111

132421

D

因为D=0时，齐次方程组有非零解

所以 或 时齐次方程组有非零解.20 == λλ , 3=λ

( )( ),23 λλλ −−=

1. 用克拉默法则解方程组的两个条件

(1)方程个数等于未知量个数（方形的）.

(2)系数行列式不等于零.

2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.

三、小结

3. 克拉默法则的不足或缺点:

一般来说, 其计算量较大.

第一章 行列式小结

1.5 克莱默（Cramer）法则

1.1 二阶行列式、三阶行列式

1.2 n阶行列式

1.3 行列式的性质

1.4 行列式按行（列）展开

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