MATEMAT‹K 8

1

ÜN‹TE I

A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiEK‹LLERa) Fraktallarb) Yans›yan ve Dönen fiekiller

ALIfiTIRMALARÖZETTEST I-I

B) ÜSLÜ SAYILARa) Bir Tam Say›n›n Negatif Kuvvetib) Tekrarl› Çarp›mlar› Üslü Say› Olarak Yazmac) Üslü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleriç) Bilimsel Gösterim

ALIfiTIRMALARÖZETTEST I-II

C) H‹STOGRAMa) Histogram Oluflturma

ALIfiTIRMALARÖZETTEST I-III

MATEMAT‹K 8

2

Bu bölümü kavrayabilmek için;* Aç›klamalar› dikkatle okuyunuz* Örnekleri dikkatlice inceleyiniz ve 8. s›n›f matematik ders kitaplar›ndan çözülmüfl

örnekleri anlamaya çal›fl›n›z.* Uyar›lar› dikkate al›n›z. * Konularla ilgili de¤iflik kaynaklardan sorular çözünüz.* Çözemedi¤iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard›m al›n›z.

Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;* Do¤ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla edebilecek, çizebilecek ve

bu örüntülerden fraktal olanlar› belirleyebilecek,* Koordinat düzleminde bir çokgenin eksenlerden birine göre yans›ma, her hangi bir

do¤ru boyunca öteleme ve orijin etraf›ndaki dönme alt›ndaki görüntülerini belirleyebilecek,

* fiekillerin ötelemeli yans›mas›n› belirleyebilecek ve infla edebilecek, * Bir tam say›n›n negatif kuvvetini belirleyebilecek ve rasyonel say› olarak ifade

edebilecek, * Ondal›k kesirlerin veya rasyonel say›lar›n kendileriyle tekrarl› çarp›m›n› üslü say›

olarak yazabilecek ve de¤erini belirleyebilecek,* Üslü say›larla çarpma ve bölme ifllemlerini yapabilecek,* Çok büyük ve çok küçük pozitif say›lar› bilimsel gösterimle ifade edebilecek, * Histogram oluflturabilecek ve yorumlayabileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ✍

❂

MATEMAT‹K 8

3

ÜN‹TE IFRAKTALLARDo¤ru, çokgen ve çember modelleri hal›, kilim ve duvar ka¤›d› desenleri oluflturmada

s›kça kullan›l›r.

Afla¤›da verilen kilim desenini oluflturan flekillerdeki örüntüler nelerdir?

ÖRNEK Afla¤›da bir eflkenar üçgenin kenarlar›n›n oran›nda küçültülmesiyle oluflturulan

örüntü modeli verilmifltir. ‹nceleyiniz.

Bir fleklin orant›l› olarak küçültülmüfl yada büyütülmüflleri ile infla edilen örüntüler“fraktal” olarak adland›r›l›r.

12

MATEMAT‹K 8

4

ÖRNEKAfla¤›da bir fraktal örne¤i verilmifltir. 1. flekilde bir eflkenar üçgen çizilmifltir. Bu

üçgenin her kenar› üç efl parçaya ayr›l›p her birinin ortas›ndaki parçadan d›flar› do¤rubakan eflkenar üçgen çizilmifltir. Bu ifllem devam ettirildi¤inde 3. flekil, ve 4. flekil eldeedilir.

ÖRNEKBir çember çizilir. Çember üzerinde eflit aral›klarla 12 nokta belirlenir. Noktalar

üçer üçer birlefltirilerek eflkenar üçgenler oluflturulur.

ÖRNEK Afla¤›da verilen fraktal örneklerini inceleyiniz.

1. şekil 2. şekil 3. şekil 4. şekil

MATEMAT‹K 8

5

ALIfiTIRMALAR1. Afla¤›daki örüntü devam ettirildi¤inde oluflan flekli aç›klay›n›z.

2. Afla¤›daki flekillerin efl ve benzerlerini kullanarak farkl› örüntüler oluflturunuz. Bu örüntülerden fraktal olanlar› belirleyiniz.

3. Afla¤›daki fraktal örne¤ini bir ad›m daha devam ettiriniz.

MATEMAT‹K 8

6

5. Do¤ada bulunan fraktallardan örnekler bulunuz.

YANSIYAN VE DÖNEN fiEK‹LLER Afla¤›da verilen flekillerdeki yans›malar› inceleyiniz.

4. Afla¤›da verilen fraktallar›n nas›l elde edildi¤ini aç›klay›n›z.

MATEMAT‹K 8

7

ÖRNEK Köfle noktalar›n›n koordinatlar› K (1, 3), L (2, 1) ve M (4, 2) olan KLM üçgenini

koordinat ekseninde çizelim. Daha sonra KLM üçgeninin x eksenine göre yans›mas›n›çizelim.

K, L ve M noktalar›n›n x eksenine göre yans›malar› K′ (1, -3), L′(2, -1) ve M′(4, -2) dir.

Her iki fleklin koordinatlar› aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim.

K (1, 3) K′ (1, -3)L (2, 1) L′ (2, -1)M (4, 2) M′ (4, -2)

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin x eksenine göre yans›mas›alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin ordinat› (-1) ile çarp›l›r.

Bu durum cebirsel olarak (x,y) (x,-y) fleklinde gösterilir.

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin y eksenine göre yans›mas›alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin apsisi (-1) ile çarp›l›r.

Bu durum cebirsel olarak (x,y) (-x, y) fleklinde gösterilir.

➠

MATEMAT‹K 8

8

ÇÖZÜM Kesiflimleri afla¤›da görüldü¤ü gibi kenar uzunluklar› 2 birim ve 4 birim olan

dikdörtgendir.

