1

排列与组合

潘海为

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2

可重排列

n 例16-2 从 (0,0) 点到(m, n) 点，m < n要求中间所经过的每一个格子点（a,b）恒满足 b>a 关系，问有多少条路径？

111

111

mnm

mnm

mnm

mnm

3

可重组合

n 有 n 种不同的物件， S = {k1· a1 , k2· a2 , … kn· an }，从这 n 种物体中取出 r 个物件的组合，

称为 r 可重组合

4

可重组合

n 两种特殊情况

q ki ≥r ( i=1,…,n )

q a1 ，a2 ， … ， an至少出现一次的 r 组合

5

可重组合

rrn 1

r

rnnrnr 1!1!/!1

r

rnaaarC n1,,; 21

6

可重组合

n 例17 已知线性方程x1+x2+…+xn=b, n和b都是整数，n≥1，求此方程的非负整数解的个数

n 例18 设某个餐厅有 7 种不同的菜，某顾客要买 4 个菜，问有多少种买法？

bbn 1

210410

4147

7

可重组合

nrr 1

1111

nr

nrr

nrnnr

8

不相邻组合

n 定理：是指从 A={1, 2,…, n}取 r 个不相邻的数

的组合，即不存在相邻两个数 j 和 j+1的组合，

其组合数为

rrn 1

9

Stirling 近似公式

n 组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向

n Stirling 公式给出一个求 n ! 的近似公式，它对从事计算和理论分析都是有意义的

n

ennn

2~!

10

Pascal公式

n 对于满足1≤k≤n-1的所有整数k和n

n 证法1：直接计算方法（略）

111

kn

kn

kn

11

Pascal公式

n 证法2q 令S是n个元素的集合

q 任取一个元素用x表示

q S的k-组合的集合可划分为不包含x的k-组合和包含x的k-组合

q 则

111

kn

kn

kn

kn

kn 1

11

kn

12

二项式定理及二项式系数

n 设 n 是正整数，对任意 x, y 有

n 证法一：数学归纳法

knkn

k

n yxknyx

0

13

二项式定理及二项式系数

n 证法二：

q (x+y)n=(x+y)∙(x+y)∙…∙(x+y)q n 个 x+y 相乘，每个 x+y 在相乘时有两种选择， x 或 yq 由乘法法则可知，乘积中共有 2n 项，并且每一项都可以写

成xkyn-k的形式。 k = 0, 1, …, nq 对于项xkyn-k，是在 k 个 x+y 中选择了x ，其余 n-k 个x+y

选择了 y 而得到的，从 n 个 x+y 中选取 k 个选择 x 的选法

数为 C(n,k)，所以该项系数为C(n,k)q 定理得证

knkn

k

n yxknyx

0

14

二项式定理及二项式系数

n 推论1

n 推论2

nkn

k

n xnnxnnxk

nx

1010

nnkn

k

kn xnnxnnxk

nx 110110

15

二项式定理及二项式系数

n 推论3

n 推论4

n

nnnn 210

01210

nnnnn n

16

二项式定理及二项式系数

n 例19 在(3a-2b)18的展开式中

q 求a5b13的系数

q 求a8b9的系数

n 例20 证明

n 例21 海为今天问各位再过10100天是星期几？

nkn

kkn 32

0

135 23518

0

1,2 yx二项式定理：

星期?

17

多项式定理

n 设n是正整数，则对一切实数x1, x2, …, xm有

m

m

nm

nn

nnnn m

nm xxx

nnnnxxx

21

21

2121

21 !!!!

m

m

nm

nn

nnnn m

xxxnnn

n

21

21

2121

18

多项式定理

n 证明

q 对于n个因子中的每一个，选取 m 个数x1, x2,…,xm中的一个并形

成乘积

q 每一项都可以写成 的形式，其中n1,,n2,,…nm是非负数，

且其和为nq 通过选择n个因子中的n1个为x1，剩下的n-n1个因子中的n2个为

x2,…,剩下的n-n1-…-…nm-1个因子中的nm个为xm,得到 项。

q 由乘法原理得到该项出现的次数为

mnm

nn xxx ...2121

mnm

nn xxx ...2121

!!!!...

21

11

2

1

1 mm

m

nnnn

nnnn

nnn

nn

19

多项式定理

n 设n是正整数，则对一切实数x1, x2, …, xm有

有多少个不同的乘积项?

乘积项的系数和是多少？

m

m

nm

nn

nnnn m

nm xxx

nnnnxxx

21

21

2121

21 !!!!

nnm 1

nm

m

m

nm

nn

nnnn m

xxxnnn

n

21

21

2121

20

多项式定理

n 例22 在 (2x-3y+5z)6 的展开式中，x3yz2项的系数是多少？

23 5322136

21

牛顿二项式定理

n 设 是一个实数。则对于所有满足0≤|x|<|y|的x和y

其中

kk

kyxkyx

0

0!

110100

kk

kkk

k

22

牛顿二项式定理

n 推论1

n 推论2 k

kxkxy

01 1

时，当

knkn

kyxk

nyx

n

0

)(

正整数时当

23

牛顿二项式定理

n 推论3

n 推论4

k

k

kn xkknx

0

111

kkk

k

k xxxxx 1111 2

0

1

k

k

n xkknx

0

11

...11 21 xxx