Trikotniku o�rtana in v�rtana kro�nica � � �� � Vi�ine in vi�inska to�ka�Te�i��nice in te�i��e � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � ��MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
X Koli�ine� Priprava na funkcijo � �P Koli�ine� Koordinatna mre�a � � � � � � � � � ��� Vrste koli�in� njihov prikaz�zapis in prirejanje � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Prikazi odvisnih koli�inv koordinatni mre�i � � � � � � � � � � � � � � � � �Razsevni diagram � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Aritmeti�na sredina � � � � � � � � � � � � � � � � ��Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � ��MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
XI �tirikotniki ���� �tirikotniki� Vrste �tirikotnikov � � � � � � � � ����� Koti �tirikotnika � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Na�rtovanje �tirikotnikov � � � � � � � � � � � � ���
� Trapezi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Paralelogrami � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Deltoidi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � ���MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� D �Futo�iki� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
XIIObsegi in plo��ine ���P Spremenljivka� Obrazec�Izrazi s spremenljivkami � � � � � � � � � � � � � ��
PObseg in plo��ina pravokotnikater kvadrata � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
� Sestavljanje plo��in � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Plo��inska enakost � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Paralelogrami � obsegi in plo��ine � � � � � ��� Trikotniki � obsegi in plo��ine � � � � � � � � � �� Trapezi � obsegi in plo��ine � � � � � � � � � � �� Deltoidi in rombi � obsegi in plo��ine � � � ��Z Vem in znam � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��UDo trdnega znanja � � � � � � � � � � � � � � � � � �MDomedalj � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�
UUvodno poglavje
��
Kako �e druga�e imenujemo prikaz s �gurami�
��
Podatke zapisane v drevesnem diagramu prika i spreglednico�
�iva meja
samorasla
negovana
dren
�ipek
�rni trn
lovor
ro�marin
��
Naj bo A � f�� �� �� �� �� �g in B � f�� �� �g�a� Ali velja B � A� b� Ali velja A � B�
Odgovor pojasni�
��
Dane so mno ice�A � f�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��gB � f�� �� ��� ��� ��� ��gC � f�� �� ��� ��g
Ugotovi zapi�i in prika i z Vennovimi diagrami�a� A � B b� A � B c� A � C � B
�
a� Odpri Excel� Opi�i odprto programsko okno�b� Preglej in preizkusi gumbe vseh menijevOsnovno�
Urejanje itd�
�
Kaj pri elektronskih preglednicah pomeni celica kajizbrana celica stolpec vrstica in mre�a� Kaj povenaslov celice C��
Kako so ozna�ene celice ki sestavljajo vrstico pro�gramskega okna� Kako so ozna�ene celice ki sesta�vljajo stolpec programskega okna�
�
a� Opi�i kako ozna�i� izbrano celico�b� Na delovnem zvezku ozna�i celice A� B� C��c� Ozna�i zapored celice B� C� A� G��� Napi�i naslov celice ki le i na preseku petega
stolpca in osme vrstice ter drugega stolpca in tri�najste vrstice�
�
V programskem oknu zaporedoma ozna�i stolpceA C G B in �e tretjo osmo in dvanajsto vrstico�
�
Shrani posameznen list in ves zvezek�
�
a� Kam te premakne uporaba tipke Home �b� Pojasni kako pride� iz celice B�� v celico A��c� Kaj in kako pobri�e� s tipkami Backspace Delete Esc �
�
Uporabi drugi delovni list v datoteki�
a� V celico A� vpi�i naslov Podatki prijateljev�b� V zaporedne celice od A� dalje vpi�i naslove
glav� Priimek Ime Doma�i naslov Kraj po�te�tevilka po�te Elektronski naslov Mobi �tevilka�
c� Sproti ustrezno raz�iri celice�� V stolpce od B� do B� vpi�i iskane podatke�d� Oblikuj po svoje preglednico in jo shrani�
�
Odpri nov delovni zvezek� Na prvem listu vpi�i vstolpec A decimalna �tevila ��� ���� �������� v stolpec B pa ulomke �
� �� ��
� ��
�� Za�
tem izpis vseh decimalnih �tevil spremeni v ulomekin izpis ulomkov v decimalno �tevilo� Zakaj je tomogo�e�
�
a� Na drugi list delovnega zvezka iz prej�nje na�loge vnesi v zaporedne vrstice racionalna �tevila�� ��� ����� ��
� � ����
� �����
���
b� Vsako zapisano �tevilo preoblikuj z ukazi Splo�no �tevilka Ulomek Znanstveno Besedilo� Za�pi�i jih v stolpec pod vpisanim pravim �tevilom�
��
V celico A� vpi�i �tevilo ������ ������������ �te�vilu dodaj najprej peto in potem �e �esto decimalko�Nato �tevilu zmanj�uj dol ino decimalnih mest poeno� Postopek v obe smeri na istem �tevilu ponovi�
a� Spreminjanje zapisa �tevila prika i v preglednici�b� Pojasni kako spreminja� izpis �tevila in kaj se do�
gaja s �tevilom�
��
Podatke iz nalog � �� �� in �� uredi v elektronskopreglednico� Podatke uredi in prika i �e z gra�ko�nom�
�
a� Poi��i podatke za dol ine rek Save So�e Dravein Kolpe ter jih vnesi v preglednico�
b� Prika i dol ine rek z vrsti�nim diagramom in zgra�konom�
��
UUvodno poglavje
Naloge
Namigza re�evanje problemov
Skrbno premislisistemati�no inpregledno zapisuj�
�
Eva bo iz prihrankov ��� kupila puli za �� hla�eza �� kapo za � in � zgo��enke po �� �Koliko denarja ji bo ostalo po nakupu�
Mama je dala Petru ��� o�e pa ��� �Koliko denarja je dobil Peter od star�ev ta dan�
�
Matej je dobil ��� � Koliko denarja je e imel vdenarnici �e ga ima zdaj ��� �
�
Maja je zapravila za knjige ���� �Koliko denarja je imela v denarnici pred nakupom�e ji ga je ostalo �e ���� �
�
Ju� si je izposodil od brata �� �Koliko je bratu �e dol an �e mu je e vrnil ���� �
�
Dani sta �tevili �� in ���
a� Kolik�na je vsota danih �tevil�b� Kolik�na je razlika danih �tevil�
�
a� Kateremu �tevilu mora� pri�teti �� da dobi� ���b� Od katerega �tevila mora� od�teti �� da dobi�
���
�
Vsota dveh �tevil je ��� njuna razlika pa ��� Kateri�tevili sta to�
�
Mitja je prihranil ���� in Petra ���� � Kolikomorata �e prihraniti da bosta lahko kupila dve vstop�nici za koncert ki staneta �� �
��
Natan�no preberi in re�i vse prej�nje naloge� Zatemodgovori in odgovor pojasni�
a� Ali so si kateri od prej�njih sedmih problemovmed seboj podobni�
b� Ali je te avnost prej�njih problemov po tvoji pre�soji pravilno ozna�ena�
��
Opi�i in pojasni korake re�evanja problemov�
�
Trgovec s sadjem je kupil � ��� kg jabolk po ���in � ��� kg po ��� � Vsa jabolka eli prodati poenotni ceni�
a� Najmanj koliko mora stati kilogram jabolk �e eli trgovec dobiti nazaj vlo eni denar ob po�goju da proda vsa jabolka�
b� Koliko zaslu i trgovec ob pogoju da preprodanaprej vsa jabolka po enotni ceni ��� �
��
Jarek bi en sam delavec skopal v �� dneh� V kolikodneh bi ta jarek skopalo � delavcev pri pogoju da biza vse veljal povsem enak re im dela in bi vsi delalienako zavzeto�
��
Mama je iz � litrov kisa ki ga je kupila po ���in � litre kisa po ��� naredila me�anico ter jorazred�ila s � litrov vode�Koliko je vreden liter mami�ine me�anice kisa�
��
Naro�nik potrebuje �� litrov �� � etanola� Prodaja�lec pa ima na zalogi le �� � in �� � etanol v stekle�nicah po � litrov�Ali prodajalec lahko ugodi naro�niku� Pojasni�
��
UUvodno poglavje
Pri zbiranju podatkov uporabljamo glede na temo preiskovanja��metodo opazovanja s pre�tevanjem��metodo merjenja��metode spra�evanje� intervju in anketo�
Razmisli kak�na mora biti anketa� Razmisli kak�en mora biti intervju� O tem sepogovori s so�olko ali so�olcem�
Namigi�
� Ali se strinja� da naj bosta intervju in anketa kratka jasna in naj omogo�ata samo enodgovor najbolje morda DA in NE�
� Kaj se zgodi �e postavi� vpra�anje ki omogo�a anketirancu da izrazi svoja stali��amnenja prepri�anja� Kako je potem z obdelavo odgovorov�
Naloge
�
Zberi podatke o rojstnih dnevih so�olk in so�olcev�Z zbranimi podatki lahko ob majhni pozornosti po�skrbi� za prijetno vzdu�je v razredu skozi vse leto�
Razi��i prisotnost so�olk in so�olcev pri pouku v te�dnu dni�
�
Razi��i s katerimi izven�olskimi dejavnostmi se ukvar�jajo tvoje so�olke in so�olci� Preiskavo ponovi �e veni paralelki� Rezultate primerjaj�
�
Razi��i obiskanost �olske knji nice v tednu dni�Ugotovi naslov najpogosteje izposojene knjige tegatedna�
�
Razi��i kako pogosto obiskujejo kulturne prireditvetvoji so�olci in so�olke� Podatke zberi za obdobjeenega meseca�
�
S spleta http�wwwarsogovsivremezanimivosti iz podat�kov Potek povpre�ne temperature zraka v letih ��������� razi��i ali gre zares za segrevanje ozra�ja�
�
Na spletu Agencije Republike Slovenije za okolje�http�wwwarsogovsivremenapovedi in podatki� spremljajnapovedi teden dni� Razi��i kako se je vreme v temtednu spreminjalo�
�
Razi��i kako tvoje so�olke in so�olci zajtrkujejo� Alito opravijo doma na poti v �olo v �oli ali pa splohne�
�
Razi��i katere zvrsti �lmov najraje gledajo tvoje so��olke in so�olci in katere zvrsti glasbe najraje poslu��ajo�
��
Razi��i vzroke prometnih nesre� v Sloveniji�Podatke dobi� na spletu http�e�upravagovsiispo
cestnavarnost�
��
Pobrskaj po spletu �http�wwwstatsipreb rojstvaasp� inrazi��i kako se je spreminjalo �tevilo rojstev v Slove�niji na tri poljubno izbrane dneve in vsaj petih razli��nih letih�
��
Naravna �tevila� Deljivost in delitelji
Naloge
Zaporedje naravnih �tevil
� �
Za kaj lahko uporabljamo zaporedje naravnih �tevil�
�
Opi�i vzorec zaporedja naravnih �tevil�
�
Nadaljuj zaporedje naravnih �tevil �e vsaj s tremi�leni�
a� � �� �� � � � b� �� ��� � ��� � � �
�
Zapi�i zaporedje devetih naravnih �tevil ki se za��enja s �tevilom � vsako nadaljnje �tevilo pa je ��kratnik prej�njega�
� �
Dopolni manjkajo�a �tevila tako da dobi� zaporedje�
� ��� � ��� � ���
� �
Dopolni diagram zaporedja� Opi�i zaporedje�Zapi�i �len zaporedja ki stoji na n�tem mestu�
a � � �
��
� ��
� �
Nari�i diagram �tevilskega zaporedja� Opi�i zapo�redje in zapi�i njegov �len ki stoji na n�tem mestu�
a� � �� �� �� � � � b� � � � �� � � �c� � � � �� � � � � � � � �� �� � � �
�
Zapi�i zaporedje �estih naravnih �tevil ki se za�enjas �tevilom �� ��� vsako nadaljnje �tevilo pa je ��krat manj�e od prej�njega�
� �
Izberi prvi �len zaporedja in zaporedje nadaljuj takoda bo vsak nadaljnji �len
a� za �� ve�ji b� ���krat ve�jic� za �� manj�i � ���krat manj�i�
�� �
Zapi�i zaporedje �e pozna� njegov splo�ni �len�
a� �n � �� n N b� � � ��a� ��� a N
Lastnosti naravnih �tevil
�� �
Trditev prepi�i v zvezek tako da bo pravilna�
a� �tevilka je sestavljena iz posameznih �tevil�b� �tevka � je ve�ja od �tevila ��c� �tevka je znak s katerim zapi�emo �tevilo�
� �
Dopolni preglednico�
Predhodnik tevilo Naslednik��� ���
�� ���� ��� ���
��
Ali lahko zvezo med predhodnikom in naslednikomizbranega �tevila poka e� tudi z od�tevanjem�Katera utemeljitev se ti zdi bolj�a�
�� �
a� Poimenuj in zapi�i mestne vrednosti �tevk v �te�vilih �� ���� � ��� ���� � ��� ���� � ��� ����� ��� ��� ����
b� Prika i vsa �tevila na abakih�
�� �
Zapi�i �tevilo ki je sestavljeno iz�
a� �Dt �T �S �Eb� �M �Dt �T �S �Ec� �Dm �M �Dt �T �D �E� �Sm �M �Dt �S �Ed� �Md �Sm �Dm �M �St �T �E
�� �
Od�itaj s pu��ico ozna�ena naravna �tevila� Zapi�ijih kot podmno ico naravnih �tevil in jih poimenuj�
a
�� �� � �� �� ��
b
��� �� ���
�� �
Zapi�i in prika i na ustreznem delu �tevilskega pol�traka podmno ico naravnih �tevil ki so med danima�teviloma�
a� �� in �� b� ��� in ���c� � ��� in � ��� � �� ��� in �� ���
��
Razcep na prafaktorje
Povzemimo�
Spoznali smo tri razli�ne na�ine razcepa �tevila na prafaktorje�� zapis z izrazom s samimi produkti�� zapis z drevesnim diagramom�� zapis z diagramom deljenja�
1 Kaj lahko re�emo o �tevilu ���
Premislimo in ugotovimo��tevilo �� lahko zapi�emo le kot produk dveh faktorjev �� � � � �� zato je �tevilo ��pra�tevilo�
2 Razcepimo �tevila �� ��� in ��� Razcep zapi�imo po vrsti s produkti z diagramomdeljenja in z drevesnim diagramom� Kateri zapis utegne biti najbolj priro�en�
Premislimo in ugotovimo�
S produkti
� �� � � � ���� � � � � � ���� � � � � � � � ���� � � � � � � � � � ��� � �� � �
Z diagramom deljenja
��� ���� ��� �� ��
��� � � � � � � � �
Z drevesnim diagramom
� � � � �
�
��
��
�
Najhitreje nas do re�itve privede zapis z diagramom deljenja�
3 Ali so vsi ra�uni zapisi razcepa �tevila ����
a� � � �� b� � � � � � � �� c� �� � �� � � � �� � �� � � � �� d� ��� � �
Upo�tevamo pravila in ugotovimo�a� Je razcep a ne na prafaktorje ker �tevilo �� ni pra�tevilo�
b� Je razcep na prafaktorje ker so vsi faktorji pra�tevila�
c� Je razcep a ne na prafaktorje ker prvi faktor � zapisan kot vsota ni pra�tevilo�
� Je razcep na prafaktorje�
d� Ni razcep na prafaktorje ker je �tevilo raz�lenjeno na vsoto dveh pra�tevil�
4 Prafaktorji �tevila � ��� so �� �� in ��� Poi��imo vse njegove delitelje�
Sklepamo�Ker je � ��� � �� � �� � �� so v mno ici deliteljevD� ����� vsi njegovi prafaktorji� �� �� ��
� �tevilo � ki deli vsako �tevilo
� �tevilo � ��� samo
� vsi mo ni produkti prafaktorjev� �� � �� � ��� �� � �� � ��� in �� � �� � ����
Ugotovimo�Mno ica deliteljev �tevila � ��� jeD���� � f�� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ����g�
�
Do trdnega znanja
���
Izra�unaj najve�ji skupni delitelj in najmanj�i skupnive�kratnik�a� �� �� ��� �� b� �� �� ��� ��c� ��� �� �� �� � �� �� ��� ��d� ��� ��� ��� � e� ��� ��� ��� ��
��
Dopolni preglednico� Kaj opazi��
D � vv
D
Produkt
�� �t�
�� �t� � �� � � � ��
�� �� � � �� ��
���
Peter zlaga po � zavitkov skupaj v �katlo�
a� Koliko �katel napolni �e ima ��� zavitkov�b� Ali mu pri tem kak zavitek ostane�c� Po koliko zavitkov bi moral nalo iti v �katlo �e bi
elel porabiti vse�
���
Tri plasti�ne folije ki so �iroke po �� cm in dolge�� cm �� cm in �� cm eli o�e razrezati na enakodolge �im dalj�e kose�Koliko kosov folije bo dobil� Kako dolgi bodo kosi�
���
O�e in mati enako hitro hodita drug ob drugem�Njuni koraki se za�nejo takoj po za�etku hoje razha�jati saj hodi o�e s povpre�no dol ino koraka �� cmmati pa z dol ino �� cm�a� Po koliko metrih se njuni koraki zopet ujemajo�b� Koliko korakov od za�etka do prvega ujemanja
napravi vsak od njiju�
���
Na farmi so dobili v dar �� zajcev� Razmi�ljajo ko�liko hi�ic naj jim pripravijo da bodo bivali udobnoob pogoju da bo v vsaki hi�ici enako �tevilo zaj��kov� Pomagaj jim pri razmi�ljanju�
���
Mama eli v ��� m dolgo in ��� m �iroko sobo po�lo ili lamelni parket� Zbrala je de��ice z dimenzijo��� �� cm� O�e se mamini izbiri neuspe�no upira�e� da izbira de��ic ni prava�Kdo ima prav� Zakaj� Pojasni�
���
Jankov model eleznice ima dve koncentri�ni kro niprogi� Lokomotiva zunanjo progo obvozi v �� se�kundah notranjo pa v �� sekundah�Janko je dolo�il startno �rto� Z nje so�asno spu��aobe lokomotivi in raziskuje�a� V kolikem �asu se lokomotivi spet sre�ata na start�
ni �rti�b� Koliko obhodov pri tem naredi vsaka�
���
Klepetulja Petra kli�e po mobiju mamo bratca intri prijateljice najmanj ��krat dnevno� Ano �peloin Tino je poklicala prvi� drugo za drugo v torek�Obljubila jim je da bo odslej Ano poklicala vsakdrugi dan �pelo vsak �etrti dan in Tino vsak �estidan� Kdaj bo spet na isti dan poklicala Ano �pelo inTino�
���
�� januar prestopnega leta ���� je bil torek� Na ka�teri dan v tednu se je za�el silvestrski ve�er tega leta�
���
Arhitekt razmi�lja�Kako visoka naj bo posamezna stopnica �e morastopni��e povezati �� dm vi�inske razlike�
��
O�e skrbno vzdr uje avtomobil�Olje zamenja na vsakih � ��� km zra�ni �lter navsakih �� ��� km sve�ke vsakih �� ��� km in za�vorno teko�ino na vsakih �� ��� km�
a� Kdaj se bodo servisi za vse stvari ujemali�b� Napravi servisni plan za ��� ��� km�
���
Milka eli posaditi tulipane v razdalji � dm in hia�cinte v razdalji �� dm v dve vzporedni po �� cmoddaljeni ravni gredici dolgi po � m� Vsako gre�dico namerava pri�eti in zaklju�iti z ustreznim cve�tom tako da bi se legi obeh cvetov v obeh vzpore�dnih vrstah prekrivali� Ostale �ebulice naj bi posa�dila zamaknjeno�a� Ali je dobro premislila na�rt� Koliko �ebulic ene
in druge vrste bo potrebovala�b� Ali bi bilo bolje �e bi sadila �ebulice tulipanov
v medsebojni zaporedni razdalji �� cm hiacintepa po �� cm�
�
Milena Strnad
STIČIŠČE 7Matematični učbenik za 7. razred osnovne šole
REŠITVE NALOG
II. izdaja po učnem načrtu
iz leta 2011
STICISCE 7 - RESITVE - PRVA IN DRUGA STRAN - NUN 2013.indd 1 14.8.2013 1:58:31
Milena Strnad
STIČIŠČE 7Matematični učbenik za 7. razred osnovne šole
REŠITVE NALOG
II. izdaja po učnem načrtu
iz leta 2011
STICISCE 7 - RESITVE - PRVA IN DRUGA STRAN - NUN 2013.indd 1 14.8.2013 1:58:31
Predgovor
Bistvo matematike ni v obrazcih� ampak v
miselnih procesih� s katerimi jih dobimo�
V� P� Jermakov
Draga u�enka� dragi u�enec�
naj ti zaupam� da te bodo sadovi tvojega u�enja matematike spremljali vse �ivljenje� na vsakem ko�raku� ne glede na izbrano strokovno pot� Zato se matematike ne izogibaj� �e manj boj� U�enjematematike namre� prispeva k razvoju in krepitvi vseh vrst mi�ljenja� od uporabnega do abstrak�tnega in kriti�enega� Je tudi nekak�en most� ki ureja delovanje tvoje domi�ljije�
Matematiko se u�i tudi z branjem razlage� prera�unavanjem �e re�enih zgledov in seveda prek re�e�vanja �tevilnih nalog� Vsaka pravilna re�itev te naj razveseli� �e posebej� �e jo morda re�i� na svojna�in� ki ni zabele�en v Re�itvah nalog�
To knji�ico� ki vsebuje re�itve prav vseh nalog iz u�benika� uporabi �ele� �e re�i� nalogo� Z njopreveri svoj rezultat� hkrati pa upo�tevaj� da ti prina�a marsikateri namig za razli�ne poti re�evanja indodatno razlago�
Morebitne te�ave pri re�evanju nalog naj te ne u�alostijo� V njih poi��i vzpodbudo� da jih re�i� in stem prestopi� na vi�jo stopni�ko svojega znanja� �e ti to ne uspe samostojno� se obrni po pomo�bodisi k so�olki ali so�olcu� pri huj�em zapletu pa tudi k u�iteljici ali u�itelju� Vpra�anja so vednodobrodo�la�
Nikakor pa re�itev nalog slepo ne prepi�i� S tem ni� ne pridobi�� prelisi�i� samo samega sebe�
Zavedaj se� da matematika ni te�ka� le lotiti se je mora� z glavo� potrpljenjem in zaupanjem vase�
Nalog v u�beniku je veliko� Razdeljene so na tri zahtevnostne ravni� Najpreprostej�e so osnovnenaloge� ki so obarvane zeleno� Zahtevnej�e so obarvane modro� najte�je pa so obarvane rde�e� Pritem upo�tevaj� da je te�avnost naloge tudi stvar osebne presoje�
Priporo�ila�U�benika ne uporabljaj le kot zbirko nalog� Ve�krat ga prelistaj in prebiraj� posebno tisto�kar je zapisano v rumenih okvir�kih� V modrih okvir�kih so zapisane zahtevnej�e re�i�
�Upo�tevaj� da ni mi�ljeno� da bi vsak u�enec ali u�enka re�ila vse naloge iz u�benika� Na�log je zelo veliko zato� da najde� bogat in zadosten izbor nalog treh razli�nih zahtevnostnihstopenj na enemmestu�
�Naloge re�uj s sklepanjem� Temeljit premislek �teje ve�� kot �e re�i� ve�je �tevilo podobnihnalog po receptu��
� Pri izbiri nalog upo�tevaj navodila u�itelja ali u�iteljice� Re�evanja dodatnih nalog se loti le��e ti re�evanje prina�a zadovoljstvo�
� Korake re�evanja sistemati�no zapisuj v zvezek� vse od izpisa podatkov� postopkov re�eva�nja do odgovora�
�elim ti veliko uspeha in zadovoljstva pri u�enju matematike
Milena Strnad
�
Re�itve razdelkov Domedalj �
UUvodno poglavje � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��I Deljivost naravnih �tevil � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �II Orientacija� Prostorske predstave� Simetrala daljice � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � III Ulomki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��IV Preslikave v ravnini � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���V Se�tevanje in od�tevanje ulomkov � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��VI Dvojice kotov � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �VII Mno�enje in deljenje ulomkov � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��VIII Odstotki� Odstotni ra�un � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IX Trikotniki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��X Koli�ine� Priprava na funkcijo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���XI �tirikotniki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����XII Obsegi in plo��ine � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�
Re�itve
��Deljivostnaravnih �tevil
�V�� � f���������������� � � �gD�� � f������������g
�Pravilno� A in C�
B� Velja obratno� �� je ve kratnik �tevila ��D� Velja obratno� � je deljivo z ���
�
Deljivo z �s� � � � �
� � � � �
�� �
�� � �
�� � � �
� � � �
�� � �
�Le � ni pra�tevilo�
��� � � � �
�� � �� � ��
��� � �� � �
a� D����� � � v����� � ��b� D����� � � v����� � �c� D������� � � v������� � ����
a� D������� � �� cm
Dol�ina dela modre in rde e vrvice je �� cm�b� �� � �� � �� �� � �� � �
Rde o vrvico razre�emo dvakrat� modro enkrat�Po rezanju dobimo � enakih delov vrvic� Iz prve vrvicedobimo tri dele� iz druge dva�
c� Rezati moramo trikrat�
�a� N� velja obratno�
�tevilo� ki je deljivo z �� je deljivo tudi s ��b� Pc� N� mo�na sta dva razli na popravka�
�tevilo je deljivo s �� e je �tevilo� sestavljeno iz zadnjihdveh �tevk �tevila� deljivo s ���tevilo je deljivo z �� e je �tevilo� sestavljeno iz zadnjih treh�tevk �tevila� deljivo z ��
�Da� Vsaj en faktor produkta je deljiv z �� s � ali s ��
�Vstavimo po vrsti �� �� �� Prvo in zadnje �tevilo sta deljivi s �in z �� srednje pa le s ��
��tevilo �� � � ne deli �tevila �� � �� � ��
�Ocena� Ne� ker je �� � �� � � � �� � ��
�� � �� � �� � ��
�� � �� � �� � ��
Re�itve so lahko druga ne� Na primer�a� ��� ��� �� �� �� ���b� �� �� �� ��� �� ��
D������� � �� � � ��� � � �
a� �lanov je osem�b� Vsak je prinesel � mandarine in � jabolki�
�Da� saj je � � � � � � �� � �� � �� � ����
�V razcepu �tevila �� na produkt dveh �tevil prepoznamo dru�ga no zapisano deljivost oziroma deljenje� ki se izide brezostanka� V drugem izrazu gre za zapis deljenja z mno�enjemin se�tevanjem�
�Vsota �tevk danega �tevila je �� zato dobimo ostanek ��
�� �� �� �� � �
�a� v������ � ��
Vsi trije avtobusi bodo spet so asno odpeljali vsaki � uri� toje ob ���� ���� ���� ���
b� v����� � �Avtobusa s prog A in B bosta odpeljala so asno vsakih �minut� to je ob ����� ���� ����� ���� ����� ��������� ���� ����� ���� ���� in ���v���� � �Avtobusa na progah A in C odpeljeta skupaj vsakih � mi�nut� ob ���� ����� ����� ���� ����� ����� ��������� ���� in ���v���� � ��Avtobusa na progah B in C odpeljeta so asno vsakih �� mi�nut� ob ���� ������ ����� ������ ������ ���� ����������� ������ ������ ���� ������ ����� ������ ����� in���
Najmanj�i skupni ve kratnik dveh �tevil je enaka� enemu izmed njiju� e je ve je �tevilo ve kratnik manj�ega
�tevila� Enak pa je ve jemu�b� Ko sta si �tevili tuji�
a� Ne� Izjema so vse vsote� ki vklju ujejo kot sumand edino
sodo pra�tevilo ��b� Ne� Izjema so vse razlike� v katerih je od�tevanec sodo
pra�tevilo ��c� �� � � �� �� �� � ��
��Orientacijanapremici inv ravnini
�a� p�R� P�� premica je orientirana v pozitivni smeri�
b�
s
R P a
�a� S skice� ki ka�e pravo smer gibanja urnega kazalca� se vidi�
da bo Alja� dal karte najprej �ivi� ker ve ina iger s kartamizahteva� da tisti� ki deli� zadnji prejme karte� in ne sebi� kar bibilo tudi mo�no�
b� Negativna smer�
�
�Imamo � re�itve� ker nobena to ka ni poimensko dolo ena kotprva� Vsako izmed njih tako lahko imenujemo A� Vse nasle�dnje sledijo isti smeri� ki je nasprotna gibanju urnega kazalca�Na primer�
D
AB
C
�
Narisali smo po�evno projekcijo kocke�
�Re�itev je veliko� ker lahko za prvo koordinato izberemo po�ljubno �tevilo� Na primer�
a� T����� b� �����
�N T Mp
To ke dolo ajo tri daljice NT� TM� NM in tri poltrake� K vsa�kemu poltraku lahko nari�emo �e dopolnilni poltrak�
�a� Orientacija �tirikotnika je pozitivna�
b� C
B A
D
�tirikotnik razpade na dva pozitivno orientirana trikotnika��ABC
in�ACD�
�Simetrala daljice je pravokotnica na daljico� ki jo razpolavlja�Za simetralo je zna ilno to� da so vse to ke na njej enako odda�ljene od kraji� daljice� Prese i� e simetrale z daljico je razpo�lovi��e daljice�
�Sestavljeni kocki ustreza samo mre�a ��
�
B
C
D
T
A
� � � � � � � �������
a� Daljici AC inDC sta diagonali kvadrata�b� To ka p�AC� � p�DC� � T����� je prese i� e diagonal kva�
drata�
�Kolo E se vrti v negativni smeri�
�Risanje je individualno delo� Postopamo tako� da med prve trito ke razpnemo dve daljici ter na rtamo njuni simetrali� Prese� i� e teh simetral je iskana to ka�
�Mre�i piramide sta sliki � in ��
�Dve mo�nosti� kot ka�eta sliki� Enkrat je kvader viden od spre�daj� drugi od spodaj�
�Ogli� a po vrsti ozna imo s to kami A���� B����� C����� inD����� �e to ko C premaknemo na ������ dobimo kvadrat� e pa jo premaknemo tako� da se prekrije s to ko B����� patrikotnik� Na enak na in lahko premaknemo tudi katero kolidrugo to ko na sosednjo to ko in spet dobimo trikotnik� Takihre�itev je �
Opomba��e nas ne moti� da se prvotno ogli� e trikotnika pojavi na novistranici kot vzporedna to ka� se nam ponuja �e ve mo�no�sti� Npr�� e to ko C premaknemo na celo�tevilsko diagonalnoto ko med B in D� dobimo � re�itve� e pa premaknemo to koA na celo�tevilsko diagonalo� dobimo �e nadaljnjih � re�itev�
��Ulomki
���� ��� ���
��
�Primer�
a� b� c�
�T � �
���� R � �
���� S � ��
���
����
����
�a� �
�� � �
�b� ��� � ��
����
��
a� �� je skupni in hkrati tudi najmanj�i skupni imenovalec�D����� � � � ��
��in ��
��
b� Ker je v����� � �� je �� npr� skupni imenovalec� � panajmanj�i skupni imenovalec� � ��
��in �
��� ��
�in �
�
� � �� � �
���
��� ��
���
�� � � � ����
�Kitaro igra �� u encev�
�Ri�i po svoje� na primer�
����
kvadrata
�
Re�itve
�Opazimo� da sta ulomka �
�in �
��zgolj raz�irjena ulomka �
�in �
��
Ulomek ��
pa je le z ulomkom napisana enota�
�
��
��
���
��
��
��
��
���
�a� � ur b� ��
�V prvem primeru je re�itev veliko� ker imata dva ulomka velikoskupnih imenovalcev� Med njimi je le en skupni� zato je vdrugem primeru re�itev ena�Ulomka s skupnim imenovalcem� ��
�in ��
��
Ulomka z najmanj�im skupnim imenovalcem� ��
in ����
�
Med naravnima �teviloma � in ��
��� �
�
��
Prva je porabila najmanj� tretja pa najve svojega denarja�
�Prevoziti namerava ��� km dolgo pot�
����
���
��
���
����
�Ker lahko vsak ulomek raz�irimo� lahko to ke ozna imo z raz�li nimi ulomki� ki pa predstavljajo isto to ko� Na primer�E� �
��� �
� �
��G�
��� �
� �
�T� ��
��� �
� �
�
�����
����
�����
����
�a� ���� � ���� b� �
� ��
���� � �
� ��
���
�� �
� �� � �
� ��� � �
Ne� Matja�eva tola�ba je samo znak prijaznosti� V resnici staimela med po itnicami oba enako �tevilo de�evnih dni� Topoka�e navzkri�no mno�enje�Ker je �� � �� � �� � � je ��
��
����
�
Ulomki so enakovredni� e jih dobimo z raz�iritvijo istega okraj��anega ulomka� Imajo razli ne zapise� a isto vrednost� Drugizraz zanje je ekvivalentni ulomki�
�Ulomek �
�in periodi na decimalna �tevilka �� sta samo dru�
ga na zapisa istega racionalnega �tevila� ki ga na �tevilski osiprika�emo z eno samo to ko�
��Vzorci
�Slika C je nastala z vzporednim premikom originala A� Slika B je
nastala z zasukom za ��
originala A�
�
Gre za zrcaljenje ezpremico�
�
S
�a� Osnovni motiv� modra� osno simetri na �gura� podobna
rki X� Pravilo� vzporedni premik osnovnega motiva za �kvadratkov naprej�
b� Osnovni motiv� rde a� nesimetri na �gura� Pravilo� vr�
te� �gure za ��
v obratni smeri gibanja urnega kazalca invzporedni premik v vodoravni smeri v desno za � kvadratkenaprej� Ali
