07a Hidráulica Flujo Gradualmente Variado

• Ecuación general.

• Clasificación de los perfiles superficiales.

• Estimación de los perfiles de flujo.

• Métodos de cálculo.

Capítulo VI: Flujo gradualmente variado

Flujo gradualmente variado

• Clase especial del flujo permanente no uniforme.

• Caracterizado por una variación continua del tirante.

• Estimación de las “curvas de remanso”.

• Predicción del perfil de superficie libre.

Asunciones para flujo grad. variado

• El flujo es permanente.

• Las líneas de corriente son

prácticamente paralelas.

• La pendiente del fondo del canal es

uniforme y pequeña, de tal manera que

el tirante del flujo es el mismo.

• El canal es prismático.

• Forma de distribución de velocidades y

coeficientes a lo largo del canal son

constantes.

• n constante e independiente de y.

• K, Z funciones exponenciales de y.

• La pérdida de energía más importante

es la de fricción.

Ecuación general

Considere el perfil de flujo gradualmente variado en la longituddiferencial dx de un canal abierto:

H = energía total para una sección cualquiera.

ΔH = diferencial de energía o cambio de energía en el dx.

Δx = longitud diferencial del tramo del canal.

ΔZ = incremento en la altura o carga de occisión de la sección

dx.

Sf = pendiente de energía o de cargas totales, constante en el dx

considerado, pero variable a lo largo de la dirección x.

SW = pendiente de la superficie libre o eje hidráulico.

So = pendiente longitudinal del fondo del canal, constante.

θ = ángulo que forma el perfil longitudinal del fondo del canal con

la horizontal.

d = tirante perpendicular o normal a la sección.

y = tirante vertical.

2

cos2

VH Z d

gθ α= + +

• Ecuación particular de cantidad de movimiento:

2da. Ecuación de Saint-Venant

0o f

V V yV g gS gS

t x x

∂ ∂ ∂+ + − + =

∂ ∂ ∂

Onda cinemática: Flujo Uniforme

Onda difusa: Flujo gradualmente variado

Onda dinámica: Flujo no permanente

Flujo

permanente

Se cumple que: So ≠ Sw≠ Sf y θ ≠ β

Para θ = pequeño:

Tomando el fondo del canal:

donde: α = Coeficiente de Coriolis, (se supone constante).

cosP

d yθγ

= =

2

2

dH dz dy d V

dx dx dx dx gα

= + +

0

2

cos2

fS Sdy

dx d V

dy gθ α

−=

+

2 2 2 2 2

3 32 2

d V Q dA Q dA Q T

dy g g dy gA dy gA

α α αα

− = = − = −

EC.(1)

EC.(2)

EC.(3)

EC.(4)

C

gQ Z

α=

Al suponer un flujo crítico (capítulo IV):

3A

ZT

=22

22

cZd V

d y g Zα

= −

2 2

22

d V Q

d y g g Z

αα

= −

Sustituyendo Q en la ecuación anterior:

Cuando se utiliza la ecuación de Manning:

2 2

4 / 3f

h

n VS

R=

EC.(5)

EC.(6)

EC.(7)

EC.(8)

Introduciendo K: Cuando se utiliza la ecuación de Chèzy:

Suponiendo que ocurre flujo uniforme:

donde: Kn es la conductividad para el flujo uniforme.

Sustituyendo EC.7 en EC.11:

2 2

2 2f

h

V QS

C R K= =

2

0 2

n

QS

K=

2

2

0

f nS K

S K=

EC.(9)

EC.(11)

EC.(10)

( )

( )

( )

( )

2 2

0 02 2

1 / 1 /

1 / 1 /

n n

C n

K K K KdyS S

dx Z Z r K K

− −= =

− −EC.(12)

o

cn

Sr

S=

La ecuación anterior en términos de caudales real, normal y crítico:

Para canales rectangulares anchos:

�Usando la ecuación de Manning:

�Usando la ecuación de Chèzy:

EC.(13)( )

( )

2

0 2

1 /

1 /

n

C

Q QdyS

dx Q Q

−=

−

( )

( )

10 /3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

( )

( )

3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

EC.(14)

EC.(15)

Clasificación de los perfiles superficiales

• Curvas de remanso o ejes hidráulicos son los perfileslongitudinales que adquiere la superficie libre del líquido en uncanal.

• ¡Ningún perfil atraviesa la línea de tirante normal!

• Conectan a los tirantes normales de diferentes tramos.

So > 0:

Pendiente suave: “M”: Mild

Pendiente crítica: “C”: Critical

Pendiente fuerte: “S”: Steep

So = 0: Pendiente horizontal: “H”: “Horizontal”

So < 0: Pendiente adversa: el agua actúa en

contra de la gravedad. “A”: “Adverse”

¡No hay flujo uniforme!

Tipos de pendientes de fondo

n cy y>0 cS S<

n cy y=0 c cnS S S= =

n cy y<0 cS S>

00S =

Zona 1: el tirante real de escurrimiento posee valores

mayores que el normal y el crítico.

