Clase 07a, Hidraulica II

HIDRULICA IICLASE 10

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

FLUJO GRADUALMENTE VARIADOEl flujo gradualmente variado es producto del desequilibrio entrelas fuerzas de gravedad que provocan el escurrimiento y las defriccin que se oponen a l.

La existencia de un cambio de pendiente o de una alteracin enalguna seccin de un canal es la causa de la formacin dergimen gradualmente variado; aunque no se presenta en la partealterada sino en las zonas aguas arriba y aguas abajo de ella.Para su anlisis se utilizan conceptos de flujo crtico y uniforme, ascomo de mtodos numricos.

HIPTESIS Las lneas de flujo no presentan curvatura apreciable. La distribucin de velocidades se mantiene constante, enuna seccin cualquiera siempre existe el mismo coeficientede Coriolis.La prdida de energa se determina por medio de unaecuacin de friccin vlida en flujo uniforme, es decir,aunque el flujo es gradualmente variable en toda la longituddel canal, se supone que entre dos secciones que seencuentran muy cerca, el comportamiento es similar aluniforme. Aunque para altas velocidades existe arrastre de aire haciael interior del flujo, este efecto se desprecia.

ECUACIN DINMICA DEL FLUJOGRADUALMENTE VARIADO

El origen de ambos ejes se ubica en la seccin a partir dela cual se desea hacer el anlisis.

El eje vertical Y est medido a partir de la plantilla y el ejelongitudinal X est alojado en el plano de la plantilla.

En el tratamiento del flujo gradualmente variado seconsidera que ocurren cambios pequeos del tirante en ladireccin del movimiento, si se comparan con la distanciaen que se producen.

No ocurre entrada o salida del agua a lo largo del tramoque se analiza.

El fondo del canal es plano y pendiente uniforme. La prdida de energa ms importante es la debida a lafriccin.

La ecuacin diferencial de la energa es aplicable al flujogradualmente variado, considerando que es constante}

Se consideran las pendientes positivas cuando estn comose indica en la siguiente figura, independientemente delsigno que tengan de acuerdo con los ejes X-Y.



02(1 )fS Sdy

dx F

En la ecuacin anterior el tirante es funcin de ladistancia horizontal.Es importante recordar que para resolver una ecuacindiferencial se necesitan condiciones de frontera, esdecir, un punto en x donde se conoce el valor del tirantey que sirve como base para calcular los dems tirantes

0 Flujo gradualmente acelerado.

0 Flujo gradualmente retardado.

dydxdydx

0 Uniforme

Discontinuidad,

superficie libre tiende a ser vertical

dydxdydx

CARACTERSTICAS Y CLASIFICACIN DEPERFILES EN FGV

Cuando se conoce el tirante en una seccin de escurrimientogradualmente variado y se desea determinar todo el perfil de lasuperficie del flujo, partiendo de este tirante, el camino mas lgicoes dividir el canal en tramos longitudinales y aplicar entre ellos laecuacin de la energa en forma sucesiva.Por ahora observamos que a partir de una seccin conocida 1 sepuede calcular el tirante en otra seccin 2 resolviendo la ecuacin

1 2

2 21 2

1 1 22 2 fV V

z y y hg g

CARACTERSTICAS Y CLASIFICACIN DEPERFILES EN FGV

La prdida por friccin puede determinarse con los datosconocidos de la seccin 1 y si el tramo no es muy largo,prcticamente no difiere del valor real. Esto reduce la ecuacinanterior a:

22

2 2Vy Cte

g

Ecuacin que se satisface para dos valores positivos del tirante y2,obviamente solo uno de estos tirantes es el correcto y habr quedefinir cual es.Un anlisis de la ecuacin dinmica nos muestra el perfil que debeseguir la superficie del agua a partir de la seccin en estudio, cuyotirante es y1, y con esta informacin se puede seleccionar al tirantecorrecto entre las dos posibilidades mencionadas. La probabilidadde errar en el clculo y2 es mayor mientras se llega al tirante crtico.

PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTE VARIABLECaso 1. Pendiente longitudinal del canal So menor que lapendiente crtica Sc del escurrimiento

Cuando un canal funciona en estas condiciones, es evidente quesi el rgimen estuviera establecido sera subcrtico.yo servir para enumerar el tirante correspondiente a un rgimenuniforme o establecido en un canal cuya pendiente longitudinalsea SoEl rgimen variado se caracteriza porque sus tirantes son diferentesdel normal , por lo que pueden encontrarse las siguientes tresposiciones

PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTEVARIABLE, CASO 01

PERFILES EN FGV, CASO 01-AEn esta posicin se tienen las siguientes caractersticas:

Sf

Es decir, el perfil se acerca asintticamente a una lnea horizontalya que el tirante aumenta debido exclusivamente a lo que bajalongitudinalmente la plantilla del canal.En la direccin contraria al eje X el tirante disminuye, esto implicaque aumenten Sf y F, es decir que Sf se acerque a So y F seaproxime a 1; es importante mencionar que el tirante antes dellegar al crtico llega al tirante normal.

0dy Sdx

PERFILES EN FGV, CASO 01-A

)1( 20

FSS

dxdy f

PERFILES EN FGV, CASO 01-BEn esta posicin se tienen que yo > y > yc

Sf>SoF

PERFILES EN FGV, CASO 01-B

Hacia la izquierda el nivel sube hasta que Sf= So y el flujo tiendeasintticamente a ser uniforme, como en el caso anterior.

PERFILES EN FGV, CASO 01-CEn esta posicin se tienen que y < yc

Sf>SoF>1

Las condiciones anteriores indican que en la ecuacin dinmicael numerador y el denominador son negativos, pero la pendientees positiva

dydx

El tirante aumenta hacia la derecha, cuando se acerca al niveldel tirante crtico: F es igual a 1 y aparece una discontinuidad contendencia a la vertical, hacia la izquierda aumentan F y Sf,alejndose cada vez mas de sus lmites.

02(1 )fS Sdy

dx F

PERFILES EN FGV, CASO 01-CEste es el caso tpico de perfil que se forma a la salida de unadescarga de fondo cuando el canal tiende pendiente subcrtica.

PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTE VARIABLE

Caso 2. Pendiente longitudinal del canal So mayor que lapendiente crtica Sc del escurrimiento

En este caso el flujo establecido ser SUPERCRTICO.Esto significa que el tirante normal Yo es menor que el crtico, lo queequivale a que la pendiente hidrulica a rgimen establecido Soes mayor que la pendiente correspondiente al rgimen crtico Sc

PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTEVARIABLE, CASO 02

PERFILES EN FGV, CASO 02-AEn esta posicin se tienen las siguientes caractersticas:

Sf

En la direccin contraria al eje X el tirante disminuye, cuando llegaal crtico aparece una discontinuidad con tendencia a hacersevertical, tal como se observa en la siguiente figura.

0

0 0

dy SdxS F

PERFILES EN FGV, CASO 02-A

PERFILES EN FGV, CASO 02-BSi, Yc>Y> Yo , el flujo tiene las siguiente caractersticas:

S1

Lo ecuacin anterior indica que en la direccin del flujo, el tirantedebe bajar. Esto implica que en esta direccin S aumenta y alllegar al valor de So la ecuacin de flujo es:

dydx

00 ctedy Y Ydx

Es decir el flujo tiende a hacerse uniforme de acuerdo con lascaractersticas del canal.

PERFILES EN FGV, CASO 02-B

De la seccin de flujo hacia la izquierda, el tirante debeaumentar, lo que significa que en cada seccin el F debedisminuir y al tocar la curva del tirante crtico tendr el valor de 1por lo que:

Lo que obliga a que el flujo tenga una discontinuidad, que lohaga vertical, como se esquematiza en el siguiente ejemplo:

dydx

PERFILES EN FGV, CASO 02-CSi, Y< Yo , el flujo tiene las siguiente caractersticas:

S>SoF>1

Lo ecuacin anterior indica que en la direccin del flujo, el tiranteaumenta. Al llegar al valor de Yo , S alcanza el valor de So , por loque.

dydx

00 ctedy Y Ydx

Es decir el flujo tiende a hacerse uniforme de acuerdo con lascaractersticas del canal.

