Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk...

75

Transcript of Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk...

Page 1: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 2: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 3: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 4: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Trikotniku o�rtana in v�rtana kro�nica � � �� � Vi�ine in vi�inska to�ka�Te�i��nice in te�i��e � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � ��MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

X Koli�ine� Priprava na funkcijo � �P Koli�ine� Koordinatna mre�a � � � � � � � � � ��� Vrste koli�in� njihov prikaz�zapis in prirejanje � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Prikazi odvisnih koli�inv koordinatni mre�i � � � � � � � � � � � � � � � � �Razsevni diagram � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Aritmeti�na sredina � � � � � � � � � � � � � � � � ��Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � ��MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

XI �tirikotniki ���� �tirikotniki� Vrste �tirikotnikov � � � � � � � � ����� Koti �tirikotnika � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Na�rtovanje �tirikotnikov � � � � � � � � � � � � ���

� Trapezi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Paralelogrami � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Deltoidi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � ���MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� D �Futo�iki� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

XIIObsegi in plo��ine ���P Spremenljivka� Obrazec�Izrazi s spremenljivkami � � � � � � � � � � � � � ��

PObseg in plo��ina pravokotnikater kvadrata � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� Sestavljanje plo��in � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Plo��inska enakost � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Paralelogrami � obsegi in plo��ine � � � � � ��� Trikotniki � obsegi in plo��ine � � � � � � � � � �� Trapezi � obsegi in plo��ine � � � � � � � � � � �� Deltoidi in rombi � obsegi in plo��ine � � � ��Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � �MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Page 5: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 6: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 7: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 8: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 9: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 10: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 11: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 12: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 13: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 14: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

UUvodno poglavje

��

Kako �e druga�e imenujemo prikaz s �gurami�

��

Podatke zapisane v drevesnem diagramu prika i spreglednico�

�iva meja

samorasla

negovana

dren

�ipek

�rni trn

lovor

ro�marin

��

Naj bo A � f�� �� �� �� �� �g in B � f�� �� �g�a� Ali velja B � A� b� Ali velja A � B�

Odgovor pojasni�

��

Dane so mno ice�A � f�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��gB � f�� �� ��� ��� ��� ��gC � f�� �� ��� ��g

Ugotovi zapi�i in prika i z Vennovimi diagrami�a� A � B b� A � B c� A � C � B

a� Odpri Excel� Opi�i odprto programsko okno�b� Preglej in preizkusi gumbe vseh menijevOsnovno�

Urejanje itd�

Kaj pri elektronskih preglednicah pomeni celica kajizbrana celica stolpec vrstica in mre�a� Kaj povenaslov celice C��

Kako so ozna�ene celice ki sestavljajo vrstico pro�gramskega okna� Kako so ozna�ene celice ki sesta�vljajo stolpec programskega okna�

a� Opi�i kako ozna�i� izbrano celico�b� Na delovnem zvezku ozna�i celice A� B� C��c� Ozna�i zapored celice B� C� A� G��� Napi�i naslov celice ki le i na preseku petega

stolpca in osme vrstice ter drugega stolpca in tri�najste vrstice�

V programskem oknu zaporedoma ozna�i stolpceA C G B in �e tretjo osmo in dvanajsto vrstico�

Shrani posameznen list in ves zvezek�

a� Kam te premakne uporaba tipke Home �b� Pojasni kako pride� iz celice B�� v celico A��c� Kaj in kako pobri�e� s tipkami Backspace Delete Esc �

Uporabi drugi delovni list v datoteki�

a� V celico A� vpi�i naslov Podatki prijateljev�b� V zaporedne celice od A� dalje vpi�i naslove

glav� Priimek Ime Doma�i naslov Kraj po�te�tevilka po�te Elektronski naslov Mobi �tevilka�

c� Sproti ustrezno raz�iri celice�� V stolpce od B� do B� vpi�i iskane podatke�d� Oblikuj po svoje preglednico in jo shrani�

Odpri nov delovni zvezek� Na prvem listu vpi�i vstolpec A decimalna �tevila ��� ���� �������� v stolpec B pa ulomke �

� �� ��

� ��

�� Za�

tem izpis vseh decimalnih �tevil spremeni v ulomekin izpis ulomkov v decimalno �tevilo� Zakaj je tomogo�e�

a� Na drugi list delovnega zvezka iz prej�nje na�loge vnesi v zaporedne vrstice racionalna �tevila�� ��� ����� ��

� � ����

� �����

���

b� Vsako zapisano �tevilo preoblikuj z ukazi Splo�no �tevilka Ulomek Znanstveno Besedilo� Za�pi�i jih v stolpec pod vpisanim pravim �tevilom�

��

V celico A� vpi�i �tevilo ������ ������������ �te�vilu dodaj najprej peto in potem �e �esto decimalko�Nato �tevilu zmanj�uj dol ino decimalnih mest poeno� Postopek v obe smeri na istem �tevilu ponovi�

a� Spreminjanje zapisa �tevila prika i v preglednici�b� Pojasni kako spreminja� izpis �tevila in kaj se do�

gaja s �tevilom�

��

Podatke iz nalog � �� �� in �� uredi v elektronskopreglednico� Podatke uredi in prika i �e z gra�ko�nom�

a� Poi��i podatke za dol ine rek Save So�e Dravein Kolpe ter jih vnesi v preglednico�

b� Prika i dol ine rek z vrsti�nim diagramom in zgra�konom�

��

Page 15: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 16: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

UUvodno poglavje

Naloge

Namigza re�evanje problemov

Skrbno premislisistemati�no inpregledno zapisuj�

Eva bo iz prihrankov ��� kupila puli za �� hla�eza �� kapo za � in � zgo��enke po �� �Koliko denarja ji bo ostalo po nakupu�

Mama je dala Petru ��� o�e pa ��� �Koliko denarja je dobil Peter od star�ev ta dan�

Matej je dobil ��� � Koliko denarja je e imel vdenarnici �e ga ima zdaj ��� �

Maja je zapravila za knjige ���� �Koliko denarja je imela v denarnici pred nakupom�e ji ga je ostalo �e ���� �

Ju� si je izposodil od brata �� �Koliko je bratu �e dol an �e mu je e vrnil ���� �

Dani sta �tevili �� in ���

a� Kolik�na je vsota danih �tevil�b� Kolik�na je razlika danih �tevil�

a� Kateremu �tevilu mora� pri�teti �� da dobi� ���b� Od katerega �tevila mora� od�teti �� da dobi�

���

Vsota dveh �tevil je ��� njuna razlika pa ��� Kateri�tevili sta to�

Mitja je prihranil ���� in Petra ���� � Kolikomorata �e prihraniti da bosta lahko kupila dve vstop�nici za koncert ki staneta �� �

��

Natan�no preberi in re�i vse prej�nje naloge� Zatemodgovori in odgovor pojasni�

a� Ali so si kateri od prej�njih sedmih problemovmed seboj podobni�

b� Ali je te avnost prej�njih problemov po tvoji pre�soji pravilno ozna�ena�

��

Opi�i in pojasni korake re�evanja problemov�

Trgovec s sadjem je kupil � ��� kg jabolk po ���in � ��� kg po ��� � Vsa jabolka eli prodati poenotni ceni�

a� Najmanj koliko mora stati kilogram jabolk �e eli trgovec dobiti nazaj vlo eni denar ob po�goju da proda vsa jabolka�

b� Koliko zaslu i trgovec ob pogoju da preprodanaprej vsa jabolka po enotni ceni ��� �

��

Jarek bi en sam delavec skopal v �� dneh� V kolikodneh bi ta jarek skopalo � delavcev pri pogoju da biza vse veljal povsem enak re im dela in bi vsi delalienako zavzeto�

��

Mama je iz � litrov kisa ki ga je kupila po ���in � litre kisa po ��� naredila me�anico ter jorazred�ila s � litrov vode�Koliko je vreden liter mami�ine me�anice kisa�

��

Naro�nik potrebuje �� litrov �� � etanola� Prodaja�lec pa ima na zalogi le �� � in �� � etanol v stekle�nicah po � litrov�Ali prodajalec lahko ugodi naro�niku� Pojasni�

��

Page 17: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 18: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 19: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 20: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 21: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 22: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 23: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 24: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 25: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 26: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

UUvodno poglavje

Pri zbiranju podatkov uporabljamo glede na temo preiskovanja��metodo opazovanja s pre�tevanjem��metodo merjenja��metode spra�evanje� intervju in anketo�

Razmisli kak�na mora biti anketa� Razmisli kak�en mora biti intervju� O tem sepogovori s so�olko ali so�olcem�

Namigi�

� Ali se strinja� da naj bosta intervju in anketa kratka jasna in naj omogo�ata samo enodgovor najbolje morda DA in NE�

� Kaj se zgodi �e postavi� vpra�anje ki omogo�a anketirancu da izrazi svoja stali��amnenja prepri�anja� Kako je potem z obdelavo odgovorov�

Naloge

Zberi podatke o rojstnih dnevih so�olk in so�olcev�Z zbranimi podatki lahko ob majhni pozornosti po�skrbi� za prijetno vzdu�je v razredu skozi vse leto�

Razi��i prisotnost so�olk in so�olcev pri pouku v te�dnu dni�

Razi��i s katerimi izven�olskimi dejavnostmi se ukvar�jajo tvoje so�olke in so�olci� Preiskavo ponovi �e veni paralelki� Rezultate primerjaj�

Razi��i obiskanost �olske knji nice v tednu dni�Ugotovi naslov najpogosteje izposojene knjige tegatedna�

Razi��i kako pogosto obiskujejo kulturne prireditvetvoji so�olci in so�olke� Podatke zberi za obdobjeenega meseca�

S spleta http�wwwarsogovsivremezanimivosti iz podat�kov Potek povpre�ne temperature zraka v letih ��������� razi��i ali gre zares za segrevanje ozra�ja�

Na spletu Agencije Republike Slovenije za okolje�http�wwwarsogovsivremenapovedi in podatki� spremljajnapovedi teden dni� Razi��i kako se je vreme v temtednu spreminjalo�

Razi��i kako tvoje so�olke in so�olci zajtrkujejo� Alito opravijo doma na poti v �olo v �oli ali pa splohne�

Razi��i katere zvrsti �lmov najraje gledajo tvoje so��olke in so�olci in katere zvrsti glasbe najraje poslu��ajo�

��

Razi��i vzroke prometnih nesre� v Sloveniji�Podatke dobi� na spletu http�e�upravagovsiispo

cestnavarnost�

��

Pobrskaj po spletu �http�wwwstatsipreb rojstvaasp� inrazi��i kako se je spreminjalo �tevilo rojstev v Slove�niji na tri poljubno izbrane dneve in vsaj petih razli��nih letih�

��

Page 27: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 28: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 29: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 30: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 31: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Naravna �tevila� Deljivost in delitelji

Naloge

Zaporedje naravnih �tevil

� �

Za kaj lahko uporabljamo zaporedje naravnih �tevil�

Opi�i vzorec zaporedja naravnih �tevil�

Nadaljuj zaporedje naravnih �tevil �e vsaj s tremi�leni�

a� � �� �� � � � b� �� ��� � ��� � � �

Zapi�i zaporedje devetih naravnih �tevil ki se za��enja s �tevilom � vsako nadaljnje �tevilo pa je ��kratnik prej�njega�

� �

Dopolni manjkajo�a �tevila tako da dobi� zaporedje�

� ��� � ��� � ���

� �

Dopolni diagram zaporedja� Opi�i zaporedje�Zapi�i �len zaporedja ki stoji na n�tem mestu�

a � � �

��

� ��

� �

Nari�i diagram �tevilskega zaporedja� Opi�i zapo�redje in zapi�i njegov �len ki stoji na n�tem mestu�

a� � �� �� �� � � � b� � � � �� � � �c� � � � �� � � � � � � � �� �� � � �

Zapi�i zaporedje �estih naravnih �tevil ki se za�enjas �tevilom �� ��� vsako nadaljnje �tevilo pa je ��krat manj�e od prej�njega�

� �

Izberi prvi �len zaporedja in zaporedje nadaljuj takoda bo vsak nadaljnji �len

a� za �� ve�ji b� ���krat ve�jic� za �� manj�i � ���krat manj�i�

�� �

Zapi�i zaporedje �e pozna� njegov splo�ni �len�

a� �n � �� n N b� � � ��a� ��� a N

Lastnosti naravnih �tevil

�� �

Trditev prepi�i v zvezek tako da bo pravilna�

a� �tevilka je sestavljena iz posameznih �tevil�b� �tevka � je ve�ja od �tevila ��c� �tevka je znak s katerim zapi�emo �tevilo�

� �

Dopolni preglednico�

Predhodnik tevilo Naslednik��� ���

�� ���� ��� ���

��

Ali lahko zvezo med predhodnikom in naslednikomizbranega �tevila poka e� tudi z od�tevanjem�Katera utemeljitev se ti zdi bolj�a�

�� �

a� Poimenuj in zapi�i mestne vrednosti �tevk v �te�vilih �� ���� � ��� ���� � ��� ���� � ��� ����� ��� ��� ����

b� Prika i vsa �tevila na abakih�

�� �

Zapi�i �tevilo ki je sestavljeno iz�

a� �Dt �T �S �Eb� �M �Dt �T �S �Ec� �Dm �M �Dt �T �D �E� �Sm �M �Dt �S �Ed� �Md �Sm �Dm �M �St �T �E

�� �

Od�itaj s pu��ico ozna�ena naravna �tevila� Zapi�ijih kot podmno ico naravnih �tevil in jih poimenuj�

a

�� �� � �� �� ��

b

��� �� ���

�� �

Zapi�i in prika i na ustreznem delu �tevilskega pol�traka podmno ico naravnih �tevil ki so med danima�teviloma�

a� �� in �� b� ��� in ���c� � ��� in � ��� � �� ��� in �� ���

��

Page 32: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 33: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 34: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 35: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 36: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 37: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 38: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 39: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Razcep na prafaktorje

Povzemimo�

Spoznali smo tri razli�ne na�ine razcepa �tevila na prafaktorje�� zapis z izrazom s samimi produkti�� zapis z drevesnim diagramom�� zapis z diagramom deljenja�

1 Kaj lahko re�emo o �tevilu ���

Premislimo in ugotovimo��tevilo �� lahko zapi�emo le kot produk dveh faktorjev �� � � � �� zato je �tevilo ��pra�tevilo�

2 Razcepimo �tevila �� ��� in ��� Razcep zapi�imo po vrsti s produkti z diagramomdeljenja in z drevesnim diagramom� Kateri zapis utegne biti najbolj priro�en�

Premislimo in ugotovimo�

S produkti

� �� � � � ���� � � � � � ���� � � � � � � � ���� � � � � � � � � � ��� � �� � �

Z diagramom deljenja

��� ���� ��� �� ��

��� � � � � � � � �

Z drevesnim diagramom

� � � � �

��

��

Najhitreje nas do re�itve privede zapis z diagramom deljenja�

3 Ali so vsi ra�uni zapisi razcepa �tevila ����

a� � � �� b� � � � � � � �� c� �� � �� � � � �� � �� � � � �� d� ��� � �

Upo�tevamo pravila in ugotovimo�a� Je razcep a ne na prafaktorje ker �tevilo �� ni pra�tevilo�

b� Je razcep na prafaktorje ker so vsi faktorji pra�tevila�

c� Je razcep a ne na prafaktorje ker prvi faktor � zapisan kot vsota ni pra�tevilo�

� Je razcep na prafaktorje�

d� Ni razcep na prafaktorje ker je �tevilo raz�lenjeno na vsoto dveh pra�tevil�

4 Prafaktorji �tevila � ��� so �� �� in ��� Poi��imo vse njegove delitelje�

Sklepamo�Ker je � ��� � �� � �� � �� so v mno ici deliteljevD� ����� vsi njegovi prafaktorji� �� �� ��

� �tevilo � ki deli vsako �tevilo

� �tevilo � ��� samo

� vsi mo ni produkti prafaktorjev� �� � �� � ��� �� � �� � ��� in �� � �� � ����

Ugotovimo�Mno ica deliteljev �tevila � ��� jeD���� � f�� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ����g�

Page 40: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 41: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 42: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 43: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 44: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 45: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 46: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 47: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 48: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 49: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Do trdnega znanja

���

Izra�unaj najve�ji skupni delitelj in najmanj�i skupnive�kratnik�a� �� �� ��� �� b� �� �� ��� ��c� ��� �� �� �� � �� �� ��� ��d� ��� ��� ��� � e� ��� ��� ��� ��

��

Dopolni preglednico� Kaj opazi��

D � vv

D

Produkt

�� �t�

�� �t� � �� � � � ��

�� �� � � �� ��

���

Peter zlaga po � zavitkov skupaj v �katlo�

a� Koliko �katel napolni �e ima ��� zavitkov�b� Ali mu pri tem kak zavitek ostane�c� Po koliko zavitkov bi moral nalo iti v �katlo �e bi

elel porabiti vse�

���

Tri plasti�ne folije ki so �iroke po �� cm in dolge�� cm �� cm in �� cm eli o�e razrezati na enakodolge �im dalj�e kose�Koliko kosov folije bo dobil� Kako dolgi bodo kosi�

���

O�e in mati enako hitro hodita drug ob drugem�Njuni koraki se za�nejo takoj po za�etku hoje razha�jati saj hodi o�e s povpre�no dol ino koraka �� cmmati pa z dol ino �� cm�a� Po koliko metrih se njuni koraki zopet ujemajo�b� Koliko korakov od za�etka do prvega ujemanja

napravi vsak od njiju�

���

Na farmi so dobili v dar �� zajcev� Razmi�ljajo ko�liko hi�ic naj jim pripravijo da bodo bivali udobnoob pogoju da bo v vsaki hi�ici enako �tevilo zaj��kov� Pomagaj jim pri razmi�ljanju�

���

Mama eli v ��� m dolgo in ��� m �iroko sobo po�lo ili lamelni parket� Zbrala je de��ice z dimenzijo��� �� cm� O�e se mamini izbiri neuspe�no upira�e� da izbira de��ic ni prava�Kdo ima prav� Zakaj� Pojasni�

���

Jankov model eleznice ima dve koncentri�ni kro niprogi� Lokomotiva zunanjo progo obvozi v �� se�kundah notranjo pa v �� sekundah�Janko je dolo�il startno �rto� Z nje so�asno spu��aobe lokomotivi in raziskuje�a� V kolikem �asu se lokomotivi spet sre�ata na start�

ni �rti�b� Koliko obhodov pri tem naredi vsaka�

���

Klepetulja Petra kli�e po mobiju mamo bratca intri prijateljice najmanj ��krat dnevno� Ano �peloin Tino je poklicala prvi� drugo za drugo v torek�Obljubila jim je da bo odslej Ano poklicala vsakdrugi dan �pelo vsak �etrti dan in Tino vsak �estidan� Kdaj bo spet na isti dan poklicala Ano �pelo inTino�

���

�� januar prestopnega leta ���� je bil torek� Na ka�teri dan v tednu se je za�el silvestrski ve�er tega leta�

���

Arhitekt razmi�lja�Kako visoka naj bo posamezna stopnica �e morastopni��e povezati �� dm vi�inske razlike�

��

O�e skrbno vzdr uje avtomobil�Olje zamenja na vsakih � ��� km zra�ni �lter navsakih �� ��� km sve�ke vsakih �� ��� km in za�vorno teko�ino na vsakih �� ��� km�

a� Kdaj se bodo servisi za vse stvari ujemali�b� Napravi servisni plan za ��� ��� km�

���

Milka eli posaditi tulipane v razdalji � dm in hia�cinte v razdalji �� dm v dve vzporedni po �� cmoddaljeni ravni gredici dolgi po � m� Vsako gre�dico namerava pri�eti in zaklju�iti z ustreznim cve�tom tako da bi se legi obeh cvetov v obeh vzpore�dnih vrstah prekrivali� Ostale �ebulice naj bi posa�dila zamaknjeno�a� Ali je dobro premislila na�rt� Koliko �ebulic ene

in druge vrste bo potrebovala�b� Ali bi bilo bolje �e bi sadila �ebulice tulipanov

v medsebojni zaporedni razdalji �� cm hiacintepa po �� cm�

Page 50: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 51: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Milena Strnad

STIČIŠČE 7Matematični učbenik za 7. razred osnovne šole

REŠITVE NALOG

II. izdaja po učnem načrtu

iz leta 2011

STICISCE 7 - RESITVE - PRVA IN DRUGA STRAN - NUN 2013.indd 1 14.8.2013 1:58:31

Page 52: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Milena Strnad

STIČIŠČE 7Matematični učbenik za 7. razred osnovne šole

REŠITVE NALOG

II. izdaja po učnem načrtu

iz leta 2011

STICISCE 7 - RESITVE - PRVA IN DRUGA STRAN - NUN 2013.indd 1 14.8.2013 1:58:31

Page 53: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Predgovor

Bistvo matematike ni v obrazcih� ampak v

miselnih procesih� s katerimi jih dobimo�

V� P� Jermakov

Draga u�enka� dragi u�enec�

naj ti zaupam� da te bodo sadovi tvojega u�enja matematike spremljali vse �ivljenje� na vsakem ko�raku� ne glede na izbrano strokovno pot� Zato se matematike ne izogibaj� �e manj boj� U�enjematematike namre� prispeva k razvoju in krepitvi vseh vrst mi�ljenja� od uporabnega do abstrak�tnega in kriti�enega� Je tudi nekak�en most� ki ureja delovanje tvoje domi�ljije�

Matematiko se u�i tudi z branjem razlage� prera�unavanjem �e re�enih zgledov in seveda prek re�e�vanja �tevilnih nalog� Vsaka pravilna re�itev te naj razveseli� �e posebej� �e jo morda re�i� na svojna�in� ki ni zabele�en v Re�itvah nalog�

To knji�ico� ki vsebuje re�itve prav vseh nalog iz u�benika� uporabi �ele� �e re�i� nalogo� Z njopreveri svoj rezultat� hkrati pa upo�tevaj� da ti prina�a marsikateri namig za razli�ne poti re�evanja indodatno razlago�

Morebitne te�ave pri re�evanju nalog naj te ne u�alostijo� V njih poi��i vzpodbudo� da jih re�i� in stem prestopi� na vi�jo stopni�ko svojega znanja� �e ti to ne uspe samostojno� se obrni po pomo�bodisi k so�olki ali so�olcu� pri huj�em zapletu pa tudi k u�iteljici ali u�itelju� Vpra�anja so vednodobrodo�la�

Nikakor pa re�itev nalog slepo ne prepi�i� S tem ni� ne pridobi�� prelisi�i� samo samega sebe�

Zavedaj se� da matematika ni te�ka� le lotiti se je mora� z glavo� potrpljenjem in zaupanjem vase�

Nalog v u�beniku je veliko� Razdeljene so na tri zahtevnostne ravni� Najpreprostej�e so osnovnenaloge� ki so obarvane zeleno� Zahtevnej�e so obarvane modro� najte�je pa so obarvane rde�e� Pritem upo�tevaj� da je te�avnost naloge tudi stvar osebne presoje�

Priporo�ila�U�benika ne uporabljaj le kot zbirko nalog� Ve�krat ga prelistaj in prebiraj� posebno tisto�kar je zapisano v rumenih okvir�kih� V modrih okvir�kih so zapisane zahtevnej�e re�i�

�Upo�tevaj� da ni mi�ljeno� da bi vsak u�enec ali u�enka re�ila vse naloge iz u�benika� Na�log je zelo veliko zato� da najde� bogat in zadosten izbor nalog treh razli�nih zahtevnostnihstopenj na enemmestu�

�Naloge re�uj s sklepanjem� Temeljit premislek �teje ve�� kot �e re�i� ve�je �tevilo podobnihnalog po receptu��

� Pri izbiri nalog upo�tevaj navodila u�itelja ali u�iteljice� Re�evanja dodatnih nalog se loti le��e ti re�evanje prina�a zadovoljstvo�

� Korake re�evanja sistemati�no zapisuj v zvezek� vse od izpisa podatkov� postopkov re�eva�nja do odgovora�

�elim ti veliko uspeha in zadovoljstva pri u�enju matematike

Milena Strnad

Page 54: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve razdelkov Domedalj �

UUvodno poglavje � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��I Deljivost naravnih �tevil � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �II Orientacija� Prostorske predstave� Simetrala daljice � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � III Ulomki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��IV Preslikave v ravnini � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���V Se�tevanje in od�tevanje ulomkov � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��VI Dvojice kotov � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �VII Mno�enje in deljenje ulomkov � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��VIII Odstotki� Odstotni ra�un � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IX Trikotniki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��X Koli�ine� Priprava na funkcijo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���XI �tirikotniki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����XII Obsegi in plo��ine � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Page 55: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 56: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve

��Deljivostnaravnih �tevil

�V�� � f���������������� � � �gD�� � f������������g

�Pravilno� A in C�

B� Velja obratno� �� je ve kratnik �tevila ��D� Velja obratno� � je deljivo z ���

Deljivo z �s� � � � �

� � � � �

�� �

�� � �

�� � � �

� � � �

�� � �

�Le � ni pra�tevilo�

��� � � � �

�� � �� � ��

��� � �� � �

a� D����� � � v����� � ��b� D����� � � v����� � �c� D������� � � v������� � ����

a� D������� � �� cm

Dol�ina dela modre in rde e vrvice je �� cm�b� �� � �� � �� �� � �� � �

Rde o vrvico razre�emo dvakrat� modro enkrat�Po rezanju dobimo � enakih delov vrvic� Iz prve vrvicedobimo tri dele� iz druge dva�

c� Rezati moramo trikrat�

�a� N� velja obratno�

�tevilo� ki je deljivo z �� je deljivo tudi s ��b� Pc� N� mo�na sta dva razli na popravka�

�tevilo je deljivo s �� e je �tevilo� sestavljeno iz zadnjihdveh �tevk �tevila� deljivo s ���tevilo je deljivo z �� e je �tevilo� sestavljeno iz zadnjih treh�tevk �tevila� deljivo z ��

�Da� Vsaj en faktor produkta je deljiv z �� s � ali s ��

�Vstavimo po vrsti �� �� �� Prvo in zadnje �tevilo sta deljivi s �in z �� srednje pa le s ��

��tevilo �� � � ne deli �tevila �� � �� � ��

�Ocena� Ne� ker je �� � �� � � � �� � ��

�� � �� � �� � ��

�� � �� � �� � ��

Re�itve so lahko druga ne� Na primer�a� ��� ��� �� �� �� ���b� �� �� �� ��� �� ��

D������� � �� � � ��� � � �

a� �lanov je osem�b� Vsak je prinesel � mandarine in � jabolki�

�Da� saj je � � � � � � �� � �� � �� � ����

�V razcepu �tevila �� na produkt dveh �tevil prepoznamo dru�ga no zapisano deljivost oziroma deljenje� ki se izide brezostanka� V drugem izrazu gre za zapis deljenja z mno�enjemin se�tevanjem�

�Vsota �tevk danega �tevila je �� zato dobimo ostanek ��

�� �� �� �� � �

�a� v������ � ��

Vsi trije avtobusi bodo spet so asno odpeljali vsaki � uri� toje ob ���� ���� ���� ���

b� v����� � �Avtobusa s prog A in B bosta odpeljala so asno vsakih �minut� to je ob ����� ���� ����� ���� ����� ��������� ���� ����� ���� ���� in ���v���� � �Avtobusa na progah A in C odpeljeta skupaj vsakih � mi�nut� ob ���� ����� ����� ���� ����� ����� ��������� ���� in ���v���� � ��Avtobusa na progah B in C odpeljeta so asno vsakih �� mi�nut� ob ���� ������ ����� ������ ������ ���� ����������� ������ ������ ���� ������ ����� ������ ����� in���

Najmanj�i skupni ve kratnik dveh �tevil je enaka� enemu izmed njiju� e je ve je �tevilo ve kratnik manj�ega

�tevila� Enak pa je ve jemu�b� Ko sta si �tevili tuji�

a� Ne� Izjema so vse vsote� ki vklju ujejo kot sumand edino

sodo pra�tevilo ��b� Ne� Izjema so vse razlike� v katerih je od�tevanec sodo

pra�tevilo ��c� �� � � �� �� �� � ��

��Orientacijanapremici inv ravnini

�a� p�R� P�� premica je orientirana v pozitivni smeri�

b�

s

R P a

�a� S skice� ki ka�e pravo smer gibanja urnega kazalca� se vidi�

da bo Alja� dal karte najprej �ivi� ker ve ina iger s kartamizahteva� da tisti� ki deli� zadnji prejme karte� in ne sebi� kar bibilo tudi mo�no�

b� Negativna smer�

Page 57: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

�Imamo � re�itve� ker nobena to ka ni poimensko dolo ena kotprva� Vsako izmed njih tako lahko imenujemo A� Vse nasle�dnje sledijo isti smeri� ki je nasprotna gibanju urnega kazalca�Na primer�

D

AB

C

Narisali smo po�evno projekcijo kocke�

�Re�itev je veliko� ker lahko za prvo koordinato izberemo po�ljubno �tevilo� Na primer�

a� T����� b� �����

�N T Mp

To ke dolo ajo tri daljice NT� TM� NM in tri poltrake� K vsa�kemu poltraku lahko nari�emo �e dopolnilni poltrak�

�a� Orientacija �tirikotnika je pozitivna�

b� C

B A

D

�tirikotnik razpade na dva pozitivno orientirana trikotnika��ABC

in�ACD�

�Simetrala daljice je pravokotnica na daljico� ki jo razpolavlja�Za simetralo je zna ilno to� da so vse to ke na njej enako odda�ljene od kraji� daljice� Prese i� e simetrale z daljico je razpo�lovi��e daljice�

�Sestavljeni kocki ustreza samo mre�a ��

B

C

D

T

A

� � � � � � � �������

a� Daljici AC inDC sta diagonali kvadrata�b� To ka p�AC� � p�DC� � T����� je prese i� e diagonal kva�

drata�

�Kolo E se vrti v negativni smeri�

�Risanje je individualno delo� Postopamo tako� da med prve trito ke razpnemo dve daljici ter na rtamo njuni simetrali� Prese� i� e teh simetral je iskana to ka�

�Mre�i piramide sta sliki � in ��

�Dve mo�nosti� kot ka�eta sliki� Enkrat je kvader viden od spre�daj� drugi od spodaj�

�Ogli� a po vrsti ozna imo s to kami A���� B����� C����� inD����� �e to ko C premaknemo na ������ dobimo kvadrat� e pa jo premaknemo tako� da se prekrije s to ko B����� patrikotnik� Na enak na in lahko premaknemo tudi katero kolidrugo to ko na sosednjo to ko in spet dobimo trikotnik� Takihre�itev je �

Opomba��e nas ne moti� da se prvotno ogli� e trikotnika pojavi na novistranici kot vzporedna to ka� se nam ponuja �e ve mo�no�sti� Npr�� e to ko C premaknemo na celo�tevilsko diagonalnoto ko med B in D� dobimo � re�itve� e pa premaknemo to koA na celo�tevilsko diagonalo� dobimo �e nadaljnjih � re�itev�

��Ulomki

���� ��� ���

��

�Primer�

a� b� c�

�T � �

���� R � �

���� S � ��

���

����

����

�a� �

�� � �

�b� ��� � ��

����

��

a� �� je skupni in hkrati tudi najmanj�i skupni imenovalec�D����� � � � ��

��in ��

��

b� Ker je v����� � �� je �� npr� skupni imenovalec� � panajmanj�i skupni imenovalec� � ��

��in �

��� ��

�in �

� � �� � �

���

��� ��

���

�� � � � ����

�Kitaro igra �� u encev�

�Ri�i po svoje� na primer�

����

kvadrata

Page 58: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve

�Opazimo� da sta ulomka �

�in �

��zgolj raz�irjena ulomka �

�in �

��

Ulomek ��

pa je le z ulomkom napisana enota�

��

��

���

��

��

��

��

���

�a� � ur b� ��

�V prvem primeru je re�itev veliko� ker imata dva ulomka velikoskupnih imenovalcev� Med njimi je le en skupni� zato je vdrugem primeru re�itev ena�Ulomka s skupnim imenovalcem� ��

�in ��

��

Ulomka z najmanj�im skupnim imenovalcem� ��

in ����

Med naravnima �teviloma � in ��

��� �

��

Prva je porabila najmanj� tretja pa najve svojega denarja�

�Prevoziti namerava ��� km dolgo pot�

����

���

��

���

����

�Ker lahko vsak ulomek raz�irimo� lahko to ke ozna imo z raz�li nimi ulomki� ki pa predstavljajo isto to ko� Na primer�E� �

��� �

� �

��G�

��� �

� �

�T� ��

��� �

� �

�����

����

�����

����

�a� ���� � ���� b� �

� ��

���� � �

� ��

���

�� �

� �� � �

� ��� � �

Ne� Matja�eva tola�ba je samo znak prijaznosti� V resnici staimela med po itnicami oba enako �tevilo de�evnih dni� Topoka�e navzkri�no mno�enje�Ker je �� � �� � �� � � je ��

��

����

Ulomki so enakovredni� e jih dobimo z raz�iritvijo istega okraj��anega ulomka� Imajo razli ne zapise� a isto vrednost� Drugizraz zanje je ekvivalentni ulomki�

�Ulomek �

�in periodi na decimalna �tevilka �� sta samo dru�

ga na zapisa istega racionalnega �tevila� ki ga na �tevilski osiprika�emo z eno samo to ko�

��Vzorci

�Slika C je nastala z vzporednim premikom originala A� Slika B je

nastala z zasukom za ��

originala A�

Gre za zrcaljenje ezpremico�

S

�a� Osnovni motiv� modra� osno simetri na �gura� podobna

rki X� Pravilo� vzporedni premik osnovnega motiva za �kvadratkov naprej�

b� Osnovni motiv� rde a� nesimetri na �gura� Pravilo� vr�

te� �gure za ��

v obratni smeri gibanja urnega kazalca invzporedni premik v vodoravni smeri v desno za � kvadratkenaprej� Ali

Pravilo� vrte� �gure za ��

v smeri gibanja urnega ka�zalca in vzporedni premik v vodoravni smeri v desno za �kvadratke naprej�

�a� Zrcaljenje ez premico�

A A �B B �

C C �

D D �

F F �

G G �H H �

b� Zrcaljenje ez to ko

A

A �

B

B �

C

C �

D

D �

FF �

G

G �

H

H �

c� Pri zrcaljenju �ez premico se liku spremeni orientacija� prizrcaljenju �ez to�ko pa se orientacija lika ohrani�

�Opomba� Opisi so odvisni od tega� kaj izberemo za motiv�

Motiv� nesimetri na oran�na �gura� ki je nastala z zasukomza �� osnovnega motiva� ki je sestavljen iz � celihkvadratkov in dveh trikotnikov�

Pravilo� vzporedni premik naprej za toliko kvadratkov� da seoriginal in slika dotikata�

Da� opis je mo�en na dva razli na na ina� ker je zasuk za ��

enak zrcaljenju �ez to�ko�

�Lik je simetri�en na zasuk� e obstaja tak zasuk v ravnini� ki jeve ji od � in manj�i od ���� po katerem se lik preslika samvase�

Red simetrije pove� kolikokrat se kaka oblika pri polnem zasukupopolnoma prekrije sama s seboj�

��� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� vzporedni premik v dveh neodvisnih smereh� vodo�

ravni in navpi ni� glede na spodnjo vodoravno rtovzorca�

Page 59: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Simetrija� glede na vzporedni premik�

�� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� zasuk motiva za ��� okoli sredi� ne to ke vzorca� To

je sredi� e pravilnega petkotnika� ki ga motivi ograju�jejo�

Simetrija� rotacijska� reda ��

�� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� zasuk motiva za ��� okoli sredi� ne to ke vzorca� ki je

sredi� e pravilnega osemkotnika� ki ga motivi ograju�jejo�

Simetrija� rotacijska� reda �

�� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� zrcaljenje �ez premico� pravokotno na vzorec�Simetrija� osna simetrija�

�Risanje je individualno delo� Gre za zrcaljenje ez premico�

�Prvo zrcaljenje ohrani� drugo pa spremeni orientacijo lika�

��� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena trikotna oblika�Pravilo� zrcaljenjemotiva �ez premico� ki je pravokotna na smer

osnovnice trikotne oblike�Simetrija� osna�

�� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena trikotna oblike�Pravilo� vzporedni premik motiva v dveh neodvisnih smereh�

navpi ni in vodoravni tako� da je razdalja med origina�lom in sliko enaka razdalji med �estkotniki�

Simetrija� glede na vzporedni premik v dveh smereh�

�� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena oblika trikotne oblike�Pravilo� zrcaljenje motiva �ez premico� ki je kar vodoravna osnov�

nica trikotne oblike�Simetrija� osna�

�� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena trikotna oblika�Pravilo� zasuk motiva za �

okrog sredi� ne to ke kro�nice�

ki ograjuje vzorec�Simetrija� su�na� reda �

��Se�tevanje inod�tevanjeulomkov

�a� �

��

� � � � �

���� D���� � �

��

��

��

b� ��� �

��

�����

��� D����� � �

���

��

��

�a� � b� c� � ��

��

� ���

d� �

e� �� �

�a� ���� � ��� b� ��� � ��c� ����� � ���� � �� � ��

����

� ���

� �� � ���

� � ��

� � ���

� � ���

�a� x � �

�b� x � �

Pripravila je � �

�kg marmelade�

��

��

��

�a� � �

�b� � �

�c� ����

���� �

�� � �

�� � �

�� � �

�� � �

Na ���� mestu stoji len � ����

�a� �� �

� � �

�� �

� �

b� � ��� �� �

�� � �

�� � � �

�� � � � �

�a� x � � �

�b� x � � �

To je �tevilo ��� ali � �

���

�����

����

� ��

� ��

� ��

��

� ���

� ���

�� ����

�Iskano �tevilo je � �

��

�y � � �

��

������ � �

�� ����� � �

�� ����� � �

�� ����� � �

�� � �

Vsak nadaljnji len� ki je zapisan z decimalno �tevilko� je za ��

ve ji od prej�njega� Vsakemu decimalnemu zapisu sledi zapisistega �tevila z ulomkom�

a� Do drugega postanka je popotnik prehodil �

��poti�

b� Do cilja bo moral prehoditi �e ���

poti�

c� Ker ne poznamo razdalje od starta do cilja� lahko re emole� prvi dan je popotnik prehodil �

��celotne poti� drugi dan

pa ���

celotne poti�

Page 60: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve

�Dvojicekotov

��

��

Simetrala kot razdeli na dve enaki polovici�

�Naloga ima dve re�itvi� ki se razlikujeta le po tem� kateri krakdanega kota izberemo za skupni krak sokotov� Dodani kot je vobeh primerih enako velik topi kot�

�� primer �� primer

A

A

D

CB

D

C

B

�� primer� topi kot � DBA��� primer� topi kot � DBC�

��� ���

������

�a� Sovr�na kota sta enako velika�

�� ��

� �

b� Dvojici sovr�nih kotov � in � � ter � in � � sta enako veliki�dvojici sokotov � in � ter � � in � � sta suplementarni�

Dvojici sovr�nih kotov � in � � ter � in � � sta enako veliki�dvojici sokotov � in � ter � � in � � sta suplementarni�

� �� �

� �

� � �

� �

�� � � � ���

� � ����� � � ���

a� � � � � ���

b� � � ��� � � ��� � � ��� � � ���

���� � � � �� � ��� � ��

���� � � � �� ��� � ��� ��� � �� ali���� � � � �� ��� � ��� ��� � ��

����� � ��� � �

�Sliko dopolnimo v kot � z zrcaljenjem danega kraka kota ezsimetralo v drugi krak�

s�

k

k �

V

a�

B

C

A

D

b�

B

C

A

D

Simetrali nasprotnih kotov pravokotnika sta vzporedni� pri kva�dratu pa se prekrivata� Pri pravokotniku simetrala kota ni no�silka njegove diagonale� Kot� ki ga oklepata diagonali pravoko�tnika� ni enak �� kot pri kvadratu�

�a� � � ��� � � ����

b� � � ���� � � ���

Page 61: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

�a� � � ���� � � ���� � � ���

b� � � � � � � ���

To ke� ki so enako oddaljene od krakov kota� le�ijo na simetralikota� to ke� ki so enako oddaljene od kraji� daljice� pa na si�metrali daljice AB� Iskana to ka� ki je hkrati enako oddaljena odkrakov kota in kraji� daljice� je prese na to ka obeh simetral�

k

hA

B

����� � �� � �� � ��� � �� � �� � ��� � � � ��

����

��� � �� � ��� � �� � �� � � � ���

���

Vsota in razlika

���� � ���

���� � ���

�������

���

��

��

��

��

Kot med simetralama meri ���Sokota � in �merita skupaj ��� Zato je kot med simetralamavedno enak �

���� �� � �

�� �� � ���

�a� � � ���� � � ���� b� � � ���� � � ���

�a� Pre�nica je premica� ki hkrati seka dve ali ve vzporednih

premic�b� Da� saj to sta dva zunanja ali notranja kota z vzporednimi

kraki ob razli nih vrhovih in na razli nih straneh pre nice�c� Enaka kota lahko sestavljata dvojico skladnih kotov� dvo�

jico sokotov� e meri vsak natanko ��� dvojico sovr�nihkotov� e le�ita ob prese i� u dveh premic� kota s paroma

vzporednima krakoma v isto ali nasprotno smer� Te koteimenujemo tudi izmeni ne kote�

� Da� sokota sta vedno sosednja kota� saj skupaj sestavljataiztegnjeni kot�

d� Sosednja kota nista vedno sokota� saj je njuna vsota pogo�sto manj�a ali ve ja od ���

�� � � � � � ��� � � ��

Primer na rtovanja�

k�

��

��

Sredi� i kro�nic le�ita na simetrali kota� njun radij pa je enakpravokotnici iz izbrane to ke na simetrali na krak kota�

�Mno�enje indeljenjeulomkov

�a� ��

�b� �

�c� ��

� �

d� ���

e� � ��

�a� b� �

�a� �

��b� ��

��

�a� �

��b� �

�a� x � �

�b� x � �

a� ��

��b� � �

To je �tevilo � ��

��

�Masa �unke po su�enju je bila �� �

�kg�

��

���

��

��

��� ���

���

�a� x � �� �

�b� x � ��

��

�a� �� �

�b� �

��

�Manj�e je �� �

��krat�

To je �tevilo ��� ali � ��

���

V bali je �e �� �

��m blaga�

��

Page 62: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve

�a� Iz � kg pomaran pridobijo

��litra soka�

b� Potrebujejo �� ��

kg pomaran �

������

�a� Lahko uporabimo deljenje z obratno vrednostjo�

��

od ���

��

� � � ���

ali pa mno�enje� ��

od ���

��� ���

���

�x � �

��

�� ��

��tevilo ��

V polnem bazenu je �� �

m� vode�

V � minuti se v bazen preto i ����

m� vode� kar je ��� litrovvode�

�� ����

�a� Pravilno� Gre za zapis deljenja dveh naravnih �tevil v obliki

ulomka�b� Napa no� Zakon o zamenjavi za deljenje ne velja�c� Napa no� Gre za izpostavljanje skupnega faktorja� zato je

pravilno�ab� cd� c

d�

cd�ab� ��

� Pravilno� Gre za zakon o zamenjavi�

��Odstotki� Odstotni ra un

��� od � ljudi ne pije prave kave�

� cm��

� �

�� �

� �

�a� � �� �� �� �� �� � �� � �� � �

b� �� �� � �� � �� �� �� �� �

�a� � kg b� c� �� m � �� �

�a� Ocena U encev�u enk

Odli no �Prav dobro �Dobro Zadostno �Nezadostno

b� Uspeh Odstotki �tevilo

Odli no

Prav dobro

Dobro

Zadostno

Nezadostno

� �

�� �

� �

�� �

Dol�ina jopice se je skr ila za � � prvotne dol�ine� Rokavi sose skr ili tudi za � �� torej za ��� cm in so merili okoli ���cm�

�A� ���� � trakuB� ���� � trakuC� � � trakuD� ���� � trakuE� ��� � traku

������ m� � �� � kg

�Najljub�a sla��ica

Sladoled� �

Torta���� �

�okolada���� �

�Pla al je ����� in prihranil ����� �

�Zadelo je �� � sre k�

Premija je �� �

�a� � odstotek pomeni �

���od celote�

b� p odstotkov pomeni p���

od celote�

c� Stolpi ni in blo ni diagram� diagram s krogom� trakom� �gu�rami�

� � � ustreza kro�ni izsek ����� Izsek� ki ustreza p�� meri��� � p��

�Celota Del celote Odstotek

�� ���� ��� �

� �� km ���� km ���� �

���� g �� g ��� �

�a� Ne� Kon na cena pe ice je po ponovni pocenitvi celo

ni�ja� kot je bila prvotna prodajna cena� �� � dele� od pr�votne cene je namre manj�i� kot je �� � od srednje cene�ki so jo pove ali z dele�em prve podra�itve�

�a� �b� ��

�Poraba vodefebruar ���� m�

marec � m�

��

Page 63: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

april ���� m�

skupaj ��� m�

Igra a stane ���� evra�

��Trikotniki

�Trikotnik �� raznostrani en� ostrokoten�Trikotnik �� enakostrani en� ostrokoten� osno simetri en�Trikotnik �� enakokrak� ostrokoten� osno simetri en�Trikotnik �� enakokrak� topokoten� osno simetri en�Trikotnik �� raznostrani en� pravokoten�Trikotnik �� enakokrak� pravokoten� osno simetri en�Trikotnik �� raznostrani en� topokoten�Trikotnik � raznostrani en� topokoten�Trikotnik �� enakostrani en� ostrokoten� osno simetri en�

�a� Notranji kot �meri ����b� Zunanji koti trikotnika merijo� � � � ���� � � � ���� in

� � � ����

�Nobenega� ker je vsota kraj�ih dveh stranic enaka dol�ini naj�dalj�e stranice� To pa ne ustreza trikotni�ki neenakosti�

�C

A Bc

� �

B

A

C

a

b

vc

BA

C

c�

Velja samo prva trditev� ne pa tudi druga�

�� � ���� � � � � ���

�Za odgovor zado� a� da ocenimo ali izmerimo le dol�ine stra�nic� Drugi odgovor se skriva v trditvi� V trikotniku le�i najdalj�istranici nasproti najve�ji kot V �PRS je nadalj�a stranica PR� najve ji kot ji le�i nasproti�torej ima vrh v ogli� u S�V �UVZ je nadalj�a stranica UZ in najve ji kot ji le�i nasproti�torej ima vrh v ogli� u V�

�Re�itev je ena� Iskani trikotnik dobimo tako� da pomo�ni trikot�nik� ki ga omejujejo stranice tb�

b�

in c� nari�emo po pravilu oskladnosti sss�

A B

C

R

c

tb

b�

�� ��

��

��

B

C

A

b a

A

B

C

rvSv

bc

Velja samo prva trditev� ne pa tudi njen obrat�

��

Page 64: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve

Osno simetri ni so enakokraki trikotniki� Imajo eno simetrijskoos� Osno simetri ni so tudi enakostrani�ni trikotniki� Ti imajotri simetrale�

�a� �ABC je enakostrani en� torej ima vse stranice enako dolge

in vse kote enako velike� Je tudi osno simetri en�b� � � ��� � � ��� � � � ���

c� CN je vi�ina trikotnika�� �ANC je pravokotni raznostrani ni trikotnik� �e ga prezr�

calimo ez nosilko daljice CN� dobimo enakostrani ni triko�tnik ABC�

�Dol�ina ene stranice mora biti manj�a od vsote dol�in preosta�lih dveh stranic� Primer je individualno delo�

�Trikotnik je dolo en z dol�inama dveh daljic in kotom� ki le�idalj�i stranici nasproti� Ni pa dolo en� e ta kot le�i nasprotikraj�i stranici�

�Podatki ne ustrezajo nobenemu skladnostnemu izreku� Pri a�kujemo lahko ni � eno ali dve re�itvi�

Potek nartovanja�� Nari�emo nosilko stranice c� izberemo ogli� e B in odme�

rimo dol�ino stranice c��� V poljubni to ki premice postavimo pravokotnico in odme�

rimo na njej dol�ino vi�ine vc � ��� cm��� V razdalji vc nari�emo vzporednico k stranici c��� V to ki B nari�emo kot ���� Prese i� e prostega kraka kota � z vzporednico k stranici c

je ogli� e C��� Pove�emo ogli� i C in A�

Re�itev je ena�

C

vc

A Bc�

p

A

B C

Podatki ne ustrezajo nobenemu skladnostnemu izreku� Pri a�kujemo lahko ni � eno ali dve re�itvi�

Potek nartovanja�� Nari�emo stranico c��� V ogli� u B odmerimo in nari�emo kot ��

�� Nari�emo kro�nico s sredi� em v A in s polmerom r � b�

�� Prese i� i kro�nice in prostega krakakota � sta ogli� i C� in C��

Naloga ima dve re�itvi�

C�

A B

C�

c

b�

b�

B�

C �

C

A

S

B�

c�

c�b

r

Dobimo dve re�itvi� ostrokotni in topokotni trikotnik� Nadaljnjidve re�itvi z ogli� em C � imata napa no orientacijo�

���Koli ine� Pripravana funkcijo

�a� � g� � min� � � m� �� d�

b� �� dag� ��� m� ��� �� h

�A������ B������ C������ D������ R����� S����

�Dobimo linijski diagram� Daljica najprej pada� nato nara� a� paspet pada�

� � � � � � � �

�V � dneh bo zaostala �� min in � sek� to je � sekund�

�V povpre ju je porabila ���� �

�a� A������ B������ C�����

��

Page 65: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

b�

A

B

C

D

� � � � � � �

x

y

c� D����

�Soseda mora pripraviti ��� kg sladkorja�

�Opis je individualno delo� Na primer�Planinci so pri eli s hojo ob vzno�ju gore ob �� uri zjutraj� Pouri in pol neprekinjene hoje so se povzpeli na nadmorsko vi��ino m� Tu so pol ure po ivali� Vrh na nadmorski vi�ini� � m so dosegli ob ��� uri� Dve uri so u�ivali razgled� natoso se odpravili v dolino� Hodili so brez postanka in zaklju ilipohod ob ��� uri�

�a� Prijateljice so v povpre ju prispevale po ���� �

b� ���� pa je povpre je glede na prispevek�

�Ogli� a kvadrata ABCD so� A������ B������ C����� D�����

A

D

E

F

G

D �

E �

F �

G �

� � � � � � �

D ������� E ������� F ������� G ������

� � � �

h

km

Kolesar je prevozil �� km dolgo pot�

��etrti izdatek je bil �� �

�Iz diagrama sledi� da je brskanje po internetu veliko bolj prilju�bljeno kot obisk kino predstav� Le � primera izstopata� kar pane vpliva na kon no odlo itev�

����tirikotniki

��tirikotnik je paralelogram�Notranji koti merijo� � � � � ���� � � � � �����

A B

CD

e f

Pravokotnik je sredi� no in osno simetri en�

�� � � � ���� � � � � ��

p

A B

CD

��

�Skica

A B

C

D

a

b

ef

C

A B

D

a

b

e

f

Opomba� Opis je individualno delo� lahko tudi takole�

Potek nartovanja�� Nari�emo nosilko stranice a� Na njej izberemo ogli� e A in

odmerimo dol�ino jABj � a��� Na nosilko stranice a postavimo vi�ino v� ji odmerimo dol�

�ino in skozi kraji� e postavimo vzporednico k nosilki stra�nice a�

�� V ogli� u A odmerimo kot �� Njegov prosti krak seka vzpo�rednico v ogli� uD�

�� Iz ogli� a B nari�emo lok s polmerom r � b� Ta seka vzpo�rednico v ogli� u C�

�� Pove�emo ogli� iD in C�

��

Page 66: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve nalog

e� Enakokrakemu trapezu lahko o rtamo kro�nico� v rtamo

ga lahko v posebnih primerih� ko je vi�ina enaka ��� � je

polmer kro�nice� v rtanega trikotniku na nosilkah stranic a�

b� d �ali b� c in d��

f� Trapezu� ki ni enakokrak� ne moremo o rtati krog�nice� v r�

tamo ga lahko� kadar sredi� i kro�nice� v rtane nosilkam

stranic a� b in d ter b� c in d� sovpadata�

g� Splo�nemu �tirikotniku lahko kro�nico o rtamo le� e �tirikot�

nik lahko konstruiramo na razpolovi� ih stranic kakega dru�

gega �tirikotnika �to je tetivni �tirikotnik�� kro�nico lahko

v rtamo le� e se diagonali sekata pravokotno in je

�� � � �� � ali pa se razpolavljata in je �� � � �� ��

��

Dol�ine so za polovico kraj�e�

��

T

AB

p

p �

jTAj � jABj � jBCj � jTCj

Futo�iki

�� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � �

�� � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

�� � � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � �

�� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �

�� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

�� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

�� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

�� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

���

Page 67: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

��� Obsegi in plo��ine

��� Obsegi in plo��ine

P� Spremenljivka� Obrazec� Izrazi sspremenljivkami

�V vseh primerih dobimo izraze s �rko ali izraze s spremenljivko

a� ���a� ��� a

b� a��� a� �

c� x��� x � � � � � x

� b�a� b� a

d� c�a��� c � a � � � � � a � c

e� b�b� b � b � b�

Izraze imenujemo�

�� b� nakazana vsota ali nakazano se�tevanje�a� �� nakazana razlika ali nakazano od�tevanje�� � x� nakazan zmno�ek ali nakazano mno�enje�b� a� nakazana vsota ali nakazano se�tevanje�� � c � a� nakazan zmno�ek ali nakazano mno�enje�b�� kvadrat ali druga potenca �tevila b�

��katla� ki se�teva� da naslednje rezultate�

a��� a��

b��� b��

a����� a�

�Pravilna zapisa sta A in C� Zapis A je najbolj pogost�

RazmislekKer �tevila pi�emo v mestnem sistemu �mesto v zapisu da �te�vilki vrednost�� moramo zmno�ek dveh ali ve �tevil vedno za�pisati z znakom mno�enja� �e bi pri zapisu � � � izpustili znakmno�enja� bi dobili �tevilo ��� Vemo� da � � � �� ���

�Vsi odgovori razen B� � in D so pravilni� Najpriro nej�i je zapisC� pogosto uporabljamo tudi dalj�i zapis A�

�a� a� � b� b� � c� a � � � �a � �� b

Izraz Vrednost rke Vrednost izraza

� � a� � a � �

b� � b � �

a� b a � �� b � ��

� � �a� b� a � �� b � � �

��

��

��

�Izraz

a a� � � � a� � � � a� �

� � � ��

�� �� �� �

�a� b� c�� a

�� a

b � � a

b� � � a

c c

c � a

Rezultati so izrazi s spremenljivkami��� a� b� � � a � b� �a� c � a � ca

Rezultat lahko zapi�emo na dalj�i na in z znakom mno�enja alina kraj�i na in brez znaka za mno�enje�a� � � a ali �a b� � � u ali �uc� � � a� ali �a� � � � c � � ali �c� �d� a� b� c� d� �

�a� � � b � b� b� b� b� b� b

b� � � a � a� a� a

c� � � x � y �� x � y� x � y� x � y� x � y� x � y �� xy� xy� xy� xy� xy

� � � a � b � c � a � b � c� a � b � c� a � b � cd� � � a� b � a� a� a� a� b

e� a � c� � � d �� a � c� d� d� d � ac� d� d� d

f� � � a � b � c� � � b �� a � b � c� a � b � c� a � b � c� b� b �

� abc� abc� abc� b� b

g� � � a� � � b� c �

� a� a� a� b� b� c

��a� b� b� a� � � b� b � � � b� a � �b� a

b� � � a� � � a� � � a � a

��a� Poljubno �tevilo naj bo a�

Izraz� � � a� � � �a� ��b� Poljubni �tevili naj bosta a in b�

Izraz� �a� b�� �� � a� b� ��c� Poljubni �tevili naj bosta x in y�

Izraz� �x� y�� � x� y� � Poljubni �tevili naj bosta a in b�

Izraz� � � �a � b�� b �� ali ��a � b�� b ��

��a� b� �� a

c� � � a� � � x � �a� �x� a� � � b� c � a� �b� c

��Krogec samo nakazuje vmesni rezultat pri ra unanju� Vanj vpi��emo prvi izraz� Z njim potem� kot ka�e diagram� ra unamonaprej�

a� a���� a� ��

�b� a� ��� b

b� ��b��� b

�c� �� b� c

c� ��b�� � b

�a� � � b� a � �b� a

� ����c���� � � c

��b� ��� � � c� � � b �

� ��� �c� �b

d� c���� � c

�b� � � c� b � �c� b

e� � � a���a� � � a� � � a

���b� � � a� � � b � a� �b

��a� � � a� b � � � �� � � ��b� � � a� � � b � � � �� � � � � � �� � ��

��Opomba� Pozorno poglejmo� kako smo pri poenostavitvi iz�

raza uporabili oklepaj� Potem gre ra unanje hitreje�a� � � a� � � b �� � � �a� b� �� � � ��� �� � � � � � ��

b� � � a� � � a� � � b �� � � a� � � b �� � � �a� b� �� � � ��� �� � � � � � �

���

Page 68: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve nalog

��a� � � x� � � y � �x� �yb� � � a� �� � b � �a� ��bc� a� � � � a � a� � �a� � � a� � � � a � b � �a� � �ab

��

� � �

�� �� �� ��

� � � �� ��

�tevilsko zaporedje ima prvi len �� vsak nadaljnji len je za �ve ji� Zadnjega lena nima� zato je to neskon no zaporedje��� �� �� ��� ��� �� ��� �� � � ��len� ki stoji ne n�tem mestu� imenujemo splo�ni �len ali pravilozaporedja�Do njega vodi sklep� � � �� � � �� � � � � � � n � �

�Iskano zaporedje je �� �� �� �� � � � � Prvi len je �� vsak nadaljnjipa je za � ve ji� �len na �� mestu je ���

� � �

�� �� �� ��

�� � � �

�tevilsko zaporedje se pri ne z �� Vsak nadaljnji len je za �manj�i� V mno�ici naravnih �tevil se zaporedje po nekaj lenihkon a pri �tevilu �� Naslednje� za � manj�e �tevilo od �� je�tevilo � ki ne sodi med naravna �tevila��� � �� �� �

Splo�ni len� ��� �n� n ���������

��Spremenljivka je vsaka rka v matemati nem jeziku� ki jo lahkov danem zapisu nadomestimo s katerim koli �tevilom�

P� Obseg in plo��ina pravokotnika terkvadrata

��Na sliki je �� nalepk� V �� vrsticah bi jih bilo ���

��Ocena je individualno delo�S pre�tevanjem ugotovimo� da imajo vsi liki na sliki enako plo�� ino� �� plo� inskih enot�Lahko si pomagamo tudi z ra uni�pA � � � �� � ��� � � �� � �� � ��pB � � � � ��pC � � � � � ��

��Ocena je individualno delo� Pogled lahko zavede�S pre�tevanjem ugotovimo� da ima rde a ploskev plo� ino �� cm��oran�na ploskev �� cm� in modra � cm��

��a� o � �� cm� p � � cm�

b� o � � cm� p � ���

cm�

c� o � ��� cm� p � ������ cm�

��a� o � ��� dm� p � ��� dm�

b� o � � ��

dm� p � ���

dm�

c� o � � ��

dm � ��� dm� p � � ���

dm�� ���� dm�

��

p

o

b

a

p

o

b

a � cm �� dm

� cm �� dm

� cm �� dm

�� cm� �� m�

�� dm �� mm

��� dm � mm

�� dm ��� mm

�� dm� ���� cm�

��Dol�ina stranice kvadrata meri cm�

o � � � a

�� � � � a

� � a � ��

a � cm� ker je �� � � �

a ��

��

��

��

� �

� �

�a� a � ��� dm � p � ���� dm�

b� a � �� ���

cm � p � ������ cm�

c� a � ���� m � p � ������ m�

�a� a � �� cm� o � �� cmb� a � ��� m� o � �� mc� a � �

�m� o � � m

��Druga stranica meri � cm�

� � �a� b� � ��

��� b � ��

b � � cm� ker je� � ��� � � � � ��

a o

a"� �� ��

�b ��

�b � �

��� ��

��� � �

��Druga stranica meri � cm�

p � a � b

�� � � b

� b � ��

b � � cm� ker je � � � ���

b ��

� ��

�a

� a

��Obseg pravokotnika meri ���� cm�

��Takih pravokotnikov je ve � npr� s stranicama �� cm in � cm ali�� cm in � cm�

��a� Vsi pravokotniki imajo enak obseg � cm�b� Kraj�a stranica vsakega pravokotnika se iz primera v primer

pove a za � enoti� Zaporedje pravokotnikov lahko dopol�nimo s pravokotniki s stranicama �� cm in cm� � cm in�� cm ter �� cm in �� cm� Zadnji primer je poseben primerpravokotnika� kvadrat�

c� Plo� ine vseh na�tetih pravokotnikov se postopno ve ajo�Najve jo plo� ino ima kvadrat�

���

Page 69: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

��� Obsegi in plo��ine

��a� Risanje je individualno delo� Vsak nov kvadrat dobimo

tako� da pove�emo razpolovi� e njegovih stranic� Posto�pek nadaljujemo�

b� S �tetjem kvadratkov ugotovimo� da je p� � ��� p� � ���p� � �� plo� inskih enot� Plo� ina vsakega nadaljnjegakvadratka se zmanj�a za polovico�

��Za � pogrinjek potrebujejo ���� m�� za osem pa ����� m�

traku�

��Za eno okno potrebuje ��� m� stekla� za � pa �� m� stekla�

�Janu se teoreti no ponuja veliko mo�nosti od ozke parcele� od� m� ��� m do bolj uporabnih� npr� �� m� �� m�� m � �� m� �� m � ���� m � � � V vsakdanjem �ivljenju tehmo�nosti ni toliko�

�� Sestavljanje plo��inUvodnaMilan ima prav� Kakor hitro znamo izra unati plo� ino pravo�kotnika in kvadrata� znamo z ustreznim sestavljanjem ali razsta�vljanjem sestavljenega lika izra unati tudi njegovo plo� ino�Metka lahko ra una na dva na ina�Lik razstavi na dva pravokotnika s stranicama � cm in � cm ter �cm in � cm in plo� ini se�teje�p � � cm � � cm� � cm � � cm � �� cm�

Lahko pa najprej dopolni lik v pravokotnik s stranicama � cm in� cm ter od njega od�teje plo� ino kvadrata s stranico � cm�p � � cm � � cm� � cm � � cm � �� cm� � � cm�

� �� cm�

�a� p � �� m� b� p � �� cm�

c� p � ��� cm� � p � �� m�

��a� x � ��� cm b� x � � cmc� x � � dm � x � � m

�� Plo��inska enakostUvodnaJan ima prav� ker ve� da velikost okoladne tablice� ki je sesta�vljena iz enakega �tevila enako velikih ko� kov� ni odvisna odtega� kako so ko� ki razporejeni� Oblika lika ne vpliva na plo�� ino� e je le lik sestavljen iz enakega �tevila enakih delov� ki sene smejo prekrivati�

��Da� vsi liki so plo� insko enaki in merijo po � plo� inskih enot�

��Risanje plo� insko enakih likov je individualno delo�Prvi lik meri � plo� inskih enot� drugi pa �� plo� inskih enot�

IzzivPlo� ini osen enih delov sta enaki�

��a� Slike vzorcev so individualno delo� Na primer�

b� Ne� Z rombi lahko samo z rezanjem in potem lepljenjemdobimo pravokotnik�

��a�

b�

��En lik je sestavljen iz dveh delov �tirikotnika� preostala dva iz�tirih� Slednja sta plo� insko enaka�

��

a�

b�

A

B

C

A

B

CA

B

CA

B

��

�Individualno delo� Primer�

�a�

b�

c� Lahko� e je ena od stranic pravokotnika enaka polovici dia�gonale�

��

Page 70: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Re�itve nalog

��Povr�ina zemlji� a meri ����� m�� Za trato bo ostalo �e �����m� zemlji� a�

�Potrebovali bomo �� m� folije�

Preizkusi seOsnovnica tako preoblikovanega paralelograma je enaka sre�dnjici trapeza s � �

��a� c�� kar poka�e prva slika�

Osnovnica tega paralelograma je enaka vsoti obeh osnovnic�torej a� c� vi�ina pa je enaka polovi ni vi�ini trapeza�

a c

c

v v�

p � �a� c� � v�

� Deltoidi in rombi � obsegi in plo��ine

UvodnaDa� Erik ima prav v obeh trditvah� Vidi se� da sta naredila le�pega zmaja� Plo� ino sta ra unala s pomo jo trikotnikov� sajdvobarvni papir� ki sta ga uporabila pri izdelavi zmaja� ka�e� daje trapez sestavljen iz dveh skladnih trikotnikov� Njegovo plo�� ino znata izra unati� saj poznata dol�ini obeh letev� Dalj�apredstavlja osnovnico trikotnika� kraj�a pa je enaka polovi nidol�ini druge diagonale� Torej bo plo� ina deltoida�

p � �p�

p � � � � ��� f � e

��

p �e�f�

Vpra�anjeDa� e si predstavljamo� da je deltoid sestavljen! iz dveh skla�dnih trikotnikov� ki sta zlepljena! skupaj po dol�ini njegovedalj�e diagonale� kot ka�e slika�

f

e�

e�

Plo� ino deltoida dobimo kot ��kratno plo� ino trikotnika�

p � � � p�p � � � � �

�� f � e

��

p �e�f�

a� p � �� cm�

b� p � �� dm�

c� p � �� cm�

�a� p � ���� cm�

b� p � ���� m�

c� p � �� cm�

�S �estilom ugotovimo� da sta obe diagonali vseh likov enakodolgi� Plo� ine vseh treh deltoidov so enake�

�a� f � �� cmb� e � �� cmc� f � � �

��cm

� e � dm

�Risanje je individualno delo� Obseg kvadrata meri �� cm�

�p � ��� dm�� a � ��� m� o � �� m

�Stranica kvadrata meri �� cm�

�Podatke za modri del od itamo s slike� natanko �� kvadratkov�Za rde i del jih pre�tejemo ali izmerimo�Izra un rde ega dela� deltoid� ki ima eno diagonalo ��� cm�� cm� in drugo �� cm �� cm�� ima plo� ino �

�ef � � cm��

S pre�tevanjem in dopolnjevanjem kvadratkov jih na�tejemonatanko ��pmd � �� cm�

prd � � cm�

�Jan potrebuje za zmaja �� m� papirja� Torej bo na rt lahkouresni il� Tudi za rep bo ostalo dovolj papirja�

Porabil bo ��� m� plo evine�

�a� Potrebuje ��� g zlata�b� Iz � g zlata naredi oblikovalec �� obeskov� Pri tem mu

ostane okoli ��� g zlata�

��Za barvanje ��� m� povr�ine dna in sten bazena bomo potre�bovali ���� kg barve�

U� Do trdnega znanja��Prvi lik� obseg � dol�inskih enot� �� plo� inskih enot�Drugi lik� obseg �� dol�inskih enot� � plo� inskih enot�

��Plo� ini merita �� plo� inskih enot in plo� inskih enot�

��Individualen odgovor� Vsi liki� ne glede na obliko� ki imajoenako plo� ino� so plo� insko enaki�

��Plo� insko enaka sta lika A in D ��� plo� inskih enot� ter lika Bin C �� plo� inskih enot��

��Da�

��Vi�ina je enaka dvakratni vi�ini paralelograma�

�v

��a� N� plo� insko enaki paralelogrami razli nih oblik nimajo

enakih obsegov�b� N� paralelogrami z enakimi osnovnicami in njim pripadajo�

imi enakimi vi�inami imajo enake plo� ine�

���

Page 71: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a

Viš. pred. mag. Milena Strnad

STIČIŠČE 7Matematični učbenik za 7. razred osnovne šoleDruga, prenovljena izdaja po posodobljenem učnem načrtu iz leta 2011

REŠITVE NALOGPriloga k učbeniku

Rešitve so pregledali:Milena Štuklek, predmetna učiteljicaNives Zavodnik, predmetna učiteljicaVesna Harej, predmetna učiteljica

Jezikovni pregled:mag. Breda Sivec

Tehniške risbe:Martin Zemljič in doc. dr. Matjaž Željko

Oblikovanje in prelom:Martin Zemljič in mag. Milena Strnad

Oprema:ONZ Jutro (ilustracija M. Schmidt)

© Avtorica in Jutro d.o.o.

© Vse pravice pridržane.

Fotokopiranje in vse druge vrste reproduciranja po delih ali v celoti ni dovoljeno brez pisnega dovoljenja založbe.

NAROČILA:JUTRO d.o.o., Črnuška c. 3, p.p. 4986, 1001 LjubljanaTel. (01) 561-72-30, 051 667-488, 041 698-788Faks (01) 561-72-35E-pošta: [email protected] • www.jutro.si

ISBN 978-961-6746-27-4

STICISCE 7 - RESITVE - PRVA IN DRUGA STRAN - NUN 2013.indd 2 13.8.2013 23:30:00

Page 72: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 73: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 74: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a
Page 75: Domov - Založništvo Jutro...Zapii len zap oredja ki sto ji na n tem mestu a Narii diagram tevilsk ega zap oredja Opii zap o redje in zapii njego v len ki sto ji na n tem mestu a