Brojni sistemi1.ppt

7/25/2019 Brojni sistemi1.ppt

1/47

Digitalna tehnika

Brojni sistemi

Prof. Biljana Vidakovi


2/47

Brojni sistemi

Brojni sistemi su sistemi simbola za oznaavanje skupova.

Za osnovu brojnog sistema moe se uzeti bilo koji broj vei od 1.

Pored decimalnog brojnog sistema sa osnovom 1 !prirodni brojni sistem zaovjeka" najpoznati brojni sistemi su#

binarni !b$%"# &' 1(

oktalni !b$)"# &' 1' %' *' +' ,' -' (

/eksadecimalni. !b$1-"# &' 1' %' *' +' ,' -' ' )' 0' ' B' 2' 3'4' 5(

6 digitalnoj te/nici najpogodniji za primjenu je binarni brojni sistem saosnovom % koji predstavlja 7prirodni8 jezik raunara.

Prednost binarnog brojnog sistema je jednostavnost te/nike realizacije ipouzdanost.

9edostatak binarnog brojnog sistema je znatno vi:e cifarski/ mjesta uodnosu na decimalni brojni sistem.


3/47

3ecimalni brojni sistem ima deset razliiti/ cifara '1'%'*'+','-'')'0 i osnovu

1. ;vaka cifra ima zadatu teinu. ;pada u pozicione brojne sisteme.

1 1n>1 = an>% 1n>% = ...= a1 11 = a 1 = a>11>1

=a>%1>%= ...= a>m1>m

a ? koeficijenti sa vrijednostima od >0 1 bn>1 = an>% bn>% = ...= a1 b1 = a b = a>1b>1=a>%b>%

= ...= a>mb>m

b ? osnova !baza" n=1 ? broj cjelobrojni/ cifara m ? broj decimala

Decimalni i binarni brojni sistemi


4/47

Binarni brojni sistem ima osnovu % i dvije cifre i 1. ;vaka cifra ima zadatu teinu tj. spada u teinske brojne sisteme.

1 %n>1 = an>% %n>% = ...= a1 %1 = a % = a>1%>1 =

a>%%>%= ...= a>m%>m

a ? koeficijenti sa vrijednostima od i 1 ;vaki lan u nizu ima teinu dvostruko veu od pret/odnog lana.

Decimalni i binarni brojni sistemi


5/47

10)+1$ 1@1* = 0@1% = )@11 = +@1$1@1 = 0@1 = )@1 = +@1 $

1 = 0 = ) = + $ 10)+

111%$ 1@%+= @%*= @%%= 1@%1= 1@%$1@1- = @) = @+ = 1@% = 1@1 $ 1- = % = 1 $ 10

1%'*1$ 1@11 = %@1 = *@1>1$

1@1 = %@1 = *@'1 $1=%='* $ 1%'*

Decimalni i binarni brojni sistemi-primjeri


6/47

Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi

1 = an>% )n>% = ...= a1 )1 = a ) = a>1)>1 =

a>%)>%= ...= a>m)>m

a ? koeficijenti sa vrijednostima od do .


7/47

Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi

Aeksadecimalni brojni sistem ima osnovu 1- i cifre '1'%'*'+','-'')'0 a za vee brojevekoriste se slova $ 1

B $ 11 2 $ 1% 3 $ 1* 4 $ 1+ 5 $ 1,

;vaka cifra ima zadatu teinu tj. spada u teinske brojne sisteme.

1 1-n>1 = an>% 1-n>% = ...= a1 1-1 = a 1- = a>11->1 =

a>%1->%= ...= a>m1->m

a ? koeficijenti sa vrijednostima od do 0 i od do 5.

Aeksadecimalni brojevi manji od nule se vrlo rijetko upotrebljavaju.


8/47

Primjer


9/47

Konverzije brojnih sistema


10/47


11/47

Broj 37,62510konvertovati u binarni brojni sistem.

