Matematiksel Öğrenme

ÖZEL ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ

Bizi ne beklemektedir?

Öğretmenliğe öğrencilerin matematik öğrenmelerine yardımcı olma konusunda sorumluluk duygusuyla başlanır. Kafamızdaki sorular:

Öğrenciler sınıfa geldiklerinde hangi matematiksel bilgi ve öğrenmelere sahiptirler?

Hangi matematiksel bilgileri öğrenmeye ihtiyaçları vardır?

Öğretmen olarak bizden ne beklenilmektedir? Öğrenme farklılıkları olan öğrencilerin öğrenmelerini

nasıl sağlayacağım?

Öğretmenlere düşen sorumluluk nedir?

Öğretmenin kafasında bulunan sorulara cevap bulabilmesi için öğretmen olarak şu hedeflere ulaşılması gerekir;

Öğrencilerin matematiksel gerçekleri, becerileri ve kavramları öğrenmelerine yardımcı olmak

Öğrencilerin matematiksel fikirleri veya kavramları problem çözümlerine nasıl uygulayacaklarına yardımcı olmak,

Matematiğe karşı olumlu tutum oluşturmalarını sağlamak

Matematiğin Örgün eğitimdeki konumu?

İlköğretimin ilk sınıflarından başlayarak, öğretim

programlarında matematiğe geniş bir yer ayrılır.

Sınıflar ilerledikçe öğrencilerin ilgi alanları ve meslek

seçimlerine göre matematiğe ayrılan zaman bir kısım

programlarda daha da çoğalır, diğer programlarda

kısmen azalsa da, dersler arasında, matematik

dersine hemen her zaman yer verilir. Bu durum, matematiğin ne olduğuna, niçin bu kadar

önemli bulunduğuna dikkat çekmektedir.

Matematik Öğretmeni Olma

Matematik Bilgisi Öğretim Bilgisi Olumlu tutum Israr etme Değişim için hazırbulunuşluk Kendini gözden geçirme

Matematik Bilgisi

Matematik içerik bilgisine sahip olma

(toplama, bölme, basamak değeri) Kavram ve kavramlara ait özelliklerini bilme,

ayırt etme

(kare, dikdörtgen, paralelkenar) Kavramlar arasındaki ilişkileri kurma

(Kare-eşkenar dörtgen ilişkisi gibi)

Öğretim bilgisi

Öğrenmelerin farkında olma Öğrencilerin öğrenmelerini kontrol etme Öğrenmeyi artıracak öğretimsel görevler ve

stratejileri belirleme Öğrenme sürecini değerlendirme

(kavramları, yöntemi veya stratejileri)

Öğretim bilgisi

Öğrenme ortamlarında;

İnceleme,

Gerekçelendirme

Araştırma

Temsil etme

Doğrulama

Tarif etme

Varsayım

Açıklama

Çözme

Keşfetme

Tahmin etme lere yer verilmelidir.

ALAN ÖĞRETİM BİLGİSİAlan öğretim Bilgisinin Alt boyutları

Göstergeler

Öğretim stratejileri bilgisi Öğretim nasıl organize edilecek?Öğretim sırasında öğretmenin özel aksiyonlarıÖğretim sırasındaki aktiviteleriÖğretimde ihtiyaç duyulan materyallerÖzel kavramlar için gösterim şekilleri

Öğrenci anlamalarını içeren bilgi (Öğrencinin kavram bilgisi)

Öğrenci kavram yanılgılarıÖğrenci zorluklarıÖğrencilerin ön bilgileriÖğrencinin bir problemi çözerken kullandığı strateji bilgisi

Müfredat (Öğretim Programı) Bilgisi

Hedefler, müfredat kaynakları, kitap içerikleri, matematik konularının kapsamı ve sıralaması, ulusal ve yerel standartlar

Ölçme ve değerlendirme Bilgisi

Öğrenciler niçin ölçülmeli ve nasıl ölçülmeliÖlçme ile elde edilen bilgiler ne ifade ediyor?Ölçme stratejileriÖlçme sonuçlarına göre öğretmenin potansiyel tepkisi

Olumlu tutum

Olumlu tutuma sahip öğretmenlerin, öğrencilerin matematiği sevmelerine imkan tanıyacak yöntemler denemektedirler

«Matematiği asla sevmedim» fikrine sahip öğretmenler, aynı düşünceyi öğretimlerine yansıtılar.

