KARMAŞIK SAYILARKARMAŞIK SAYILAR Sanal sayı birimi Karmaşık sayıların eşitli

ği Karmaşık sayıların geo

metrik gösterimi Karmaşık sayılarda topl

ama ve çıkarma işlemi Karmaşık sayılarda çarp

ma işlemi Karmaşık sayıların eşlen

iği

İki Karmaşık Sayının Eşitliğiİki Karmaşık Sayının Eşitliği

a,b,c,d “” R, Z1=a+bi ve Z2=c+di olmak üzere; a + bi = c +di ve a = c ve b =d’dir.

ÖRNEK:

Z1 = 3a + 2bi - 3 ve Z2 =3 - 6İ + a + bi sayılarının eşit olabilmesi için , a ve b kaç olabilmelidir?

ÇÖZÜM: Önce, Z1 ve Z2 sayılarının gerçek ve sanal

kısımlarını belirleyelim:

Z1 = 3a-3 +2bi ve R(z) = 3a-3 ve lm(z) = 2b

Z2 = 3 + a +(b – 6)i ve R(z) = 3+a ve lm(z) = b-6 ‘dır.

Z1 = Z2 ve 3a-3 = 3+a ve 2b = b-6 bulunur.

a = 3 ve b = -6 bulunur.

Sanal sayı birimiSanal sayı birimi Tanım: –1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i= –1 veya i(kare)= -1 biçiminde gösterilir. a,b R ve i(kare) = -1 olmak üzere, a+bi biçimindeki

sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir.Karmaşık sayılar kümesi “C” ile gösterilir.

C=(a + bi / a,b R) ‘ dir. z C ve z =a + bi olmak üzere; a’ya, karmaşık sayının gerçek (reel) kısmı denir ve Re(z)=a ile gösterilir. b’ye,karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve İm(z) = b ile gösterilir. Im(z) = 0 olduğunda, z bir reel sayı olur. O halde bütün

reel sayıları, sanal kısmı sıfır olan karmaşık sayılar olarak yazabiliriz.

Karmaşık Sayıların geometrik Karmaşık Sayıların geometrik gösterimigösterimi

X+yi karmaşık sayısına, analitik düzlemde karşılık gelen noktanın koordinatları(x,y)dir.karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktalarını bire bire eşleyerek oluşturulan düzleme,karmaşık düzlem denir.Ox eksenine,reel eksen;Oy eksenine de sanal eksen adı verilir.

Karmaşık Sayılarda Toplama Karmaşık Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemiVe Çıkarma İşlemi

Z1=a+bi ve Z2=c+di olmak üzere,bu karmaşık sayıların toplamı ve farkı,

Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i ve Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i

biçiminde tanımlanır.

Yani,iki karmaşık sayının toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken; reel kısımları birbiriyle, sanal kısımlarıda birbiriyle toplanır veya çıkarılır.

Toplama İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız Toplama İşleminin Özellikleri İçin Tıklayınız

Toplama İşleminin Geometrik Toplama İşleminin Geometrik YorumuYorumu

Z1=a+bi ve Z2=c+di karmaşık sayının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A ve B diyelim.Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OEB açısı=ADC açısına olduğundan,

BE= CD= d ve OE= AD= c olur.

Bu durumda, C koordinatları,(a+b,c+d)bulunur.

O halde C noktası,

Z1+Z2=(a+b)+(c+d)i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür.

Z1+Z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AOBC paralelkenarının

dördüncü köşesi olan C noktasıdır.

Çıkarma İşleminin Geometrik Çıkarma İşleminin Geometrik YorumuYorumu

Z1=a+bi ve Z2=c+di ve

- Z2= -c -di karmaşık sayılarının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A,B ve D diyelim.Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OED açısı=AFC açısına olduğundan,

DE= CF= d ve OE= AF= c olur.

Bu durumda, C noktasının koordinatları,(a-c,b-d)bulunur.

O halde,C noktası,

Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i sayısının karmaşık düzlemdeki

görüntüsüdür.Z1-Z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AODC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.

Toplama İşleminin ÖzellikleriToplama İşleminin Özellikleri

Kapalılık Özelliği Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği Ters Eleman Özelliği Birleşme Özelliği Değişme özelliği

Kapalılık ÖzelliğiKapalılık Özelliği

z1,z2 C olmak üzere , z1=a+bi , z2=c+di ise;

z1+ z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i olur.

a,b,c,d R ise; (a+c),(b+d) R olduğundan (z1+ z2) C dir.

O halde, karmaşık sayılar kümesi,toplama işlemine göre kapalıdır.