Zonas de generación de las curvas de remanso

Zona 2: el tirante real del flujo se encuentra entre el normal

y el crítico.


Zona 3: el tirante real está por debajo de los valores normal

y crítico.


� Las curvas que tienden al tirante normal, se acercan aél asintóticamente:

� Por lo tanto el perfil del flujo es paralelo al fondo delcanal.

Propiedades de las curvas de remanso

21

o fS Sdy

dx F

−=

−

( )0lim 0

n

fy y

S S→

− =

( )lim / 0ny y

dy dx→

=

� Las curvas que tienden al tirante crítico se acercan en

forma perpendicular a la línea del tirante.

� Por lo tanto el perfil del flujo se vuelve en la proximidad

de tirante crítico (curvas M2, S2, H2, A2).

( )lim 1 0Cy y

F→

− =

( )lim /Cy y

dy dx→

= ∞

Propiedades de las curvas de remanso

( )( )( )+

++

( )( )( )−

++

( )( )( )−

+−

(+)

(-)

(+)

Propiedades de los perfilesM: So>0, Yn > Yc

( )

( )

10/3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

( )

( )

10/3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

Propiedades de los perfilesS: So>0, Yc > Yn

( )( )( )+

++

(+)

( )( )( )+

+−

(-)

( )( )( )−

+−

(+)

( )

( )

10/3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

Propiedades de los perfilesC: So>0, Yn = Yc

( )( )( )+

++

(+)

( )( )( )−

+−

(+)

Régimen crítico y

normal: Scn

( )

( )

10/3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

Propiedades de los perfilesH: So = 0

( )( )−

+

(-)

( )( )−

−

(+)

( )

( )

10/3

0 3

1 /

1 /

n

C

y ydyS

dx y y

−=

−

Propiedades de los perfilesA: So < 0

( )( )−

+

(-)

( )( )−

−

(+)

Perfil tipo M:

• M1, comúnmente en represas, compuertas, etc.

• M2 ocurre en pendiente suave.

• M3 presente en un cambio de pendiente de supercrítica a

subcrítica. Esto es dependiente de la PENDIENTE, y no del

tirante. Ej: a la salida de una compuerta.

Ejemplos de curvas de remanso

Perfil tipo S:

• S1, producido por una estructura de control (ej. compuerta). Está

fuertemente ligado al salto hidráulico (luego de).

• S2, comúnmente en cambio de pendiente de suave a fuerte.

• S3, se puede producir aguas debajo de una compuerta.


Perfil tipo C:

Los tirantes normal y crítico coinciden.


Pendiente crítica

Perfil tipo H:

Son los casos límites de los perfiles tipo M.


Flujo

Canal horizontal

Perfil tipo A:

No ocurren frecuentemente debido a que la pendiente es

negativa.


Canal adverso

Flujo

• Tirante crítico proporciona información valiosa para la

estimación de la superficie del agua.

• Antes de cambiar de régimen, el perfil debe pasar por yc.

• Ejemplos de secciones: compuertas, cambios de

pendiente, etc.

Sección de control

Procedimiento para determinar el tipo de perfil:

Paso 1:

Dibujar el perfil longitudinal del perfil del canal (la escala

vertical mucho mayor que la horizontal).

Paso 2:

En el perfil longitudinal marcar los cambios de pendiente y

diferenciar los tramos.

Estimación de los perfiles de flujo

Paso 3:

Calcular el tirante normal y dibujar la línea teórica de

profundidad normal para cada tramo. Se puede aplicar la

ecuación de Manning en combinación con la de continuidad.


Paso 4:

Calcular el tirante crítico y dibujar la línea teórica de

profundidad crítica para las secciones transversales.

Flujo crítico:32

C

C

AQ

g T=


Paso 5:

Definir y ubicar las posibles secciones de control que se

presentaren a lo largo de los tramos.


Paso 6:

Establecer las condiciones de pendiente de fondo para

cada tramo, comparando el tirante normal con el crítico.

Luego se obtiene el tipo de perfil.


Paso 7:

Establecer las condiciones de pendiente de tirantes para

cada tramo, comparando el tirante real con el normal y el

crítico.

Aquí se establece el número de zona (1,2,3).


Paso 8:

Determinar la geometría usando la tabla de las propiedades

de los perfiles. Luego, partiendo de la profundidad real en

cada sección de control, trazar en cada tramo un perfil

continuo.


Paso 9:

Cuando el flujo es supercrítico aguas arriba de un tramo, y

subcrítico aguas abajo, el perfil del flujo tiene que pasar la

profundidad crítica en algún lugar del tramo, y viceversa.


Errores comunes al graficar

Ejemplos de perfiles

Un canal de gran longitud conduce agua desde un embalse de

grandes dimensiones hasta una sección terminal de caída libre.

En el punto medio aproximadamente se coloca una compuerta

deslizante. Se pide comparar las variaciones generales de

profundidad para una pendiente:

a) Subcrítica:

b) Supercrítica:

Ejercicio:

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