matematik - pegem.net · Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, Birinci Dereceden Denklemler,...

2014

kpss

yeni konularla

yeni sorularla

yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır

akıcı

ayrıntılı

güncel

konu anlatımları

örnekler

yorumlar

uyarılar

pratik bilgiler

ösym tarzında özgün sorularve açıklamaları

2013 kpss’de

soru85

matematiksayısal akıl yürütme

mantıksal akıl yürütme

Editörler : Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker

KPSS Matematik

ISBN 978-605-364-522-1

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem Akademi

Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,

kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt

ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları

satın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

20. Baskı: Ocak 2014, Ankara

Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül EroğluDizgi-Grafik Tasarım: Ahmet Resul Kaymakçı

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.Ş.

Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7

Şaşmaz/ANKARA

(0312-278 34 84)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 16102

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

E-ileti: [email protected]

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla

hazırlanmıştır.

Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;

MATEMATİK

- Temel Kavramlar,

- Sayılar,

- Bölme-Bölünebilme Kuralları,

- Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,

- Birinci Dereceden Denklemler,

- Rasyonel Sayılar,

- Üslü Sayılar,

- Köklü Sayılar,

- Çarpanlara Ayırma,

- Eşitsizlik – Mutlak Değer,

- Oran – Orantı,

- Problemler,

- Kümeler,

- İşlem - Modüler Aritmetik,

- Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık

- Tablo ve Gra) kler

bölümlerinden oluşmaktadır.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular

- çözümlü testler ve

- cevaplı testlere;

yer verilmiştir.

Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz.

Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker

SUNU

1. BÖLÜM

TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2Küme..........................................................................2Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin Gösterilişi ...............................................2Boş Küme ..................................................................3Sayı Kümeleri ............................................................3Tek - Çift Tamsayılar .................................................4Tam Sayılarda İşlemler .............................................4İşlem Önceliği ...........................................................6Rasyonel Sayılar .......................................................6Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6Harfl i İfadeler.............................................................8Denklemler ................................................................9Çözüm Kümesi Bulma ..............................................9İkili..............................................................................10Sıralama.....................................................................10Eşitsizlik ....................................................................11Oran – Orantı.............................................................11Ortak Paranteze Alma ..............................................12Çözümlü Test – 1 ......................................................13Cevaplı Test – 1 .........................................................17Cevaplı Test – 2 .........................................................19

2. BÖLÜM

SAYILAR ....................................................................22Sayı Kümeleri ............................................................22Doğal Sayılar .............................................................23Tam Sayılar ................................................................26Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................27Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29Ardışık Sayılar...........................................................31Asal Sayı....................................................................36Aralarında Asal Sayılar ............................................36Basamak Analizi .......................................................37Çözümleme ...............................................................42Faktöriyel...................................................................44Sayma Sistemleri ......................................................47Çözümlü Test – 1 ......................................................54Çözümlü Test – 2 ......................................................58Çözümlü Test – 3 ......................................................62Cevaplı Test – 1 .........................................................66Cevaplı Test – 2 .........................................................68Cevaplı Test – 3 .........................................................70

Cevaplı Test – 4 .........................................................72

Cevaplı Test – 5 .........................................................74

Cevaplı Test – 6 .........................................................76

Çıkmış Sorular ..........................................................78

3. BÖLÜM

BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ..................82Bölme.........................................................................82

Bölünebilme Kuralları ..............................................86

2 ile Bölünebilme ................................................86

3 ile Bölünebilme ................................................86

4 ile Bölünebilme ................................................87

5 ile Bölünebilme ................................................88

7 ile Bölünebilme ................................................89

8 ile Bölünebilme ................................................89

9 ile Bölünebilme ................................................89

10 ile Bölünebilme ..............................................91

11 ile Bölünebilme ..............................................91

Çözümlü Test - 1 .......................................................93

Cevaplı Test - 1 .........................................................97

Cevaplı Test - 2 .........................................................99

Çıkmış Sorular ..........................................................101

4. BÖLÜM

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......103Asal Çarpanlara Ayırma ...........................................104

Bir Tam Sayının Bölenleri ........................................105

Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ....................107

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ..........................108

En Küçük Ortak Kat (EKOK) ..............................111

Çözümlü Test ...........................................................116

Cevaplı Test - 1 .........................................................120

Cevaplı Test - 2 .........................................................122

Cevaplı Test - 3 .........................................................124

Çıkmış Sorular ..........................................................126

5. BÖLÜM

BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .....................127Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ....128

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler .....131

Denklem Sistemi .......................................................131

Yok Etme Metodu ................................................131

Yerine Koyma Metodu ........................................132

Özel Denklemler........................................................133

Çözümlü Test ...........................................................136

Cevaplı Test - 1 .........................................................140

Cevaplı Test - 2 .........................................................142

Çıkmış Sorular ..........................................................144

İÇİNDEKİLER

vi

6. BÖLÜM

RASYONEL SAYILAR ...............................................145Kesir ve Kesir Türleri ...............................................146

Kesir.....................................................................146

Basit Kesir ...........................................................146

Bileşik Kesir ........................................................146Tam Sayılı Kesir ..................................................147Sabit Kesir ...........................................................148Denk Kesir ...........................................................148

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................149Toplama İşlemi ....................................................149Çıkarma İşlemi ....................................................150Çarpma İşlemi .....................................................150Bölme İşlemi .......................................................150Kuvvet Alma ........................................................150İşlem Önceliği .....................................................151

Ondalık Kesirler ........................................................154Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................155Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160Çözümlü Test - 1 .......................................................161Çözümlü Test - 2 .......................................................165Cevaplı Test - 1 .........................................................169Cevaplı Test - 2 .........................................................171Çıkmış Sorular ..........................................................173

7. BÖLÜM

EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER ...............................175Basit Eşitsizlikler ......................................................176

Özellikleri.............................................................176Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179

Kapalı Aralık ........................................................179Yarı Açık Aralık ....................................................179Açık Aralık ...........................................................180

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................181Mutlak Değer .............................................................183

Özellikleri.............................................................185Çözümlü Test – 1 ......................................................189Çözümlü Test – 2 ......................................................193Cevaplı Test – 1 .........................................................197Cevaplı Test – 2 .........................................................199Cevaplı Test – 3 .........................................................201Çıkmış Sorular ..........................................................203

8. BÖLÜM

ÜSLÜ SAYILAR .........................................................205Özellikleri.............................................................206

Üslü Sayılarda Dört İşlem ........................................209

Toplama – Çıkarma .............................................209

Çarpma ................................................................210

Bölme...................................................................212

Çözümlü Test - 1 .......................................................215

Çözümlü Test – 2 ......................................................219

Cevaplı Test - 1 .........................................................223

Cevaplı Test - 2 .........................................................225

Çıkmış Sorular ..........................................................227

9. BÖLÜM

KÖKLÜ SAYILAR ......................................................229

Köklü Sayıların Özellikleri........................................230Köklü Sayılarda Dört İşlem ......................................234

Toplama-Çıkarma ................................................235Çarpma ................................................................235Bölme...................................................................236

Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......238Eşlenik .......................................................................239İç İçe Sonlu Kökler ...................................................241İç İçe Sonsuz Kökler.................................................242

A 2 B∓ Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ............244Köklü Sayılarda Sıralama.........................................246Köklü Sayılarda Denklem Çözme ............................247Çözümlü Test -1 ........................................................248Cevaplı Test - 1 .........................................................252Cevaplı Test - 2 .........................................................254

Çıkmış Sorular ..........................................................256

10. BÖLÜM

ÇARPANLARA AYIRMA ............................................259

Ortak Parantez Yöntemi .....................................260Gruplandırma Yöntemi .......................................260ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması .......261