PERFILES EN FGV, CASO 02-CDe la seccin de flujo hacia la izquierda, los valores de F y Saumentan constantemente.Este caso que es similar al 02.b, es tpico de una descarga defondo, aunque la concavidad es contraria a la vistaanteriormente.

PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTE VARIABLE

Caso 3. Canal con plantilla horizontal So = 0Por lo que la ecuacin dinmica queda de la siguiente forma:

2

0(1 )

fSdydx F

El tirante puede estar en las siguientes posiciones

3a 1 ( )3b 1 inestable

3c 1 ( )

fc

c

fc

SdyY Y F ydxdyY Y F ydx

SdyY Y F ydx

PERFILES EN FGV, CASO 03, A-CDe la seccin de flujo hacia la izquierda, los valores de F y Saumentan constantemente.

El perfil asociado a la segunda posicin es inexistente, lo quesignifica que si en alguna seccin se forzara a dicho tirante,inmediatamente cambiara su valor quedando en alguno de losotros dos casos.

PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTE VARIABLECaso 4. Canal con pendiente crtica Sc=S0En esta situacin el tirante normal Yo es igual al crtico, porconsiguiente So = Sc

En este caso, al acercarse el tirante al crtico, existen dostendencias, perfil vertical y asntota a la lnea con tirante crticos.Lo que realmente sucede, es que en este punto existe unaindeterminacin que trae como consecuencia que esta zona seainestable.

PERFILES EN FGV, CASO 05, A-B

Se ha visto que el flujo variado se presenta siempre en , sinimportar que valores adquieran estos parmetros. En realidad lonecesario para que el agua fluya por una seccin, es que lapendiente hidrulica S sea positiva ya que la pendientelongitudinal puede ser positiva, nula e incluso negativa (adversa)

Caso 5. Canal con pendiente negativa So < 0

0S S

EJERCICIO

IDENTIFICAR EL TIPO DE PERFIL QUE SE PRESENTA PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PASOS SI:3

0273.4 , 0.016, 48 , 0.02mQ n T b m Ss

a)

b)

c)

SECCIONES DE CONTROLCuando en un escurrimiento se presenta un cambio de rgimensubcrtico a supercrtico, la seccin donde esto sucede es una seccincrtica, ya que es la nica que puede pertenecer simultneamente a losdos regmenes.De acuerdo a lo visto en energa especfica esta seccin se presenta enla cresta de un vertedor o en el caso en el cual existe un cambio bruscode la pendiente longitudinal del canal, al pasar de un valor menor que lapendiente crtica Sc a otro mayor que ella.

SECCIONES DE CONTROLEn la naturaleza la seccin crtica tambien se presenta, porejemplo en el origen de las cascadas o en ros en los cuales haycambios bruscos de pendiente.La seccin crtica se provoca artificialmente en algunas obras deingeniera como sucede al principio de los canales de descarga,comnmente llamados rpidas, los cuales trabajan a rgimensupercrtico y se usan con frecuencia en las obras deexcedencia. En este tipo de obras, a manudo se obliga al flujo acambiar bruscamente de subcrtico a supercrtico (al empezar larpida propiamente dicha) haciendo el cambio de pendientenecesario.Es precisamente en estos casos cuando estas secciones crticas seles llama secciones de control nombre que se justifica por larazn que que se expone a continuacin:

SECCIONES DE CONTROLLa importancia de la seccin de control radica en el hecho deque, sabiendo de antemano que ah se va a tener siempre untirante crtico, puede utilizarse como seccin de aforos. En efecto,si se pinta una escala lineal en las paredes de la seccin decontrol, de manera que se pueda leer el tirante en cualquiermomento, para conocer el gasto basta sustituir el tirante y lascaractersticas geomtricas de la seccin en la frmula:

2 3c

c

Q Ag T

O de forma inversa, si se conoce el gasto, puede determinarse eltirante correspondiente utilizando la misma frmula, ya quesabemos de antemano que siempre ser el tirante crtico el quese presente en dicha seccin.

