Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

Bekir DİZDAROĞLU Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

www.bekirdizdaroglu.com

Karmaşık Sayılar

𝐼 ∈ 𝐿2 ℂ karmaşık düzlemde tanımlı gri düzeyli bir imgeyi

göstersin ve 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 gerçel kartezyen koordinatlarda 𝐼

imgesinin pikselleri 𝐼 𝑧 ile temsil edilsin, burada 𝑧 = 𝑥 + 𝐢𝑦

ve eşleniği 𝑧 = 𝑥 − 𝐢𝑦 olarak alınır.

𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥 + 𝐢𝑦 = ℜ 𝑓 + 𝐢ℑ(𝑓) 𝑥 =𝑧 + 𝑧

2 𝑦 =

𝑧 − 𝑧

2𝐢

𝜕𝑓

𝜕𝑧 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑧 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑧 =

1

2

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝐢

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑧=

1

2

𝜕𝑓

𝜕𝑥− 𝐢

𝜕𝑓

𝜕𝑦

Karmaşık Sayılar

• Kuvvet serisi yaklaşımı

𝑓 𝑧, 𝑧 = 𝑧𝑗𝑧 𝑙

𝑗! 𝑙!

∞

𝑙=0

∞

𝑗=0

𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧

𝑙 𝑓 0 (1)

Karmaşık Sayılar

• Karmaşık sayılar, deformasyon (biçim bozulması) işlemini gerçekleştirmekten başka bir şey değildir.

• “Döndürme, öteleme ve ölçekleme işlemlerini yapar” diye bir tanımlama getirilebilir.

Karmaşık Sayılar

z=x+iy

z=-y+ix

z=1

ℑ eksen

∅

ℜ eksen

Bir nesnenin karmaşık sayı düzleminde deformasyona

uğratılması: Nesne, saat yönünün tersinde ∅ = tan−1 𝑦/𝑥

açısına bağlı olarak döndürülmüş, 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 değerine

göre de ötelenmiş ve ölçeklenmiştir

Karmaşık Sayılar

• Döndürme

𝑅 ∅ = cos ∅ sin ∅−sin ∅ cos ∅

Özvektör_1 Özvektör_2

𝑥cos ∅ + 𝑦sin ∅ + 𝐢 − 𝑥sin ∅ + 𝑦cos ∅ =

cos ∅ − 𝐢 sin ∅ 𝑧 = 𝑒−𝐢∅𝑧

𝑒𝐢∅𝑧

z karmaşık sayı eşleniğinin açısıyla döndürülmesi

Karmaşık Sayılar

• Gri düzeyli bir imgeyi döndürdüğümüzde aşağıdaki eşitlik verilebilir:

• Gri düzeyli bir imgenin (i,j). karmaşık türevi:

𝑔∅𝐼 𝑧 = 𝐼 𝑒−𝐢∅𝑧

𝑔∅𝑓 𝑧 = 𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧

𝑙 𝑔∅𝐼 𝑧 = 𝑒−𝐢∅ 𝑗−𝑙 𝑓(𝑒−𝐢∅𝑧)

𝑓 = 𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧

𝑙 𝐼

Karmaşık Sayılar

• i=j=1 alınırsa,

𝜕𝑧𝜕𝑧 𝐼 = 1 2 × 𝜕𝐼 𝜕𝑥 − 𝐢 𝜕𝐼 𝜕𝑦 1 2 × 𝜕𝐼 𝜕𝑥 + 𝐢 𝜕𝐼 𝜕𝑦

= 𝜕2𝐼 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝐼 𝜕𝑦

2 4 = 𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝑦𝑦 4

= ∆𝐼/4

Laplace işleci (Isı denklemi)->Alçak Geçiren Süzgeç Davranışı gösterir

Karmaşık Sayılar

• Öteleme

• f karmaşık fonksiyonunu öteleme

𝑇𝑢 = 𝑒𝑢𝜕𝑧 = 𝑢𝑗

𝑗!

∞

𝑗 =0

𝜕𝑧𝑗 ve 𝑇 𝑢 = 𝑒𝑢 𝜕𝑧 =

𝑢 𝑗

𝑗!

∞

𝑗 =0

𝜕𝑧 𝑗

𝑒𝑢𝜕𝑧𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑧 + 𝑢 𝑒𝑧 = 𝑧𝑗 𝑗!

∞

𝑗 =0

𝑇𝑢𝑇 𝑢 𝑓 𝑧, 𝑧 = 𝑓 𝑧 + 𝑢, 𝑧 + 𝑢

Gauss Fonksiyonu

• Gauss Fonksiyonunun Karmaşık Türevi:

• Türev alma işlemi karmaşık değerli değişkenlerin birbirinden bağımsız olmasıyla gerçekleştirilmektedir.