Özdeşlikler ................................................................263İki Kare Farkı .......................................................263Tam Kare İfadeler ................................................265

III. Dereceden Özdeşlikler ........................................268Çözümlü Test – 1 ......................................................270Çözümlü Test – 2 ......................................................274Cevaplı Test – 1 .........................................................278Cevaplı Test – 2 .........................................................280

Çıkmış Sorular ..........................................................282

11. BÖLÜM

ORAN – ORANTI ......................................................285Oran .....................................................................286

Orantı ...................................................................286

Orantının Özellikleri............................................286

Orantı Türleri .............................................................288

Doğru Orantı .......................................................288

Ters Orantılı Çokluklar .......................................290

Bileşik Orantı ......................................................291

Ortalamalar................................................................292

Aritmetik Ortalama .............................................292

Geometrik Ortalama ...........................................293

Çözümlü Test - 1 .......................................................295

Çözümlü Test - 2 .......................................................299

Cevaplı Test - 1 .........................................................303

Cevaplı Test - 2 .........................................................305

Çıkmış Sorular ..........................................................307

vii

12. BÖLÜM

PROBLEMLER ..........................................................309Denklem Kurma Problemleri ...................................310

Yaş Problemleri.........................................................316

Yüzde Problemleri ....................................................319

Faiz Problemleri ........................................................321

Kâr – Zarar Problemleri ............................................322

Karışım Problemleri..................................................325

İşçi Problemleri .........................................................328

Havuz Problemleri ....................................................330

Hareket Problemleri..................................................331

Çözümlü Test - 1 ......................................................337

Çözümlü Test - 2 ......................................................341

Çözümlü Test - 3 ......................................................345

Çözümlü Test - 4 .......................................................349

Çözümlü Test - 5 ......................................................353

Çözümlü Test - 6 ......................................................357

Çözümlü Test - 7 ......................................................361

Çözümlü Test - 8 ......................................................365

Çözümlü Test - 9 ......................................................369

Cevaplı Test – 1 .........................................................373

Cevaplı Test – 2 .........................................................375

Cevaplı Test – 3 .........................................................377

Cevaplı Test – 4 .........................................................379

Cevaplı Test – 5 .........................................................381

Cevaplı Test – 6 .........................................................383

Cevaplı Test – 7 .........................................................385

Cevaplı Test – 8 .........................................................387

Çıkmış Sorular ..........................................................389

13. BÖLÜM

KÜMELER ..................................................................397Küme..........................................................................398

Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398

Kümelerin Gösterimi ..........................................398

Küme Çeşitleri ....................................................399

Kümelerde İşlemler ............................................400

Alt Küme ..............................................................403

Küme Problemleri ...............................................405

Çözümlü Test ...........................................................407Cevaplı Test ..............................................................411Çıkmış Sorular ..........................................................413

14. BÖLÜM

İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ..............................415Bağıntı .......................................................................416

Fonksiyon ..................................................................416

İşlem ..........................................................................417

İşlem Tabloları .....................................................419İşlemin Özellikleri ...............................................419

Modüler Aritmetik .....................................................423Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428

Çözümlü Test – 1 ......................................................429Çözümlü Test – 2 ......................................................433Cevaplı Test – 1 .........................................................437Cevaplı Test – 2 .........................................................439

Çıkmış Sorular ..........................................................441

15. BÖLÜM

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ....443Saymanın Temel Kuralları ........................................444

Toplama Kuralı ....................................................444Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444Saymanın Temel İlkesi .......................................444

Permütasyon (Sıralama) ..........................................446Tekrarlı Permütasyon .........................................447Dairesel Permütasyon ........................................448

Kombinasyon (Gruplama) .......................................449Olasılık .......................................................................454

Olasılık Fonksiyonu ...........................................454Olasılık Hesabı ....................................................455Koşullu Olasılık...................................................459Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460

Çözümlü Test – 1 ......................................................461Çözümlü Test – 2 ......................................................465Çözümlü Test – 3 ......................................................469Cevaplı Test – 1 .........................................................473Cevaplı Test – 2 .........................................................475Çıkmış Sorular ..........................................................477

16. BÖLÜM

TABLO VE GRAFİKLER ............................................479Tablo ve Yorumlama .................................................480Grafi k ve Yorumlama ................................................484

Çizgi Grafi k..........................................................484Sütun Grafi ği .......................................................486Daire Grafi ği ........................................................486

Çözümlü Test – 1 ......................................................489Çözümlü Test – 2 ......................................................492Cevaplı Test – 1 .........................................................496Cevaplı Test – 2 .........................................................499Çıkmış Sorular ..........................................................501

17. BÖLÜM

SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ ..........................507Sayı Örüntüleri .........................................................511Sayı Dizileri ...............................................................511Tablo ve Şekil Soruları .............................................513Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................522Görsel Yetenek ..........................................................530Çözümlü Test ...........................................................536Cevaplı Test – 1 .........................................................547Cevaplı Test – 2 .........................................................549Cevaplı Test – 3 .........................................................551Çıkmış Sorular ..........................................................553

Genel Yetenek’te

40

ÖSYM SORULARI

MATEMATİK

2013PEGEM AKADEMİ SORULARI

31.

4 287

3 265

:

:

-

-

e

e

o

o

işleminin sonucu kaçtır?

A) 117

B) 119

C) 97

D) 910 E)

913

32. , , ,0 001 0 01 0 1 110 100 1000

+ + ++ +

işleminin sonucu kaçtır?A) 107 B) 106 C) 105 D) 104 E) 103

33. 2 2 2 2

2 2 2 25 6 7 8

5 6 7 8

+ + +

+ + +− − − −

işleminin sonucu kaçtır?A) 27 B) 211 C) 213 D) 2-9 E) 2-12

34. ( !) ( !)

( !) ( !)

4 3

4 32 2

2 2

−

+


A) 1519

B) 1517

C) 1513

D) 1219

E) 1213

31.

31 5

6 31

41

:

−

+c m


A) 43- B) 2

1- C) 21 D) 4

3 E) 2

Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme Deneme 8 / 31. Soru

3. , , ,, , ,0 1 0 02 0 004

0 01 0 002 0 0004+ +

+ +

işleminin sonucu kaçtır?A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru

4. , , ,, , ,

1 0 2 0 02 0 0020 4 0 04 0 004− − −

+ +

işleminin sonucu kaçtır?A) 0,5 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,4 E) 2


15. 2 2 22 2 2

22 2123

45 46 47

+ +

+ +


A) 88 B) 410 C) 810

D) 222 E) 225

Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 14 / 15. Soru

4. ! !! !

8 710 9

+−

işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72


MATEMATİK

PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI

2013

MATEMATİK

35. x3 2 3− − =

eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?A) 6 B) 4 C) 2 D) -8 E) -10

36. ( )

a ab b

a ab

a b

a b2 2

4 3

4 4

2:

+ +

−

−

+

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( )a b

a b2+

− B)

( )a b

a 12+

− C)

( )

a b

b a b2 2+

−

D) ( )

a b

a a b2 2+

+ E)

a b

a b2 2

2

+

+

37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemlerix y x y x

x yyx

y

x :

T

= +

= +

biçiminde tanımlanıyor.

( )a a 2 8x T =

olduğuna göre, a kaçtır?