* # % $ 1) i ostatak 11) # % $ 0 i ostatak 0 # % $ + i ostatak 1 + # % $ % i ostatak % # % $ 1 i ostatak 1 # % $ i ostatak 1>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>rezultat# 111

azlomljeni dio# '-%,'-%, @ % $ 1'%, tj. cjelobrojni dio 1 i razlomljeni dio '%,'%, @ % $ ', tj. cjelobrojni dio i razlomljeni dio ',

', @ % $ 1' tj. cjelobrojni dio 1 i razlomljeni dio >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>rezultat# 11

Conaan rezultat# 111'11% dobije se spajanjem cjelobrojnog irazlomljenog dijela

Konverzija decimalnog broja u binarni iobrnuto


12/47

!11111'1"%$ 1 @ %-= 1 @ %,= @ %+ = 1 @ %* = @ %% = 1 @ %1 =

1 @ %' = @ %>1 = 1 @ %>% $-+ = *% = = ) = = % = 1' = D $ !1'%,"1

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

rezultat 1'%,1

Konverzija decimalnog broja u binarni iobrnuto


13/47

Konverzija binarnih brojeva u oktalne iobrnuto Po:to je ) $ %*znai da za jedan jednocifreni oktalni broj treba tri bita. Binarni broj se dijeli u grupe po tri bita poev:i od pozicionog zareza.

Primjer#

111111111%$ 11 11 11 111 $ -,,)

- , ,

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>


14/47

Broj 64310konvertovati u oktalni brojni sistem.

1 % *

-+*

>,1% $ 1 )*

1*1

>1%) $ % )%

*

> $ )1

*

> * $ * )

rezultat# 1%*)

Konverzija oktalnih brojeva u decimalne iobrnuto


15/47

Konverzija oktalnih brojeva u decimalne iobrnuto Primjer

!1%-")$ @ ) $ = - @ )1 $ +)

= % @ )% $ 1%)

= 1 @ )*

$ ,1%>>>>>>>>>>>>>

-0,1 rezultat -0,1


16/47

Konverzija binarnih brojeva uheksadecimalne i obrnuto Po:to je 1- $ %+znai da za jedan jednocifreni /eksadecimalni broj

trebaju etiri bita.

Binarni broj se dijeli u grupe po etiri bita poev:i od pozicionog zareza. Primjer#

111111111%$ 11 11 1 1111

0 1 5

$ 0151- Aeksadecimalni broj se takoEe jednostavno pretvara u binarni

Primjer#

4-%1- $ 4 - % $ 11111111%

111 11 11 1


17/47

Konverzija heksadecimalnih brojeva udecimalne i obrnutoPrimjer# Broj 1'-%,1 konvertovati u /eksadecimalni brojni sistem.

1 # 1- $ +* i ostatak 1*3 +* # 1- $ % i ostatak 11B % # 1- $ i ostatak % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> rezultat# %43

Primjer# Broj 140B1-konvertovati u decimalni brojni sistem.

1 4 0 B 1-

nulta cifra $ B iz tabele 11

)*,1

prva cifra $ 0 iz tabele1++druga cifra $ 4 iz

tabele *,)+trea cifra $ 1 iz tabele = +0-


18/47

heksadecimalnioktalni

Preko binarnog brojnog sistema.

Primjer#

*1-$ 1111%

1111%$ %+*)


19/47

Raunske operacije binarnibrojni sistem ;abiranje#


20/47

Raunske operacije binarnibrojni sistem Fnoenje#

3eljenje#

nulom nije dozvoljeno jedinicom > trivijalno


21/47

Raunske operacije binarnibrojni sistem 11

+11

---

110

110

-101

---

001

110 x 11

--------

110

+ 110

-----------

10010

1001 : 11 = 11

----

100

-011

-----

0011

-0011

------

0000


22/47

Raunske operacije oktalnibrojni sistem 447

+652

----

1321

54,3

-45,4

----

6,7

123 x 21

--------

123

+ 246

-----------

2603

2603 : 21 = 123

----

26

-21

----

50

-42

----

63 -63

-----

0


23/47

Raunske operacije heksadecimalni brojni sistem 127

+1AA

----

2D1

2C

-25

----

7

53 x 11

--------

53

+ 53

-----------

583

583 : 11 = 53

----

58

-55

----

33

-33

----

0

1A0 x 13

--------

4E0

+ 1A0

-----------

1EE0


24/47

Predstavljanje cjelobrojnihbrojeva

u raunaru ;vaka memorijska elija u raunaru ima ) bitova ? jedanbajt.

u jedan bajt se moe smjestiti broj u rasponu od ?