𝜕𝑧𝑗𝑒− 𝑥2+𝑦2 = 𝜕𝑧

𝑗𝑒−𝑧𝑧 = −𝑧 𝑗𝑒−𝑧𝑧 (1)

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

• Karmaşık süzgeç:

𝐹∅ 𝑧 = 𝛽𝑗 ∅

𝑁−1

𝑗 =0

𝑘𝑗 𝑧

𝛽𝑗 ∅ = 𝑒𝐢∅𝜗𝑗 𝑘𝑗 𝑧

Yön bağımlı ağırlık katsayıları Döndürme yönünden bağımsız temel süzgeçler

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

• Gri düzeyli imgeyi karmaşık süzgeçle katlama

• Karmaşık türev alma işlemine dayalı yönlendirilebilir süzgeç fonksiyonu

𝐹∅ ∗ 𝐼 𝑧 = 𝛽𝑗 ∅

𝑁−1

𝑗=0

𝑘𝑗 ∗ 𝐼 𝑧 (1)

𝐹∅ 𝑧 = 𝑒−𝐢∅ 𝑗−𝑙

𝑁−1

𝑙=0

𝛼𝑗𝑙 × 𝜕𝑧𝑗𝜕𝑧

𝑙𝑘

𝑁−1

𝑗 =0

𝑧 (1)

Açılım katsayıları

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

• Gabor süzgeci,

– Gauss fonksiyonunun karmaşık bir sinüs dalgasıyla çarpımından elde edilmektedir

– Kenar gibi imge özniteliklerinin etkili bir şekilde çıkartılması işleminde kullanılmaktadır

𝐹𝑢𝐺𝑎𝑏𝑜𝑟 𝑧 = 𝑇𝑢𝑇 −𝑢 𝑒

−𝑧𝑧 = 𝑒− 𝑧+𝑢 𝑧 −𝑢

= 𝑒−𝑧𝑧 +𝑧𝑢 −𝑢𝑧 +𝑢𝑢

𝑘 𝑧 = 𝑒−𝑧𝑧

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

• Gabor süzgeci, alınırsa,

𝐹𝑢𝐺𝑎𝑏𝑜𝑟 𝑧 = 𝑒𝑢𝑢 𝑒−𝐢2ℑ 𝑢𝑧 𝑒−𝑧𝑧

ℑ 𝑧 = 1 2𝐢 × 𝑧 − 𝑧

Süzgecin döndürme yönünü ve şeklini belirler: Gerçel değer olursa, sadece süzgecin şekli belirlenir.

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

• Gabor süzgeci,

𝐹∅ 𝑧 = 𝑒𝑢𝑢 𝛼𝑗𝑙 𝜕𝑧

𝑗𝜕𝑧

𝑙𝑒−𝑧𝑧

𝑁−1

𝑙=0

𝑁−1

𝑗=0

= 𝑒𝑢𝑢 𝑢𝑗 −𝑢 𝑙

𝑗! 𝑙!𝜕𝑧

𝑗𝜕𝑧

𝑙𝑒−𝑧𝑧

𝑁−1

𝑙=0

𝑁−1

𝑗=0

Sabit, ihmal edilebilir.

𝑇𝑢 = 𝑒𝑢𝜕𝑧 = 𝑢𝑗

𝑗!

∞

𝑗 =0

𝜕𝑧𝑗 ve 𝑇 𝑢 = 𝑒𝑢 𝜕𝑧 =

𝑢 𝑗

𝑗!

∞

𝑗 =0

𝜕𝑧 𝑗 𝐹𝑢

𝐺𝑎𝑏𝑜𝑟 𝑧 = 𝑇𝑢𝑇 −𝑢 𝑒−𝑧𝑧 = 𝑒− 𝑧+𝑢 𝑧 −𝑢

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

• 2-boyutlu imgeler için merkezi sonlu farklar yaklaşımı kullanılarak birinci dereceden türev alma işlemi

𝑇ü𝑟𝑒𝑣 𝑖ş𝑙𝑒𝑐𝑖 = 0 𝐢 01 0 −10 −𝐢 0

Gabor Süzgeci (İşlem Adımları)

• İmge Gauss süzgecinden geçirilmekte • Fourier dönüşümü yaklaşımı kullanılarak ilgili işlemler

frekans bölgesinde yapılmakta • Ters Fourier dönüşümü yardımıyla süzgeçlenmiş imge elde

edilmekte • İmgenin açılım katsayılarına bağlı olarak karmaşık türevleri

hesaplanırken aynı zamanda bu değerler katsayılarıyla çarpılmaktadır.

• Süzgecin çıkışından elde edilen – sanal kısmın maksimum değerli konumlarından imgenin kenar

öznitelikleri elde edilir – gerçel kısmın maksimum değerli konumlarından ise imgedeki

çizgi öznitelikleri açığa çıkmaktadır

𝛼𝑗𝑙

Gabor Süzgeci

(a) (b)

(d)

(c)

(e)

a) Lena test imgesi. Gabor süzgeci: Süzeç fonksiyonun b) gerçel kısmı ve c)

sanal kısmı. Süzgecin çıkışı: d) gerçel kısım ve e) sanal kısım.

Temel Gauss süzgecinin genişliği 3, süzgecin şeklini

belirleyen parametre 𝑢 = 2 ve 𝑁 = 12 alındığında elde edilen

Gabor süzgecine ait fonksiyonun sanal ve gerçel kısımları ve

Lena test imgesi için elde edilen sonuçlar

Gabor Süzgeci

farklı parametre değerlerine bağlı olarak süzgeç çıkısının sanal

kısmı

Yönlendirilebilir Süzgeçlerin Karmaşık Çözümlemesi

Teşekkürler…

Sorular ?