A) 31

B) 32

C) 1

D) 2 E) 3

9. x 1 4 6+ + = eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

A) -4 B) -3 C) -2 D) 0 E) 2

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru

8. x 3 5 2− − = eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?A) -4 B) 0 C) 6 D) 10 E) 12

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 192 / 8. Soru

8. ab b

a aba b

a ab b2 2

4 3

2 2

2 2|

+

+

−

− +

^ hifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) b

a ab2

2 - B)

bab a

2

2- C)

ba ab

2

2 +

D) b

a b2

- E)

ba b

2+

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 275 / 8. Soru

13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri2 3

2 2

aob a ba b a 2ab b

= −

= + +

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, (3o2) (5o3) kaçtır?A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 73 / 13. Soru

3. Tam sayılar kümesi üzerinde,x y x yx y x y

323

= +

= -

4

işlemleri tanımlanıyor.Buna göre, ( )2 3 434 işleminin sonucu kaçtır?A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 217 / 3.Soru

ÖSYM SORULARI

MATEMATİK

201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-

lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.

Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.

Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81

40. x, y, z gerçel sayıları için

xy3z5 > 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,

I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0

II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0

III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0

önermelerinden hangileri doğrudur?

A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I

D) Yalnız II E) Yalnız III

12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.

m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36

Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru

3. Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.

Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?A)151 B)153 C) 157 D) 160 E)163

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru

1. x < 0 < y olmak üzere,

I. x2 < y2

II. x3 < y

III. x + y < 0

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III


2. x, y reel (gerçel) sayılar

x < y

ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur?

I. a 0 için a x a y> ⋅ > ⋅

II. a 0< için a x a y⋅ > ⋅

III. a 0< için x a y a+ > +

IV. a 0> için x ya a<

V. 2 2x y<

A) I ve III B) I ve II C) I, II ve IV

D) II, III ve IV E) II ve IV


MATEMATİK


2013

MATEMATİK

41. x

2 3

1

3 2

1

2 12

++

++

+=

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 1 2+ B) 1 2 2+ C) 2 2+

D) 2 3+ E) 3 2

45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir.

1.saat

10203040506070

2.saat 3.saatZaman

Tur sayısı

Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 daki-ka sonra toplam kaç tur tamamlamıştır?A) 125 B) 130 C) 145 D) 150 E) 170

14. 32

331

331

++

−−

işleminin sonucu kaçtır?A) 33 B) 32 C) 3 D) 3− E) 32−


18. 2 3

2

2 3

2

-++

işleminin sonucu kaçtır?A) 1 B) 2 C) 2 3 D) 5 E) 8


4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ

Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5 farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir.

( )Zaman dk

Mal sayısı(adet)

A B C D E

10 12 15 20 25

125

110

90

6040

Mal sayısı (adet)

4. Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir?A) A B) B C) C D) D E) E

5. Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir?

A) B ve D B) A ve C C) D ve E

D) C ve E E) B ve E

6. B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D makinesi kaç saatte üretir?A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru


MATEMATİK

201347. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı

gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir.

BC

CD

E

BA

130170

D

E

A

D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir.

Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?A) 230 B) 235 C) 240 D) 245 E) 250

1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.

DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ OLARAK CEVAPLAYINIZ.

Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri ara-sındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir.

LMN 140 310P

K L M NTablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasın-daki yolun uzunluğudur.

Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu 140 km dir.

1. N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır?A) 370 B) 380 C) 385 D) 390 E) 395

2. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir?

A) 1540 B) 1555 C) 1580

D) 1600 E) 1625

3. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 240 B) 250 C) 320 D) 335 E) 380

Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 475 / Örnek Soru

MATEMATİK


2013

MATEMATİK

28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.

100

200

300

400

500

2003 2004 2005 20062002 2007

ki i say s

gelen ö renci

giden ö renci

y llar

Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversi-tede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermektedir.

28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı ara-sındaki fark hangi yıl en fazladır?

A) 2003 B) 2004 C) 2005

D) 2006 E) 2007

29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir?

A) 200 B) 250 C) 300

D) 350 E) 400

30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelen-lerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50 azalmıştır?

A) 2002 B) 2003 C) 2004

D) 2006 E) 2007

Genel Yetenek Genel Kültür 30 DenemeDeneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru

53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzde-lerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir.

10

10Zaman (dk)

75

15

Derinlik(m)

7 10

100

Doluluk(%)

Zaman (dk)

72

50

CihanLevent

Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır?

A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 14


MATEMATİK

201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-

lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.

Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.

Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81

40. x, y, z gerçel sayıları için

xy3z5 > 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,

I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0

II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0

III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0

önermelerinden hangileri doğrudur?

A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I

D) Yalnız II E) Yalnız III

12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.

m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36


3. Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.

Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?A)151 B)153 C) 157 D) 160 E)163

Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru

1. x < 0 < y olmak üzere,

I. x2 < y2

II. x3 < y

III. x + y < 0

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III


2. x, y reel (gerçel) sayılar

x < y

ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur?

I. a 0 için a x a y> ⋅ > ⋅

II. a 0< için a x a y⋅ > ⋅

III. a 0< için x a y a+ > +

IV. a 0> için x ya a<

V. 2 2x y<

A) I ve III B) I ve II C) I, II ve IV

D) II, III ve IV E) II ve IV


MATEMATİK


2013

MATEMATİK

59.

A A'

B'

C'

D'

B

3

2CD

Kenar uzunlukları 2 cm ve 3 cm olan ABCD dikdört-geninde

• A noktasının B noktasına göre simetriği alınarak A' noktası

• B noktasının C noktasına göre simetriği alınarak B' noktası

• C noktasının D noktasına göre simetriği alınarak C' noktası

• D noktasının A noktasına göre simetriği alınarak D' noktası elde ediliyor.

A', B', C' ve D' noktalarının birleştirilmesiyle A'B'C'D' dörtgeni oluşturuluyor.

Buna göre, dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?A) 30 B) 28 C) 24 D) 18 E) 16

60.

OA

B

C

D

E

x

ABCDE düzgün beşgenm(BOD) = x

O noktası, beşgenin köşelerinden geçen bir çem-berin merkezi olduğuna göre, x kaç derecedir?A) 110 B) 128 C) 136 D) 144 E) 152

12. A D

B C

T

KS

R

R

L

F

E

ABCD paralelkenar doğru parçalarıdır. L, E, F, K bulunduk-ları kenarların orta noktaları ve taralı alan 16cm2'dir.

Yukarıda verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2'dir?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100


13 � �

��

�

� �

�

�

�� ABCD ve EFGH kareDFBH EC

AG=

=5 55 5? ?? ?

B, G, H ile A, F, G noktaları doğrusalAD cm10=

GB cm6=

Yukarıda verilenlere göre, A EFGH] g kaç cm2 dir?A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16


11.

A

B

C D

E

F

αK95°

ABCDEF düzgün altıgenin-de [KF] açıortay,

°( )KDEm 95=%

Yukarıdaki verilenlere göre ( )FKDm α =% kaç dere-cedir?A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 95Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 110 / 11. Soru

TEMEL KAVRAMLAR� KÜME

� KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI

� KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

� BOŞ KÜME

� SAYI KÜMELERİ

� TEK - ÇİFT TAMSAYILAR

� TAM SAYILARDA İŞLEMLER

� İŞLEM ÖNCELİĞİ

� RASYONEL SAYILAR

� RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

� DENKLEMLER

� ÇÖZÜM KÜMESI BULMA

� İKİLİ

� SIRALAMA

� EŞİTSİZLİK

� ORAN ORANTI

� ORTAK PARANTEZE ALMA

“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.”

John Von Neumann

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

Çıkmış Soru Ağacı

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

KÜME

Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir.

Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Örnek

“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur

Örnek

“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara küme-nin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “! ”sembolü ile gösterilir.

Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin ele-man sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir.

Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.

Örnek

1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 d

2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2!