Alan› = 4.2 = 8 birimkare olarak bulunur.

ÖRNEK Afla¤›daki flekilde verilen KLMN dörtgeninin y eksenine göre yans›mas› ile PRST

dörtgeninin kesifliminin alan› kaç birimkaredir?

MATEMAT‹K 8

9

ÖRNEK Köfle noktalar›n›n koordinatlar› P (1, 1), R (3, 1) , S (2, 3) ve T (1, 3) olan PRST

dik yamu¤unu x ekseninde 2 birim sa¤a, y ekseninde 5 birim afla¤›ya öteleyerek görün-tüsünü çizelim.

PRST dik yamu¤unun ve P′R′S′T′ dik yamu¤unun koordinatlar›n› yazal›m.

P (1, 1) P′(3, -4)R (3, 1) R′(5, -4)S (2, 3) S′(4, -2)T (1, 3) T′(3, -2)

Öteleme sonucunda PRST yamu¤unun köfle noktas›n›n apsisine 2 eklenir, ordi-nat›ndan 5 ç›kar›l›r. Bu durum cebirsel olarak (x, y) (x + 2, y + (-5)) fleklindeifade edilir.

Do¤ruya göre öteleme yap›l›rken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde vebelirtilen birim kadar, bütün noktalar paralel ötelenir.➠

MATEMAT‹K 8

10

ÖRNEK Köfle noktalar›n›n koordinatlar› D(0, 1), E (0, 3) ve F(2, 0) olan DEF üçgeni çizelim.

Çizdi¤imiz üçgeni orijin etraf›nda saat yönünde 90° döndürelim ve oluflan flekliD′E′F′ fleklinde adland›ral›m.

DEF ve D′E′F′ üçgenlerinin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› karfl›laflt›ral›m.

90° dönmeD(0, 1) D′(1, 0)E(0, 3) E′(3, 0)F(2, 0) F′(0, -2)

Sizde; D′E′F′ üçgenini orijin etraf›nda saat yönünde 90° döndürün ve oluflan flekli

D″E″F″ fleklinde adland›r›n. DEF üçgeni kaç derece döndürülürse D″E″F″ üçgenielde edilir?

MATEMAT‹K 8

11

ÖRNEK Afla¤›daki flekli orijin etraf›nda üç defa saat yönünde 90° döndürelim. Oluflan

flekillerin koordinatlar› aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim.

fiekli orijin etraf›nda üç defa saat yönünde 90° döndürdü¤ümüzde afla¤›daki fleklielde ederiz.

Geometrik flekillerin döndürülmesi ile afla¤›daki gibi süsleme modelleri oluflturabiliriz. fieklin döndürülmesiyle koordinatlar›n nas›l de¤iflti¤ini inceleyelim.

MATEMAT‹K 8

12

fieklin D noktas› orijin üzerinde bulunmaktad›r. fiekil orijin etraf›nda döndü-rüldü¤ünden D noktas›n›n koordinatlar› de¤iflmez.

A(-1, 2) A′(2, 1) A′′(1, -2) A′″(-2, -1)B(0, 3) B′(3, 0) B′′(0, -3) B′″(-3, 0)C(1, 2) C′(2, -1) C′′(-1, -2) C′″(-2, 1)

Koordinatlar›ndan biri (a, b) olan bir flekli, orijin etraf›nda 90° döndürdü¤ümüzde(a, b) koordinat› (b, -a), 180° döndürdü¤ümüzde (a, b) koordinat› (-a, -b) olur. 360°döndürdü¤ümüzde ise (a, b) koordinat› de¤iflmez.

ÖRNEK Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1, 2), B(2, 3) ve C(3, 0) olan üçgeni orijin

etraf›nda saat yönünde 90° ve 180° döndürelim. Dönme hareketi sonucunda oluflan yenifleklin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› belirleyelim.

ABC üçgenini saat yönünde 90° döndürdü¤ümüzde A′B′C′ üçgeni oluflur.A′B′C′ üçgeni ile ABC üçgeninin koordinatlar›n› karfl›laflt›ral›m.

A(1, 2) A′(2, -1)B(2, 3) B′(3, -2)C(3, 0) C′(0, -3)

1. dönme 2. dönme 3. dönme

➠

1. dönme

MATEMAT‹K 8

13

ABC üçgenini saat yönünde 180° döndürdü¤ümüzde A′′B′′C′′ üçgeni oluflur.

A′′B′′C′′ üçgeni ile ABC üçgeninin koordinatlar›n› karfl›laflt›ral›m.

A(1, 2) A′′(-1, -2)B(2, 3) B′′(-2,-3)C(3, 0) C′′(-3, 0)

ÖRNEK Afla¤›daki flekli d do¤rusu boyunca 4 birim sa¤a öteleyip yans›mas›n› çizelim.

Afla¤›daki fleklin önce d do¤rusuna göre yans›mas›n› çizip daha sonra do¤ruboyunca 4 birim sa¤a öteleyelim.

Bir fleklin, bir do¤ru boyunca yans›mas›ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesindensonra yans›mas› ayn›d›r.

Ötelemeli yans›mada hiçbir nokta ve yans›ma do¤rusundan baflka hiçbir do¤rusabit kalmaz.

2. dönme

➠

MATEMAT‹K 8

14

ALIfiTIRMALAR1. Afla¤›daki koordinat düzleminde verilen fleklin x eksenine göre yans›mas›n›

çiziniz.

2. Afla¤›daki koordinat düzleminde verilen ABCD yamu¤unun y eksenine göre yans›mas›n› çiziniz.

3. Afla¤›daki flekilde verilen ABCD dörtgeninin y eksenine göre yans›mas› ve EFGH dörtgeninin x eksenine göre yans›mas›n›n kesifliminin alan› kaç birimkaredir?

