1. Matematike osnove raunarske tehnike

Fakultet za informatiku i menadment

Predmet: Osnovi raunarske tehnikePredava: dr Violeta Tomaevi, vanr.prof.Matematike osnove raunarske tehnikeI deo

POZICIONI BROJNI SISTEMI

Binarni brojni sistem Konverzija binarnog broja u decimalni i obrnuto Aritmetike operacije nad binarnim brojevima (sabiranje, oduzimanje, mnoenje i deljenje)

Heksadecimalni brojni sistem Konverzija heksadecimalnog broja u decimalni i obrnuto Konverzija heksadecimalnog broja u binarni i obrnuto1 Pozicioni brojni sistemi su sistemi zapisivanja brojeva u kojima vrednost broja zavisi od:

vrednosti svake cifre u broju pozicije svake cifre u broju

Bilo koji pozitivan prirodan broj X u pozicionom brojnom sistemu se moe zapisati u obliku:

(1)

gde su:n - broj cifara u broju X umanjen za 1q - prirodan broj koji predstavlja osnovu brojnog sistemaai, 0 i n - cifre broja X koje moraju biti iz skupa cifara brojnog sistema

Pozicioni brojni sistemi (1)2Binarni brojni sistem:q = 2, ai{0,1}

Oktalni brojni sistem:q = 8, ai {0,1,2,3,4,5,6,7}

Decimalni brojni sistem: q = 10, ai {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Heksadecimalni brojni sistem:q = 16, ai {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}

Pozicioni brojni sistemi (2)3Binarni brojni sistem je najee korieni brojni sistem u digitalnim i raunarskim ureajima.

Predstavljanje informacija sa samo dva znaka najvie odgovara mogunostima trenutne elektronske tehnologije.

Smenom q=2 jednaina (1) dobija oblik:

Binarni brojni sistem4Primer 1

Konverzija binarnog u decimalni brojKonvertovati binarni broj 10010110(2) u decimalni.Postupak konverzije:

Primeniti sledeu formulu za raunanje decimalnog broja:

5

Konverzija decimalnog u binarni brojPrimer 2Konvertovati decimalni broj 169(10) u binarni.Postupak konverzije:

decimalni broj deliti sa 2 uz zapisivanje ostataka dok se ne dobije rezultat 0binarni broj formirati od dobijenih ostataka u obrnutom redosledu 6

Sabiranjebinarnih brojeva (1)Sabiranje binarnih brojeva se vri po istim pravilima kao i sabiranje decimalnih brojeva, s tim to se mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom 2.Tablica sabiranjaa, b cifre na istoj poziciji u okviru dva binarna broja koja se sabiraju

c ul prenos sa prethodne pozicije

c iz prenos na narednu poziciju

s rezultat sabiranja na posmatranoj pozicijiVANO!Decimalni sistem: 0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 21+1+1 = 3Binarni sistem:0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 101+1+1 = 117

Sabiranje binarnih brojeva (2)Primer 3Sabrati binarne brojeve 10110111(2) i 10011010(2).8

Oduzimanje binarnih brojeva (1)Oduzimanje binarnih brojeva se vri po istim pravilima kao i oduzimanje decimalnih brojeva, s tim to se mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom 2.a, b cifre na istoj poziciji u okviru dva binarna broja koja se oduzimaju

p ul pozajmica sa prethodne pozicije

p iz pozajmica od naredne pozicije

r rezultat oduzimanja na posmatranoj pozicijiTablica oduzimanja9

Oduzimanje binarnih brojeva (2)Primer 4Binarni broj 10011010(2) oduzeti od broja 10110111(2).10Mnoenje binarnih brojeva (1)Mnoenje binarnih brojeva se vri po istim pravilima kao i mnoenje decimalnih brojeva, s tim to se prilikom sabiranja meurezultata mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom 2.Postupak mnoenja binarnih brojeva:

svakom cifrom drugog inioca pomnoiti prvi inilac

dobijene parcijalne proizvode napisati jedan ispod drugog, ali pomerene za jedno mesto u levo

sabrati sve parcijalne proizvode kao binarne brojeve11

Primer 5Pomnoiti binarne brojeve 1100 (2) i 1101 (2).Mnoenje binarnih brojeva (2)12Deljenje binarnih brojeva (1)Deljenje binarnih brojeva se vri po istim pravilima kao i deljenje decimalnih brojeva, s tim to se mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom 2.Postupak deljenja binarnih brojeva:

grupu cifara deljenika (sa leve strane) podeliti deliocem

dobijeni rezultat pomnoiti deliocem, potpisati ispod grupe cifara i primeniti binarno oduzimanje

spustiti sledecu cifru deljenika, a zatim ponavljati opisani postupak sve dok se ne dobije potpisani binarni broj koji je manji od delioca13Deljenje binarnih brojeva (2)Primer 6Binarni broj 100010001 (2) podeliti binarnim brojem 1101 (2).

14Osnovni nedostatak kod binarnog predstavljanja brojeva je predugaak zapis broja.

Zbog toga se u raunarskim sistemima najee koristi heksadecimalni sistem predstavljanja brojeva. Pri tome, iako se brojevi korisniku predstavljaju heksadecimalno, raunar i dalje radi sa binarnim brojevima.

Za predstavljanje brojeva izabran je heksadecimalni brojni sistem zbog jednostavne konverzije brojeva izmeu njega i binarnog brojnog sistema. Nedostaci binarnog predstavljanja brojeva 15 Cifre heksadecimalnog brojnog sistema su:

Smenom q=16 jednaina (1) dobija oblik:

Heksadecimalni brojni sistem16Postupak konverzije:

Primeniti sledeu formulu za raunanje decimalnog broja:

Konverzija heksadecimalnog u decimalni brojPrimer 7Konvertovati heksadecimalni broj 5E3(16) u decimalni.17

Konverzija decimalnog u heksadecimalni brojPrimer 8Konvertovati decimalni broj 4328(10) u heksadecimalni.Postupak konverzije:

decimalni broj deliti sa 16 uz zapisivanje ostataka dok se ne dobije rezultat 0heksadecimalni broj formirati od dobijenih ostataka u obrnutom redosledu 181 | 1011 | 1110(2)

1110(2) = 14(10) = E(16)1011(2) = 11(10) = B(16)1(2) = 1(10) = 1(16)

110111110(2) = 1BE(16)Konverzija binarnog u heksadecimalni brojPrimer 9Konvertovati binarni broj 110111110(2) u heksadecimalni.Postupak konverzije:

grupisati po 4 cifre binarnog broja poevi sa desne stranedobijene grupe predstaviti u heksadecimalnom brojnom sistemu199(16) = 9(10) = 1001(2)A(16) = 10(10) = 1010(2)3(16) = 3(10) = 0011(2)

3A9(16) = 0011 1010 1001(2) = 11 1010 1001(2)Konverzija heksadecimalnog u binarni brojPrimer 10Konvertovati heksadecimalni broj 3A9(16) u binarni.Postupak konverzije:

svaka cifra heksadecimalnog broja se predstavi pomou odgovarajue grupe od 4 binarne cifredobijene grupe se spoje i formiraju binarni broj20