şeklinde gösterilir.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

1) Liste Yöntemi

Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parante-zi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.

Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır.

Örnek

, , , , ,A a b c d e f= " "" , , , kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Çözüm:

A kümesinin elemanlarını yazacak olursak

, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,

olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.

Dolayısıyla ( )s A 5= bulunur.

Örnek

”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-

nin elaman sayısı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Çözüm:

“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.

Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından

, , ,A P E G M= " ,olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.

Örnek

A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm:

Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi in-

celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için

kümenin eleman sayısı ( )s A 1= bulunur.

2) Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirti-

lerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özel-

lik yöntemi ile gösterilişi denir.

Örnek

Yüzden küçük doğal sayıların kümesi

,A x lx x N1001 != " ,


Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yete-neğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.

Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.

TEMEL KAVRAMLAR

3

3) Venn Şeması

Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gös-terilişi denir.

Örnek

, , ,A a b c d= " ,kümesini venn şeması ile gösterilişi şekil-deki gibidir.

Aa

b

c

d

BOŞ KÜME

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir.

Örnek

“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir

Not

Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir.

Örnek

, ,A a b c= " , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse

A kümesi değişmez.

, , , , , ,A a b c b a c c a b gibi= = =" " ", , ,

RAKAM:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.

SAYI:

Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.

Örnek

3 hem rakam hem de bir sayıdır.

16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.

348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.

-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.

SAYI KÜMELERİ

1) Sayma Sayıları Kümesi

, , , .....1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kü-menin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " "N+ ile gösterilir.

2) Doğal Sayılar Kümesi

, , , , .....0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir

3) Tam Sayılar Kümesi

........, , , , , , , .......3 2 1 0 1 2 3- - -" , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.

Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edi-lir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;

a) Negatif Tam Sayılar Kümesi

Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluştur-duğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " "Z- ile gösterilir.

..............., , ,Z 3 2 1= − − −− " , dir.

Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıy-la en büyük negatif tam sayı " "1- dir.

b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi

Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturdu-ğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+ ile gösterilir.

, , , .........Z 1 2 3=+ " , dir.

Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıy-la en küçük pozitif tam sayı " "1 dir.

c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.

4) Rasyonel Sayılar Kümesi

a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bö-lümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayılar kümesi " "Q ile gösterilir.

Örnek

, , , , ,...52

1917

136 14 1

-- birer rasyonel sayıdır.

4

5) İrrasyonel Sayılar Kümesi

Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir.

Örnek

, , , ...5 2 375 - birer irrasyonel sayıdır.

6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.

Reel sayılar kümesi " "R ile gösterilir.

'R Q Q,= şeklinde ifade edilir.

TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR

a) Tek tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n 1- veya n2 1+ şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi ..... , , , , , ,...5 3 1 1 3 5- - -" ,şeklinde ifade edilir.

b) Çift tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi ... , , , , ,....4 2 0 2 4- -" , şeklinde ifade edilebilir.

TAM SAYILARDA İŞLEMLERToplama işlemi

a) Aynı işaretli sayıların toplanması

İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı de-ğerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.

Örnek

32 14 29+ + işleminde

Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur.

Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.

Örnek

45 11 73- - - işleminde

Sayıların hepsi negatif ( )- olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " "- olur.

Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129− − − =− + + =− bulunur.

b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması

İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri bü-yük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir.

Örnek

65 93− + işleminde

Sayıların biri (-) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 652 olduğundan olur.

Buradan 65 93 28− + = bulunur.

Örnek

124 175- işleminde

Sayılar zıt işaretli ve 175 1242 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( )- işareti verilir.

Buradan 124 175 51− =− bulunur.

NotToplama işleminde sayıların yerlerini değiş-tirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani

.a b b a d rý− = − +

Örnek

354 195− + işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işle-min sonucunu değiştirmez.

Buradan 354 195 195 354 159− + = − =− bulunur.

Not

İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işare-ti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.

Örnek

36 73 86 118− + − işleminde

iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )- sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.

.bulunur

36 73 86 118 36 86 73 118122 191

69

− + − = + − −

= −

=−

Çıkarma İşlemi

Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı ay-nen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar top-lanır.

Örnek

48 19 48 ( 19) 2933 76 33 ( 76) 43141 ( 214) 141 (214) 355

- = + - =- = + - = -- - = + =

5

Çarpma İşlemi

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır.

Uyarı!Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.Yani ( ) ( )

( ) ( )+ ⋅ + = +- ⋅ - = +

Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.Yani ( ) ( )- ⋅ + = -

( ) ( )+ ⋅ - = -

Not

Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır.

Örnek

( 5) ( 23) 115( 12) (11) 132(18) (12) 216

- ⋅ - =- ⋅ = -

⋅ =

Bölme İşlemi

Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür.

Not

Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.Yani ( ) : ( )

( ) : ( )+ + = +- - = +

Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.Yani ( ) : ( )- + = -

( ) : ( )+ - = -

Örnek

( 68) : (17) 4(120) : (12) 10( 111) : (37) 3( 180) : ( 15) 12

- = -=

- = -- - =

Uyarı!Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir.

Örnek

84 21( 84) : (16)16 4

- = - = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse)

100 20( 100) : ( 35)35 7

- - = = (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse)

Kuvvet Alma

Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana ya-zılıp çarpılır. Yani an

sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. n tane

Örnek

24 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır.

Buradan 4

4 tan e

2 2 2 2 2 16= ⋅ ⋅ ⋅ =

bulunur.

Örnek

(-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır.

Buradan 3

3 tan e

( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 27- = - ⋅ - ⋅ - = -

bulunur.

Not1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

Örnek

4 4

7 7

( 5) 5 5 5 5 5 625( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 128- = = ⋅ ⋅ ⋅ =

- = - = - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = -

Örnek

3 2 3( 4) ( 7) ( 5)- + - - - işlemindenegatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ne-gatiftir.

3 2 3Buradan ( 4) ( 7) ( 5) ( 64) (49) ( 125)64 49 12564 174

110 bulunur.

- + - - - = - + - -= - + += - +=

6

Uyarı!Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti po-zitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani

n n nn 1 a ba , gibi (a 0, b 0)

a b a

-

- = = ≠ ≠

Örnek

33

3

55

5

22

2

1 1 1 1(4)4 4 4 4 4 64

1 1 1 1( 2)2 ( 2) ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) 32

1 1 1 1( 5)5 ( 5) ( 5)( 5) 25

-

-

-

= = = = ⋅ ⋅

- = - = = = - - - - - - -

- = - = = = - - -

Not1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti

1’dir.

2) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir.

Örnek

00 0 0

11 1

3(8) 1, ( 27) 1, (2009) 1, 18

1 13 3, ( 5) 5,5 5

= - = = =

= - = - - = -

İŞLEM ÖNCELİĞİ

Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki işlemler yapılır.

Parantez içerisinde,

(i) Kuvvet alınır.

(ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır.

(iii) Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır.

Örnek

12 ( 15) : 5 4- - - ifadesinde

İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma işlemi yapılır.

O halde 12 ( 15) : 5 4 12 ( 3) 412 3 415 411bulunur.

- - - = - - -= + -= -=

Örnek

3 2 4( 2) 2 ( 2)- - - - ifadesinde

Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır.3 2 4O halde ( 2) 2 ( 2) 8 4 16

28 bulunur.- - - - = - - -

= -

Örnek

[ ]15 ( 10) : (5) 1 : 2 3+ - + + ifadesinde

Önce parantez içindeki işlemler yapılır.