Israr etme

Öğrenmeye katkı sağlayacak yeni yöntem ve stratejileri deneme ve sonuç alma konusunda ısrarcı olma

Yeni etkinlik örnekleri ve sınıf ortamlar tasarlama

Değişim için hazırbulunuşluk

Öğrencilerin zorlukları, belirsizliklerine karşılık vermek için süreç içerisinde matematiksel kavramları temelden almaya ve yeniden öğrenme konusunda farklı temsilleri geliştirmeye hazır olunmalıdır.

Kesirlerde bölme (ters çevirip çarpma)

Kendini gözden geçirme

Zorluklar ve başarı üzerine derinlemesine düşünme veya gelişime ihtiyaç duyulan alanlarda kendini test etme ve değerlendirme

Tecrübeli öğretmen bile olsanız öğretme süreçlerini gözden geçirmesi gerekmektedir.

UYGULAMA

KPSS Alan eğitimi sorularının uygulanması ve değerlendirilmesi ve tartışılması

MATEMATİK NEDİR?

Kendimize sormamız gereken iki önemli soru:

Matematik öğrenen ve öğreten bir rolümüz olduğunu

düşünerek biz matematikten ne anlıyoruz?

Matematik hakkındaki düşüncemiz matematik

eğitiminde neden önemlidir?

MATEMATİK NEDİR?

Matematik, örüntü ve ilişkileri araştırmaktadır.

Öğrenciler, matematiksel fikirler arasındaki ilişkilerin farkına

varması gerekmektedir.

Müfredatta yer alan kavramların birbirleriyle yakından ilişkili

olduğunu ve birbirini tamamladıklarını farkına varmasıdır.

3+2=5 ile 5-2=3 arasındaki ilişki

2+2+2+2=2.4=8 arasındaki ilişkiyi fark etmesi

Örnek Durum (sayfa 17)

7 sayısını kendisine eklerseniz 14 elde edersiniz. İlk sayıyı 1 fazlalaştırıp, ikinci sayıyı 1 azaltınca aynı cevabı elde edersiniz

Aynı durum çarpma işleminde yapılırsa ne olur?

…MATEMATİK NEDİR?

Matematik düşünme yöntemidir

Birey günlük hayatta karşılaştığı problemlerin üstesinden

gelmek için mevcut durumu analiz eder, çözüm için verileri

toplar ve bunları çözüm için belirli bir düzene koyar ve

çözüme ulaşabilir.

Olaylar arasındaki ilişkileri karşılaştırarak karar verir.

Doğru karar verme sürecine katkı sağlar

Muhakeme, varsayım, test etme, doğrulama ve genelleme

…MATEMATİK NEDİR?

Matematik bir sanattır

Bir ressamın resim çizerken kendine has yöntemleri

ve aşamaları bulunmaktadır. Resmi tamamlamak için

ressam bu süreçleri takip eder. Benzer şekilde bir

matematikçinin bir ispat yaparken izlediği yol ile

sanat yapmış sayılabilir.

…MATEMATİK NEDİR?

Matematik bir dildir.

Matematik içinde barındırdığı sembol ve işaretler

yardımıyla bir iletişim aracı olarak kullanılabilir. +,-

x, : gibi terimler bir anlam taşır.

Az çok, artma, azalma,paylaşma

2x+3 = 11

…MATEMATİK NEDİR?

Matematik bir araçtır.

Öğrenciler veya bireyler, günlük hayatta karşılaştığı

problemleri matematiksel deneyimleriyle üstesinden

gelmeye çalışır.

Hayatı kolaylaştırmaya yardımcı olur

Evreni anlamaya yardımcı olur (Geometri gibi)

Matematiğin doğası

Matematik eğitimindeki sorunlar: Öğretim programının yetersizliği, altyapı, öğretmenin niteliği, matematikçi, öğretmen ve toplum olarak matematiğe bakış.

