Autovalores e Autovetores -...

Autovalores e Autovetores

Algoritmos Numericos II / Computacao Cientıfica


Lucia Catabriga 1

1DI/UFES - Brazil

Junho 2016


Introducao

Ideia BasicaSe multiplicarmos a matriz por um autovetor encontramos ummultiplo do proprio autovetor, com constante de multiplicidadeconhecida por autovalor. Seja

A =

16 −24 183 −2 0−9 18 −17

o vetor

210

satisfaz a

16 −24 183 −2 0−9 18 −17

210

= 4

210

Portanto

210

e autovetor com autovalor correspondente igual a 4.


Introducao

Polinomio Caracterıstico

Aq = λq ⇒ (A− Iλ)q = 0

(16− λ) −24 183 (−2− λ) 0−9 18 (−17− λ)

q1

q2

q3

= λ

000

que e um sistema homogeneo. Este sistema so tem solucao nao-trivial (qi 6= 0) se amatriz for singular, ou seja se o determinante for nulo.

det

(16− λ) −24 183 (−2− λ) 0−9 18 (−17− λ)

= 0⇔ λ3 + 3λ2 − 36λ+ 32 = 0

ou(λ− 4)(λ− 1)(λ+ 8) = 0

que e denominado polinomio caracterıstico. Os autovalores da matriz A sao λ = 4,λ = 1 e λ = −8.


Introducao

Polinomio Caracterıstico

Em geral a equacao Aq = λq pode ser representada pelo sistemahomogeneo (A− λI )q = 0. Se A e uma matriz de ordem n osistema homogeneo tem solucao nao-trivial se

det

(a11 − λ) a12 . . . a1n

a21 (a22 − λ) . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . (ann − λ)

= 0

O polinomio caracterıstico tem a forma geral:

λn + cn−1λn−1 + . . .+ c1λ+ c0 = 0


Introducao

PropriedadesI O produto dos autovalores da matriz e igual ao determinante da matriz

detA = (−1)nc0 = λ1λ2 . . . λn. Portanto se A e singular, existe pelo menos umautovalor λi = 0

I A matriz A e sua transposta At tem os mesmos autovalores, pois odetA = detAt .

I O determinante de uma matriz triangular e igual ao produto dos elementos dadiagonal. Entao se A e triangular:det(A− λI ) = (a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ). Portanto os autovalores de umamatriz triangular sao iguais aos elementos da diagonal.

I Se as linhas e colunas correspondentes de uma matriz sao trocadas osautovalores permanecem os mesmos. Por exemplo: 16 −24 18

3 −2 0−9 18 −17

q1

q2

q3

= λ

q1

q2

q3

Se trocarmos a linha 1 com a linha 2 e a coluna 1 com a coluna 2, obtemos: −2 3 0

−24 16 1818 −9 −17

q2

q1

q3

= λ

q2

q1

q3

observe que os autovalores permanecem os mesmos, mas ao autovetores tem a1a. coordenada q1 trocada com a segunda coordenada q2.


Introducao

Calculo de AutovetoresO calculo dos autovetores associados envolvem a solucao de um sistema homogeneo.Para cada autovalor definimos um sistema de n equacoes e n incognitas(A− λI )q = 0. Por exemplo, a matriz:

A =

16 −24 183 −2 0−9 18 −17

tem por autovalores λ1 = 4, λ2 = 1 e λ3 = −8. O autovetor associado a λ2 = 1 e ovetor q tq (A− λ2I )q = 0, ou seja 15 −24 18

3 −3 0−9 18 −18

q1

q2

q3

=

000

∼ 15 −24 18

0 1.8 −3.60 3.6 −7.2

q1

q2

q3

=

000

Ou seja, L3 = 2L2 e q1 = q2 = 2q3. Portanto qualquer vetor que possui estapropriedade e autovetor associado ao autovalor λ = 1.

Seja q =

221

.


Introducao

E possıvel combinar a equacao padrao dos autovalores com todosos autovalores e correspondentes autovetores na forma:

A

q1 q2 . . . qn

=

q1 q2 . . . qn

λ1

λ2

. . .

λn

isto e,

AQ = QΛ

onde Λ e a matriz diagonal dos autovalores.Q matriz quadrada contendo todos os autovetores.


Metodos Iterativos Simples - Metodo das Potencias

Metodo da Potencia

I O objetivo do metodo das potencias e determinar o autovalorde maior modulo dentre todos os autovalores de uma matriz.