[ ] [ ]O halde 15 ( 10) : (5) 1 : 2 3 15 2 1 : 2 314 : 2 37 310 bulunur.

+ - + + = - + +

= += +=

Örnek

[ ] [ ]018 : ( 3) 3 ( 2) 2004 13 2007- + ⋅ - - ⋅ + ifadesinde

Önce parantez içindeki işlemler yapılır.

[ ] [ ]

[ ]

0

(sýfýrdan farklýbütünsayýlarýn sýfýrýncýkuvveti 1 dir.)

O halde 18 : ( 3) 3( 2) 2004 13 2007

6 6 112 113 bulunur.

- + - - ⋅ +

= - - -

= - -= -

(sıfırdan farklı bütün) sayıların sıfırıncı kuvvetli 1’dir.

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tam sayı, b 0≠ olmak üzere ab

şeklinde yazı-

labilen sayılara rasyonel sayı (kesir) denir.

ab

kesrinde a’ya pay, b’ye payda denir.

RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.

a c a cO halde ,b b ba c a c dir.b b b

++ =

-- =

7

Örnek

3 11 58 8 8

+ - ifadesinde

Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır.

3 11 5 3 11 5 14 5O halde8 8 8 8 8

9 bulunur.8

+ - -+ - = =

=

NotRasyonel sayıların paydaları farklı ise önce pay-dalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

Örnek

3 2 14 3 6

+ + ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır.

Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak katları olan 12 de birleştirilir.

O halde(3) (4) (2)

3 2 1 9 8 2 194 3 6 12 12

+ ++ + = = bulunur.

Örnek

1 745 10

- + ifadesinde

Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Do-layısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir.

O halde(10) (2)

4 1 7 40 2 7 47 2 45 91 5 10 10 10 10 2

- + -- + = = = = bulunur.

Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, payda-lar çarpılıp paydaya yazılır.

Yani a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅dir.

Uyarı!Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sa-deleştirilmelidir.

Örnek

1032

1435: ifadesinde

Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa

O halde 3216

10 2

35⋅

7

14 7

16 82

= = bulunur.

Bölme İşlemiRasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır.

Yani a c a d a d:b d b c b c

⋅= ⋅ =

⋅dir.

Örnek

64 24:21 35

ifadesinde

Birinci kesir yani 6421

aynen yazılır ikinci kesir yani 2435

ters çevrilir çarpılır.

O halde64 24 64:21 35

=8

213

35⋅

5

243

8 5 403 3 9

= ⋅ = bulunur.

Not

Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sa-yılarda da geçerlidir.

Örnek

3 2 134 6 2

- ⋅ + ifadesinde

Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılırsa,

(4) (2)

3 2 1 6 13 34 6 2 24 2

3 1 11 4 2

12 1 24

14 14

13 bulunur.4

- ⋅ + = - +

= - +

- +=

-=

=

Örnek

1 1 3 5:4 4 8 8

- + ifadesinde

Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa

1 1 3 5 1 1:4 4 8 8 4 4

- + = -8

⋅2

(6) (8) (3)

53 8

1 2 54 3 8

6 16 1524

5 bulunur.24

+

= - +

- +=

=

8

HARFLİ İFADELER

Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z,… gibi harflerle yazılan ifadelere harfli ifadeler denir.

Örnek

2 2 283x, 17ab, x y z , 4x 5y 2z,...9

- + -

ifadeleri birer harfli ifadedir.

3x ifadesi 3 ve x den oluşan bir harfli ifadedir. -17ab ifadesi -17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir.

TERİM:

Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma (-) işlemi ile ayrılan kısımlara terim denir.

Örnek

8x + 13y - 4z ifadesinde 8x birinci terim, 13y ikinci terim -4z üçüncü terim olur.

KATSAYI: Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya bulunduğu terimin katsayısı denir.

Örnek

3a + 7b + 5c ifadesinde

Birinci terimin katsayısı 3,

İkinci terimin katsayısı 7,

Üçüncü terimin katsayısı 5’tir.

BİLİNMEYEN:

Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b, c, … gibi harflere bilinmeyen denir.

Örnek

3x ifadesinin katsayısı 3 ve bilinmeyeni x’dir.

8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b’dir.

BENZER TERİM:

Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimle-rin katsayıları farklı olabilir.

Örnek

4a + 5b2 - 3a - 7b2 ifadesinde

4a ile -3a benzer terim,

5b2 ile -7b2 benzer terimdir.

Örnek

3x + 4xy + 6yx + x2 ifadesinde

4xy ile 6yx benzer terimdir.

3x ile x2 benzer terim değildir.

HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

Örnek

3x 7x 2x (3 7 2)x 8x+ - = + - = dir.

Örnek

4a 9b 2a b 4a 2a 9b b6a 8b dir.

+ + - = + + -= +

Örnek

2 3 2 3 2 2 3 3

2 3

x y 5x 3x y 2x x y 3x y 5x 2x2x y 3x dir.

+ - - = - + -

= - +

Çarpma İşlemi

Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır.

Örnek

1 1 2

2 3 2 3 5

2 4 2 1 4 3 4

5 4 4 5 4 4 9 4

3x 5x 15x 15x8x 6x 48x 48x7x 5xy 35x y 35x y

12x 4x y 48x y 48x y

+

+

+

+

⋅ = =

⋅ = =

⋅ = ⋅ = ⋅

- ⋅ ⋅ = - ⋅ = -

Örnek

2 3 2x(x x 2) x x 2x+ + = + +

2 2(x 3)(2x 5) 2x 5x 6x 15 2x 11x 15+ + = + + + = + +

Bölme İşlemi

Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Son-ra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır.

Örnek

77 3 4

3

16x 2x 2x8x

-= =

3 2 2 1

4 4 3

60x y y 4y415x y x x

-

-

-= - = -

⋅

9

Kuvvet Alma

Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır.

Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuv-vetler çarpılır.

Örnek

2 2 2 2

3 3 3 3 3 9

(3x) 3 x 9x( 5x ) ( 5) (x ) 125 x

= ⋅ =

- = - ⋅ = - ⋅

Uyarı!2 2 2(x y) x y+ ≠ + şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır.

DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

a ve b birer reel sayı olmak üzere ax b 0+ = şeklinde yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinme-yenli denklem denir.

Örnek

3x 7 18+ = birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

4(x 3) 5 2x 18- + = - birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denkle-mi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir.

Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çö-züm kümesi denir.

Çözüm Kümesi Bulunurken;

1) Payda eşitlemesi yapılır.

2) Parantezler dağıtılır.

3) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır.

4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölü-nür.

Uyarı!Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir ta-rafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir.

Örnek

5x 4 11- = ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için

5x 4 11- = denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır.

Buradan 155x 4 11 5x 15 x 35

- = ⇒ = ⇒ = = bulunur.

Örnek

3(x 2) 4x 3+ = - ifadesindeki

denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin de-ğeri yani x in değeridir.

( )

.

O halde x x x xx x

x bulunur

3 2 4 3 3 6 4 36 3 4 3

9

&

&

+ = − + = −

+ = −

=

Örnek

x x 83 5

+ =

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) - 15 B) 15 C) { }15- D) { }15 E) { }15, 15-

Çözüm:Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir.

(15)(5) (3)

x x 8 5x 3x 1203 5 1 15 15

8x 120120x 15 dir.

8

++ = ⇒ =

⇒ =

⇒ = =

Buradan çözüm kümesi { }15 bulunur.

Örnekx 3x 9

2-

- = ise x kaçtır?

A) 22 B) 21 C) 19 D) 17 E) 15

Çözüm:

Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa

(2) (2)

x x 3 9 2x (x 3) 181 2 1 2 2

2x x 3 18x 3 18x 18 3 15 bulunur.