Pravilo� vrte� �gure za ��
v smeri gibanja urnega ka�zalca in vzporedni premik v vodoravni smeri v desno za �kvadratke naprej�
�a� Zrcaljenje ez premico�
A A �B B �
C C �
D D �
F F �
G G �H H �
b� Zrcaljenje ez to ko
A
A �
B
B �
C
C �
D
D �
FF �
G
G �
H
H �
c� Pri zrcaljenju �ez premico se liku spremeni orientacija� prizrcaljenju �ez to�ko pa se orientacija lika ohrani�
�Opomba� Opisi so odvisni od tega� kaj izberemo za motiv�
Motiv� nesimetri na oran�na �gura� ki je nastala z zasukomza �� osnovnega motiva� ki je sestavljen iz � celihkvadratkov in dveh trikotnikov�
Pravilo� vzporedni premik naprej za toliko kvadratkov� da seoriginal in slika dotikata�
Da� opis je mo�en na dva razli na na ina� ker je zasuk za ��
enak zrcaljenju �ez to�ko�
�Lik je simetri�en na zasuk� e obstaja tak zasuk v ravnini� ki jeve ji od � in manj�i od ���� po katerem se lik preslika samvase�
Red simetrije pove� kolikokrat se kaka oblika pri polnem zasukupopolnoma prekrije sama s seboj�
��� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� vzporedni premik v dveh neodvisnih smereh� vodo�
ravni in navpi ni� glede na spodnjo vodoravno rtovzorca�
�
Simetrija� glede na vzporedni premik�
�� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� zasuk motiva za ��� okoli sredi� ne to ke vzorca� To
je sredi� e pravilnega petkotnika� ki ga motivi ograju�jejo�
Simetrija� rotacijska� reda ��
�� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� zasuk motiva za ��� okoli sredi� ne to ke vzorca� ki je
sredi� e pravilnega osemkotnika� ki ga motivi ograju�jejo�
Simetrija� rotacijska� reda �
�� vzorecMotiv� nesimetri na �gura�Pravilo� zrcaljenje �ez premico� pravokotno na vzorec�Simetrija� osna simetrija�
�Risanje je individualno delo� Gre za zrcaljenje ez premico�
�Prvo zrcaljenje ohrani� drugo pa spremeni orientacijo lika�
��� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena trikotna oblika�Pravilo� zrcaljenjemotiva �ez premico� ki je pravokotna na smer
osnovnice trikotne oblike�Simetrija� osna�
�� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena trikotna oblike�Pravilo� vzporedni premik motiva v dveh neodvisnih smereh�
navpi ni in vodoravni tako� da je razdalja med origina�lom in sliko enaka razdalji med �estkotniki�
Simetrija� glede na vzporedni premik v dveh smereh�
�� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena oblika trikotne oblike�Pravilo� zrcaljenje motiva �ez premico� ki je kar vodoravna osnov�
nica trikotne oblike�Simetrija� osna�
�� vzorecMotiv� iz �estih �estkotnikov sestavljena trikotna oblika�Pravilo� zasuk motiva za �
okrog sredi� ne to ke kro�nice�
ki ograjuje vzorec�Simetrija� su�na� reda �
�
��Se�tevanje inod�tevanjeulomkov
�a� �
�
��
� � � � �
���� D���� � �
��
��
��
b� ��� �
��
�����
��� D����� � �
���
��
��
�a� � b� c� � ��
��
� ���
d� �
e� �� �
�a� ���� � ��� b� ��� � ��c� ����� � ���� � �� � ��
����
� ���
� �� � ���
� � ��
� � ���
� � ���
�a� x � �
�b� x � �
�
Pripravila je � �
�kg marmelade�
�
��
��
�
��
�a� � �
�b� � �
�c� ����
���� �
�� � �
�� � �
�� � �
�� � �
�
Na ���� mestu stoji len � ����
�
�a� �� �
� � �
�� �
� �
b� � ��� �� �
�� � �
�� � � �
�� � � � �
�
�a� x � � �
�b� x � � �
To je �tevilo ��� ali � �
���
�����
����
� ��
� ��
� ��
��
� ���
� ���
�� ����
�Iskano �tevilo je � �
��
�y � � �
��
������ � �
�� ����� � �
�� ����� � �
�� ����� � �
�� � �
Vsak nadaljnji len� ki je zapisan z decimalno �tevilko� je za ��
ve ji od prej�njega� Vsakemu decimalnemu zapisu sledi zapisistega �tevila z ulomkom�
a� Do drugega postanka je popotnik prehodil �
��poti�
b� Do cilja bo moral prehoditi �e ���
poti�
c� Ker ne poznamo razdalje od starta do cilja� lahko re emole� prvi dan je popotnik prehodil �
��celotne poti� drugi dan
pa ���
celotne poti�
Re�itve
�Dvojicekotov
�
��
��
�
Simetrala kot razdeli na dve enaki polovici�
�Naloga ima dve re�itvi� ki se razlikujeta le po tem� kateri krakdanega kota izberemo za skupni krak sokotov� Dodani kot je vobeh primerih enako velik topi kot�
�� primer �� primer
A
A
D
CB
D
C
B
�� primer� topi kot � DBA��� primer� topi kot � DBC�
�
��� ���
������
�a� Sovr�na kota sta enako velika�
�� ��
� �
b� Dvojici sovr�nih kotov � in � � ter � in � � sta enako veliki�dvojici sokotov � in � ter � � in � � sta suplementarni�
Dvojici sovr�nih kotov � in � � ter � in � � sta enako veliki�dvojici sokotov � in � ter � � in � � sta suplementarni�
�
� �� �
� �
� � �
� �
�� � � � ���
� � ����� � � ���
a� � � � � ���
b� � � ��� � � ��� � � ��� � � ���
���� � � � �� � ��� � ��
�
���� � � � �� ��� � ��� ��� � �� ali���� � � � �� ��� � ��� ��� � ��
�
����� � ��� � �
�Sliko dopolnimo v kot � z zrcaljenjem danega kraka kota ezsimetralo v drugi krak�
s�
k
k �
V
�
a�
B
C
A
D
b�
B
C
A
D
Simetrali nasprotnih kotov pravokotnika sta vzporedni� pri kva�dratu pa se prekrivata� Pri pravokotniku simetrala kota ni no�silka njegove diagonale� Kot� ki ga oklepata diagonali pravoko�tnika� ni enak �� kot pri kvadratu�
�a� � � ��� � � ����
b� � � ���� � � ���
�
�a� � � ���� � � ���� � � ���
b� � � � � � � ���
To ke� ki so enako oddaljene od krakov kota� le�ijo na simetralikota� to ke� ki so enako oddaljene od kraji� daljice� pa na si�metrali daljice AB� Iskana to ka� ki je hkrati enako oddaljena odkrakov kota in kraji� daljice� je prese na to ka obeh simetral�
k
hA
B
����� � �� � �� � ��� � �� � �� � ��� � � � ��
����
��� � �� � ��� � �� � �� � � � ���
���
Vsota in razlika
���� � ���
���� � ���
�������
���
�
��
��
��
��
Kot med simetralama meri ���Sokota � in �merita skupaj ��� Zato je kot med simetralamavedno enak �
���� �� � �
�� �� � ���
�a� � � ���� � � ���� b� � � ���� � � ���
�a� Pre�nica je premica� ki hkrati seka dve ali ve vzporednih
premic�b� Da� saj to sta dva zunanja ali notranja kota z vzporednimi
kraki ob razli nih vrhovih in na razli nih straneh pre nice�c� Enaka kota lahko sestavljata dvojico skladnih kotov� dvo�
jico sokotov� e meri vsak natanko ��� dvojico sovr�nihkotov� e le�ita ob prese i� u dveh premic� kota s paroma
vzporednima krakoma v isto ali nasprotno smer� Te koteimenujemo tudi izmeni ne kote�
� Da� sokota sta vedno sosednja kota� saj skupaj sestavljataiztegnjeni kot�
d� Sosednja kota nista vedno sokota� saj je njuna vsota pogo�sto manj�a ali ve ja od ���
�� � � � � � ��� � � ��
Primer na rtovanja�
k�
��
��
Sredi� i kro�nic le�ita na simetrali kota� njun radij pa je enakpravokotnici iz izbrane to ke na simetrali na krak kota�
�Mno�enje indeljenjeulomkov
�a� ��
�b� �
�c� ��
� �
d� ���
e� � ��
�a� b� �
�a� �
��b� ��
��
�a� �
��b� �
�a� x � �
�b� x � �
a� ��
��b� � �
�
To je �tevilo � ��
��
�Masa �unke po su�enju je bila �� �
�kg�
��
���
�
��
��
��� ���
���
�a� x � �� �
�b� x � ��
��
�a� �� �
�b� �
��
�Manj�e je �� �
��krat�
To je �tevilo ��� ali � ��
���
V bali je �e �� �
��m blaga�
��
Re�itve
�a� Iz � kg pomaran pridobijo
��litra soka�
b� Potrebujejo �� ��
kg pomaran �
������
�a� Lahko uporabimo deljenje z obratno vrednostjo�
��
od ���
��
� � � ���
�
ali pa mno�enje� ��
od ���
��� ���
���
�x � �
��
�� ��
��tevilo ��
V polnem bazenu je �� �
m� vode�
V � minuti se v bazen preto i ����
m� vode� kar je ��� litrovvode�
�� ����
�a� Pravilno� Gre za zapis deljenja dveh naravnih �tevil v obliki
ulomka�b� Napa no� Zakon o zamenjavi za deljenje ne velja�c� Napa no� Gre za izpostavljanje skupnega faktorja� zato je
pravilno�ab� cd� c
d�
cd�ab� ��
� Pravilno� Gre za zakon o zamenjavi�
��Odstotki� Odstotni ra un
��� od � ljudi ne pije prave kave�
�
� cm��
� �
�� �
� �
�a� � �� �� �� �� �� � �� � �� � �
b� �� �� � �� � �� �� �� �� �
�a� � kg b� c� �� m � �� �
�a� Ocena U encev�u enk
Odli no �Prav dobro �Dobro Zadostno �Nezadostno
b� Uspeh Odstotki �tevilo
Odli no
Prav dobro
Dobro
Zadostno
Nezadostno
� �
�� �
� �
�� �
�
�
�
�
Dol�ina jopice se je skr ila za � � prvotne dol�ine� Rokavi sose skr ili tudi za � �� torej za ��� cm in so merili okoli ���cm�
�A� ���� � trakuB� ���� � trakuC� � � trakuD� ���� � trakuE� ��� � traku
������ m� � �� � kg
�Najljub�a sla��ica
Sladoled� �
Torta���� �
�okolada���� �
�Pla al je ����� in prihranil ����� �
�Zadelo je �� � sre k�
Premija je �� �
�a� � odstotek pomeni �
���od celote�
b� p odstotkov pomeni p���
od celote�
c� Stolpi ni in blo ni diagram� diagram s krogom� trakom� �gu�rami�
� � � ustreza kro�ni izsek ����� Izsek� ki ustreza p�� meri��� � p��
�Celota Del celote Odstotek
�� ���� ��� �
� �� km ���� km ���� �
���� g �� g ��� �
�a� Ne� Kon na cena pe ice je po ponovni pocenitvi celo
ni�ja� kot je bila prvotna prodajna cena� �� � dele� od pr�votne cene je namre manj�i� kot je �� � od srednje cene�ki so jo pove ali z dele�em prve podra�itve�
�a� �b� ��
�Poraba vodefebruar ���� m�
marec � m�
��
april ���� m�
skupaj ��� m�
Igra a stane ���� evra�
��Trikotniki
�Trikotnik �� raznostrani en� ostrokoten�Trikotnik �� enakostrani en� ostrokoten� osno simetri en�Trikotnik �� enakokrak� ostrokoten� osno simetri en�Trikotnik �� enakokrak� topokoten� osno simetri en�Trikotnik �� raznostrani en� pravokoten�Trikotnik �� enakokrak� pravokoten� osno simetri en�Trikotnik �� raznostrani en� topokoten�Trikotnik � raznostrani en� topokoten�Trikotnik �� enakostrani en� ostrokoten� osno simetri en�
�a� Notranji kot �meri ����b� Zunanji koti trikotnika merijo� � � � ���� � � � ���� in
� � � ����
�Nobenega� ker je vsota kraj�ih dveh stranic enaka dol�ini naj�dalj�e stranice� To pa ne ustreza trikotni�ki neenakosti�
�C
A Bc
� �
�
B
A
C
a
b
vc
BA
C
c�
Velja samo prva trditev� ne pa tudi druga�
�� � ���� � � � � ���
�Za odgovor zado� a� da ocenimo ali izmerimo le dol�ine stra�nic� Drugi odgovor se skriva v trditvi� V trikotniku le�i najdalj�istranici nasproti najve�ji kot V �PRS je nadalj�a stranica PR� najve ji kot ji le�i nasproti�torej ima vrh v ogli� u S�V �UVZ je nadalj�a stranica UZ in najve ji kot ji le�i nasproti�torej ima vrh v ogli� u V�
�Re�itev je ena� Iskani trikotnik dobimo tako� da pomo�ni trikot�nik� ki ga omejujejo stranice tb�
b�
in c� nari�emo po pravilu oskladnosti sss�
A B
C
R
c
tb
b�
�� ��
��
��
�
B
C
A
b a
�
�
A
B
C
rvSv
bc
Velja samo prva trditev� ne pa tudi njen obrat�
��
Re�itve
Osno simetri ni so enakokraki trikotniki� Imajo eno simetrijskoos� Osno simetri ni so tudi enakostrani�ni trikotniki� Ti imajotri simetrale�
�a� �ABC je enakostrani en� torej ima vse stranice enako dolge
in vse kote enako velike� Je tudi osno simetri en�b� � � ��� � � ��� � � � ���
c� CN je vi�ina trikotnika�� �ANC je pravokotni raznostrani ni trikotnik� �e ga prezr�
calimo ez nosilko daljice CN� dobimo enakostrani ni triko�tnik ABC�
�Dol�ina ene stranice mora biti manj�a od vsote dol�in preosta�lih dveh stranic� Primer je individualno delo�
�Trikotnik je dolo en z dol�inama dveh daljic in kotom� ki le�idalj�i stranici nasproti� Ni pa dolo en� e ta kot le�i nasprotikraj�i stranici�
�Podatki ne ustrezajo nobenemu skladnostnemu izreku� Pri a�kujemo lahko ni � eno ali dve re�itvi�
Potek nartovanja�� Nari�emo nosilko stranice c� izberemo ogli� e B in odme�
rimo dol�ino stranice c��� V poljubni to ki premice postavimo pravokotnico in odme�
rimo na njej dol�ino vi�ine vc � ��� cm��� V razdalji vc nari�emo vzporednico k stranici c��� V to ki B nari�emo kot ���� Prese i� e prostega kraka kota � z vzporednico k stranici c
je ogli� e C��� Pove�emo ogli� i C in A�
Re�itev je ena�
C
vc
A Bc�
�
p
A
B C
Podatki ne ustrezajo nobenemu skladnostnemu izreku� Pri a�kujemo lahko ni � eno ali dve re�itvi�
Potek nartovanja�� Nari�emo stranico c��� V ogli� u B odmerimo in nari�emo kot ��
�� Nari�emo kro�nico s sredi� em v A in s polmerom r � b�
�� Prese i� i kro�nice in prostega krakakota � sta ogli� i C� in C��
Naloga ima dve re�itvi�
C�
A B
C�
�
c
b�
b�
B�
C �
C
A
S
B�
c�
c�b
r
Dobimo dve re�itvi� ostrokotni in topokotni trikotnik� Nadaljnjidve re�itvi z ogli� em C � imata napa no orientacijo�
���Koli ine� Pripravana funkcijo
�a� � g� � min� � � m� �� d�
b� �� dag� ��� m� ��� �� h
�A������ B������ C������ D������ R����� S����
�Dobimo linijski diagram� Daljica najprej pada� nato nara� a� paspet pada�
� � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�V � dneh bo zaostala �� min in � sek� to je � sekund�
�V povpre ju je porabila ���� �
�a� A������ B������ C�����
��
b�
A
B
C
D
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
x
y
c� D����
�Soseda mora pripraviti ��� kg sladkorja�
�Opis je individualno delo� Na primer�Planinci so pri eli s hojo ob vzno�ju gore ob �� uri zjutraj� Pouri in pol neprekinjene hoje so se povzpeli na nadmorsko vi��ino m� Tu so pol ure po ivali� Vrh na nadmorski vi�ini� � m so dosegli ob ��� uri� Dve uri so u�ivali razgled� natoso se odpravili v dolino� Hodili so brez postanka in zaklju ilipohod ob ��� uri�
�a� Prijateljice so v povpre ju prispevale po ���� �
b� ���� pa je povpre je glede na prispevek�
�Ogli� a kvadrata ABCD so� A������ B������ C����� D�����
�
A
D
E
F
G
D �
E �
F �
G �
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
D ������� E ������� F ������� G ������
�
� � � �
h
km
�
�
�
�
Kolesar je prevozil �� km dolgo pot�
��etrti izdatek je bil �� �
�Iz diagrama sledi� da je brskanje po internetu veliko bolj prilju�bljeno kot obisk kino predstav� Le � primera izstopata� kar pane vpliva na kon no odlo itev�
����tirikotniki
��tirikotnik je paralelogram�Notranji koti merijo� � � � � ���� � � � � �����
�
A B
CD
e f
Pravokotnik je sredi� no in osno simetri en�
�� � � � ���� � � � � ��
�
p
A B
CD
��
�Skica
A B
C
D
a
b
ef
�
C
A B
D
a
b
e
f
�
Opomba� Opis je individualno delo� lahko tudi takole�
Potek nartovanja�� Nari�emo nosilko stranice a� Na njej izberemo ogli� e A in
odmerimo dol�ino jABj � a��� Na nosilko stranice a postavimo vi�ino v� ji odmerimo dol�
�ino in skozi kraji� e postavimo vzporednico k nosilki stra�nice a�
�� V ogli� u A odmerimo kot �� Njegov prosti krak seka vzpo�rednico v ogli� uD�
�� Iz ogli� a B nari�emo lok s polmerom r � b� Ta seka vzpo�rednico v ogli� u C�
�� Pove�emo ogli� iD in C�
��
Re�itve nalog
e� Enakokrakemu trapezu lahko o rtamo kro�nico� v rtamo
ga lahko v posebnih primerih� ko je vi�ina enaka ��� � je
polmer kro�nice� v rtanega trikotniku na nosilkah stranic a�
b� d �ali b� c in d��
f� Trapezu� ki ni enakokrak� ne moremo o rtati krog�nice� v r�
tamo ga lahko� kadar sredi� i kro�nice� v rtane nosilkam
stranic a� b in d ter b� c in d� sovpadata�
g� Splo�nemu �tirikotniku lahko kro�nico o rtamo le� e �tirikot�
nik lahko konstruiramo na razpolovi� ih stranic kakega dru�
gega �tirikotnika �to je tetivni �tirikotnik�� kro�nico lahko
v rtamo le� e se diagonali sekata pravokotno in je
�� � � �� � ali pa se razpolavljata in je �� � � �� ��
��
Dol�ine so za polovico kraj�e�
��
T
AB
p
p �
jTAj � jABj � jBCj � jTCj
Futo�iki
�� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � �
�� � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
�� � � � � � �
� � � � � �
� � � � �
� � � � � � � � �
� � � � � � �
�� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � � �
�� � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � �
�� � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � �
�� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � �
�� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � �
���
��� Obsegi in plo��ine
��� Obsegi in plo��ine
P� Spremenljivka� Obrazec� Izrazi sspremenljivkami
�V vseh primerih dobimo izraze s �rko ali izraze s spremenljivko
a� ���a� ��� a
b� a��� a� �
c� x��� x � � � � � x
� b�a� b� a
d� c�a��� c � a � � � � � a � c
e� b�b� b � b � b�
Izraze imenujemo�
�� b� nakazana vsota ali nakazano se�tevanje�a� �� nakazana razlika ali nakazano od�tevanje�� � x� nakazan zmno�ek ali nakazano mno�enje�b� a� nakazana vsota ali nakazano se�tevanje�� � c � a� nakazan zmno�ek ali nakazano mno�enje�b�� kvadrat ali druga potenca �tevila b�
��katla� ki se�teva� da naslednje rezultate�
a��� a��
b��� b��
a����� a�
�Pravilna zapisa sta A in C� Zapis A je najbolj pogost�
RazmislekKer �tevila pi�emo v mestnem sistemu �mesto v zapisu da �te�vilki vrednost�� moramo zmno�ek dveh ali ve �tevil vedno za�pisati z znakom mno�enja� �e bi pri zapisu � � � izpustili znakmno�enja� bi dobili �tevilo ��� Vemo� da � � � �� ���
�Vsi odgovori razen B� � in D so pravilni� Najpriro nej�i je zapisC� pogosto uporabljamo tudi dalj�i zapis A�
�a� a� � b� b� � c� a � � � �a � �� b
�
Izraz Vrednost rke Vrednost izraza
� � a� � a � �
b� � b � �
a� b a � �� b � ��
� � �a� b� a � �� b � � �
��
��
��
�Izraz
a a� � � � a� � � � a� �
� � � ��
�� �� �� �
�a� b� c�� a
�
�� a
b � � a
�
b� � � a
c c
�
c � a
Rezultati so izrazi s spremenljivkami��� a� b� � � a � b� �a� c � a � ca
Rezultat lahko zapi�emo na dalj�i na in z znakom mno�enja alina kraj�i na in brez znaka za mno�enje�a� � � a ali �a b� � � u ali �uc� � � a� ali �a� � � � c � � ali �c� �d� a� b� c� d� �
�a� � � b � b� b� b� b� b� b
b� � � a � a� a� a
c� � � x � y �� x � y� x � y� x � y� x � y� x � y �� xy� xy� xy� xy� xy
� � � a � b � c � a � b � c� a � b � c� a � b � cd� � � a� b � a� a� a� a� b
e� a � c� � � d �� a � c� d� d� d � ac� d� d� d
f� � � a � b � c� � � b �� a � b � c� a � b � c� a � b � c� b� b �
� abc� abc� abc� b� b
g� � � a� � � b� c �
� a� a� a� b� b� c
��a� b� b� a� � � b� b � � � b� a � �b� a
b� � � a� � � a� � � a � a
��a� Poljubno �tevilo naj bo a�
Izraz� � � a� � � �a� ��b� Poljubni �tevili naj bosta a in b�
Izraz� �a� b�� �� � a� b� ��c� Poljubni �tevili naj bosta x in y�
Izraz� �x� y�� � x� y� � Poljubni �tevili naj bosta a in b�
Izraz� � � �a � b�� b �� ali ��a � b�� b ��
��a� b� �� a
c� � � a� � � x � �a� �x� a� � � b� c � a� �b� c
��Krogec samo nakazuje vmesni rezultat pri ra unanju� Vanj vpi��emo prvi izraz� Z njim potem� kot ka�e diagram� ra unamonaprej�
a� a���� a� ��
�b� a� ��� b
b� ��b��� b
�c� �� b� c
c� ��b�� � b
�a� � � b� a � �b� a
� ����c���� � � c
��b� ��� � � c� � � b �
� ��� �c� �b
d� c���� � c
�b� � � c� b � �c� b
e� � � a���a� � � a� � � a
���b� � � a� � � b � a� �b
��a� � � a� b � � � �� � � ��b� � � a� � � b � � � �� � � � � � �� � ��
��Opomba� Pozorno poglejmo� kako smo pri poenostavitvi iz�
raza uporabili oklepaj� Potem gre ra unanje hitreje�a� � � a� � � b �� � � �a� b� �� � � ��� �� � � � � � ��
b� � � a� � � a� � � b �� � � a� � � b �� � � �a� b� �� � � ��� �� � � � � � �
���
Re�itve nalog
��a� � � x� � � y � �x� �yb� � � a� �� � b � �a� ��bc� a� � � � a � a� � �a� � � a� � � � a � b � �a� � �ab
��
� � �
�� �� �� ��
� � � �� ��
�tevilsko zaporedje ima prvi len �� vsak nadaljnji len je za �ve ji� Zadnjega lena nima� zato je to neskon no zaporedje��� �� �� ��� ��� �� ��� �� � � ��len� ki stoji ne n�tem mestu� imenujemo splo�ni �len ali pravilozaporedja�Do njega vodi sklep� � � �� � � �� � � � � � � n � �
�Iskano zaporedje je �� �� �� �� � � � � Prvi len je �� vsak nadaljnjipa je za � ve ji� �len na �� mestu je ���
�
� � �
�� �� �� ��
�� � � �
�tevilsko zaporedje se pri ne z �� Vsak nadaljnji len je za �manj�i� V mno�ici naravnih �tevil se zaporedje po nekaj lenihkon a pri �tevilu �� Naslednje� za � manj�e �tevilo od �� je�tevilo � ki ne sodi med naravna �tevila��� � �� �� �
Splo�ni len� ��� �n� n ���������
��Spremenljivka je vsaka rka v matemati nem jeziku� ki jo lahkov danem zapisu nadomestimo s katerim koli �tevilom�
P� Obseg in plo��ina pravokotnika terkvadrata
��Na sliki je �� nalepk� V �� vrsticah bi jih bilo ���
��Ocena je individualno delo�S pre�tevanjem ugotovimo� da imajo vsi liki na sliki enako plo�� ino� �� plo� inskih enot�Lahko si pomagamo tudi z ra uni�pA � � � �� � ��� � � �� � �� � ��pB � � � � ��pC � � � � � ��
��Ocena je individualno delo� Pogled lahko zavede�S pre�tevanjem ugotovimo� da ima rde a ploskev plo� ino �� cm��oran�na ploskev �� cm� in modra � cm��
��a� o � �� cm� p � � cm�
b� o � � cm� p � ���
cm�
c� o � ��� cm� p � ������ cm�
��a� o � ��� dm� p � ��� dm�
b� o � � ��
dm� p � ���
dm�
c� o � � ��
dm � ��� dm� p � � ���
dm�� ���� dm�
��
p
o
b
a
p
o
b
a � cm �� dm
� cm �� dm
� cm �� dm
�� cm� �� m�
�� dm �� mm
��� dm � mm
�� dm ��� mm
�� dm� ���� cm�
��Dol�ina stranice kvadrata meri cm�
o � � � a
�� � � � a
� � a � ��
a � cm� ker je �� � � �
a ��
��
��
��
� �
� �
�a� a � ��� dm � p � ���� dm�
b� a � �� ���
cm � p � ������ cm�
c� a � ���� m � p � ������ m�
�a� a � �� cm� o � �� cmb� a � ��� m� o � �� mc� a � �
�m� o � � m