I Seja A uma matriz de ordem n e λ1, λ2, . . . , λn os autovaloresde A e q1, q2, . . . , qn os autovetores correspondentes.

I Suponha que |λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|. Seja u(0) umacombinacao linear dos autovetores correspondentes:

u(0) = c1q1 + c2q2 + . . .+ cnqn

I Os autovetores sao linearmente independentes.



u(1) = Au(0) = c1Aq1 + c2Aq2 + . . .+ cnAqn

= c1λ1q1 + c2λ2q2 + . . .+ cnλnqn

= λ1

[c1q1 + c2

λ2λ1

q2 + . . .+ cnλnλ1

qn

]u(2) = A2u(0) = λ1

[c1Aq1 + c2

λ2λ1

Aq2 + . . .+ cnλnλ1

Aqn

]= λ2

1

[c1q1 + c2

(λ2λ1

)2q2 + . . .+ cn

(λnλ1

)2qn

]



Se pre-multiplicarmos a expressao pela matriz A k-vezes obtemos:

u(k) = Ak u(0) = λk1

[c1q1 + c2

(λ2

λ1

)k

q2 + . . .+ cn

(λn

λ1

)k

qn

]

Como |λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|, temos que∣∣∣ λiλ1

∣∣∣ < 1, para

i = 2, . . . , n. Portanto quando k →∞ ,(λiλ1

)k→ 0 para

i = 2, . . . , n.



Entao, o vetor[c1q1 + c2

(λ2

λ1

)k

q2 + . . .+ cn

(λn

λ1

)k

qn

]→ c1q1

que e um autovetor associado a λ1. Portanto podemos afirmar quepara valores grandes de k

u(k) ' λk1c1q1

u(k) tende a ser proporcional ao autovetor q1. Considerando que oautovetor pode ter tamanho arbitrario (ou seja, um autovetormultiplicado por um escalar tem o mesmo autovalor associado) econveniente normalizar o vetor que gera o processo iterativo depoisde cada multiplicacao. O algoritmo iterativo para determinar q1

pode ser representado atraves das equacoes:



O processo iterativo para determinar q1 pode ser representadoatraves das equacoes:

v (k) = Au(k)

u(k+1) = 1αv (k)

onde α = ± ‖ v (k) ‖



Seja u(0) = (1 1 1)(t) e a norma do maximo para obter o valor de α, temos:I Iteracao 1 528.2 547.6 156.4

273.8 312.8 98.078.2 98.0 39.0

︸︷︷︸

A

111

︸︷︷︸

u(0)

=

1232.1684.6215.3

︸︷︷︸

v (0)

= 1232.1︸︷︷︸α

10.55560.1747

︸︷︷︸

u(1)

I Iteracao 2 A

10.55560.1747

︸︷︷︸

u(1)

=

859.7464.7139.5

︸︷︷︸

v (1)

= 859.7︸︷︷︸α

10.54060.1622

︸︷︷︸

u(2)

I Iteracao 3 A

10.54060.1622

︸︷︷︸

u(2)

=

849.5458.8137.3

︸︷︷︸

v (2)

= 849.5︸︷︷︸α

10.54000.1616

︸︷︷︸

u(3)

I Iteracao 4 A

10.54000.1616

︸︷︷︸

u(3)

=

849.1458.6137.4

︸︷︷︸

v (3)

= 849.1︸︷︷︸α

10.54000.1619

︸︷︷︸

u(4)

O autovetor e u(4) ' q1 com erro inferior a 10−3. O autovetor e λ1 ' 849.1.



Observacoes:I Quando a norma do maximo e usada o sinal de α pode ser o mesmo do maior

elemento em modulo. Neste caso α convergira para λ1 ate mesmo quando elefor negativo, alem disso a sequencia de vetores convergira normalmente para q1.

I E possivel observar que a convergencia para o autovalor pode ser mais rapidaque a convergencia para o autovetor associado.

I Em geral, dependendo de cada aplicacao, e possıvel escolher uma aproximacaoinicial para o autovetor associado ao autovalor de maior modulo atraves dealgum criterio. Porem, quando nao existe alguma informacao, e necessario umcuidado especial para nao escolher u(0) tal que o coeficiente c1 seja nulo oumuito pequeno quando comparado com os outros coeficientes.