Etkisiz(Birim)Eleman ÖzelliğiEtkisiz(Birim)Eleman Özelliği

zC, 0C olmak üzere, z1=a+bi, z2=c+di ise;

z1+ z2=(a+bi)+(0+0i) 0+z =(0+0i)+(a+bi)

=(a+0)+(b+0)i =(0+a)+(0+b)i

=a+bi =a+bi

=z =z

z+0=0+z=z olduğundan sıfır sayısı karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanıdır.

Ters Eleman ÖzelliğiTers Eleman Özelliği

ZC ve z =a+bi ise,-z =-a –bi olsun.

z+(-z)=(a+bi)+(-a –bi) (-z)+z =(-a-bi)+(a+bi)

=(a-a)+(b-b)i =(-a+a)+(-b+b)i

=0+0i =0+0i

=0 =0

z+(-z)=(-z)+z =0 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır.

z =a+bi sayısının toplama işlemine göre tersi –z = -a –bi dir.

Değişme ÖzelliğiDeğişme Özelliği

z1+z2C ve z1=a+bi, z2=c+di olsun.

z1+z2 =(a+bi)+(c+di) z1+z2 =(c+di)+(a+bi) =(a+c)+(b+d)i =(c+a)+(b+d)i

z1+z2 = z2+z1 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

O halde (C,+) sistemi bir değişmeli sistemdir.

Birleşme Özelliği Birleşme Özelliği

z1+z2+z3 ve z1=a+bi z2=c+di z3=e+fi olsun.

(z1+ z2)+ z3=[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)

=[(a+c)+(b+d)i]+(e+fi) =[(a+c)+e] +[ (b+d)+f]i dir.

z1+(z2+ z3)=(a+bi)+[(c+di)]+(e+fi)]

=(a+bi)+[(c+e)]+(d+f)i] =[a+(c+e)]+[b+(d+f)]i dir.

(z1+ z2)+ z3= z1+(z2+ z3) olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

(C,+)sisteminin; kapalılık,etkisiz eleman,ters eleman, ve birleşme özellikleri olduğundan,bu sistem bir gruptur.

Karmaşık Sayının Eşleniği Karmaşık Sayının Eşleniği

a+bi ve a-bi karmaşık sayılarından birine,diğerinin eşleniği denir.z karmaşık sayısının

eşleniği z ile gösterilir.Karmaşık düzlemde,bir z’nin eşleniği

reel eksen(apsise)göre simetriktirler.

a,b,c R a 0 koşuluyla ax+bx+c=0 denkleminin köklerinden biri z = k+pi ise

diğeri z =k-pi’dir.

Çarpma İşlemiÇarpma İşlemi

z1,z2 C, z1=a+bi ve z2=c+di olmak üzere,bu karmaşık sayıların çarpımı,

z1.z2=(a+bi).(c+di) = a(c+di)+bi(c+di)

=ac+adi +bci +bd(ikare) dir.(ikare) yerine –1 yazarsak;

z1.z2 =(ac+bd)+(ad+bc) olur.

Çarpma işleminin özellikleri için tıklayınız!!!!!!

Çarpma İşleminin Özellikleri Çarpma İşleminin Özellikleri

Kapalılık özelliğiEtkisiz(birim)eleman özelliğiTers eleman özelliğiDeğişme özelliğiBirleşme özelliğiDağılma özelliği

Kapalılık ÖzelliğiKapalılık Özelliği

z1,z2C olmak üzere z1=a+bi z2=c+di ise

z1. z2=(a+bi) (c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i olur. a,b,c,d,R ise (ac-bd) R ve (ad+bc)R

olduğundan;

z1. z2= C bulunur. O halde karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine

göre kapalıdır.

Etkisiz(Birim)Eleman ÖzelliğiEtkisiz(Birim)Eleman Özelliği

zC 1C ve z=a+bi,1=1+0i olsun.

z.1=a+bi).(1+0i)

=(a.1- b.0)+(a.0+b.1)i

=a+bi=z olur.

z.1=z olduğundan,karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre birim(etkisiz)elemanı,

1= 1+0i dir.

Ters Eleman ÖzelliğiTers Eleman Özelliği

ZC karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi

z(-1’incikuvveti)olsun.

z.z(-1’incikuvveti)=1dir.

bunu denkleme dökersek sıfır hariç, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre

her elemanın tersi vardır.

Değişme ÖzelliğiDeğişme Özelliği

z1,z2C, z1=a+bi z2=c+di olsun.

z1. z2=(a+bi) (c+di) z1. z2=(c+di) (a+bi)

=(ac-bd)+(ad+bc)i =(ca-bd)+(cb+da)i olur.

z1. z2= z2. z1 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işleminin değişme özelliği vardır.