SECCIONES DE CONTROLUn caso comn donde se utilizan las secciones de control es en las obrasde excedencia cuando se provoca un salto hidrulico y despus seconstruye un canal de descarga. En estos casos la seccin de control seproyecta precisamente al empezar la rpida.

En estas estructuras la seccin de control puede utilizarse en el proyectocomo seccin inicial en el clculo de los tirantes a lo largo del canal dedescarga, y disponer as de un serie de perfiles de la superficie libre paradistintos gastos, mismos que son necesarios tanto para disear lasestructuras finales de descarga, como para conocer la altura necesariadel revestimiento a lo largo del canal

INTEGRACIN DE LA ECUACIN DINMICA,MTODO DE INCREMENTOS FINITOS

0

2

0

2

0

2

2considerando incrementos en vez de infinitesimales

f

f

f

dE S Sdxd Vy S Sdx g

dy d V S Sdx dx g

El problema consiste en obtener la funcin y=f(x) a lolargo de un canal prismtico con flujo gradualmentevariado.La ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado seobtuvo a partir de:


2

0

2

0

2

0

2

0

2

12

2

2

f

f

f

f

y V S Sx x g

Vy S Sx g

Vy x S Sg

Vyg

xS S


2 22 1

2 1

0

2f

V Vy yg

xS S

La pendiente hidrulica media se obtiene como elpromedio de las pendientes hidrulicas en las secciones1 y 2 respectivamente.


El perfil puede calcularse con la ecuacin anterioraplicada en tramos sucesivos, en efecto conocidas lascaractersticas de la seccin 1 se selecciona una seccin2 y se determina la distancia x entre ambas secciones.Posteriormente, la seccin dos se convierte en la seccin1 para el siguiente tramo y se contina el procedimientoa largo del canal.Entre mas cortos sean los tramos escogidos mas precisoes el clculo. El criterio para seleccionar las seccionesentonces una decisin del proyectista, pero como reglageneral pueden seleccionarse secciones cuyasvelocidades no varen en mas del 5%.


Debe aclararse que para orientar adecuadamente losclculos es conveniente, antes de empezarlos, hacer unanlisis para determinar el tipo de perfil que se tendrsiguiendo los lineamientos vistos en clases anteriores, demanera que se sepa de antemano si los tirantes van aaumentar o a disminuir en la direccin que interese yadems saber cual ser su lmite.En cauces naturales, la incgnita es el tirante Y, ya quelos tramos en la direccin del flujo se seleccionanpreviamente de acuerdo con la morfologa del cauce.

EJERCICIO

CALCULE LA LONGITUD, MEDIDA DESDE LA DESCARGA LIBRE, EN LA CUAL SE ENCUENTRA Y= 0.30 M, PARA LOS SIGUIENTES DATOS.

3

0.2450.01100.06

T b mn

SoQ m s

Utilice tramos continuos cuyas diferencias de velocidades sean como mximo del10%

EJERCICIO

CALCULE LA LONGITUD, MEDIDA DESDE LA DESCARGA LIBRE, EN LA CUAL SE ENCUENTRA Y= 0.30 M, PARA LOS SIGUIENTES DATOS.

3

0.2450.01100.06

T b mn

SoQ m s

0.1829cY m Perfil 3a 20.04480.61080.0734

c

c

c

A mP mR m

2 11.3393

2 0.2743

0.00706

c

c c

c

V m s

E Yc V g E

S

2 0.20Y m2

2

2

2

?????????

A mP mR m

2

22 2 2 2

2

???

2 ???

???

V m s

E Y V g m E

S

???x m

EJERCICIO

CALCULE EL TIRANTE EN LA SECCIN 2 SI EN LA SECCIN 1 EL TIRANTE ES :a) 2.60 Mb) 1.70 Mc) 0.90 M 8.0

0.0160.00142.0

20.0

T b mn

SoYo mL m

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