Genel Görüş: matematiği günlük ihtiyaçlardan uzak, soyut ilke

ve prensipleri olan, ayrı ayrı öğrenilmesi zorunlu denklem ve formüllerden oluşan bir uğraş alanı

…..matematiğin doğası

Öğrenciye bu şekilde sunulan matematik öğrenci için soğuk, sevimsiz, ezberlenerek öğrenilmesi gereken bir derse dönüşmektedir.

Sonuç olarak öğrenciler matematiği her yerde kullanabilecekleri bir araç olarak değil de matematik sınavları için öğrenilmesi gereken bir ders olarak görmektedirler.

Matematik öğretimin Asıl Amacı: öğrenciye matematiksel düşünme ve matematiği bir iletişim aracı olarak kullanma becerilerini kazandırmak olmalıdır.

…..matematiğin doğası

Bu amacı gerçekleştirebilmemiz için önce öğretmenin kendisinin matematiğe doğru bakmasını ve doğru görmesini sağlamalıyız.

Şimdi matematiğin doğasını tanımamıza yardım edecek tartışma konularını sırasıyla ele alalım.

MATEMATİK BİR KEŞİF MİDİR?

Kimine göre matematik salt uygulamadan çıkmıştır. Kimine göre sezgilerin ürünüdür.

Kimine göre her ikisini içinde barındıran gizemli bir yapıya sahiptir. Kimine göre matematiğin ortaya koyduğu bilgiler, kuşku duyulmayacak

düzeyde güvenilirdir. Kimilerine göre doğruluğuna karar veremediğimiz bilgiler içermektedir.

Biz burada şu sorulara cevap vermeye çalışalım; Matematikçi ortaya koyduklarını bulmuş mudur yoksa icat mı etmiştir? Matematikçi ortaya koyduklarını sezgi yoluyla mı keşfetmiştir? Matematikçi kaşif midir? Matematikçi mucit midir?

…keşif ya da icat…

Çalışan matematikçiler kendilerini hafta boyunca platonist (eflatuncu) olarak görürler hafta sonu ise formalist olarak görürler.

Matematikçiler matematik yaparken kendilerinden emindirler. Öyle ki, onlar nesnel gerçekler ortaya çıkardıklarını düşünürler.

Ancak, ortaya koyduklarıyla ilgili felsefi açıklamalar yapmak durumunda kaldıklarında eflatuncu bir tavır alırlar.

…..keşif ya da icat…

Matematiği bir keşif olarak görenler, fizikçiler gibi olguları doğrudan gözleme ve test etme gibi şanslarının olmadığını düşünürler.

Onlara göre, matematiksel doğruları matematikçiler önce sezgileri yoluyla keşfederler sonrada onların formal ispatlarını yaparlar.

Keşif fikrini savunanlar için matematiksel nesneler ve bilgiler gerekli, mükemmel, ezeli ve ebedidir.

Bizden önce vardılar bizden sonra da var olmaya devam edecekler.

Böylece, matematik doğadaki ilişkilerin doğal bir örüntüsü olarak ortaya çıkmaktadır.

Bir başka deyişle, bu örüntüler var ve biz onları keşfediyoruz. Matematik orada hazırdır, vardır, olduğu yerde yeniden keşfedilmektedir.

….keşif ya da icat…..

Matematiği bir icat olarak gören görüşe göre ise matematiksel bilgi tamamlanmamış ve sürekli gelişme halindedir.

Böylece, onun mükemmelliğinden ve kesinliğinden söz etmek oldukça zordur.

Bu iddiayı yaparlarken matematiksel bilgilerin öznel olarak matematikçilerin kafasında rasgele ortaya çıktığını ima etmemektedirler.

Onlara göre, matematik insan zihninin bir ürünü olduğuna göre matematikçiler her zaman dünyamız için yeni temsiller icat edebilirler.

….keşif ya da icat…..

Doğada gözlediğimiz birçok ilişki doğrusal ilişkidir. Bunları denklemlerle ifade ederiz. Bu denklemlerin çözümü için oluşturulan lineer denklem sistemleri matrislerle temsil edilebilmektedir.