- - -- = ⇒ =

⇒ - + =⇒ + =⇒ = - =

10

Örnek

x 3 2x 1 54 3 12- -

- = ise x kaçtır?

A) -1 B) -2 C) 185

- D) 215

- E) -5

Çözüm:Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa,

(3) (1)(4)

x 3 2x 1 5 3(x 3) 4(2x 1) 54 3 12 12 12

3x 9 8x 4 55x 5 55x 10

10x 2 bulunur.5

- - - - -- = ⇒ =

⇒ - - + =⇒ - - =⇒ - =

⇒ = = --

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

a, b, c birer reel sayı olmak üzere,

ax by c 0+ + = şeklinde yazılan denklemlere birinci de-receden iki bilinmeyenli denklemler denir.

Örnek

3x 2y 6+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denk-lemdir.

x y 15 3 9

+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir.

İKİLİa ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir.

(a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir.

Örnek

(3, 4) ifadesinde birinci bileşen 3 ve ikinci bileşen 4’tür.

ÇÖZÜM KÜMESİ:

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir.

Çözüm kümesi { }(x, y) şeklinde yazılır.

İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabil-mesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir.

Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şe-kilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplana-rak bilinmeyenlerden biri yok edilir.

Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak di-ğer bilinmeyenin değeri bulunur.

Örnek

x y 8x y 14

+ =- = denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken

y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır.

x y+ 8

x y+

=

- 14

2x 22x 11 dir.

=

==

x y 14 11 y 14 11 14 y3 y dir.

- = ⇒ - = ⇒ - =⇒ - =

Buradan çözüm kümesi { }(11, 3)- bulunur.

Örnek

x 3y 132x y 6

+ =+ =

denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { }1, 4 B) { }1 C) { }4 D) ( ){ }1, 4 E) ( ){ }4, 1

Çözüm:

Birinci denklem -2 ile çarpılırsa ve ikinci denklemle top-lanırsa x bilinmeyeni yok edilir.

2/ x 3y 132x y 6

2x

- + =+ =

- 6y 26

2x+

- = -

y 6

5y 2020y 4 dür.5

+ =

- = --

= =-

Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılır-sa x 3y 13 x 12 13 x 1+ = ⇒ + = ⇒ = olur.

Burada çözüm kümesi { }(1, 4) bulunur.

SIRALAMA

> (büyük), ≥ (büyük ve eşit)

< (küçük), ≤ (küçük ve eşit)

sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir.

x > y ifadesi x büyük y

x < y ifadesi x küçük y

şeklinde okunur.

11

Örnek

x > 3, 3'ten büyük sayıları

x ≥ 3, 3 ve 3'ten büyük sayıları

x < 4, 4'ten küçük sayıları

x ≤ 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder.

Not

1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfır-dan uzaklaştıkça büyür. 18 13, 29 37...gibi> <

2) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. 3 7, 103 93- > - - < -

Örnek

18 ile 13 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalı-dır. Sıfıra yakın olan sayı 13 küçük, 18 büyüktür.

Yani 18 13> dür.

-13 ile -8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır)’a olan uzaklıkla-rına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani -8 büyük, -13 küçüktür.

Yani -8 > -13 tür.

EŞİTSİZLİK

a, b birer reel sayı olmak üzere ax b 0+ > şeklinde yazı-lan ifadelere eşitsizlik denir.

Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer şekilde çözülür.

Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklinde-dir.

Örnek

x 5 13+ < eşitsizliğinde

x 5 13 x 13 5 x 8+ < ⇒ < - ⇒ < bulunur.

Örnek

2(x 3) 3x 4+ < + eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek olursak2(x 3) 3x 4 2x 6 3x 4

6 4 3x 2x2 x bulunur.

+ < + ⇒ + < +⇒ - < -⇒ <

Örnek

x 1 x 4 12 3 4- -

- ≥ eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken

öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse

(6) (3)(4)

x 1 x 4 1 6(x 1) 4(x 4) 32 3 4 12 12

6x 6 4x 16 32x 10 32x 7

7x bulunur.2

- - - - -- ≥ ⇒ ≥

⇒ - - + ≥⇒ + ≥⇒ ≥ -

⇒ ≥ -

ORAN – ORANTI

Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.

a'nın b'ye oranı ab


ORANTIİki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.

ab

ve cd

ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse

a cb d

= bir orantı olur.

Özellikler

1. a cb d

= şeklinde verilen bir orantıda a d b c⋅ = ⋅ dir.

2. a c kb d

= = ise a b k= ⋅ ve c d k= ⋅ dır.

3. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel sayının bir katıdır.

Yani;a cb d

= ise a c k ve b d k (k R) dir.= ⋅ = ⋅ ∈

Örnek

a 3b 5

= orantısında

a'nın karşısında 3 olduğundan a 3 k= ⋅

b'nin karşısında 5 olduğundan b 5 k= ⋅ dır.

Örnek

4x = 9y → orantısında yx

49= yazılabilir.

x in karşısında 9 olduğundan x 9 k= ⋅

y nin karşısında 4 olduğundan y 4 k= ⋅ dır.

12

Örnek

2x y 5 xisex y 3 y

+=

- oranını hesaplayabilmek için

Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılırsa

.

.

x yx y

x y x y

x y dir

O halde yx

yy

bulunur

235 6 3 5 5

88

8

&

&

−+

= + = −

=−

= =−

Örnek

3x 4 3x 5 2

+=

- ifadesinde

Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılır denklem dü-zenlenirse3x 4x 5

+=

-3 2(3x 4) 3(x 5)2

6x 8 3x 153x 23

23x bulunur.3

⇒ + = -

⇒ + = -⇒ = -

⇒ = -

ORTAK PARANTEZE ALMAVerilen ifadelerde ortak olan en küçük kuvvetli terimi pa-ranteze alma işlemine ortak paranteze alma denir.

Örnek

3x + 21 ifadesinde her iki terimde de ortak olan 3 çarpanı olduğundan ifade 3 parantezine alınabilir.

Buradan 3x 21 3(x 7)+ = + bulunur.

Örnek

3 23x 2x+ ifadesinde her iki terimde de ortak olan çarpan 2x olduğundan ifade 2x ortak parantezine alınabilir.

Buradan 3 2 23x 2x x (3x 2)+ = + bulunur.

Örnek

2 5 3 4x y x y+ ifadesinde her iki terimde de ortak olan çar-pan 2 4x y olduğundan ifade 2 4x y ortak parantezine alı-nabilir.

Buradan 2 5 3 4 2 4x y x y x y (y x)+ = + bulunur.

Örnek

98 47 96 47⋅ - ⋅ ifadesinde

47 çarpanı ortak olduğundan ifade 47 ortak parantezine alınabilir.Buradan 98 47 96 47 47(98 96)

47 294 bulunur.

⋅ - ⋅ = -= ⋅=

İki Kare Farkı Özdeşliği

x ve y birer reel sayı olmak üzere 2 2x y (x y) (x y)- = - ⋅ + dir.