I Para implementacoes computacionais do metodo das potencias, a determinacaodo vetor inicial u(0) e feita atraves de procedimentos automaticos. Umprocedimento bastante usado consiste em gerar os elementos dos vetor atraves

de numeros randomicos no intervalo −1 ≤ u(0)i ≤ 1. Quando este processo e

usado a probabilidade de ocorrer c1 = 0 e bem pequena.



Caracterısticas da Convergencia do Metodo das PotenciasO autovetor u(k) pode ser expresso: u(k) = q1 + e(k) onde

e(k) =(λ2λ1

)k c2c1

q2 + . . .+(λnλ1

)kcnc1

qn

Por hipotese temos que |λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|, portanto para valores grande de k o

erro pode ser aproximado por ‖ e(k) ‖∼∣∣∣λ2λ1

∣∣∣(k) |c2||c1|‖ q2 ‖

Podemows supor que |c2| ∼ |c1|, o que nos da a possibilidade de estimar o numero deiteracoes necessarias para atingir uma tolerancia pre-fixada. Supor tolerancia de 10−s .

O erro na iteracao k depende do quociente∣∣∣λ2λ1

∣∣∣k , entao:∣∣∣λ2λ1

∣∣∣k ' 10−s ⇒ k ' −sln10ln|λ2/λ1|

Portanto se∣∣∣λ2λ1

∣∣∣ estiver proximo de 1, o metodo das potencias converge

vagarosamente. E possıvel acelerar a convergencia do metodo das potencias usando oCoeficiente de Rayleigh para normalizar o vetor v (k):

α =(u(k))t Au(k)

(u(k))t u(k)=

(u(k))t v (k)

(u(k))t u(k)



Algoritmo 1: Metodo das Potencias - versao 1

1 Entrada: A,v (0),ε,kmax

2 Inicializar ρ (ρ = 1.0)3 Inicializar λk (λk = 0.0)4 while ρ > ε and k < kmax do5 u = Av (k)

6 λk+1 = v (k)Tu

v (k)Tv (k)

7 v (k+1) = uλk+1

8 ρ = |λk+1−λk ||λk+1| ou ρ = ‖v (k+1) − v (k)‖

9 k = k + 1

10 end

11 Saıda: λk+1, v (k+1)



No entanto, podemos escalonar a sequencia v (k), antes de calcularo λk .Para isso, seja y (k) = u(k)

‖u(k)‖ , entao ‖y (k)‖ = 1.

λk =y (k)T

Ay (k)

y (k)Ty (k)

= y (k)Tu(k+1)



Algoritmo 2: Metodo das Potencias - versao 2

1 Entrada: A,z(0),ε,kmax

2 Inicializar ρ (ρ = 1.0)3 Inicializar λk (λk = 0.0)4 while ρ > ε and k < kmax do

5 y (k) = v (k)

‖v (k)‖6 z = Ay (k)

7 λk+1 = y (k)Tz(k+1)

8 ρ = |λk+1−λk ||λk+1| ou ρ = ‖y (k) − y (k−1)‖

9 k = k + 1

10 end

11 Saıda: λk+1, y (k+1)


Introducao

Introducao

I Os metodos de transformacao tem por objetivo modificar amatriz original em outra que contenha os mesmos autovalores,sendo sua determinacao trivial.

I Por exemplo, transformando a matriz original em uma matrizdiagonal ou triangular – de forma que as matrizes tenham osmesmos autovalores – os elementos da diagonal da matrizresultante serao os autovalores da matriz original.


Metodos de Transformacao

Ideia Basica

As transformacoes mais gerais consistem em obter:

A = N−1AN (1)

onde N e uma matriz nao singular da mesma ordem que A. Seja λe q autovalor e autovetor correspondente, entao:

Aq = λq (2)

sendo q = N−1q temos que:

Aq = N−1ANN−1q = N−1λq

= λN−1q = λq (3)

Assim, λ e q = Nq sao autovalor e autovetor correspondente de A.


Ideia Basica

I Considerando um sequencia de transformacoes, temos:

A = Ak+1 = N−1k N−1

k−1 . . .N−12 N−1

1 AN1N2 . . .Nk−1Nk (4)

sendo A uma matriz diagonal ou triangular.

I Os autovalores de A serao os elementos da diagonal de Ak+1.

I Sendo λj = ajj autovalor, o autovetor correspondente sera aj-esima coluna da matriz q = N1N1N2 . . .Nk−1Nk


Ideia Basica

I Para matrizes simetricas, as transformacoes podem ser feitaspor matrizes ortogonais, ou seja,

N−1 = Nt , portanto A = NtAN (5)

Se λ e q sao autovalor e autovetor correspondentes de A,entao λ e Ntq sao autovalor e autovetor correspondentes deA.

