predavanje_8_kombinovana_naprezanja_1384770398443

Metalne konstrukcije 1 P8-1

Kombinovana naprezanja

Kontrole graničnih stanja kod kombinovanih naprezanja

– Ekscentrično zatezanje (Nt + M)

ULS - kontrole nosivosti poprečnih preseka na pojedinačna dejstva i intrakciju;

SLS - kontrola deformacija - ugiba;

– Ekscentričan pritisak (Nc + M)

ULS - kontrola nosivosti poprečnog preseka na pojedinačna dejstva i intrakciju;

ULS - kontrola stabilnosti elementa kao celine;

SLS - kontrola deformacija - ugiba i horizontalnog pomeranja u slučaju stubova;


Ekscentrično zatezanje (Nt + M)

Ekscentrično zatezanje uglavnom najstaje usled:

– odstupanja napadne linije sile od težišta poprečnog preseka;

– zakrivljenosti elementa;

– poprečnog opterećenja;

– ekscentričnosti veze.

Mali ekscentricitet – dominantno zatezanje!


Ekscentričan pritisak (Nc + M)

Primeri primene: stubovi okvirnih nosača, fasadni stubovi, ...


Nosivost poprečnih preseka na kombinovano dejstvo aksijalne sile i momenta savijanja

– Nosivost zavisi od klase poprečnog preseka;

– Kod preseka klase 1 i 2, pored pojedinačnih kontrola nosivosti poprečnih preseka na dejstvo aksijalne sile i momenta savijanja, u određenim slučajevima je neophodna i kontrola interakcije ovih naprezanja. Za proračun se koristi redukovani moment nosivosti;

– U slučaju preseka klase 3 i 4, kod kojih se nosivost određuje po teoriji elastičnosti, interakcija se svodi na kontrolu normalnog napona u najopterećenijem poprečnom preseku;

– Kod preseka klase 1, 2 i 3, ukoliko nema slabljenja rupama za spojna sredstva, proračun je isti za slučaj zatezanja i pritiska;

– U slučaju sile pritiska, kod preseka klase 4, neophodno je da se uzme u obzir efektivan poprečni presek;


Interakcija nosivosti za poprečne preseke klase 1 i 2 - Kada je neophodna provera?

Kod standardnih vruće valjanih I i H profila i ekvivalentnih zavarenih profila u slučaju savijanje oko jače y-y ose kontrola interakcije nije potrebna kada su zadovoljena oba sledeća uslova:

RdplEd NN ,,250≤ 00 5050 MywMywwEd fAfthN γγ /,/, =≤

U slučaju savijanje oko slabije z-z ose kontrola interakcije nije potrebna kada su zadovoljen uslov:

00 MywMywwEd fAfthN γγ // =≤


Redukovani moment nosivosti preseka - MN,Rd

Proračun redukovanog momenta nosivosti zavisi od:

– oblika poprečnog preseka i

– ose oko koje se savijanje vrši (y-y ili z-z);

Kontrola nosivosti poprečnog preseka na interakciju momenta savijanja i aksijalne sile se vrši na osnovu sledećeg, opšteg uslova:

1≤RdN

Ed

MM

,


MEd proračunska vrednost momenta savijanja;

MN,Rd proračunska vrednost redukovanog momenta nosivosti;

Primer pravougaonog poprečnog preseka

00 MyMyRdpl fhbfAN γγ //, ==0

20

41

MyMyyplRdypl fhbfWM γγ //,,, ==

0 My

EdN fb

Nh

γ/=

0

2

0

2

44

My

EdRdyplMy

NRdyplRdyN fb

NMf

hbMM

γγ

// ,,,,,, −=−=

)(,,,,21 nMM RdyplRdyN −=

RdplEd NNn ,/=

P8-8Metalne konstrukcije 1

Primer: I presek N+My

0 Myw

EdN ft

Nh

γ/=

0

2

0

2

44 Myw

EdRdyplMy

wNRdyplRdyN

ft

NMf

thMM

γγ

// ,,,,,, −=−=

P8-9

A) Plastična neutralna osa u rebru I profila

Metalne konstrukcije 1

),( wNw hhh ≤≤50

Primer: I presek N+My

ff

Mredf t

b

At ≤=

2,

( ) ( ) 00 MyredfredffMyredfredfRdyN fthtbfthAM γγ // ,,,,,, −=−=

P8-10

B) Plastična neutralna osa u nožici I profila

wMy

EdN A

f

NA ≥=

0γ/


NM AAA −=

Redukovani moment MN,y,Rd za I preseke prema EC3

n stepen iskorišćenja poprečnog preseka usled aksijalne sile;

a udeo rebra u ukupnoj površini poprečnog preseka; Ako se proračunom dobije da je a > 0,5 usvaja se a=0,5.