MATEMAT‹K 8

15

4. Afla¤›daki grafiklerden hangisinde öteleme, hangisinde yans›ma oldu¤unu belirle yiniz.

5. ABC üçgeni 7 birim afla¤›ya ötelenerek A′B′C′ üçgeni oluflturuluyor. A′B′C′üçgeninin y eksenine göre yans›mas› alt›ndaki görüntüsünün koordinatlar›n› yaz›n›z.

MATEMAT‹K 8

16

6. Afla¤›daki tabloya göre, a, b ve c noktalar›n› bulunuz.

7. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1, 1), B(1, 3), C(3, 3) ve D(4, 1) olan ABCD yamu¤u y ekseninde 3 birim afla¤›ya, x ekseninde 4 birim sola öteleniyor. Bu yamu¤un görüntüsünü çiziniz ve köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

8. Afla¤›daki CEM üçgeninin saat yönünde, orijin etraf›nda 90° döndürülmesiyle oluflan C′E′M′ üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

9. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› P (-2, 3), R(-1, 6) ve S(1, 5) olan PRS üçgeni orijin etraf›nda 180° döndürülüyor. Oluflan P′R′S′ üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› belirleyiniz.

10. Afla¤›daki flekilde belirtilen birim kadar, d do¤rusu boyunca ötelemeli yans›mas›n› çiziniz.

DEF üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar›

DEF üçgeninin x eksenine göre yans›mas›n›nköfle noktalar›n›n koordinatlar›

D(3, 0) D′(3, 0)

E(a, 0) E′(4, 0)

F(2, 3) F′(b, c)

MATEMAT‹K 8

17

ÖZETBir fleklin orant›l› olarak küçültülmüfl yada büyültülmüflleri ile infla edilen örün-

tüler “fraktal” olarak adland›r›l›r.

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin x eksenine göre yans›mas›alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin ordinat› (-1) ile çarp›l›r. Bu durum cebirsel olarak(x, y) → (x, -y) fleklinde gösterilir.

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir fleklin y eksenine göre yans›mas›alt›ndaki görüntüsü bulunurken fleklin apsisi (-1) ile çarp›l›r. Bu durumda cebirselolarak (x, y) → (-x, -y) fleklinde gösterilir.

Do¤ruya göre öteleme yap›l›rken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde vebelirtilen birim kadar bütün noktalar paralel ötelenir.

Koordinatlar›ndan biri (a, b) olan ve bir flekli, orijin etraf›nda 90°döndürdürdü¤ümüzde (a, b) koordinat› (b, -a), 180° dördürdü¤ümüzde (a, b) koordinat›(-a, -b) olur. 360° döndürdü¤ümüzde ise (a, b) koordinat› de¤iflmez.

Bir fleklin, bir do¤ru boyunca yans›mas›ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesindensonra yans›mas› ayn›d›r.

Ötelemeli yans›mada hiçbir nokta ve yans›ma do¤rusundan baflka hiçbir do¤rusabit kalmaz.

MATEMAT‹K 8

18

✎ TEST I-I1.

Yukardaki örüntünün 4.ad›m›nda gelmesi gereken flekil afla¤›dakilerden hangisidir?

2.

Yukardaki fraktal örne¤i bir ad›m daha devam ettirildi¤inde oluflan flekil afla¤›dakilerden hangisidir?

MATEMAT‹K 8

19

3. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› K(2, 2), L(2, 4), M(6, 5) ve N(6, 2) olan KLMN dörtgenin y eksenine göre yans›mas› olan K′L′M′N′ dörtgeninin koordinatlar› nedir?

A) K′(-2, 2) , L′(-2, 4) , M′(-6, 5) N′(-6, 2)B) K′(2, -2) , L′(2, -4) , M′(6, -5) N′(6, -2)C) K′(2, 2) , L′(4, 2) , M′(5, 6) N′(2, 6)D) K′(2, 0) , L′(2, -2) , M′(6, 1) N′(6, 4)

4. Afla¤›daki flekle göre S′R′T′ üçgeni hangi yönde ve kaç birim ötelenerek elde e d i l m i fl t i r ?

A) 2 birim sa¤a, 3 birim afla¤›yaB) 5 birim sa¤a, 3 birim afla¤›yaC) 2 birim sa¤a, 5 birim afla¤›yaD) 5 birim sola, 5 birim afla¤›ya

MATEMAT‹K 8

20

5.

6. Afla¤›dakilerden hangisi köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1,-1), B(2,-3) ve C(4, -1)olarak verilen ABC üçgeninin x eksenine göre yans›mas› olan A′B′C′ üçgenidir?

Yukar›daki flekil, afla¤›daki flekillerden hangisinin 4 birim sa¤a, 3 birim yukar› ötelenmesi ile oluflan görüntüsüdür?

MATEMAT‹K 8

21

7.

Yukar›daki fleklin 6 birim sa¤a, 3 birim afla¤›ya ötelenmesi ile oluflan görüntüsü afla¤›dakilerden hangisidir?

8. Köfle noktalar›n›n koordinatlar› M(1, 2), N(2, 3) ve R(4, 1) olan MNR üçgeni orijin etraf›nda saat yönünde 90° döndürülüyor. Oluflan M′N′R′ üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar› nedir?