I Em geral, os metodos de transformacao sao processositerativos, sendo portanto dependentes de condicoes deconvergencia.


Diagonalizacao de Jacobi para Matrizes simetricas


I Metodo baseado em transformacoes orgogonais;

I Cada transformacao tem por objetivo eliminar um par decoeficientes;

I Nao ha garantias que na proxima transformacao oscoeficientes anulados, permanecerao nulos.

I Os erros de arredondamento podem influenciar o resultado,uma vez que o numero de operacoes de ponto flutuantenecessario e grande.



suponha uma matriz de rotacao Npq definida por:

Npq =

p q1

c −s p1

s c q

1

(6)

onde,

c = cosα

s = senα (7)

sendo α o angulo de rotacao. A operacao N tpqANpq, altera apenas as

linhas e colunas p e q.



A cada iteracao i o elemento apq sera eliminado seguindo os seguintespassos:

1. Calcular:

φ =aqq − app

2apq(8)

t =

1

φ+sinal(φ)√φ2+1

, se φ 6= 0;

1 se φ = 0.,

(9)

cosα =1√

1 + t2(10)

senα =t√

1 + t2(11)

2. Ak+1 = N tpqANpq


Metodo Cıclico ce Jacobi


I A escolha de qual elemento sera eliminado e um importante passopara a convergencia do metodo de Jacobi.

I Uma alternativa e percorrer ciclicamente os elementos de fora dadiagonal principal por linha;

I Definir (p, q) sequencialmente por: (1, 2), (1, 3), ..., (1, n), (2, 3),..., (2, n), ..., (n − 1, n).

I Alem disso, como os elementos de um ciclo a outro tendem adescrecer, podemos utilizar um criterio para escolher eliminar ounao uma determinada posicao de acordo com um criterio detolerancia. Por exemplo a cada passo eliminar somente oscoeficientes tais que |apq| < ρ010−(c−1). Sendo, ρ0 uma toleranciainicial e c o ciclo corrente.



Determine os autovalores e autovetores, com toleranciaε = 5× 10−2 e ρ0 = 0.5

A =

3 0.4 50.4 4 0.1

5 0.1 −2

1o Ciclo:|a12| < 0.5⇒ a transformacao sobre o elemento (1, 2) sera omitida.|a13| > 0.5⇒ a transformacao sobre o elemento (1, 3) sera dada por:

N1 =

0.8507 0 −0.52570 1 0

0.5257 0 0.8507

⇒ A2 =

6.9202 0.3928 00.3928 4 −0.1252

0 −0.1252 −5.0902

|a23| < 0.5⇒ a transformacao sobre o elemento (2, 3) sera omitida.



2o Ciclo:|a12| > 0.05⇒ a transformacao sobre o elemento (1, 2) sera dada por:

N2 =

0.9839 −0.1788 0−0.1788 0.9839 0

0 0 1

⇒ A3 =

6.1616 0 −0.02240 3.9289 −0.1232

−0.0224 −0.1232 −5.0902

|a13| < 0.05⇒ a transformacao sobre o elemento (1, 3) sera omitida.|a23| < 0.05⇒ a transformacao sobre o elemento (2, 3) sera dada por:

N3 =

1 0 00 0.9999 0.01370 −0.0137 0.9999

⇒ A4 =

6.1616 0.0003 −0.02240.0003 3.9303 0−0.0224 0 −5.0919

6.1616, 3.9303 e −5.0919 sao autovalores e autovetores correspondentesiguais as colunas de:

N1N2N3 =

0.8370 −0.1449 −0.52770.1788 0.9838 0.01350.5172 −0.1056 0.8439


Metodo LR

Metodo LR

I Determina todos os autovalores de uma matriz;

I O metodo consiste em construir uma sequencia de matrizesA1,A2, . . . ,Ak de tal forma que a matriz Ak seja aproximamentetriangular superior, sendo que os autovalores de A e Ak sao oselementos da diagonal de Ak .

I A cada iteracao k , fatoramos Ak = Lk Rk , sendo Lk e Rk ,respectivamente, matriz triangular inferior com 1 na diagonal ematriz triangular superior. A iteracao k + 1 deve ser calculada por,

Ak+1 = Rk Lk .