RdyplRdyplRdyN Ma

nMM ,,,,,, ,

≤−−

=501

1

RdplEd NNn ,/=

502

,≤−

=A

tbAa ff

1≤RdyN

Edy

M

M

,,

,


Interakcioni dijagrami N+My za I preseke

Sa porastom parametra a (veća površina rebra), raste i vrednost redukovanog momenta nosivosti!


RdplEd NNn ,/=

Rdypl

Edy

M

Mm

,,

,=

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

a=0,1

a=0,2

a=0,3

a=0,4

a=0,5

Primer: I presek N+Mz

P8-13

Plastična neutralna osa u nožici I profila


0My

EdN f

NA

γ/=

f

MM t

Ah

4=

( ) ( )00

22 M

yMffM

M

yMf

MRdzN

fhbth

fhb

AM

γγ−=−=,,

NM AAA −=

Redukovani moment MN,z,Rd za I preseke prema EC3

RdzplRdzplRdzN Ma

anMM ,,,,,, ≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=2

11

RdplEd NNn ,/=

502

,≤−

=A

tbAa ff

1≤RdzN

Edz

M

M

,,

,


RdzplRdzN MM ,,,, =

za n > a:

za n < a:

Redukovani momenti nosivosti za standardne profile - EC3


Interakcioni dijagrami


(m, n)

Koso savijanje My+Mz


Interakcija u slučaju kosog savijanja (N+My+Mz) prema EC3


– za I i H preseke α = 2 β = 5n ali β ≥ 1

– za šuplje profile pravougaonog preseka α = β = 1,66/(1-1,13n2) ≤ 6

– za šuplje profile kružnog preseka α = β = 2

Prethodni izraz može da se koristi i u odsustvu aksijalne sile. Umesto redukovanih momenata plastične nosivosti MN,y,Rd i MN,z,Rd koriste se momenti platičnosti Mpl,y,Rd i Mpl,z,Rd, a u izrazima za koeficijente α i β se usvaja da je n=0, pa je:

– za I i H preseke α = 2 β = 1

– za šuplje profile pravougaonog preseka α = β = 1,66

– za šuplje profile kružnog preseka α = β = 2

1≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βα

RdzN

Edz

RdyN

Edy

M

M

M

M

,,

,

,,

,

Proračunski dijagrami normalnog napona


RdyMzM ,,

RdzMyM ,,


Kontrola interakcije za preseke klase 3 i 4

Za preseke klase 4 proračunska vrednost normalnog napona treba da se odredi na osnovu geometrijskih karakteristika efektivnog poprečnog preseka;Pri tome treba uzeti u obzir dodatne momente savijanja usled eventualnog pomeranja težišta efektivnog poprečnog preseka:ΔM = Nc eN

0,

M

yydEdx

ff

γσ =≤

0M

yyd

z

Edz

y

EdyEdEdx

ff

W

M

W

M

A

N

γσ =≤++= ,,

, klasa 3

0M

yyd

effz

zEdz

effy

yEdy

eff

EdcEdx

ff

W

MM

W

MM

A

N

γσ =≤

++

++=

,

,

,

,,,

ΔΔklasa 4

opšti uslov

Kontrole nosivosti ekscentrično zategnutih poprečnih preseka

Nt,Ed My,Ed Mz,Ed proračunske vrednosti dejstava;

Nt,Rd My,Rd Mz,Rd proračunske vrednosti nosivosti;

fyd proračunska vrednost granice razvlačenja;

0M

yyd

z

Edz

y

EdyEdtEdx

ff

W

M

W

M

A

N

γσ =≤++= ,,,

,

1≤++Rdz

Edz

Rdy

Edy

Rdt

Edt

M

M

M

M

N

N

,

,

,

,

,

,

ili


u slučaju slabljenja preseka rupama za spojna sredstva

Interakcija nosivosti na dejstvo N+My+Vz

kod poprečnih preseka klase 1 i 2

– Za kontrolu nosivosti poprečnih preseka klase 1 i 2 na interakciju savijanja, aksijalne sile i smicanja koristi se redukovani moment nosivosti MN,V,Rd

– Interakcija treba da se sprovede kada su ipunjeni kriterijumi oneophodnosti pojedinačnih interakcija: savijanje + smicanje (VEd> 0,5VRd ), odnosno savijanje + aksijalna sila (NEd > 0,25Npl,Rd i NEd

> 0,5Nw,pl,Rd za savijanje oko y-y ose);

– U EC3 nema eksplicitnih izraza za proračun redukovanog momenta nosivosti;

– Proračun redukovanog momenta treba da se sprovede na osnovu dijagrama normalnog napona pri potpunoj plastifikaciji preseka, uzimajući u obzir uticaje smicanja i aksijalne sile!