Matrisler bir yerde vardı da matematikçiler denklem sistemlerini çözmek için matrislerimi keşfetti? Yoksa matrisler bir kavram olarak ortaya çıktı ve matematikçilerin katkılarıyla bugünkü halini aldı?

Descardes’le birlikte matematiğin gelişmesinde dönüm noktası olan koordinat düzlemi keşif midir yoksa icat mıdır?

Gauss’un koordinat düzleminde y eksenini sanal eksen kabul ederek kompleks sayıları tanımlaması keşif midir icat mıdır?

Sonuç olarak matematik; insan zihninin çevreden aldığı esin ve ilk hareketle, soyutlama

yapmak suretiyle ürettiği bir bilgidir. Bu bilgi evrendeki diğer olayları (sistemleri) açıklamak için bir model oluşturmaktadır.

İleri düzeyde matematik yapmak için çevrenin etkisine ihtiyaç kalmamakta mevcut matematik materyal ve düşüncenin kendisi yeterli bir çevre oluşturmaktadır.

Yani bir yerden sonra matematik kendi sorularını, buna bağlı olarak da araştırmalarını ortaya koymaktadır. Bu duruma matematiğin her alanından örnekler bulmak kolaydır.

Matematik Nedir?

Örneğin "üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçaların kümesidir" tanımını biz yapmaktayız ve muhtemelen bu tanımlamanın çevreyi tanıma ve açıklamayla kısmen bir ilgisi vardır.

Ne var ki üçgende yüksekliklerin, açıortayların, kenarortayların bir noktada kesişmesi, dokuz nokta çemberinin varlığı vs. çevreden ilgisiz, mevcut matematik bilgi üzerindeki araştırma ile ortaya çıkan gerçeklerdir.

Matematiğin nasıl doğduğu, matematikçilerin

matematikle uğraşma biçimlerine bakılarak da

açıklanabilir. Matematikçilerin, matematiği kullanma ya

da matematik çalışma biçimleri iki başlık altında

düşünülebilir.

Birincisi araç veya ihtiyaç olarak matematik, ikincisi amaç

olarak matematik

Matematiksel Bilgi

1. Araç Olarak Matematik

İnsanların gereksinimleri doğrultusunda oluşmuştur. Ölçüler, dört işlem tekniği buna örnek olarak gösterilebilir.

2. Amaç Olarak Matematik

Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve doğruyu arama uğraşıdır.

Amaç Olarak Matematik

Matematik bu anlamda bir araç değil amaçtır ve yalnızca "Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve doğruyu arama uğraşıdır." Matematik bu uğraşın sonucunda ortaya çıkmıştır.

Teorik matematikçilerin benimsedikleri bu anlayışı haklı gösterecek pek çok örnek vardır. Örneğin; "x2 - 1 = 0 denkleminin çözümü vardır ve çözüm x = ±1 dir. Öyleyse x2 + 1 = 0 denkleminin de bir çözümü olmalıdır"; sezgisi sanal sayıların tanımlanmasını ve buna bağlı olarak karmaşık sayılar kümesinin kurulmasını beraberinde getirmiştir. Karmaşık sayılarda, analitik fonksiyonlar teorisini doğurmuştur.

…Amaç Olarak Matematik

Daha basit bir örnek olarak "Bir üçgende üç yüksekliğin bir noktada kesişmesi"ni göz önüne alalım. Bu sonucun her üçgen için doğru olup olmadığının araştırılması, bu düşünceyi ilginç bulan, "Acaba tüm üçgenlerde böyle mi?" diye kafa yoran insanın işidir ve matematik bu tür yaklaşımlarla üretilmiştir. Üretilen matematiğin herhangi bir ihtiyacı karşılamasının ya da kullanılıp kullanılmamasının önemi yoktur.

Yani, matematik uygun zihinsel ortamlarda, zihnin kendine bir soru sorması ile başlamaktadır. Bu soru "bilme ve anlama" diyebileceğimiz entellektüel bir duygudan kaynaklanır. Bu duygu da bir ihtiyacın sonucudur.

matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde

oluşmakta ve kendi iç devinimi ile gelişmektedir. Pratik ihtiyaçların

ürettiği matematik de vardır.