%,, ko je cjelobrojna vrijednost vea od %,,' uzme se vi:ebajtova#

dva bajta ? 1- bita# ? -,,*,

etiri bajta ? *% bita# ? +.%0+.0-.%0,


25/47

Predstavljanje negativnihbrojeva Preko znaka i apsolutne vrijednosti komplikovan algoritam za sabiranje i oduzimanje

Preko komplementa jednostavan algoritam za sabiranje i oduzimanje


26/47

Predstavljanje negativnihbrojeva komplementom Potpuni komplement !u binarnom brojnom

sistemu se jo: zove i komplement dvojke".

9epotpuni komplement !u binarnom brojnom

sistemu se jo: zove i komplement jedinice". 6 oba sistema se poslednja cifra koristi za

znak broja !pozitivan ili negativan".


27/47

Potpuni komplement

broj G

n cifara

baza b

Potpuni omplement !G" $ bn=1? G


28/47

Potpuni komplement

Primjer#

G $ 1%$%1

n $ *

b $ %

Potpuni komplement !%" $ %*=1? % $

1%? 1%$ 111%

znakH

znakH


29/47


30/47

abiranje sa potpunimkomplementom Pravilo#

? B $ = Potpuni komplement!B" $

ezultat = Prenos ko je Prenos $ 1 onda je ezultat korektan. ko je Prenos $ onda je rezultat negativan

!stvarni rezultat je potpuni komplement od

rezultata sa negativnim predznakom".


31/47

Primjer

11%? 1%$ 11%= 111%$ 111%

1%? 1%$ 1%= 111%$ 1111%

;tvarni rezultat# > Potpuni komplement!1111%" $

1%? 1111%$ > 1%

prenos

prenos


32/47

Prekoraenje !over"o#$

Iavlja se kada se prilikom sabiranja dva brojadobije rezultat koji ne moe da stane u zadatibroj bitova

Pravilo# ako se prilikom sabiranja dva pozitivna ili dva

negativna broja dobije broj suprotnog znaka'dogodilo se prekoraenje.

Primjer#

11%= 1%$ 11% !, = + $ 0"

11%= 11%$ 111% !!>"=!>-" $ >1*"


33/47

%epotpuni komplement

broj G

n cifara

baza b

9epotpuni komplement !G" $ !bn=1>1" ? G


34/47


Primjer#

G $ 1%$%1

n $ *

b $ %

9epotpuni komplement !%" $ !%*=1>1" ? % $

!1%? 1%"? 1%$ 111%

znakH

znakH


35/47


Primjer#

G $ 111%$>%1

n $ *

b $ %

9epotpuni komplement !>%" $ !%*=1>1"? !>%" $

!1%> 1%" ? 111%$ 1%

znakH

znakH


36/47

abiranje sa nepotpunimkomplementom Pravilo#

? B $ = 9epotpuni komplement!B" $

ezultat = Prenos ko je Prenos $ 1 onda je

konaan rezultat $ rezultat bez prenosa = 1.

ko je Prenos $ onda je rezultat negativan

!stvarni rezultat je nepotpuni komplement odrezultata sa negativnim predznakom".


37/47

Primjer

11%? 1%$ 11%= 111%$ 1 1%

Pravi rezultat# 1%= 1 $ 11%

1%? 1%$ 1%= 111%$ 111%

;tvarni rezultat# > 9epotpuni komplement!111%" $

1%? 1%> 111%$ > 1%

prenos

prenos


38/47

raunavanje komplementa bezoduzimanja& Potpuni komplement# invertovati sve bitove i

dodati 1. Primer# 1%$J 111%= 1 $ 111%

9epotpuni komplement# invertovati svebitove. Primer# 1%$J 111%


39/47

Predstavljanje cjelobrojnihbrojeva

u raunaru ;vaka memorijska elija u raunaru ima ) bitova ? jedan bajt. u jedan bajt se moe smestiti broj u rasponu od#