Proračun redukovanog momenta usled uticaja smicanja i aksijalne sile

I presek opterećen silama: NEd, My,Ed i Vz,Ed

a) Neutralna osa u rebru I preseka

( ) y

EdN f

NA

1 ρ−=


1≤RdyVN

Edy

M

M

,,,

,

I presek opterećen silama: NEd, My,Ed i Vz,Ed

b) Neutralna osa u nožici I preseka


1≤RdyVN

Edy

M

M

,,,

,

Kod preseka klase 4 normalne napone u rebru I preseka treba odrediti na osnovu karakteristika efektivnog poprečnog preseka;

Interakcija nosivosti na dejstvo N+My+Vz

kod poprečnih preseka klase 3 i 4


ydxzxEdeq f≤⋅+= 21

21 3 ,,, τσσ

wy

yEdzxz tI

SV

⋅

⋅= 1

1,,

,τ11 zI

M

A

N

y

EdyEdx

,, +=σ

Izvijanje ekscentrično pritisnutih elemenata (beam-columns elements)

• Kompleksan problem interakcije izvijanja (fleksionog i torzionog) i bočno-torzionog izvijanja;

• Razlika u ponašanju elemenata sa torziono osetljivim i torziono neosetljivim poprečnim presecima;

• Savijanje može da bude samo oko jače y-y ose ili i oko slabije z-z ose;

Razlikuju se tri slučaja:

– problem izvijanja elementa u ravni savijanja: N+Mz ili N+My

(kada je sprečeno bočno pomeranje);

– problem izvijanja elementa izvan ravni savijanja: N+My

(izvijanje oko slabije z-z ose i bočno-torziono izvijanje)

– opšti slučaj prostornog izvijana: N+My+Mz


Izvijanje u ravni savijanja:

savijanje oko slabije ose;

savijanje oko jače ose kada je sprečeno bočno pomeranje.

Izvijanje izvan ravni savijanja:

savijanje oko jače ose kada nije sprečeno bočno-torziono izvijanje.

Opšti slučaj:

savijanje oko obe ose.


Ponašanje ekscentrično pritisnutog elementa u ravni

P8-28

1 - idealno elastično; 6 - idealno plastično; 2 - elasto-plastično; 4 bifurkaciona stabilnost; 3 interakcija N i M (elastična teorija II reda); 7 interakcija N i M (kruto-plastična teorija); 5 - ekscentrično pritisnut element;

Ekscentrično pritisnut element u ravni (N+My) - Postavka problema

Uticaji II reda u izolovanom elementu - P-δ efekti.Metalne konstrukcije 1 P8-29

Diferencijalna jednačina problema

Pretpostavke:

– idealno elastičan matrijal;

– nema imperfekcija;

– statički sistem proste grede;

– nema deformacija izvan ravni opterećenja;

– na izolovani element deluje konstantna aksijalna sila pritiska imomenti savijanja na krajevima.

Rešenje D.J:

( ) wNL

xMEI

dx

wdmy 11

2

2

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=− β 00 == )()( Lww granični uslovi

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+−=

L

xxLLx

N

Mw mm βμμμβμ 11cosec sincotcos


ycrN

N

L ,

πμ =

Maksimalan momenat savijanja II reda

( )2cosec1 ycrycrm NNNNMM ,,max /cot/ ππβ ++= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−<

ycrNN

,max cos πβ

MM =max ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−≥

ycrN

N

,max cos πβ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

ycrNN

MM,

max sec2π

za

za

U slučaju konstantnog dijagrama momenata (βm= -1) dobija se:

ycrycr NNN

N

,, /sec

−≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

1

2

π


ycrNNMM

,max /−

=1

1

Aproksimacija faktora uvećanja momenata

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ycrN

N

,

sec2

π

ycrNN ,/−1

1


ycrNN ,/

Uticaj oblika dijagrama momenata - βm

ycrm

ycr

m

NNMC

NNMM

,,max //

,,

−=

−−

=1

1

1

4060

β

mmC β4060 ,, −=

Ovi izrazi važe samo u slučaju kada je element opterećen samo momentima savijanja koji deluju na njegovim krajevima, u skladu sa skicom! Nema poprečnog opterećenja!


Izvijanje izvan ravni savijanja

– Interakcija izvijanja oko slabije z-z ose i bočno-torzionog izvijanja!

