Autovalores y AutovectoresAutovalores y Autovectores

Generalidades

Círculos de Gerschgorin

Método de las Potencias

Transformaciones Similares

Prof. Dra. Nélida Beatriz Brignole

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Definición del ProblemaDefinición del Problema

ticocaracterísPolinomioIA

xIA

AdeEspectroPniP

xxxA

i

0)det(

:0 xde ademássolución otra tengasistema el que para

0)(

:},1{

0

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EjemploEjemplo

0

0

0

0

1111

1110

2011

31311

0)42)(1(

111

110

201

)det()(

111

110

201

1

13

12

11

321

2

x

x

x

x

ii

IAAp

A

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Interpretación geométricaInterpretación geométrica

La multiplicación por A dilata a x , contrae a x, o revierte la dirección de x, dependiendo del autovalor de A

011

011

xAx

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Teorema de GerschgorinTeorema de Gerschgorin

Sea

con autovalores

Sean los círculos

Entonces

nxnCA

nii ,1

n

ijj

ijiii arrxZ1

iia-x/C

n

i

ii ZD1

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EjemploEjemplo

29

12

24

902

120

114

3

2

1

zquetalCzR

zquetalCzR

zquetalCzR

A

Siguiente

Anterior

Demostración Demostración

ikkjkij

n

ijj

ikii

kik

ikkjkij

n

j

kTikk

Ti

kkk

xxAxA

xx

xxA

xexAe

xxA

][][][][][

][elijo

][][][

1

1

Siguiente

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Demostración (cont.)Demostración (cont.)

.][][

][][][][

][][][][

1

11

1

cqdrAA

AxxAAx

xAAx

i

n

ijj

ijiik

n

ijj

ijkjk

n

ijj

ijiikk

jk

n

ijj

ijiikik

Siguiente

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Método de las PotenciasMétodo de las Potencias

i

n

i

ii

i

n

iiii

n

iiii

n

ii

i

n

ii

niiii

xxAvv

xxxxAAv

xv

xxxA

2 1111101

2111

110

10

21L.I.

Siguiente

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Método de las Potencias (cont.)Método de las Potencias (cont.)

ii

n

i

i

i

n

ii

ii

i

n

i

ii

xx

xxvA

xAxAvAAvv

2

12 11

211

2 1111110

2

2 111110

212

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Método de las Potencias (cont.)Método de las Potencias (cont.)

converge lentamente

22 1 0 1 1 1

2 1 1

0 1 1 12 1 1

1 1 1 1 1 2

1 1 1

1 1 1

lim lim

1 0 0

1

ni i

ii

kn

k k i ik i

i

kkk k

k

k

v Av A v A x A x

v A v x x

v x x

x

x

Siguiente

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Algoritmo: Método de las PotenciasAlgoritmo: Método de las Potencias

k

kk

kk

n

z

zv

vAz

k

vv

1

00

repetir

converg.hasta 0para

1 con Dado

Siguiente

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Efecto del EscaladoEfecto del Escalado

01

01

12

12

1

11

1

1

1

1

1

vA

vA

vA

vA

zA

zAv

z

zA

z

zA

Av

Av

z

zv

k

k

k

k

k

kk

k

k

k

k

k

k

k

kk

Siguiente

Anterior

Efecto del Escalado (cont.)Efecto del Escalado (cont.)

1

11 1 1

2 1 1

1 1

11 1 1

2 1 1

11 1 1 1

1 11 11 1

lim lim 1

kn

k i ii

i

k kn

k i ii

i

k

k kk k

x x

v

x x

x xv

x x

Siguiente

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Velocidad de ConvergenciaVelocidad de Convergencia

Cx

kv

xkv

k

k

nj

1

klim lineal orden de converg.*

oscilación negativos sautovalore

lentamente converge

:dominante relación

,2 relaciones laspor a determinad

21

1

2

1

j

Siguiente

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Cálculo del Autovalor Cálculo del Autovalor DominanteDominante

2

2x

xAx

xx

xAx

xxxAx

xxA

T

T

T

TT

Cociente de Rayleigh

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Cálculo del Mínimo Autovalor Cálculo del Mínimo Autovalor

kkkkk

kkkk

vxPzLUxPzPA

xzAxAz

xAx

xAxAA

xxA

111

si

1

1

11-nn

n1-n21

1

11

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Algoritmo MP InversoAlgoritmo MP Inverso

xx

xAx

vPx

z

zv

vzLU

k

LUPA

xx

T

T

n

mm

k

kk

kk

n

repetir fin

repetir

converg.hasta 0para

factorizar

1 con Dado

1

00

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Método de las Potencias con CorrimientoMétodo de las Potencias con Corrimiento

111

1

ˆ

||||||

)ˆ()ˆ(

1

)ˆ()ˆ(

ˆˆ

jjnn

jjj

jjj

jjjjj

jjj

xIAx

xxIA

xxxIxA

xxA

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ShiftingShifting

Siguiente

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Algoritmo MPI con CorrimientoAlgoritmo MPI con Corrimiento

ˆ)ˆ(

repetir fin

repetir

converg.hasta 0para

)ˆ( factorizar

ˆ,1 con Dado

1

00

xx

xIAx

vPx

z

zv

vzLU

k

LUIAP

xx

T

T

mm

k

kk

kk

n

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ResumenResumenMétodo Ecuación ComputaPotencias Máximo autovalor

