0602- Autovalores y autovectores.pdf

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AUTOVALORES

Y

AUTOVECTORES


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Unidad didctica 1: MATRICES, DETERMINANTES YSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Captulo 1: MATRICES: LGEBRA MATRICIALCaptulo 2: MATRICES Y DETERMINANTESCaptulo 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Unidad didctica 2: ESPACIOS VECTORIALESCaptulo 4: ESPACIOS VECTORIALESCaptulo 5: APLICACIONES LINEALES

Unidad didctica 3: DIAGONALIZACIN DE ENDOMORFISMOS

Captulo 6: AUTOVALORES Y AUTOVECTORESCaptulo 7: MATRICES DIAGONALIZABLES


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OBJETIVOSLos objetivos que pretendemos que se alcancen son:

Conocer los conceptos de: matriz semejante, autovalor,autovector y subespacio propio.

Calcular el polinomio caracterstico de un endomorfismo, o desu matriz asociada en una cierta base.

Conocer los conceptos de multiplicidad algebraica y geomtricade un valor propio.

Calcular los valores y vectores propios de un endomorfismo, ode su matriz asociada en una cierta base.

Conocer algunas propiedades de: matrices semejantes,autovalores y autovectores.


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CONTENIDOS

Los contenidos que proponemos para alcanzar los objetivos son:

1.- Introduccin. Matrices semejantes.

2.-Autovalores y autovectores de un endomorfismo.

3.- Polinomio caracterstico y espectro de un endomorfismo.

4.- Subespacios invariantes.

5.- Propiedades de autovalores y autovectores.

6.-Aplicaciones.


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BIBLIOGRAFACdigo: [BUR 93] Cdigo: [KOL 99] Cdigo: [LAY 99]

Cdigo: [PIT 91] Cdigo: [VILL 94] Cdigo: [ORT 90]


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AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS


Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Se dice queA essemejante a B, si existe una matriz P (de orden n) inversible, talqueA = P-1 B P.

Propiedades de las matrices semejantes:

1.- SiA y B son semejantes entonces det(A) = det(B).

2.- SiA y B son semejantes entonces la traza(A) = traza(B).

3.- SiA y B son semejantes entoncesAn y Bn, nN tambin lo son.4.- SiA es semejante aA y B es semejante a B, con la misma matriz de paso P,

entonces A + B es semejante a A + B.


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Propiedades de las matrices semejantes:

5.- En general, si B es semejante aA y f(A) es un pol inomio enA, entonces

f(B)=P-1 f(A) P.

6.- Las matrices semejantes a una matriz nilpotente, involutiva, idempotente, sonmatrices nilpotentes, involutivas e idempotentes respectivamente. Esto no significa

que todas las matrices nilpotentes, involutivas e idempotentes sean semejantesentre s.


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Definicin 1a:

Definicin 1b:


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Definicin 1a:

Definicin 1b:


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es valor propio de f es valor propio de A

A es la matiz asociada a frespecto de cualquier base B del espacio vectorial E.


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Definicin 1a:

EJEMPLO:


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Definicin 4:


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- Las races 1, 2, ..., r de P() son los valores propiosvalores propios deA (o de f).

- Al sustituir cada valor propio i en (A- I)X=0, las soluciones deeste sistema son los vectores propiosvectores propios correspondientes a i .

- El polinomio caracterstico no depende de la base B elegida.

EJEMPLO:


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Definicin 6:

Definicin 7:


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Definicin 6:

Definicin 7:


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Definicin 8:


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Definicin 10:

EJERCICIO 3.


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DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS5.- Propiedades de autovalores y autovectores.

(Ver tambin las transparencias)

Propiedad 1:

Propiedad 2:


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DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS5.- Propiedades de autovalores y autovectores.

(Ver tambin las transparencias)

Propiedad 1:

Propiedad 2:


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Propiedad 3:

Propiedad 4:


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Propiedad 3:

Propiedad 4:


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6.-Aplicaciones.

ALGORITMO DE DIAGONALIZACIN DE UNA MATRIZ CUADRADA


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DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS6.-Aplicaciones.

Clasificacin de formas cuadrticas.

Estudio de las cnicas y las cudricas.

Resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Estudio de sistemas dinmicos discretos, etc.


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ESTADO TENSIONAL DE UN PRISMA MECNICO.

Objetivo: Calcular las tensiones que se producen en unamquina o una estructura al aplicarle un determinado

sistema de fuerzas exteriores.

Con objeto de estudiar los slidos elsticos se crea unmodelo terico que se denomina prisma mecnico.


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Definicin: Llamaremos prisma mecnico al slidoengendrado por una seccin plana de rea cuyo centrode gravedad G describe una curva c llamada lnea media o

directriz, siendo el plano que contiene a normal a lacurva.


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Barra. Se llama as al prisma mecnico cuyas dimensiones de laseccin transversal son pequeas, en comparacin con la longitud de la

lnea media.

Es el ms utilizado en en la mayora de las estructuras de las obras.

En estructuras de hormign

armado la forma msempleada es la seccin

transversal rectangular en

vigas y cuadrada en pilares.

En estructuras metlicas lassecciones ms usuales son el

perfil laminado doble te I en

vigas, o dos secciones en U

soldadas en pilares.


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Supondremos un prisma mecnico sometido a una fuerza exterior eimaginmoslo cortado idealmente en dos partes A y B por medio de un

plano .


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- Cuando las tres tensiones principales

son iguales el elipsoide de Lam es una

esfera.

- Cuando una de las tensiones se anula,

se forma una elipse.


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Ejemplo 1 de aplicacin:


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Solucin:

1


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2


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CRITERIOS DE RESISTENCIA. TENSIN EQUIVALENTE.

Objetivo: Nos interesa poder medir la seguridad de unapieza perteneciente a una estructura, atendiendo a las

caractersticas del material en cuanto a la capacidad de

resistencia media en trminos de tensiones en el laboratorio.


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Ejemplo 2 de aplicacin:


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j p p

Solucin:


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