Composição de Transformações Lineares

Composição de Transformações Lineares

Composição de Duas Rotações

Quando a Composição não é Comutativa

Exercício

Exercício Numérico

Uma busca contínua por respostas para sistemas dinâmicos.

Autovetores & Autovalores

Importância do Estudo

Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística e etc.

Introdução

um operador linear. Se existirem v V, v tais que v = v, é um autovalor de e v um autovetor de associado a .

(I) T(v) = v

Definição

Observação Gráfica

• Nessa condição, o vetor v2 passou a v2', que não tem a mesma direção do original v2. Portanto, o vetor v2' não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar.

• Mas o vetor v1' tem a mesma direção de v1 e, por isso, pode ser representado por v1 multiplicado por um escalar. Diz-se então que v1 é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor associado.

Toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor, então:

Desenvolvendo o estudo

(II) T(v) = Av

Desenvolvendo o estudo

Igualando (I) e (II), tem-se:Av =v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo:

(III) (A – I) v = 0

Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).

Desenvolvendo o estudo

Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,

det(A – I) = 0

  o que resulta em um polinômio de grau n

em , conhecido como polinômio característico.

Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:

1. autovalores de T ou de A: são as raízes da equação

det(A – I) = 0,

2. autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação

Av = v ou (A – I)v = 0.

Desenvolvendo o estudo

Interpretação Geométrica

• u é autovetor de T, pois u//T(u) = u.

• v não é autovetor de T, pois não v//T(v) = v.

Aplicando a teoria

Exemplo 1: Considere o operador linear definido no exemplo anterior: . (x, y)=(4x + 5y, 2x + y). Encontre os autovalores de , matriz canônica de T.

Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:

 

det (A – I) = 0 (4 – ) (1 – ) – 10 = 0 2 – 5 – 6 = 0 1 = – 1 e 2 = 6.

Aplicando a teoria

Encontrar os autovetores de A ou de T: Para cada autovalor encontrado, resolvemos o sistema

linear (A – I)v = 0.

 

Aplicando a Teoria

Então,v= (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v = (– 1, 1).

Aplicando a Teoria

Então v= (y , y) sendo um de seus representantes o vetor v = ( , 1).

“Poderia o bater de asas de uma borboleta no Brasil desencadear um tornado no Texas?”

Teoria do Caos

O Caos

Teoria do caos, para a física e a matemática, é a teoria que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos.

O Caos

Ou seja, estuda os sistemas que apresentam um comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam regidos por leis estritamente deterministas.

Parâmetros iniciais

Determinismo: todos os fenômenos estão ligados entre si por rígidas relações de causalidade.

Os sistemas caóticos alteram-se com freqüência, são fortemente dependentes dos parâmetros iniciais e, quando submetidos a variações, apresentam resultados desproporcionais.

A Teoria do Caos também é conhecida como Caos Determinista.

"O bater de asas de uma borboleta em Tóquio pode provocar um furacão em Nova Iorque.“ ~ Edward Lorenz

Efeito Borboleta

Aplicações repetidas são aplicações caóticas que em geral surgem em modelos físicos emque uma certa operação é executada repetidamente, como a água numa baía que é misturada pormudanças repetidas da maré.

APLICAÇÕES REPETIDAS

A Transformação do Gato de Arnold

Utilizando técnicas de aritmética modular e composição de transformações lineares, desenvolve-se uma transformação caótica específica (Transformação do Gato de Arnold). Tal transformação pode ser aplicada em modelos físicos, criptografia de imagens, computação gráfica, etc.

Gato de Arnold

A Figura seguinte que foi gerada em computador mostra o efeito de 25 iterações da transformação do gato de Arnold sobre o quadrado unitário S. Ocorrem dois fenômenos interessantes:

·O gato retorna à sua posição original na 25ª iteração.

·Em algumas das iterações intermediárias, o gato está decomposto em faixas que parecem ter uma direção específica.

O matemático Vladimir I. Arnold desenvolveu uma transformação caótica específica, transformação esta que ficou conhecida como Transformação do Gato de Arnold. Tal transformação pode ser aplicada em modelos físicos, criptografia de imagens, computação gráfica, etc.

Gato de Arnold