λInverso Potencias

Mínimo autovalor λ

Con shifting

Autovalor más lejano a μ

Con shifting inverso

Autovalor más cercano a μ

)()1( kk Axx

)()1( kk xAx

)()1( )( kk xIAx

)()1()( kk xxIA

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Conclusiones: Método de las PotenciasConclusiones: Método de las Potencias Ventaja

– Simplicidad Desventajas

– Calcula los autovalores individualmente– Requiere un autovalor dominante– Surgen problemas con autovalores complejos– Requiere buena distancia entre el autovalor dominante y su vecino– La inicialización del autovector afecta la velocidad de convergencia

Herramienta para propósitos especiales– Muy buena si se conoce bien el problema

Necesidad de herramientas de propósito general ...– que exijan tomar menos decisiones– que calculen todo el espectro a la vez

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Transformaciones SimilaresTransformaciones Similares

Las matrices

se denominan SIMILARES si

no singular tal que

Las transformaciones similares

preservan los autovalores

nxnnxn BA ;nxnS

SBSA 1

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TeoremaTeorema

yyB

xSxSB

xxSBS

xxA

1

DemostraciónDemostraciónBdeautovectoresSxyBdeautovalores

AdeautovectorxseayAdeautovalorSea

SBSABasimilarASea nxnnxn

1;

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Factorización SucesivaFactorización Sucesiva

Propósito: Generar una sucesión de matrices similares,

tendiendo a lograr una forma especial

kkkkk

kkkk

SSSASSSA

SASA

1111

111

11

1111

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DiagonalizaciónDiagonalización

DXAXDXXA

xxxXA

xxxxxxA

nixxA

n

n

nnn

iii

1

2

1

21

221121

00

00

00

,1

•Autovalores distintos => Autovectores L.I. => Existe inversa de X

•Si A es simétrica => Sus autovalores son reales

X es ortogonal

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Es una buena idea emplear rutinas prefabricadas? Es una buena idea emplear rutinas prefabricadas?

Pregunta crucial que nos hemos hecho desde el principio.

“Diagonalizar matrices es un campo muy complejo de la matemática, y ha exigido gran cantidad de tiempo y de trabajo desarrollar y verificar todas las rutinas realizadas”

“Libros de tanta reputación y calidad como el Numerical Recipes recomiendan usar paquetes de rutinas. De hecho, existen gran cantidad de rutinas de calidad y que son aceptadas por la comunidad científica, como es el caso de EISPACK, IMSL o NAG. “

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ExperienciaExperiencia “Sin embargo, al ejecutar el código verificamos que el

programa comenzó a fallar y a generar datos erróneos. Tras varias semanas de verificación del código, llegamos a la conclusión que el código estaba mal: eran las rutinas de autovalores. Y estudiando en profundidad dichas rutinas percibimos que, por su implementación interna, tenía comentado un escalado para que fuera más deprisa. Eliminado el comentario del escalado, sí volvió a dar resultados correctos. Sin embargo, esto ya sentó las dudas sobre qué estabamos empleando para resolver nuestras ecuaciones. Por otro lado, analizamos los límites internos de las rutinas.“

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Rutinas prefabricadasRutinas prefabricadas “Emplear rutinas ya prefabricadas es, en nuestra opinión, una buena

opción para cuando no es un cálculo que hagamos con frecuencia o que suponga peso en los cálculos para nuestro algoritmo.”

“En caso de que la diagonalización sea una parte importante de nuestro trabajo, sólo podemos emplear rutinas prefabricadas para las primeras fases de prototipado o para generar baterías de pruebas para asegurarnos de la corrección de nuestras rutinas, y sin tomar como axiomas los resultados numéricos de ninguna de las dos rutinas.”

“Como rutinas prefabricadas hemos empleado las IMSL, que son bastante buenas. Están en Fortran, lo que fué una ventaja en las primeras fases del proyecto -en las que el Fortran fué nuestro lenguaje de programación- y un inconveniente en las últimas fases -que portamos todo el código a C, fundamentalmente por la gestión de memoria dinámica, de la que Fortran 77 carece y, en Fortran 90 y posteriores, es menos eficiente que en C.“

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Matrices TriangularesMatrices Triangulares

nia

atriangularesASi

IAgeneralEn

ii

n

iii

,1

0)(

0)det(,

1

¿Cómo transformar matrices arbitrarias

en matrices triangulares con los mismos autovalores?

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Teorema de SchurTeorema de Schur

Sea

Entonces existe una matriz unitaria tal que

donde es triangular superior.

Los elementos diagonales de son los autovalores de

nxnCAUAUUAUUT *1

T

T A

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Forma Real de SchurForma Real de Schur

Tdeconjugadoscomplejosautoval

deparunsonautovalsusTbieno

TderealautovalorunesTdonde

T

TT

TTT

TTTT

T

conUAUTquetal

ortogonalUEntoncesASea

xii

xii

kk

k

k

k

T

nxnnxn

.

.

000

00

0

,.

22

11

333

22322

1131211

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Lectura obligatoriaLectura obligatoria

Rao págs 270-291Rao págs 315-324