A) M′(2, -1) , N′(3, -2), R′(1, -4)B) M′(2, 1) , N′(3, 2), R′(1, 4)C) M′(-1, -2), N′(-2, -3), R′(-4, -1)D) M′(-2, -1), N′(-3, -2), R′(-1, -4)

MATEMAT‹K 8

22

9. ABC üçgeninin saat yönünde orijin etraf›nda 180° dönme alt›ndaki görüntüsü A′B′C′ üçgenidir. ABC üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar› nedir?

A) A(3, -4) , B(3, -1), C(1, -1)B) A(4, -3) , B(-1, -3), C(-1, -1)C) A(3, -4) , B(3, -1), C(1, -1)D) A(4, -3) , B(1, -3), C(1, -1)

10. Afla¤›daki grafiklerden hangisi yans›mad›r?

➠

MATEMAT‹K 8

23

ÜSLÜ SAYILARTam Say›lar›n Kuvvetleri

Yukar›daki örüntüyü inceledi¤imizde her bir ad›m 2’ye bölünerek 2 say›s›n›nnegatif kuvvetlerine ulafl›lm›flt›r.

ÖRNEK Afla¤›da verilen negatif kuvvetli tam say›lar›n de¤erlerini rasyonel say› olarak

yazal›m.

a) 3-1

b) 4-2

c) 5-3

d) 10-4

25 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32 24 = 2 . 2 . 2. 2 = 16 23 = 2. 2. 2 = 8 22 = 2. 2 = 4 21 = 2 20 = 1 2-1 = 1

21 = 1

2

2-2 = 1

22 = 1

4

2-3 = 1

23 = 1

8

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

a ≠ 0 olmak üzere, bir a tamsay›s›n›n n. dereceden negatif kuvveti yani

a-n nin de¤eri 1an dir.

a -1 = 1a , a -2 = 1a 2

, a -3 = 1a 3

,..., a -n = 1a n dir .

MATEMAT‹K 8

24

ÇÖZÜM

a) 3-1 = 131

= 13

b) 4-2 = 142

= 14

. 14

= 116

c) 5-3 = 153

= 15

. 15

. 15

= 1125

d) 10-4 = 1104

= 110

. 110

. 110

. 110

= 110 000

10-3 = 1103

= 11000

=0,001

3x10-2 = 3x 1102

= 3x 1100

= 3100

= 0,03

8x -4 -2 = 8x 1-4 2

= 8x 1-4 -4

= 816

= 12

= 0,5

23 x 23 -1 = 23x 123

= 23 x 123

= 1

= 3 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 + 5 x 110

+ 9 x 1100

+ 3 x 11000

+ 2 x 110 000

ÖRNEK10-3 , 3x 10-2 , 8 x (-4)-2 , 23 x (23)-1 say›lar›n›n de¤erlerini bulal›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK348,5932 ondal›k kesrini 10 say›s›n›n kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

ÇÖZÜM 348,5932 = 3 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 + 5 x 0,1 + 9 x 0,01 + 3 x 0,001 + 2 x 0,0001

= 2 x 102 + 4 x 101 + 8 x 100 + 5 x 10-1 + 9 x 10-2 + 3 x 10-3 + 2 x 10-4

MATEMAT‹K 8

25

ÖRNEK Çözümlenmifl hali 3 x 103 + 6 x 102 + 4 x 100 + 5 x 10-1 + 2 x 10-2 + 9 x 10-4 olan

rasyonel say›y› bulal›m.

ÇÖZÜM 3 x 103 + 6 x102 + 4 x 100 + 5 x 10-1 + 2 x 10-2 + 9 x 10-4

= 3 x 1000 + 6 x 100+ 4 x 1 + 5 x 0,1 + 2 x 0,01 + 9 x 0,0001= 3000 + 600 + 4 + 0,5 + 0,02 + 0,0009= 3604 + 0,5209= 3604,5209

ÖZELL‹KLER1. a. Pozitif say›lar›n tüm kuvvetleri pozitiftir.

b. Negatif say›lar›n çift kuvvteleri pozitiftir.

c. Negatif say›lar›n tek kuvvetleri negatiftir.

53 = 5 . 5 . 5 = 125

15

2= 1

5 . 1

5 = 1

25

3-3 = 133

= 13. 3. 3

= 127

- 2 3 = -2 . -2 . -2 = - 8

-2 -5 = 1-2 . -2 . -2 . -2 . -2

= - 132

- 12

3= - 1

2 . - 1

2 . - 1

2 = - 1

8

-3 2 = -3 . -3 = 9

-3 4 = -3 . -3 . -3 . -3 = 81

-3 -2 = 1-3 2

= 1-3 . -3

= 19

- 13

4 = - 1

3 . - 1

3 . - 1

3 . - 1

3 = 1

81

MATEMAT‹K 8

26

➠Pozitif bir tam say›n›n tek ve çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir tam say›n›n

kuvveti tek ise sonuç negatif tam say›, çift ise sonuç pozitif tam say› olur.

ÖRNEK Tekrarl› çarp›mlar› verilen ondal›k kesir ve rasyonel say›lar› üslü olarak yazal›m ve

de¤erlerini belirleyelim.

a) (0,2) . (0,2) = (0,2)2 = 0,04b) (0,3) . (0,3) . (0,3) = (0,3)3 = 0,027c) (-0,5) . (-0,5). (-0,5) = ( -0,5)3 = -0,125

2. a. S›f›rdan farkl› bir reel say›n›n s›f›r›nc› kuvveti 1’dir.

b. 1 say›s›n›n bütün kuvvetleri 1 dir.

c. Bütün say›lar›n 1. kuvvetleri say›n›n kendisine eflittir.

d) 34

.34

. 34

. 34

= 34

4 = 34

44 = 81

256

e ) - 12

. - 12

. - 12

= - 12

3 =

-1 3

23 = - 1

8

50 = 1 , 15

0 = 1 0,005 0 = 1

11 = 1 15= 1 , 1-6 = 1 1-7 = 1

11 = 1, 13

1 = 1

3 , - 4

51 = - 4

5

MATEMAT‹K 8

27

a) 2-3 = 1π

b) 19

= π-2 c) 125 = 5π

ç) 136

= 6π d) 110 000

= 10π e) 8-2 = 1π

a) 19

... 32

c) 4-2 ... 116

e) 103 ... 310

b) 32... 23

d) -2 4 ... -24

f) -3 3 ... 33

B = 110

. 110

. 110

oldu¤una göre, A

B oran› kaçt›r?