– Karakteristično za ekscentrično pritisnute elemente koji nisu bočno pridržani.

– Vrednosti kritične sile izvijanja oko slabije ose (Ncr,z) i kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja (Mcr) se smanjuju u slučaju istovremenog dejstva aksijalne sile pritiska i momenta savijanja.

– Treba odrediti par uticaja sila-momenat (Ncr,M-Mcr,N), pri kojem dolazi do izvijanja!


Diferencijalne jednačina problema

Modifikacija diferencijelnih jednačina za bočno-torziono izvijanje;

Uvodi se uticaj aksijalne sile pritiska;

Iste pretpostavke kao i u slučaju BTI (idealno prav element, idealno elastičan materijal, konstantan dijagram momenata (βm=-1,0), male deformacije,...);

Granični uslovi su takođe isti kao u slučaju BTI;

vNdx

xvdEIM Mcrzy

2

2

,)(−−=ϕ

dx

dvM

dx

dEI

dx

diNGI NcrwMcrt ,, )( =−− 3

320

ϕϕ


Rešenje d.j. - izvijeni oblik elementa

Veza između Mcr,N i Ncr,M je dobijena uz pretpostavku da uticaj izvijanja oko jače y-y ose nije merodavan!

Najveća vrednost kritične sile Ncr,M je jednaka minimalnoj vrednosti od: Ncr,z Ncr,T i to za slučaj kada nema momenta savijanja (M=0).

Najveća vrednost kritičnog momenta Mcr,N jednaka je Mcr, kada je N=0!

xLNN

Mv

Mcrzcr

Ncr πδϕ sin,,

, =−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Tcr

Mcr

zcr

Mcr

Tcrzcr

Ncr

N

N

N

N

NNi

M

,

,

,

,

,,

, 1 1 2

0

2

oblik izvijenog nosača

Veza Mcr,N - Ncr,M


Opšti slučaj - sa uticajem izvijanja oko y-y ose

i0 polarni poluprečnik inercije;

Ncr,y kritična sila za izvijanje oko y-y ose;

Ncr,z kritična sila za izvijanje oko z-z ose;

Ncr,T kritična sila za torziono izvijanje;

Mcr kritičan moment bočno-torzionog izvijanja;

Za standardne vrućevaljane I profile kod kojih je Ncr,y > Ncr,z > Ncr,T

može se, na strani sigurnosti, napisati sledeća interakciona formula:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Tcr

Mcr

zcr

Mcr

ycr

Mcr

Tcrzcr

Ncr

N

N

N

N

N

N

NNi

M

,

,

,

,

,

,

,,

, 1 1 1 2

0

2

11

1≤

−+

cr

Ncr

ycrMcrzcr

Mcr

M

M

NNN

N ,

,,,

,

/



Kontrola izvijanja ekscentrično pritisnutih elemenata prema EC3 - Opšti slučaj

NEd, My,Ed i Mz,Ed proračunske vrednosti sile pritiska i momenata, ΔMy,Ed i ΔMz,Ed momenti usled pomeranja težišta preseka klase 4 χy i χz koeficijenti redukcije usled fleksionog izvijanja χLT koeficijent redukcije usled bočno-torzionog izvijanja kyy, kyz, kzy, kzz koeficijenti interakcije.

1

111

≤+

++

+

M

Rkz

EdzEdzyz

M

RkyLT

EdyEdyyy

M

Rky

Ed

MMM

kM

MMk

NN

γγχ

γχ ,

,,

,

,, ΔΔ

1

111

≤+

++

+

M

Rkz

EdzEdzzz

M

RkyLT

EdyEdyzy

M

Rkz

Ed

MMM

kM

MMk

NN

γγχγ

χ ,

,,

,

,, ΔΔ

P8-38

Sledeća dva uslova moraju da budu ispunjena!


Karakteristične nosivosti za različite klase poprečnih preseka

NRk= fy Ai Mi,Rk = fy Wi i ΔMi,Ed

Klasa 1 2 3 4 Ai A A A Aeff

Wy Wpl,y Wpl,y Wel,y Weff,y Wz Wpl,z Wpl,z Wel,z Weff,z

ΔMy,Ed 0 0 0 eNy NEd

ΔMz,Ed 0 0 0 eNz NEd

P8-39

Prethodne intrakcione formule su opšteg karaktera i mogu da se koriste za bilo koji klasu preseka, kao i za torziono osetljive i neosetljive poprečne preseke i savijanje oko obe glavne ose inercije!

Karakteristične nosivosti treba da se odrede u skladu sa tabelom ispod.