Metodo LR

Assim,

A1 = A = L1R1

A2 = R1L1 = L2R2

A3 = R2L2 = L2R2

...

Ak = Rk−1Lk−1 = Lk Rk

... (12)

Observacoes:

I Pode-se provar que: Se os autovalores de A sao distintos, asequencia {Ak+1} converge para uma matriz triangular superior R.

I A matriz R tem os mesmos autovalores de A.

Ak = Rk−1Lk−1 = L−1k−1 . . . L

−11 AL1 . . . Lk


Metodo QR

Metodo QR

I Determina todos os autovalores de uma matriz;

I O metodo consiste em construir uma sequencia de matrizesA1,A2, . . . ,Ak de tal forma que a matriz Ak seja aproximamentetriangular superior, sendo que os autovalores de A e Ak sao oselementos da diagonal de Ak .

I A cada iteracao k , decompomos Ak = Qk Rk , sendo Qk uma matrizortogonal e Rk uma matriz triangular superior. A iteracao k + 1deve ser calculada por Ak+1 = Rk Qk .


Metodo QR

Assim,

A1 = A = Q1R1

A2 = R1Q1 = Q2R2

A3 = R2Q2 = Q2R2

...

Ak = Rk−1Qk−1 = Qk Rk

... (13)

Observacoes:

I Pode-se provar que: Se os autovalores de A sao distintos, asequencia {Ak+1} converge para uma matriz triangular superior R.

I A matriz R tem os mesmos autovalores de A.

Ak = Rk−1Qk−1 = Q−1k−1 . . .Q

−11 AQ1 . . .Qk


Metodo QR

Em cada passo do metodo QR, devemos determinar matrizes Qk e Rk ,sendo Qk matriz ortogonal e Rk matriz triangular superior. Estadecomposicao pode ser obtida utilizando transformacoes ortogonais,como por exemplo Rotacoes de Givens que podem ser sumarizadas por:para zerar os elementos abaixo da diagonal na coluna j, vamos executarrotacoes de Givens da linha j + 1 ate a linha n, considerando a matrizortogonal Npq dada por:

Npq =

p q1

c s p1

−s c q

1

c =

app√a2

pp + a2qp

s =aqp√

a2pp + a2

qp

A matriz Qk responsavel por zerar os coeficientes abaixo da diagonal nacoluna j e dada por:

Qk = N tj+1,j N

tj+2,j N

tj+3,j . . .N

tn,j


Metodo QR

Reducao a Forma de Hessemberg

I O processo termina quando o elemento de maior valor absoluto damatriz Ak abaixo da diagonal for menor que uma tolerancia εpre-fixada.

I Para matrizes de ordem elevada, o metodo QR tende a ter umaconvergencia lenta. Para acelerar o processo e utilizado estrategiaspara transformar a matriz original A em uma matriz comcaracterısticas especiais.

I A forma de Hessemberg superior consiste em uma matriz triangularcom a subdiagonal inferior com elementos tambem nao nulos.

I A reducao esta baseada na utilizacao de operacoes elementares,organizadas por coluna em n − 2 etapas:

An−1 = N−1n−2 . . .N

−12 N−1

1 AN1N2 . . .Nn−2

sendo Nj matriz elementar.

I Os autovalores de An−1 sao os mesmos autovalores de A.


Calculo de autovetores

Metodo da Iteracao Inversa

Seja λ autovalor aproximado de A. Desejamos obter q tal que:Aq = λq. Considere z(0) um vetor condicao inicial para o calculodo autovetor correspondente. Define-se duas sequencias {w (m)} e{z(m)} tq

(A− λI )w (m+1) = z(m) e z(m+1) =w (m+1)

‖w (m+1)‖p/ m ≥ 0

O processo que acabamos de apresentar e essencialmente oMetodo das potencias aplicado a matriz (A− λI )−1.


Algoritmo Metodo da Iteracao Inversa

Algoritmo 3: Metodo da Iteracao Inversa1 Entrada: A,λ,ε,maxiter2 Calcula os fatores L, U e P de (A− λI ) (Controlar singularidade de U)3 Define q inicial (usar funcao randomica)4 qa = Lq5 ρ = ‖q − qa‖2

6 k = 07 while ρ > ε and k < maxiter do8 Resolva Ly = Pqa

9 Resolva Uv = y10 q = v

‖v‖2

11 ρ = ‖q − qa‖2

12 qa = q13 k = k + 1

14 end15 Saıda: q, k

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