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›da verilen üslü ifadelerin de¤erlerini bulunuz.

a) 3-4

b) (-3)-3

c) 4-3

d) (-4)-2

2. 10 say›s› (-10)-1 say›s›na eflit midir? Neden?

3. Afla¤›daki eflitliklerde “π“ yerine yaz›lmas› gereken say›lar› bulunuz.

4. Afla¤›daki ondal›k kesirleri 10 say›s›n›n kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.

a) 32,3245b) 21,405c) 18,049d) 604,007

5. Afla¤›daki boflluklara “>, <, =” sembollerinden uygun olan›n› yaz›n›z.

7. Afla¤›daki üslü say›lar› ifllem yapmadan ondal›k kesir olarak yaz›n›z.

a) 10-2

b) -10-4

c) (-10)-2

d) (-10)-3

6. A = (-0,1) . (-0,1) . (-0,1) . (-0,1)

MATEMAT‹K 8

➠

28

ÜSLÜ SAYILARLA ‹fiLEMLERÖRNEKAfla¤›daki tabloyu inceleyiniz ve boflluklar› doldurunuz.

Çarpma Çarp›m Çarp›m›n Üslü gösterimi

101.101 100 102

101.102 1000 103

101.103 10 000 104

101.104 100 000 105

102.103 100 000 105

102.104 1 000 000 106

103.104 ... ...

104.105 ... ...

Her bir çarpma ifllemi ile çarp›m›n üslü gösterimi aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?

1025 say›s›n› hangi say› ile çarparsak sonuç 1032 olur?

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile çarpma ifllemi yap›l›rken ortak taban çarp›ma tabanolarak yaz›l›r. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yaz›l›r.

am . an = am+n

ÖRNEK Afla¤›daki çarpma ifllemlerini inceleyiniz.

a) 105. 103 = 105+3 = 108

b) 27 . 23 = 27+3 = 210

c) 38. 37 = 38+7 = 315

ç) 54 . 5-2 = 54 + (-2) = 52

d) 45. 2-4 = (22)5 . 2-4 = 210 . 2-4 = 210 + (-4) = 26

e) 105 . 107 . 1010 = 105 + 7 + 10 = 1022

f) 25. 3-4 . 2-4 . 36 = 25 + (-4) . 3(-4) + 6 = 21 . 32 = 2 . 9 = 18

➠

MATEMAT‹K 8

29

ç) 107

103 = 107 - 3 = 104

d) 13

4 : 1

3

-7 = 3-1

4 : 3-1

-7 = 3-4 : 37 = 3-4 - 7 = 3-11

e) 32 .57

3-2 .56 = 32 - -2 . 57 - 6 = 34 . 5 = 81 . 5 = 405

Bölme Bölüm Bölümün Üslü gösterimi

101 : 101 1 100

102 : 101 10 101

103 : 101 100 102

104 : 101 1000 103

105 : 102 1000 103

106 : 102 10 000 104

107 : 102 ... ...

108 : 103 ... ...

109 : 105 ... ...

ÖRNEK Afla¤›daki tabloyu inceleyiniz ve boflluklar› doldurunuz.

Her bir bölme ifllemi ile bölümün üslü gösterimi aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?

1032 say›s›n› hangi say› ile bölersek sonuç 1024 olur?

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile bölme ifllemi yap›l›rken ortak taban bölümetaban olarak yaz›l›r. Bölünenin (pay›n) üssünden bölenin (paydan›n) üssü ç›kar›larakortak tabana üs olarak yaz›l›r.am : an = am-n

ÖRNEK Afla¤›daki bölme ifllemlerini inceleyiniz.a) 25 : 22 = 25-2 = 2b) 38 : 34 = 38-4 = 34

c) 58

52 = 58 - 2 = 56

MATEMAT‹K 8

30

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ÖRNEK85 say›s›n›n yar›s› kaçt›r?

ÇÖZÜM

ALIfiTIRMALAR1. Afla¤›daki ifllemleri yap›n›z.

2. Afla¤›daki ifadelerde “π” yerine yaz›lmas› gereken say›lar› bulunuz.

3. Afla¤›daki ifadelerde ifllemleri yap›n›z.

27-2 . 33

9-2 iflleminin sonucu kaçt›r?

27-2.33

9-2 =

33-2

. 33

32-2

= 3-6.33

3- 4 = 3

-6 + 3

3-4 = 3

-3

3-4 = 3-3 + 4 = 3'tür.

85

2 = 23 5

2 = 2

15

2 = 215 - 1 = 214 tür.

a) 23 . 25 b) 3-4 . 3-7 c) 273

-3 4 d) 197

192

a) 107 . 10π= 109 b) 38 . 3-3= 3π c) 45 : 4π = 43 d) 5π: 5-8 = 5-12

a) 27. 43

82 b) 5

-3 . 254 1252

c) 34 . 3-7 272

d) 53. 52

52. 5-4

4. 64 . 2-4 iflleminin sonucunu bulunuz. 5. 34 . 9-4 . 273 iflleminin sonucunu bulunuz.