Örnek

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

x 1 x 1 (x 1) (x 1)

x 4 x 2 (x 2) (x 2)

x 9 x 3 (x 3) (x 3)

4x 9 (2x) 3 (2x 3) (2x 3)

9x 16y (3x ) (4y) (3x 4y) (3x 4y)

x y ( x ) ( y ) ( x y ) ( x y )

- = - = - ⋅ +

- = - = - ⋅ +

- = - = - ⋅ +

- = - = - ⋅ +

- = - = - ⋅ +

- = - = - ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x y x y x y x y

x y x y x y x y

9 16 3 4 3 4 3 42 2 2 2

2 2:

:

− = − = − +

− = − = − +

Örnek

6103 972 2-

ifadesinde

Kesrin pay kısmı iki kare farkı olduğundan2 2103 97 (103 97) (103 97)6 6

6

- - ⋅ +=

=2006⋅

200 bulunur.=

Örnek

2 256 54 k 11- = ⋅ ifadesinde

eşitliğin sol tarafı iki kare farkı olduğundan2 256 54 k 11 (56 54) (56 54) 11 k

2 110

- = ⋅ ⇒ - ⋅ + = ⋅

⇒ ⋅10

11= kk 20 bulunur.

⋅⇒ =

Tam Kare Açılımları

x ve y birer reel sayı olmak üzere2 2 2

2 2 2

(x y) x 2xy y(x y) x 2xy y dir.

+ = + +

- = - +

Örnek

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

(x 1) x 2 x 1 1 x 2x 1

(x 2) x 2 x 2 2 x 4x 4

(x 3) x 2 x 3 3 x 6x 9

( x y) x 2 xy y

+ = + ⋅ ⋅ + = + +

- = - ⋅ ⋅ + = - +

+ = + ⋅ ⋅ + = + +

+ = + +

Örnek

( )

( )

( )

( )

x x x

x x x

x x y y x y

x x y y x y

4 4 1 2 1

9 12 4 3 2

4 4 2

2

2 2

2 2

4 2 2 4 2 2 2

6 3 3 6 3 3 2

+ + = +

− + = −

− + = −

− + = −

13

1. ( )3 3 4 211+ − +− c m işleminin sonucu kaçtır?

A) 67 B) 6

1 C) 61- D) 6

7- E) -2

2. ( ) :9 16 4 2− + −6 @ işleminin sonucu kaçtır?

A) 41- B) 0 C) 4

1 D) 31 E) 2

1

3. 4 - 2 : (1 ⋅ 3 - 15 : (-5)) işleminin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 311 C) 4

17 D) 319 E) 7

22

4. -1 + 2 - 3 + 4 ... - 29 işleminin sonucu kaçtır?

A) 15 B) 14 C) -15 D) -25 E) -30

5. ( ) ( )

( )1 3 5

2 3 8 1 2 7- - - -

- - - - -6 @ işleminin sonucu kaçtır?

A) 35 B) 3

4 C) 32 D) 3

1 E) 41

6. ( ) ( ) ( ) ( ) : ( )1 2 3 4 5 3- - - - - - - - -6 @ işleminin sonu-cu kaçtır?

A) -5 B) 51- C) 5

1 D) 3 E) 5

7. ( ) ( ( ))3 2 2 3 132 1: :- - - - -6 @ işleminin sonucu kaçtır?

A) 196 B) 13 C) 131 D) 1 E) -13

8. 88 3

124-

- işleminin sonucu kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 16

9. (-3)0 ⋅ (-2)2 ⋅ (1 - 5)-1 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 21 C) 0 D) 2

1- E) -1

10. (100 - 1)2 (100 - 2)2 ... (100 - 200)2 işleminin sonucu kaçtır?

A) -101! B) -100! C) 0 D) 101! E) 102!

ÇÖZÜMLÜ TEST - 1

14

11. : : :65

65

74

74

98

98+ + işleminin sonucu kaçtır?

A) 21 B) 4

1 C) 31 D) 2 E) 3

12. 31

41

51

31

41

21− − + − +c m işleminin sonucu kaçtır?

A) 51 B) 10

3 C) 52 D) 5

3 E) 54

13. :21 2

11 2

1

21

21−

+

−+ işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 34 C) 3

8 D) 3 E) 310

14. : ( )

:8 2 321 3 1

3 31

1 31

1:− +

+

+

−

−

J

L

KKKK

eN

P

OOOO

o işleminin sonucu kaçtır?

A) -8 B) -6 C) -4 D) 4 E) 8

15.

543

453

+ işleminin sonucu kaçtır?

A) 21 B) 20

29 C) 1029 D) 10

33 E) 1039

16. − +61

341

921

31:

J

L

KKKK

N

P

OOOO


A) 213 B) 3

25 C) 447 D) 3

43 E) 329

17. :

32

53

71

72

56

34

2 1

− −

+ −−

c

c

m

mişleminin sonucu kaçtır?

A) 6 B) 4 C) 2 D) -3 E) -4

18. 11 2

11 1

1 21

1−−

+ ++


A) 31 B) 3

2 C) 1 D) 23 E) 2

19. ,,

,,

,,

0 90 09

0 30 21

1 80 18 1− + +e o işleminin sonucu kaçtır?

A) 21 B) 3

2 C) 61 D) 3

2- E) 21-

20. ...1 21 1 3

1 1 41 1 12

1+ + + +c c c cm m m m işleminin sonucu

kaçtır?

A) 211 B) 2

13 C) 215 D) 8 E) 2

17

1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. A 9. E 10. C 11. E 12. B 13. C 14. A 15. E 16. C 17. E 18. B 19. A 20. B

15

1. ( )

.bulunur

3 3 4 21 3 3

1 4 21

310

29

620 27

67

( ) ( )2 3

1+ − + = + − +

= − =−

= −

− c c cm m m

Cevap D

2. : : .bulunur9 16 4 2 7 4 2 47 2 4

712

41

( )4

− + − = − = − = − = −6 @

Cevap A

3. : ( ) .bulunur4 2 3 3 4 62

14

62

622

311

( )6

− + = − = − = =

Cevap B

4. Verilen ifade 2 şerli gruplandırılırsa

...

... .bulunur

1 2 3 4 27 28 29

1 1 1 29 14 29 15tane14

1 1 1

− + − + + − + −

+ + + − = − = −

1 2 344 44

1 2 3444 444

SS

Cevap C

5. .bulunur1 3 52 3 8 1 2 7

32 3 2

34

34:

− + −− − + −

=−

−=

−−

=6 @

Cevap B

6. : ( ) : ( ) .bulunur1 2 3 4 5 3 15 3 5+ + + + − = − = −6 @Cevap A

7. ( ) ( ) .bulunur3 2 5 13 13 13 169 131 132 1 2 1: : : :+ = ==− −6 @

Cevap B

8. .bulunur88 3

124 8 8 4

4 8 44 7−

−= −

−= − =

Cevap A

9. ( ) ( ) ( ) .bulunur3 2 1 5 1 4 41 10 2 1: : : :− − − =

−= −−

Cevap E

10. ( ) ( ) ... ( ) ... ( )100 1 100 2 100 100 100 2000

2 2 2 2:− − − −1 2 3444 444

olduğundan ifadenin çarpımı 0’a eşittir.

Cevap C

11. İfadede bölme işlemleri yapılacak olursa

65

56 4

4 98

89

3: : :+ + =7

7 bulunur.

Cevap E

ÇÖZÜMLER

Didem

Sticky Note

Marked set by Didem

16

12. .bulunur31

41

51

31

41

21

51

21

102 5

103

( ) ( )2 5

− − − + + = − + =− +

=

Cevap B

13.

:

.bulunur

2

2321

21

21 2 3

121

12

12

31

11

36 1 3

38

( ) ( )3 3

:− + = − + = − + =− +

=

Cevap C

14. .bulunur4 37 1

31

31

32

18 1 8:− +

+

+=

−= −

J

L

KKKK

cN

P

OOOO

m

Cevap A

15.