Matematiğin ilk gelişmeye başladığı yer olarak kabul edilen

Mezopotamya, Mısır ve Çin'de nehir taşmaları sonucu kaybolan

arazi sınırlarını belirleme ihtiyacı ölçmeyi ve düzlemsel şekillerin

tanınmasını, nehirin ne zaman taşacağı ise takvimle ilgili ilk bilgilerin

ortaya çıkmasını sağlamıştır.

Harplerde üstün gelebilmek, doğal afetlere karşı koyabilmek gibi

ihtiyaçlar matematiksel temellere dayanan birçok yeni buluşun

yapılmasına yol açmıştır.

Sonuç olarak matematik;

Özetle;

matematik alanında yapılan araştırmaların az bir kısmı

pratik ihtiyaçlardan, çoğu "bilme ve anlama“ tutkusundan ileri

gelmiştir ve soyuttur.

17. yy.'da Galileo, top mermilerinin parabolik bir yol izlediğini,

Kepler, gezegenlerin güneş çevresinde elips yörüngeler

çizdiklerini ortaya koymuştur.

Bunlar ve daha önce verdiğimiz örnekler göz önüne alınınca,

evrenin en ince ayrıntısından tümüne kadar bir yapılar kompleksi

olduğu, matematiğin de bu yapıların (sistemlerin)

açıklanmasında başvurulan bir bilim olduğu görülüyor.

Modern ve Klasik Matematik nedir?

Klasik matematik;

Aritmetik, cebir ve Öklid’in tanımladığı geometrik yapılar

Modern Matematik; (1960’lar)

Küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapılar yeniden tanımlanmaktadır.

Doğru: noktalar kümesi,

Çember: bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesi

Modern ve Klasik Matematik nedir?

Modern matematikte; aritmetik ve cebir aynı ders olmuştur,

Modern matematikte -, aritmetik işlemler, uzay geometrisi, logaritma gibi konular ikinci planda olurken;

Kümeler, cebirsel işlemler, olasılık ve istatistik

Okul Matematiği ve akademik matematik nedir?

Matematikçilerin uğraştığı matematik Matematiğin ulaştığı bilgi birikimi kullanılarak teorik ve

pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmak Bilme ve merak iç güdüsü Su dalgalarını ifade eden denklem oluşturma 1864 yılında Maxwell elektriği açıklayabilmek için bu

dalga denklemini kullanmıştır. Riemman’ın Euclid dışı geometrisinin uzay

hesaplamalarında kullanılması arasında da yaklaşık 100 yıl fark vardır.

Okul Matematiği ve akademik matematik nedir?

Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz? Matematik ile ilgili ne öğretelim ve onu nasıl öğretelim? Öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir

alt yapı hazırlamaktadır Matematiksel düşünme gibi becerileri olan insan

yetiştirmek Keşfetme, karar verme, mantıksal çıkarımlarda bulunma,

problem çözme becerileri kazandırma

MATEMATİĞİN GENEL AMAÇLARI

1. Öğrenci matematiğe değer vermeyi öğrenmeli

2. Öğrenci matematiksel düşünmeyi öğrenmeli

3. Öğrenci matematiksel konuşmayı öğrenmeli

4. Öğrenci iyi bir problem çözücü olarak

yetişmeli

Matematik Okullarda Niçin bir ders olarak okutulur?

Matematiğe nasıl bir anlam yüklüyoruz? Matematik Nedir?

Kendine has özellikleri olması, Güzellik, estetik, zihni geliştirmesi Matematiksel düşünme becerisi Üst düzey bilişsel beceriler

Matematikteki güzellik nedir?

Doğal sayıların sonsuz elemana sahip olması Güzellik: çift doğal sayılara denk olması P=4n+1 ifadesi güzellik midir? Yoksa iki doğal

sayının kareleri şeklinde yazılabilen asal sayılar olması mı?

1/3=4/12=9/27 olması güzellik mi? Ardışık tek sayıların yazılması mı?

Tek sayıların sırasıyla dizilişinden oluşan sayı üçgeni?