MATEMAT‹K 8

31

❂

ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK POZ‹T‹F SAYILAR

ÖRNEKMerkür’ün Günefl’e olan uzakl›¤› : 57 900 000 km Ay ile Dünya aras›ndaki uzakl›k : 384 400 000 mAIDS virüsünün uzunlu¤u: 0,00011 mmGüneflin yar›çap›n›n uzunlu¤u: 700 000 kmYukar›daki say›sal verileri bilimsel gösterimle ifade edelim.

Bir say›y› bilimsel gösterimle ifade edebilmek için o say›y›, çarpanlar›ndan biri1 ile 10 aras›nda, di¤eri 10’un kuvveti olacak flekilde iki say›n›n çarp›m› fleklinde yaz-mam›z gerekir.

Buna göre;Merkür’ün Günefl’e olan uzakl›¤› : 57 900 000 km = 5,79 x 107 km Ay ile Dünya aras›ndaki uzakl›k : 384 400 000 = 3,844 x 108 mAIDS virüsünün uzunlu¤u : 0,00011 mm = 1,1x 10-4 mm Güneflin yar›çap›n›n uzunlu¤u: 700 000 km = 7 x 105 km olarak bilimsel biçimde

göstermifl oluruz.

a bir gerçek say›, 1 ≤ a ≤ 10 ve n ∈ Z olmak üzere a x 10n gösterimi “bilimselgösterim”dir.

ÖRNEK Afla¤›daki say›lar› bilimsel olarak gösterelim.

a) 6 000 000b) 32 000 000c) 0,000072d) 0,0000018

ÇÖZÜMa) 6 000 000 = 6 x 106

b) 32 000 000 = 3,2 x 107

c) 0,000072 = 7,2 x 10-5

d) 0,0000018 = 1,8 x 10-6

ALIfiTIRMALAR1. Afla¤›daki say›lar› bilimsel gösterimle yaz›n›z. a) 28 000 000 000b) 202 000 000

2. Satürn gezegeninin günefle olan uzakl›¤› 1 430 000 000 km’dir. Bunu bilimsel gösterimle yaz›n›z.

MATEMAT‹K 8

32

ÖZETa ≠ 0 olmak üzere, bir a tam say›s›n›n n. dereceden negatif kuvveti, yani an nin

de¤eri

Pozitif bir tam say›n›n tek ve çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir tam say›n›nkuvveti tek ise sonuç negatif tam say›, çift ise sonuç pozitif tam say› olur.

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile çarpma ifllemi yap›l›rken ortak taban çarp›mataban olarak yaz›l›r. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yaz›l›r. am . an = am+n

Tabanlar› ayn› olan üslü ifadeler ile bölme ifllemi yap›l›rken ortak taban bölümetaban olarak yaz›l›r. Pay›n üssünden paydan›n üssü ç›kar›larak ortak tabana üs olarakyaz›l›r.

Bir say›n›n bilimsel gösterimi a x 10n fleklindedir.

(a say›s› 1 ≤ a < 10 olacak flekilde bir rasyonel say›, n ise bir tam say›d›r.)

1an dir.

a-1 = 1a , a-2 = 1a2

, a-3 = 1a3

, ... a-n = 1an dir.

am

an = am - n

MATEMAT‹K 8

33

TEST I-II1. 2-5 ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?

3. Afla¤›dakilerden hangisinin sonucu negatif bir say›d›r?

A) 2-4 B) (-2)-6 C) -34 D) -(-3)3

4. Afla¤›daki ifllemlerden hangisinin sonucu di¤erlerinden farkl›d›r?

5. Afla¤›daki eflitliklerden hangisi yanl›flt›r?

6.

A) -3 B) -1 C) 1 D) 3

7. Afla¤›daki üslü ifadelerden hangisi 1’e eflittir?

A)(-1)2001 B)- (-1)2000 C) (-1205)0 D) (-2300)-1

8. 421 . 4-21 iflleminin sonucu kaçt›r?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8

2.

A) - 132

B) - 10 C) 110

D) 132

- 13

-3 ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?

A) - 27 B) - 127

C) 127

D) 27

A) -4 -2 = 116

B) -3 -3 = - 127

C) - 15

-2

= 25 D) - 12

-5

= 32

A) 10-8. 105 B) 108

10-5 C) 10-2

10 D) 10-4 : 10-1

0,5 -3 = 10,5 x oldu¤una göre x kaçt›r?

✎

MATEMAT‹K 8

34

A) 105. 106 B) 15. 1025 C) 1036: 106 D) 1035

10-5

9. Afla¤›daki ifllemlerden hangisinin de¤eri 1030 dur?

10.

A) 12 B) 36 C) 54 D) 98

11.

12.

A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10

13.

A) 34 B) 3-4 C) -3-4 D) -34

14. 32,807 = 3x10a + 2x10b + 8x10c + 7x10d oldu¤una göre a + b + c + d kaçt›r? A) 1 B) 2 C) -3 D) -5

15. 82 + 82 + 82 + 82 iflleminin yar›s› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 24 B) 26 C) 27 D) 28

16. 210 = 1024 ise 28 ifadesinin de¤eri kaçt›r?

A) 128 B) 256 C) 512 D) 640

36 . 92 . 28

273 . 82 iflleminin sonucu kaçt›r?

825

-3 0 iflleminin sonucu kaçt›r?