.bulunur

543

453

3 45

53

41

415

203

2078

1039

( )5

: :+ = + = +

= =

Cevap E

16. Verilen ifade düzenlenip, payda eşitlemesi yapılırsa

.bulunur

61

43

29

13

122 9 54

13

447

( ) ( ) ( )2 3 6

: :− + =− +

=

J

L

KK

cN

P

OO

m

Cevap C

17. Verilen ifadenin payı -2 ortak parantezine alınacak olursa

: ( ) : ( ) .bulunur

32

53

71

2 71

53

32

2 2 21 2 2 41 :

− −

− − − += − = − = −−

c m

Cevap E

18. .bulunur1

211 1

231 2 1

232

32− + + = − + =

Cevap B

19. İfadedeki terimler ondalıklı sayılardan kurtarılacak olursa

.

.

olur

bulunur

909

3021

18018 1

101

107

101 1 10

5 1 21

− + +

− + + =−

+ =

c

c

m

m

Cevap A

20. İfade düzenlenip rasyonel sayılarda çarpma işlemi uygulanacak olursa

... .bulunur23

34

45

1213

213

: : =

Cevap B

17

1. A = {FENERBAHÇE} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11

2. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?

A) Tek doğal sayılar

B) 12’den küçük tam sayılar

C) 4 ile 5 arasındaki tam sayılar

D) Bazı doğal sayılar

E) Pozitif olmayan sayılar

3. A = {a, {b}, c, {d, e}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Eleman sayısı 4’tür.

B) a, A kümesinin bir elemanıdır.

C) b, A kümesinin bir elemanıdır.

D) {d, e}, A kümesinin bir elemanıdır.

E) c, A kümesinin bir elemanıdır.

4. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) En küçük rakam 1’dir.

B) En küçük pozitif tam sayı 0’dır.

C) En büyük negatif tam sayı -1’dir.

D) En küçük doğal sayı 1’dir.

E) En küçük tam sayı 1’dir.

5. Tam sayılar kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadeler-den hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Sıfır pozitif tam sayıdır.

B) Bütün doğal sayılar aynı zamanda tam sayıdır.

C) Sıfır negatif tam sayıdır.

D) İki tam sayının bölümü yine bir tam sayıdır.

E) Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının toplamı pozitiftir.

6. 12 - (-5 + 4) işleminin sonucu kaçtır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

7. 18 : 6 - 4 ⋅ 2 + 3 işleminin sonucu kaçtır?

A) 21 B) 14 C) 8 D) -1 E) -2

8. 22 + 50 - (-1)4 + 118 işleminin sonucu kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

9. [8 - 3 - 15] - [6 - (3 - 2)] işleminin sonucu kaçtır?

A) -15 B) -10 C) -5 D) 5 E) 10

10. 32 - 3-2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 980- B) 9

8- C) 8 D) 98 E) 9

80

CEVAPLI TEST - 1

18

11. ( )4 8 9 8 6 42 0 : :− + − −6 6@ @ işleminin sonucu kaçtır?

A) -1 B) -7 C) -14 D) -21 E) -24

12. : :3 2 5 3 611:- -6 @ işleminin sonucu kaçtır?

A) -2 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2

13.

21

4 84

1 :-

-

c m işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 21 C) 4

1 D) 81 E) 16

1

14. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3B) 2 + 2 + 2 = 23

C) 80 = 0

D) (-1)6 = 1

E) 3-2 = -9

15. 85

43

61+ − işleminin sonucu kaçtır?

A) 25 B) 24

29 C) 617 D) 24

25 E) 2423

16. 3518

2714

103

: - işleminin sonucu kaçtır?

A) 51- B) 10

1- C) 151- D) 20

1- E) 301-

17. :2120

4215

31+c m işleminin sonucu kaçtır?

A) 3 B) 25 C) 2 D) 2

3 E) 1

18. :34

41

23

32− +c cm m işleminin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 23 C) 1 D) 2

1 E) 31

19. 83

94

56

: : işleminin sonucu kaçtır?

A) 61 B) 5

1 C) 41 D) 3

1 E) 21

20. 3612

4816

7525+ + işleminin sonucu kaçtır?

A) 31 B) 2

1 C) 1 D) 2 E) 3

1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. E 8. A 9. A 10. E 11. C 12. B 13. D 14. D 15. B 16. E 17. A 18. D 19. B 20. C

19

1. 12x - 5y + 7xy ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır?

A) 24 B) 20 C) 16 D) 14 E) 10

2. A = 6x2 - 4y2 + 6xy - 5

B = 3y2 - 4x2 - 6xy + 7

olduğuna göre, A + B toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 2x2 + y2 + 2

B) 2x2 - y2 - 2

C) 2x2 - y2 + 2

D) x2 + 2y2 + 2

E) x2 - 2y2 + 2

3. x yx y

yx y

xx

510

24

2 2

4 3

5

2 6

6

6− + ifadesinin eşiti aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) 3x2y - 2x

B) x2y + 2

C) 2x2y - 2

D) 2x2y + 2

E) x2y

4. x - y = 8

x2 - y2 = 96

olduğuna göre, x + y nin değeri kaçtır?

A) 16 B) 14 C) 13 D) 12 E) 10

5. x = y + 4 olduğuna göre, x2 - 2xy + y2 nin değeri kaçtır?

A) 36 B) 32 C) 28 D) 20 E) 16

6. 43 ⋅ 64 + 43 ⋅ 36 işleminin sonucu kaçtır?

A) 43000 B) 4300 C) 430 D) 43 E) 4,3

7. 10052009 12 -


A) 2008 B) 2416 C) 3016

D) 3416 E) 4016

8. xy - xz = 32

y = z + 4

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

9. x x47 5

−− = denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) -10 B) -9 C) -8 D) -7 E) -6

10. x - 2(3x - 1) = 4(x - 3) - 10x denkleminin kökü kaçtır?

A) -10 B) -12 C) -13 D) -14 E) -15

CEVAPLI TEST - 2

20

11. x - 2y = 4

2x + y = 13

denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) ,6 1- -^ h" , B) ,6 1-^ h" , C) ,6 1-^ h" , D) ,1 6^ h" , E) ,6 1^ h" ,

12. x ve y doğal sayıdır.

x2 - y2 = 13 olduğuna göre, y kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

13. xx

23 4

34

−+

= olduğuna göre, x kaçtır?

A) -4 B) -3 C) -2 D) 3 E) 4

14. x x2 3

26

35>+ eşitsizliğini sağlayan en küçük tam

sayı değeri kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

15. x = -42

y = -35

z = -40

x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) z < y < x B) y < z < x C) y < x < z

D) x < y < z E) x < z < y

16. x ve y tam sayıdır.xy

814

<

< − olmak üzere x - y farkı en az kaçtır?

A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21

17. ba

53= ise

a ba b

3 −+

oranı kaçtır?

A) 4 B) 27 C) 3 D) 2 E) 2

3

18. 5x = 4y ise x yx y

2 2

2 2

+

− oranı kaçtır?

A) 257 B) 41

9 C) 2519 D) 41

9- E) 257-

19. a ba b3

37

−+

= olduğuna göre, ba oranı kaçtır?

A) 41 B) 2 C) 4 D) 4

17 E) 5

20. x y3 2= ve 2x + y = 32 olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?

A) 60 B) 66 C) 72 D) 84 E) 96

1. D 2. C 3. B 4. D 5. E 6. B 7. E 8. C 9. B 10. D 11. E 12. B 13. A 14. C 15. E 16. B 17. D 18. D 19. C 20. E

matematik - pegem.net · Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, Birinci Dereceden Denklemler,...

Documents

Transcript of matematik - pegem.net · Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, Birinci Dereceden Denklemler,...