Clase 2010 - Autovalores

7/25/2019 Clase 2010 - Autovalores

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Autovalores y AutovectoresAutovalores y Autovectores

Generalidades

Crculos de Gerschgorin

Mtodo de las Potencias

Transformaciones Similares

Prof. Dra. Nlida eatri! rignol


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Definici"n del Pro#lemaDefinici"n del Pro#lema

ticocaractersPolinomioIA

xIA

AdeEspectroPniP

xxxA

i

$%det&

'$(deadem)ssoluci"notratengasistemael*ue+ara

$%&

',-/

$

==

=

===


3/34


4/34


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Teorema de GerschgorinTeorema de Gerschgorin

Sea

con autovaloresSean los crculos

Entonces

n(nCA

{ } nii -.=

{ }

===

n

ijj

ijiii arrxZ

iia6(7C

n

i

ii ZD

.=

=


6/34

Siguiente

Anterior

01em+lo01em+lo

{ }

{ }

{ }28

2

24

8$22$

4

3

2

=

=

=

=

zquetalCzR

zquetalCzR

zquetalCzR

A


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Anterior

Demostraci"nDemostraci"n

kkjkij

n

ijj

ikii

kik

ikkjkij

n

j

k

T

ikk

T

i

kkk

xxAxA

xx

xxA

xexAe

xxA

9:9:9:9:9:

9:eli1o

9:9:9:

.

.

=+

=

=

=

=

=

=


8/34Siguiente

Anterior

Demostraci"n &cont.%Demostraci"n &cont.%

( )

.9:9:

9:9:9:9:

9:9:9:9:

cqdrAA

AxxAAx

xAAx

i

n

ijj

ijiik

n

ijj

ijkjk

n

ijj

ijiikk

jk

n

ij

j

ijiikik

=

=

=

=

=

=


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Anterior

Mtodo de las PotenciasMtodo de las Potencias

{ }

+==

+===

=

>=

=

===

=

i

n

i

ii

i

n

i

iii

n

i

iii

n

i

i

i

n

i

i

niiii

xxAvv

xxxxAAv

xv

xxxA

2

$

2

$

$

2;.5.


10/34Siguiente

Anterior

Mtodo de las Potencias &cont.%Mtodo de las Potencias &cont.%

+=

+=

+===

=

=

=

ii

n

i

i

i

n

i

iii

i

n

i

ii

xx

xxvA

xAxAvAAvv

2

2

2

2 $

2

2 $

22


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Anterior

Mtodo de las Potencias &cont.%Mtodo de las Potencias &cont.%

converge lentamente

2

2 $

2

$

2

2

lim lim

$ $

ni i

i

i

knk k i i

k i

i

k

k

k kk

k

v Av A v A x A x

v A v x x

v x x

x

x

=

=

= = = +

= = +

= =

<

>


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Anterior

Algoritmo' Mtodo de las PotenciasAlgoritmo' Mtodo de las Potencias

+

=

=

=

=

k

kk

kk

n

z

zv

vAz

k

vv

$$

re+etirconverg.hasta$+ara

conDado


13/34Siguiente

Anterior

0fecto del 0scalado0fecto del 0scalado

+

+

+

+

====

===

$.

$

.

.2

.

2

.

..

.

.

.

.

.

vAvA

vAvA

zAzAv

z

zA

z

zA

Av

Av

z

zv

k

k

k

k

k

kk

k

k

k

k

k

k

k

kk


14/34Siguiente

Anterior

0fecto del 0scalado &cont.%0fecto del 0scalado &cont.%

.

.

. . .

2 . .

. .

.

. . .

2 . .

.

. . . .. .

. .. .

lim lim .

kn

k i ii

i

k kn

k i ii

i

k

k kk k

x x

v

x x

x xv

x x

+

+

=+ +

+

=

+

+ +

+

=

+

= = =


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Anterior


16/34Siguiente

Anterior

C)lculo del Autovalor DominanteC)lculo del Autovalor Dominante

2

2x

xAx

xx

xAx

xxxAx

xxA

T

T

T

TT

==

=

=

Cociente de ?ayleigh


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Anterior

C)lculo del Mnimo AutovalorC)lculo del Mnimo Autovalor

kkkkk

kkkk

vxPzLxPzPA

xzAxAz

xAx

xAxAA

xxA

===

==

>

>

=

=

=

...

si

.

.

..6nn

n.6n2.

.

..


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Anterior

Algoritmo MP 5nversoAlgoritmo MP 5nverso

xx

xAx

vPx

z

zv

vzL

k

LPA

xx

T

T

n

mm

k

kk

kk

n

=

=

=

=

=

=

=

+

re+etirfin

re+etir

converg.hasta$+ara

factori!ar

conDado

$$


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Anterior

Mtodo de las Potencias con CorrimientoMtodo de las Potencias con Corrimiento

@

AAAAAA

%@&%@&

%@&%@&

@@

jjnn

jj

j

jjj

jjjjj

jjj

xIAx

xxIA

xxxIxA

xxA

+

=

=

=

=


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Anterior

ShiftingShifting


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Anterior

Algoritmo MP5 con CorrimientoAlgoritmo MP5 con Corrimiento

@%@&

re+etirfin

re+etir

converg.hasta$+ara

%@&factori!ar

@-conDado

$$

+

=

=

=

=

=

=

=

+

xx

xIAx

vPx

z

zv

vzL

k

LIAP

xx

T

T

mm

k

kk

kk

n


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Anterior

?esumen?esumen

Mtodo Ecuacin Computa

Potencias Mximo autovalor

InversoPotencias

Mnimo autovalor

Consi!tin"

Autovalor msle#ano a $

Consi!tin"inverso

Autovalor mscercano a $

%&%.& kk Axx =+

%&%& kk xAx =+

%&%&%&

kkxIAx =+

%&%&%&

kkxxIA = +


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Anterior

Conclusiones' Mtodo de las PotenciasConclusiones' Mtodo de las Potencias

%enta#a

Simplicidad

&esventa#as

Calcula los autovalores individualmente

'e(uiere un autovalor dominante Sur"en pro)lemas con autovalores comple#os

'e(uiere )uena distancia entre el autovalor dominante * su vecino

La iniciali+acin del autovector a!ecta la velocidad de conver"encia

erramienta para propsitos especiales

Mu* )uena si se conoce )ien el pro)lema -ecesidad de erramientas de propsito "eneral ...