A) 52

3 B) 2

53 C) - 2

53 D) 1

10-8 . 102 10-7 . 100

: 107 105

iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

-3 3 . - 13

4

-33 iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

MATEMAT‹K 8

35

17. a = 32

35 , b = 32

3-2 , c = 3

-4

3 oldu¤una göre, a, b ve c'nin küçükten büyü¤e

do¤ru s›ralan›fl› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a

18. 0,00000324 say›s›n›n bilimsel gösterimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 0,324 x10-5 B) 3,24 x10-6 C) 32,4 x10-7 D) 324 x10-8

19. 370 000 00 say›s›n›n bilimsel gösterimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 370 x105 B) 37 x106 C) 3,7 x107 D) 0,37 x108

20. Güneflin dünyaya uzakl›¤› 150 000 000 km’dir. Bu uzakl›¤›n bilimsel gösterimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 150 x106 B) 15 x107 C) 1,5 x108 D) 0,15 x109

MATEMAT‹K 8

36

Histogram OluflturmaHistogram oluflturulurken öncelikle say›sal verilere ihtayaç vard›r. Veriler haz›r

oldu¤unda, önce veri grubunun aç›kl›¤› bulunur. Aç›kl›k, veri grubundaki en büyükde¤er ile küçük de¤er aras›ndaki farka denir. Daha sonra verileri ay›raca¤›m›z grupsay›s›na göre grup geniflli¤ini buluruz. Grup geniflli¤i bulunurken aç›kl›k, istenen grupsay›s›na bölünür. Bulunan say›ya en yak›n tek say› grup geniflli¤i olarak al›n›r. Bugrup geniflli¤indeki verilere göre histogram çizilir.

ÖRNEK 45, 46, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 52, 52, 53, 55, 55, 56,

57, 58, 59, 59, 60, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 69, 69, 70, 71, 72, 72,73, 74, 75, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 80, 81, 83, 85, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 90, 91, 92,93, 93, 94

Yukar›daki veriler 100 soruluk bir Matematik testinden 8.s›n›ftaki ö¤rencilerindo¤ru cevapland›rd›¤› soru say›s›n› göstermektedir. Bu verilere ait histogramoluflutaral›m.

Veri grubunun aç›kl›¤›n› bulal›m.94 - 45 = 49

Veri grubunun aç›kl›¤› 49’dur. Verileri 10 gruba ay›rarak grup geniflli¤ini bulal›m.Grup geniflli¤i bulunurken aç›kl›k, istenilen grup say›s›na bölünür. Bulunan en yak›ntek say› grup geniflli¤i olarak al›n›r.

Bulunan say›ya en yak›n tek say› 5 oldu¤u için veri grubunun geniflli¤i 5 olarakal›n›r.

Tablo: Matematik TestiDo¤ru Cevap Say›lar›

45 49 10

50 54 9

55 59 7

60 64 7

65 69 8

70 74 6

75 79 6

80 84 4

85 89 8

90 94 6

MATEMAT‹K 8

37

Grafikte yatay eksende 1-45 aral›¤›nda hiç veri olmad›¤›ndan yanl›fl yorumlara yolaçmamak için “zikzak” kullan›mfl›t›r.

ÖRNEK 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22,

23, 23, 24, 24, 24, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 33,34, 34, 34, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 42,43, 43, 44, 44, 44, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 49, 50, 51, 52, 52, 53, 54, 54, 54, 55, 55, 56,57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 59

Yukar›daki veriler bir tatil köyüne A¤ustos ay›nda gelen kiflilerin yafllar›n› göster-mektedir. Bu verilere ait histogram olufltural›m.

Veri grubunun aç›kl›¤›n› bulal›m.59 - 10 = 49

Veri grubunun aç›kl›¤› 49’dur. Verileri 10 gruba ay›rarak grup geniflli¤ini bulal›m.

Bulunan say›ya en yak›n tek say› 5 oldu¤u için veri grubunun geniflli¤i 5 olarakal›n›r.

Tablo: Tatil KöyüneA¤ustos Ay›nda

Gelenlerin Yafllar›

Yafl Kifli Say›s›

10 14 1115 19 6

20 24 10

25 29 11

30 34 10

35 39 13

40 44 12

45 49 7

50 54 8

55 59 11

59 - 10 10

= 4,9

MATEMAT‹K 8

38

ALIfiTIRMALAR1. Grafik: Kitap Okuma Süresi

Bir okulda bütün ö¤renciler kitap okumaktad›r. Bu okuldaki ö¤rencilerin günlükkitap okuma süreleriyle ilgili histogram yukar›da verilmifltir. Grafi¤e göre afla¤›dakisorular› cevaplay›n›z.

a) Veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?b) Veri grubunun geniflli¤i kaçt›r?c) Bu okulda kaç ö¤renci vard›r?ç) En uzun süre kitap okuyan ö¤renci say›s› kaçt›r?d) En k›sa süre kitap okuyan ö¤renci say›s› kaçt›r?

2. Afla¤›daki tabloda bir s›n›ftaki ö¤rencilerin boy uzunluklar› verilmifltir. Tablodakiverilerle histogram oluflturunuz.

Uzunluk (cm) Kifli say›s›

142 - 150 4

151 - 159 5

160 - 168 7

169 - 177 6

178 - 186 8

MATEMAT‹K 8

39

3. Afla¤›daki tablo bir okuldaki ö¤rencilerin Matematik s›nav›ndan ald›klar› puanlar› göstermektedir. Tablodaki verilerle histogram oluflturunuz. Bu veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

4. Afla¤›da bir s›n›ftaki ö¤rencilerin kütleleri verilmifltir.40 41 41 43 44 44 45 45 46 47 47 48 48 49 50 50 50 5151 52 53 53 54 55 55 56 57 58 59 59 60 61 63 63 65 66 67 67 68 70 70 70 71 72 73

a) Veri grubunun aç›kl›¤›n› bulunuz.b) Veri grubunun geniflli¤ini belirleyerek tablo oluflturunuz.c) Elde etti¤iniz tablodaki verilerle histogram oluflturunuz.