��Druga stranica meri � cm�
� � �a� b� � ��
��� b � ��
b � � cm� ker je� � ��� � � � � ��
a o
a"� �� ��
�b ��
�b � �
��� ��
��� � �
��Druga stranica meri � cm�
p � a � b
�� � � b
� b � ��
b � � cm� ker je � � � ���
b ��
� ��
�a
�
� a
�
��Obseg pravokotnika meri ���� cm�
��Takih pravokotnikov je ve � npr� s stranicama �� cm in � cm ali�� cm in � cm�
��a� Vsi pravokotniki imajo enak obseg � cm�b� Kraj�a stranica vsakega pravokotnika se iz primera v primer
pove a za � enoti� Zaporedje pravokotnikov lahko dopol�nimo s pravokotniki s stranicama �� cm in cm� � cm in�� cm ter �� cm in �� cm� Zadnji primer je poseben primerpravokotnika� kvadrat�
c� Plo� ine vseh na�tetih pravokotnikov se postopno ve ajo�Najve jo plo� ino ima kvadrat�
���
��� Obsegi in plo��ine
��a� Risanje je individualno delo� Vsak nov kvadrat dobimo
tako� da pove�emo razpolovi� e njegovih stranic� Posto�pek nadaljujemo�
b� S �tetjem kvadratkov ugotovimo� da je p� � ��� p� � ���p� � �� plo� inskih enot� Plo� ina vsakega nadaljnjegakvadratka se zmanj�a za polovico�
��Za � pogrinjek potrebujejo ���� m�� za osem pa ����� m�
traku�
��Za eno okno potrebuje ��� m� stekla� za � pa �� m� stekla�
�Janu se teoreti no ponuja veliko mo�nosti od ozke parcele� od� m� ��� m do bolj uporabnih� npr� �� m� �� m�� m � �� m� �� m � ���� m � � � V vsakdanjem �ivljenju tehmo�nosti ni toliko�
�� Sestavljanje plo��inUvodnaMilan ima prav� Kakor hitro znamo izra unati plo� ino pravo�kotnika in kvadrata� znamo z ustreznim sestavljanjem ali razsta�vljanjem sestavljenega lika izra unati tudi njegovo plo� ino�Metka lahko ra una na dva na ina�Lik razstavi na dva pravokotnika s stranicama � cm in � cm ter �cm in � cm in plo� ini se�teje�p � � cm � � cm� � cm � � cm � �� cm�
Lahko pa najprej dopolni lik v pravokotnik s stranicama � cm in� cm ter od njega od�teje plo� ino kvadrata s stranico � cm�p � � cm � � cm� � cm � � cm � �� cm� � � cm�
� �� cm�
�a� p � �� m� b� p � �� cm�
c� p � ��� cm� � p � �� m�
��a� x � ��� cm b� x � � cmc� x � � dm � x � � m
�� Plo��inska enakostUvodnaJan ima prav� ker ve� da velikost okoladne tablice� ki je sesta�vljena iz enakega �tevila enako velikih ko� kov� ni odvisna odtega� kako so ko� ki razporejeni� Oblika lika ne vpliva na plo�� ino� e je le lik sestavljen iz enakega �tevila enakih delov� ki sene smejo prekrivati�
��Da� vsi liki so plo� insko enaki in merijo po � plo� inskih enot�
��Risanje plo� insko enakih likov je individualno delo�Prvi lik meri � plo� inskih enot� drugi pa �� plo� inskih enot�
IzzivPlo� ini osen enih delov sta enaki�
��a� Slike vzorcev so individualno delo� Na primer�
b� Ne� Z rombi lahko samo z rezanjem in potem lepljenjemdobimo pravokotnik�
��a�
b�
��En lik je sestavljen iz dveh delov �tirikotnika� preostala dva iz�tirih� Slednja sta plo� insko enaka�
��
a�
b�
A
B
C
A
B
CA
B
CA
B
��
�Individualno delo� Primer�
�a�
b�
c� Lahko� e je ena od stranic pravokotnika enaka polovici dia�gonale�
��
Re�itve nalog
��Povr�ina zemlji� a meri ����� m�� Za trato bo ostalo �e �����m� zemlji� a�
�Potrebovali bomo �� m� folije�
Preizkusi seOsnovnica tako preoblikovanega paralelograma je enaka sre�dnjici trapeza s � �
��a� c�� kar poka�e prva slika�
Osnovnica tega paralelograma je enaka vsoti obeh osnovnic�torej a� c� vi�ina pa je enaka polovi ni vi�ini trapeza�
a c
c
v v�
p � �a� c� � v�
� Deltoidi in rombi � obsegi in plo��ine
UvodnaDa� Erik ima prav v obeh trditvah� Vidi se� da sta naredila le�pega zmaja� Plo� ino sta ra unala s pomo jo trikotnikov� sajdvobarvni papir� ki sta ga uporabila pri izdelavi zmaja� ka�e� daje trapez sestavljen iz dveh skladnih trikotnikov� Njegovo plo�� ino znata izra unati� saj poznata dol�ini obeh letev� Dalj�apredstavlja osnovnico trikotnika� kraj�a pa je enaka polovi nidol�ini druge diagonale� Torej bo plo� ina deltoida�
p � �p�
p � � � � ��� f � e
��
p �e�f�
Vpra�anjeDa� e si predstavljamo� da je deltoid sestavljen! iz dveh skla�dnih trikotnikov� ki sta zlepljena! skupaj po dol�ini njegovedalj�e diagonale� kot ka�e slika�
f
e�
e�
Plo� ino deltoida dobimo kot ��kratno plo� ino trikotnika�
p � � � p�p � � � � �
�� f � e
��
p �e�f�
a� p � �� cm�
b� p � �� dm�
c� p � �� cm�
�a� p � ���� cm�
b� p � ���� m�
c� p � �� cm�
�S �estilom ugotovimo� da sta obe diagonali vseh likov enakodolgi� Plo� ine vseh treh deltoidov so enake�
�a� f � �� cmb� e � �� cmc� f � � �
��cm
� e � dm
�Risanje je individualno delo� Obseg kvadrata meri �� cm�
�p � ��� dm�� a � ��� m� o � �� m
�Stranica kvadrata meri �� cm�
�Podatke za modri del od itamo s slike� natanko �� kvadratkov�Za rde i del jih pre�tejemo ali izmerimo�Izra un rde ega dela� deltoid� ki ima eno diagonalo ��� cm�� cm� in drugo �� cm �� cm�� ima plo� ino �
�ef � � cm��
S pre�tevanjem in dopolnjevanjem kvadratkov jih na�tejemonatanko ��pmd � �� cm�
prd � � cm�
�Jan potrebuje za zmaja �� m� papirja� Torej bo na rt lahkouresni il� Tudi za rep bo ostalo dovolj papirja�
Porabil bo ��� m� plo evine�
�a� Potrebuje ��� g zlata�b� Iz � g zlata naredi oblikovalec �� obeskov� Pri tem mu
ostane okoli ��� g zlata�
��Za barvanje ��� m� povr�ine dna in sten bazena bomo potre�bovali ���� kg barve�
U� Do trdnega znanja��Prvi lik� obseg � dol�inskih enot� �� plo� inskih enot�Drugi lik� obseg �� dol�inskih enot� � plo� inskih enot�
��Plo� ini merita �� plo� inskih enot in plo� inskih enot�
��Individualen odgovor� Vsi liki� ne glede na obliko� ki imajoenako plo� ino� so plo� insko enaki�
��Plo� insko enaka sta lika A in D ��� plo� inskih enot� ter lika Bin C �� plo� inskih enot��
��Da�
��Vi�ina je enaka dvakratni vi�ini paralelograma�
�v
��a� N� plo� insko enaki paralelogrami razli nih oblik nimajo
enakih obsegov�b� N� paralelogrami z enakimi osnovnicami in njim pripadajo�
imi enakimi vi�inami imajo enake plo� ine�
���
Viš. pred. mag. Milena Strnad
STIČIŠČE 7Matematični učbenik za 7. razred osnovne šoleDruga, prenovljena izdaja po posodobljenem učnem načrtu iz leta 2011
REŠITVE NALOGPriloga k učbeniku
Rešitve so pregledali:Milena Štuklek, predmetna učiteljicaNives Zavodnik, predmetna učiteljicaVesna Harej, predmetna učiteljica
Jezikovni pregled:mag. Breda Sivec
Tehniške risbe:Martin Zemljič in doc. dr. Matjaž Željko
Oblikovanje in prelom:Martin Zemljič in mag. Milena Strnad
Oprema:ONZ Jutro (ilustracija M. Schmidt)
© Avtorica in Jutro d.o.o.
© Vse pravice pridržane.
Fotokopiranje in vse druge vrste reproduciranja po delih ali v celoti ni dovoljeno brez pisnega dovoljenja založbe.
NAROČILA:JUTRO d.o.o., Črnuška c. 3, p.p. 4986, 1001 LjubljanaTel. (01) 561-72-30, 051 667-488, 041 698-788Faks (01) 561-72-35E-pošta: [email protected] • www.jutro.si
ISBN 978-961-6746-27-4
STICISCE 7 - RESITVE - PRVA IN DRUGA STRAN - NUN 2013.indd 2 13.8.2013 23:30:00
Top Related