? %,,' neoznaen >1%) ? 1%' oznaen' u potpunomKnepotpunom komplementu

ko je cjelobrojna vrednost vea od 1%)K%,,' uzme se vi:e bajtova# dva bajta ? 1- bita#

? -,,*,' neoznaen >*%-) ? *%-' oznaen' u potpunomKnepotpunom komplementu

etiri bajta ? *% bita# ? +.%0+.0-.%0,' neoznaen >%.1+.+)*.-+) ? %.1+.+)*.-+' oznaen' u potpunomKnepotpunom

komplementu


40/47

Predstavljanje razlomljenihbrojeva u raunaru 6 nepokretnom zarezu

fiksna pozicija decimalnog zareza.

6 pokretnom zarezu !floating point" brojevi se predstavljaju u obliku# m @ be

m ? mantisa

b ? baza

e ? eksponent

6 memoriji raunara se pamte mantisa i eksponent

kao cjelobrojne oznaene vrednosti' naje:e sabazom %.


41/47

Pokretni zarez

;abiranje odn. oduzimanje > prije sabiranja!oduzimanja" brojevi se svedu na isti eksponent#

m1@ be= m% @ be$ !m1 = m%" @ be

Fnoenje' odn. deljenje#!m1@ be1" @ !m% @ be%" $ !m1 @ m%" @ b!e1=e%"

;voEenje eksponenata na istu vrijednost se svodina smanjenjeKpoveanje eksponenta' uz

istovremeno dijeljenjeKmnoenje mantise bazom u raunaru se dijeljenjeKmnoenje matise bazom % svodi na

pomijeranje desnoKlijevo bitova.


42/47

Pokretni zarez

9ormalizovana mantisa# kada jeb>1L MmM L 1

6 praksi se normalizacija mantise svodi na zapis#1'GGGG' gde se 1 podrazumijeva

Nada je preciznost najvea. Pokretni zarez u raunarnima' u nekim situacijama

nije dovoljno precizanH razlog je taj :to je baza %' pa konverzija decimalni/ brojeva

u oblik m @%ene daje okrugao broj. gre:ka je veoma mala' ali se uzastopnim operacijama

moe akumulirati.


43/47

Kodiranje al'anumerikihin'ormacija lfanumeriki simboli#

numeriki simboli !' 1' ...' 0" slovni simboli !' B' ...' Z" inteprunkcijski znakovi !' . O # 7 ..." specijalni simboli !' Q' R' ..."

;tandardi# ;2SS !merican ;tandard 2ode for Snformation

Snterc/ange"

S;< )),0>1 TindoUs 2P 1%, 6nicode


44/47

Kodovi za detekciju i korekcijugre(aka Concentrisaemo se na binarni brojni sistem.

;ve informacije e biti kodirane binarnoH 6zrok pojave gre:aka.

Codovi za detekciju gre:aka u stanju su da detektuju gre:ku' ali ne i da je

koriguju

Codovi za korekciju gre:aka detekcija i korekcija gre:aka


45/47

Kodovi za detekciju gre(aka

9ajjednostavnije je da se doda jo: jedan bit tako da ukupan brojjedinica u poruci bude paran ili neparan.

Primer# originalna poruka# 111 sa dodatnim bitom !uk. br. jedinica paran"#

1111 sa gre:kom# 111 vidimo da je do:lo do gre:ke po:to je ukupan broj jedinica

neparanH

re:ke od vi:e od jednog bita mogu da proEu nedetektovaneH111111


46/47

Karakter za provjeru bloka

b1 b% b* b+ p1

b, b- b b) p%

p* p+ p, p- p

6 sluaju gre:ke od jednog bita bilo gdje' mogue jedetektovati i korigovati gre:ku#

b1 b% b* b+ p1

b, b- bb) p%

p* p+ p, p- p


47/47

)R) kod

2Wclic edundancW 2/aracter

Poruka se kao niz bitova dijeli sa nekimunaprijed dogovorenim brojem' rezultat se

odbacuje a ostatak pri dijeljenju se doda uzporuku.

9a prijemnoj strani se primljena poruka dijeli

istim brojem i ostatak se poredi sa primljenimostatkom.

Brojni sistemi1.ppt

Documents

Transcript of Brojni sistemi1.ppt