Puanlar Kifli say›s›

28 - 34

35 - 41

42 - 48

49 - 55

56 - 62

63 - 69

70 - 77

78 - 84

85 - 91

92 - 98

MATEMAT‹K 8

40

5. Afla¤›da bir yolcu otobüsündeki yolcular›n yafllar› verilmifltir.3 4 4 10 14 15 17 18 18 18 20 20 21 22 23 24 25 25 26 27 28 29 32 33 35 37 40 41 42 4750 51 53 54 55 55 57 57 58 5959 61 61 63 64 65 66 66 67 72

Yukar›daki verilerle oluflturulan afla¤›daki tabloyu tamamlay›n›z.

Yafl Kifli say›s›

3

3

9

7

4

3

3

7

6

4

MATEMAT‹K 8

41

ÖZETHistogram oluflturulurken öncelikle say›sal verilere ihtiyac vard›r. Veriler haz›r

oldu¤unda, önce veri grubunun aç›kl›¤› bulunur. Aç›kl›k, veri grubundaki en büyükde¤er ile en küçük de¤er aras›ndaki farka denir. Daha sonra verileri ay›raca¤›m›z grupsay›s›na göre grup geniflli¤ini bulunuz. Grup geniflli¤i bulunurken aç›kl›k, istenilengrup say›s›na bölünür. Bulunan say›ya en yak›n tek say› grup geniflli¤i olarak al›n›r. Bugrup geniflli¤indeki verilere göre histogram çizilir.

MATEMAT‹K 8

42

Grafi¤e göre 15 sorular› cevaplay›n›z.

1. Bu ifl yerinde kaç kifli çal›flmaktad›r?

A) 240B) 365C) 445D) 540

2. Bu verilerin aç›kl›¤› kaçt›r?

A) 5B) 10C) 49D) 52

3. Bu verilerin geniflli¤i kaçt›r?

A) 4B) 5C) 6D) 10

TEST I-III

Afla¤›daki histogram bir ifl yerinde çal›flanlar›n, evleri ile ifl yerleri aras›ndakiuzakl›¤› göstermekmektedir.

✎

MATEMAT‹K 8

43

4. Evinin, ifl yerine uzakl›¤› 28 km - 32 km olan kaç kifli vard›r?

A) 70B) 80C) 90D) 100

5. Evinin, ifl yerine uzakl›¤› 3 km - 27 km olan kaç kifli vard›r?

A) 70B) 90C) 130D) 165

6.

50 soruluk bir Matematik testinde 8/A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin netleri yukar›dakitabloda verilmifltir. Yukar›daki verilere uygun histogram hangisinde do¤ru verilmifltir?

Tablo: Ö¤rencilerin Matematik Netleri

Netler Kifli say›s›

1 - 10 2

11 - 20 4

21 - 30 8

31 - 40 10

41 - 50 6

MATEMAT‹K 8

44

Tablo: 200 m koflususüresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 346

35 394

40 445

45 498

50 547

Tablo: 200 m koflususüresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 345

35 393

40 444

45 496

50 546

Tablo: 200 m koflususüresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 347

35 395

40 447

45 499

50 548

Tablo: 200 m koflususüresi

Süre Kifli (saniye) say›s›

30 347

35 395

40 448

45 499

50 541

Beden E¤itimi Dersinde ö¤renciler aras›nda 200 m koflusu yap›lm›fl ve koflusonuçlar› afla¤›da saniye cinsinden verilmifltir?

30 31 32 33 33 34 35 37 38 3940 41 42 43 44 45 45 46 46 4748 49 49 50 50 51 51 52 52 54

Yukar›daki verilere göre 7., 8. ve 9. sorular› cevaplay›n›z.

7. 200 m koflusuna kat›lan kaç ö¤renci vard›r?

A) 22B) 24C) 26D) 30

8. Bu veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

A) 12B) 24C) 25D) 30

9. Bu veriler 5 gruba ayr›ld›¤›ndaki tablo afla¤›dakilerden hangisidir?

A) B) C) D)

MATEMAT‹K 8

45

Bir okuldaki 8. s›n›f ö¤rencilerinin tümü her gün Matematik testi çözmektedir. Bus›n›ftaki ö¤rencilerin günlük çözdükleri soru say›lar› ile ilgili histogram yukar›da veril-mifltir. Buna göre, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15. sorular› cevaplay›n›z.

10. Veri grubunun aç›kl›¤› kaçt›r?

A) 31 B) 40C) 44D) 50

11. Veri grubunun geniflli¤i kaçt›r?

A) 4B) 5C) 9D) 10

Grafik: Çözülen Matematik Soru Say›s›

En fazla çözülen soru say›s› = 94En az çözülen soru say›s› = 50

MATEMAT‹K 8

46

12. 8. s›n›fta kaç ö¤renci vard›r?

A) 72 B) 80C) 85D) 90

13. Çözülen soru say›s› 50 64 olan kaç ö¤renci vard›r?

A) 8B) 12C) 14D) 24

14. Grafi¤e göre kifli say›s› en fazla olan grubun günlük çözdükleri soru say›s› hangisay› aral›¤›ndad›r?

A) 64 69 B) 68 73C) 70 74D) 74 79

15. Grafi¤e göre kifli say›s› en az olan grubun günlük çözdükleri soru say›s› hangi say› aral›¤›ndad›r?

A) 55 59 B) 56 61C) 60 64D) 62 67