Uprošćene interakcione formule za savijanje u ravni - preseci klasa 1 i 2

Ako poprečni presek elementa nije torziono osetljiv, ili ako je sprečeno bočno-torziono izvijanje (χLT=1,0), onda se umesto nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje Mb,Rd u izrazima koristi nosivost poprečnog preseka na savijanje My,Rd

1≤+Rdb

Edyyy

Rdyb

Ed

M

Mk

N

N

,

,

,,

1≤+Rdb

Edyzy

Rdzb

Ed

M

Mk

N

N

,

,

,,

1 MyyRdyb fAN γχ /,, = 1 MyzRdzb fAN γχ /,, = 1 MyplyLTRdb fWM γχ /,, =

i

1 MyplyRdy fWM γ/,, =


Uprošćene interakcione formule za savijanje u ravni - preseci klase 3

Ako poprečni presek elementa nije torziono osetljiv, ili ako je sprečeno bočno-torziono izvijanje (χLT=1,0), onda se umesto nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje Mb,Rd u izrazima koristi nosivost poprečnog preseka na savijanje My,Rd:

1≤+Rdb

Edyyy

Rdyb

Ed

M

Mk

N

N

,

,

,,

1≤+Rdb

Edyzy

Rdzb

Ed

M

Mk

N

N

,

,

,,

1 MyyRdyb fAN γχ /,, = 1 MyzRdzb fAN γχ /,, = 1 MyelyLTRdb fWM γχ /,, =

i

1 MyelyRdy fWM γ/,, =


Uprošćene interakcione formule za savijanje u ravni - preseci klase 4

Ako poprečni presek elementa nije torziono osetljiv, ili ako je sprečeno bočno-torziono izvijanje, onda treba usvojiti da je: χLT=1,0.

Kada nema pomeranja težišta efektivnog poprečnog preseka Aeff u odnosu na bruto presek (u slučaju obostrano simetričnih preseka), dodatni momenat savijanja je: ΔMy,Ed = 0.


1≤+

+Rdb

EdyEdyyy

Rdyb

Ed

M

MMk

N

N

,

,,

,,

Δ1≤

++

Rdb

EdyEdyzy

Rdzb

Ed

M

MMk

N

N

,

,,

,,

Δ

1 MyeffyRdyb fAN γχ /,, = 1 MyeffzRdzb fAN γχ /,, =

1 MyyeffLTRdb fWM γχ /., =

Keoficijenti interakcije kij

– Koeficijenti interakcije kij mogu alternativno da se odrede na dva načina, prema Prilogu A (Metoda 1), ili Prilogu B (Metoda 2) SRPS EN1993-1-1.

– Prilog A je detaljniji, precizniji, kompleksniji i komplikovaniji za primenu (razvijen od strane francuskih i belgijskih istraživača);

– Prilog B je jednostavniji za primenu (nemački i austrijski istraživači);

– Nacionalni prilog zemalja članica, definiše primenu ovih priloga.

– SRPS EN 1993-1-1/NA dozvoljava primenu oba priloga.


Određivanje koeficijenata kij prema Prilogu A

Na početku je neophodno da se odrede svi parametri koji su neophodni za pojedinačne kontrole stabilnosti: fleksiono izvijanje oko obe glavne ose inercije (Ncr,y , Ncr,z) torziono izvijanje (Ncr,T) i bočno-torziono izvijanje (Mcr).

bezdimenzionalna vitkost na bočno-torziono izvijanje elementa opterećenog konstantnim dijagramom momenata (elementarni slučaj).

LTzyLTzy χχχλλλ ,,,,,

),max(max zy λλλ =

EcrRk MM ,/=0λ

0λ


Koeficijenti kij


Pomoćni izrazi


Pomoćni izrazi - nastavak


Keficijenti Cmy Cmz CmLT


Koeficijenti uniformnog momenta Cmi,0


Proračun prema Prilogu B

– Postupak proračuna je različit za elemente koji su osetljivi na torzione deformacije i bočno-torziono izvijanje (χLT < 1,0) i one koji su neosetljivi na torzione deformacije (kod kojih je sprečeno bočno pomeranje, ili je oblik preseka neosetljiv na torziju - χLT = 1,0);

– Izrazi za koeficijente kij se razlikuju za elemente koji su osetljivi i za elemente koji su neosetljivi na torzione deformacije;

– Takođe postoje razlike u izrazima u funkciji oblika poprečnog preseka.


Torziono neosetljivi - χLT = 1,0

P8-51

Torziono osetljivi - χLT < 1,0


predavanje_8_kombinovana_naprezanja_1384770398443

Documents

Transcript of predavanje_8_kombinovana_naprezanja_1384770398443