Gestion du portefeuille07A – Modèle à facteurs

Université LavalGSF 2101

Chapitre 10

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Plan de la séance

Introduction Modèle à un facteur

Général Marché Portefeuille

Modèle à plusieurs facteurs Fama – French Modèles indiciels et Tracking-portofolios

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Introduction

Les modèles à facteurs permettent d’inférer les rendements futurs d’un titre tout en évitant les lourds calculs qui doivent être entrepris afin de construire la frontière efficiente du portefeuille.

Les modèles à facteurs font l’hypothèse que les rendements d’un titre sont reliés à des facteurs.

Les facteurs sont choisis selon leur pertinence

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Introduction

Exemple de modèle à facteurs Observations réalisées

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Année Croissance du PIB

Rendement de l’action i

1 5.7% 14.3%

2 6.4% 19.2%

3 7.9% 23.4%

4 7% 15.6%

5 5.1% 9.2%

6 2.9% 13%

Introduction

Exemple de modèle à facteurs il est possible d’établir une relation entre les rendements du

titre i et le taux de croissance du PIB

rt représente le rendement du titre i au temps t PIBt représente le taux de croissance du PIB au temps t, a est une constante b représente la sensibilité de rt au taux de croissance du PIB et est un terme d’erreur

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Introduction

Exemple de modèle à facteurs Ainsi, les rendements du titre i reposeraient sur

trois éléments: Un rendement constant à chaque période (a); Un terme variant à chaque période suivant le taux de

croissance du PIB (b + PIBt ); Un terme d’erreur et variant à chaque période suivant

les caractéristiques particulières de la compagnie

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Introduction

Exemple de modèle à facteurs Les coefficients peuvent être estimés à l’aide de

régressions linéaires. La méthode des moindres carrés ordinaires est une

méthode permettant de tracer la meilleure droite possible à travers un ensemble de points

L’écart-type de l’estimateur obtenu peut alors être utilisé afin de déterminer si celui-ci est significativement différent de zéro (ou d’une autre valeur).

Le R2 d’une régression indique si la forme linéaire représente bien la relation entre deux ou plusieurs variables

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Introduction

Exemple de modèle à facteurs Résultat obtenu par régression linéaire :

rt = 0.0395 + 2.0282 PIBt + et

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Modèles à un facteur

De manière plus générale, le rendement d’un titre i au temps t pourrait être donné p

où Ft correspond au rendement du facteur considéré comme influent

En faisant l’hypothèse que E [ei] = 0, le rendement espéré du titre i est donné par:

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Modèles à un facteur

Ainsi,

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Modèles à un facteur

Impact sur la Variance Avec un modèle à un facteur, la variance

des rendements du titre i est donnée par

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Modèles à un facteur

Impact sur la Covariance La covariance entre deux titres i et j est

donnée par

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Modèles à un facteur

Le “market model” utilise le rendement sur un indice boursier comme facteur:

où rI représente le rendement d’un indice boursier quelconque.

Remarque : Dans un modèle à un facteur, d’autres facteurs que les rendements d’un indice peuvent être utilisés

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Modèles à un facteur

Considérons le market model

Comparons le market model au CAPM

Si les rendements boursiers se comportent comme le suggère le CAPM, alors

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Modèles à un facteur

Dans le cas d’un portefeuille p, un modèle à un facteur donne:

Avec

où wi dénote la pondération du titre i

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Modèles à un facteur

Remarque : Lorsque wi = 1/n pour tous les titres i, la

diversification tend à faire disparaître le risque spécifique

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Modèles à plusieurs facteurs

Plutôt que de n’être sensibles qu’à un seul facteur, les rendements d’un titre pourraient être sensibles aux variations de plusieurs facteurs :

Pour chaque titre individuel, 4 paramètres doivent alors être estimés: ai, bi1, bi2 et sei.

Pour les facteurs, 5 paramètres doivent être estimés: E[F1], E[F2], sF1,sF2, et Cov(F1;F2).

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Modèles à plusieurs facteurs

Avec un modèle à deux facteurs, nous avons l’espérance de rendement d’un titre i :

La variance d’un titre i :

La covariance entre deux titres i et j :

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Modèles à plusieurs facteurs

Dans le cas d’un portefeuille, nous avons

où

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Modèles à plusieurs facteurs

L’importance des anticipations

Puisque ces modèles servent à anticiper les rendements de titres et/ou de portefeuilles, ce sont les valeurs anticipées des facteurs qui doivent être prises en compte.

Ainsi, ce sont les variations dans les valeurs anticipées des facteurs qui affectent la valeur des titres

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Modèles à plusieurs facteurs

Facteurs sectoriels

Un des avantages des modèles à facteurs est que les facteurs peuvent varier selon les industries dans lesquelles les compagnies opèrent.

Par exemple, certaines industries sont sensibles aux variations du taux de croissance du PIB alors que d’autres ne le sont pratiquement pas.

D’autres facteurs, tels le taux d’inflation, le prix du pétrole, le taux de change, par exemple, ont une influence sur certains titres mais pas sur d’autres

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Fama - French

Eugene F. Fama et Kenneth R. French, dans deux articles parus en 1992 et 1993 (The Cross-Section of Expected Stock Returns, Journal of Finance et Common Risk Factors in the Returns of Stocks and Bonds, Journal of Financial Economics) démontrent que les rendements mensuels des actions cotées en bourse sont influencés par les facteurs suivants:

rmt - r f t : Prime de risque du marché SMBt : Prime de risque basée sur la taille de la firme HMLt : Prime de risque basée sur le ratio book-to-market

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Fama - French

Le modèle à 3 facteurs de Fama et French se lit comme suit:

où SMBt représente la différence entre le rendement d’un portefeuille composé de titres à petite capitalisation et un portefeuille de titres à grande capitalisation les petites compagnies procurent en moyenne des rendements plus élevés que les

grandes compagnies

et où HMLt représente la différence entre le rendement d’un portefeuille de titres avec un ratio book-to-market élevé et celui d’un portefeuille avec un ratio faible Ratio Book to market : BE/ME Valeur comptable des fonds propres, BE, divisé par leur valeur marchande, ME

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Fama - French

Dans le cas des rendements d’obligations, Fama et French proposent le modèle suivant:

où TERMt représente la différence de rendement entre les obligations gouvernementales à long terme et les bons du Trésor 3-mois,

et DEFt représente la différence de rendement entre un indice d’obligations corporatives et les bons du trésor à long terme

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Modèles indicielset Tracking Portofolio

Un gestionnaire de portefeuille estime les paramètres d’un titre i selon le market model et obtient la relation suivante:

Le gestionnaire aimerait profiter du “alpha” de 4% sans s’exposer aux fluctuations du marché

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Modèles indicielset Tracking Portofolio

Pour éliminer le risque de marché provenant d’une position longue dans i, le gestionnaire peut former un autre portefeuille dans lequel il prendra une “position courte” dans l’indice.

Ce second portefeuille, que l’on appelle Tracking portfolio, sera tel que pour chaque dollar investi dans i, 1.4$ de l’indice TSX seront vendus à découvert

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Modèles indicielset Tracking Portofolio

Comme l’indice a un a égal à zéro, le rendement sur le Tracking portfolio sera égal à - 1.4rTSX.

Le rendement du portefeuille entier sera égal à

Le risque de marché a été éliminé. Cette position est un exemple de stratégie “long-short”

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