(ue exi#an tomar menos decisiones

(ue calculen todo el espectro a la ve+


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Transformaciones SimilaresTransformaciones Similares

Las matrices

se denominan SIMILA'ES si

no sin"ular tal (ue

Las trans!ormaciones similarespreservan los autovalores

nxnnxn !A Bnxn

" "!"A .=


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TeoremaTeorema

##!

x"x"!

xx"!"

xxA

=

=

=

=

Demostraci"nDemostraci"n!deautovectores"x#!deautovalores

Adeautovectorxsea#Adeautovalor"ea

"!"A!asimilarA"ea nxnnxn

= .

B


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actori!aci"n Sucesivaactori!aci"n Sucesiva

Pro+"sito' Generar una sucesi"n de matrices similares-

tendiendo a lograr una forma es+ecial

kkkkk

kkkk

"""A"""A

"A"A

+

=

=


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Diagonali!aci"nDiagonali!aci"n

[ ] [ ]

[ ]

D$A$D$$A

xxx$A

xxxxxxA

nixxA

n

n

nnn

iii

==

=

=

==

.

2

.

2.

22..2.

$$

$$

$$

-.

Autovalores distintos EF Autovectores ;.5. EF 0(iste inversa de

Si A es simtrica EF Sus autovalores son reales

es ortogonal


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Es una buena idea emplear rutinasEs una buena idea emplear rutinas

prefabricadas?prefabricadas?

Pre"unta crucial (ue nos emos eco desde el principio.

/&ia"onali+ar matrices es un campo mu* comple#o de lamatemtica, * a exi"ido "ran cantidad de tiempo * de

tra)a#o desarrollar * veri!icar todas las rutinas reali+adas0

/Li)ros de tanta reputacin * calidad como el NumericalRecipesrecomiendan usar pa(uetes de rutinas. &e eco,existen "ran cantidad de rutinas de calidad * (ue sonaceptadas por la comunidad cient!ica, como es el caso de

EISPACK, IMSLo NAG. /


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0(+eriencia0(+eriencia

/Sin em)ar"o, al e#ecutar el cdi"o veri!icamos (ue elpro"rama comen+ a !allar * a "enerar datos errneos. 1rasvarias semanas de veri!icacin del cdi"o, lle"amos a laconclusin (ue el cdi"o esta)a mal2 eran las rutinas de

autovalores. 3 estudiando en pro!undidad dicas rutinasperci)imos (ue, por su implementacin interna, tenacomentado un escalado para (ue !uera ms deprisa.Eliminado el comentario del escalado, s volvi a darresultados correctos. Sin em)ar"o, esto *a sent las dudasso)re (u esta)amos empleando para resolver nuestrasecuaciones. Por otro lado, anali+amos los lmites internos

de las rutinas./


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?utinas +refa#ricadas?utinas +refa#ricadas

/Emplear rutinas *a pre!a)ricadas es, en nuestra opinin, una )uenaopcin para cuando no es un clculo (ue a"amos con !recuencia o (uesupon"a peso en los clculos para nuestro al"oritmo.0

/En caso de (ue la dia"onali+acin sea una parte importante de nuestro

tra)a#o, slo podemos emplear rutinas pre!a)ricadas para las primeras!ases de prototipado o para "enerar )ateras de prue)as para ase"urarnosde la correccin de nuestras rutinas, * sin tomar como axiomas losresultados numricos de nin"una de las dos rutinas.0

/Como rutinas pre!a)ricadas emos empleado las IMSL, (ue son )astante)uenas. Estn en 4ortran, lo (ue !u una venta#a en las primeras !ases delpro*ecto 5en las (ue el 4ortran !u nuestro len"ua#e de pro"ramacin5 * uninconveniente en las 6ltimas !ases 5(ue portamos todo el cdi"o a C,!undamentalmente por la "estin de memoria dinmica, de la (ue 4ortran77 carece *, en 4ortran 89 * posteriores, es menos e!iciente (ue en C./


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Matrices TriangularesMatrices Triangulares

nia

atrian%ularesA"i

IA%eneralEn

ii

n

iii

-

$%&

$%det&-

===

=

=

HC"mo transformar matrices ar#itrarias

en matrices triangulares con los mismos autovaloresI


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Teorema de SchurTeorema de Schur

Sea

0ntonces e(iste una matri! unitaria tal *ue

donde es triangular su+erior.

;os elementos diagonales de son los autovalores de

nxnCA

AAT > ==

TT A


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orma ?eal de Schurorma ?eal de Schur

Tdeconju%adoscomplejosautoval

deparunsonautovalsusT&ieno

TderealautovalorunesTdondeT

TT

TTT

TTTT

T

conATquetal

orto%onalEntoncesA"ea

xii

xii

kk

k

k

k

T

nxnnxn

.

.

$$$

$$

$

-.

22

333

22322

32

=

=


34/34

;ectura o#ligatoria;ectura o#ligatoria

'ao p"s :795:8;

'ao p"s

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