บทท 7

การแปลงเชงเสน

บทนจะศกษาการแปลงเชงเสน โดยปกตแลวสามารถใชการแปลงเพอท าใหปญหาตางๆ งายขน เชน การหาค าตอบของระบบสมการเชงเสน โดยการแปลงปญหาใหอยในรปเมทรกซเพอใหสะดวกในการหาค าตอบมากยงขน หรอตองการตรวจสอบวาฟงกชนทมเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด กท าการแปลงฟงกชนใหอยในรปอนพนธ แลวท าการพจารณาอนพนธของฟงกชนนน เปนตน การแปลงดงกลาวเปนฟงกชนและการแปลงเชงเสน T ทกลาวถดไปกเปนฟงกชนจากปรภมเวกเตอรหนงไปยงอกปรภมเวกเตอรหนง โดยฟงกชนอยในรป T v w ซงจะกลาวถงดงตอไปน

7.1 การแปลงเชงเสน

ความสมพนธทสมาชกแตละตวของเซตแรกจบคกบสมาชกของเซตอกเซตหนงเพยงตวเดยวเทานน ความสมพนธดงกลาวจะเรยกวา ฟงกชน (Function) หรอเรยกอกอยางวาการแปลง (Transformation) หรอการสง (Mapping)

ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอร และ T เปนการแปลงจาก V ไป Wเขยนแทนดวย :T V W เมอ v V แปลงเปน w W ภายใตการแปลง T เขยนแทนดวย T v w

v T v w

V W

T

ภาพท 7.1 แสดงการแปลง T v w

228

บทนยามท 7.1 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F และ T ฟงกชนจาก V ไป W ทมคณสมบตดงตอไปน แลว T เปนการแปลงเชงเสนจากปรภมเวกเตอร V ไปยงปรภมเวกเตอร W 1. T u v T u T v ส าหรบทก ,u v ใน V 2. T ku kT u ส าหรบ u ใน V และ k เปนสเกลารใดๆ

หมายเหต :T V W แทน T เปนการแปลงเชงเสนจากปรภมเวกเตอร V ไปยงปรภมเวกเตอร W นนคอ T เปนฟงกชนทม V เปนโดเมน และสบเซตของ W เปนเรนจ

ตวอยางท 7.1 ก าหนดให 2 2:T R R โดยท , 5 ,0T a b b จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให , , ,u a b v c d เมอ 2,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ ดงนน u v , ,a b c d ,a c b d 1. T u v ,T a c b d

5 ,0b d

5 ,0 5 ,0b d T u T v 2. T ku ,T k a b

,T ka kb 5 ,0kb

5 ,0k b kT u ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน

ตวอยางท 7.2 ก าหนดให 3 2:T R R โดยท 1 2 3 1 2, , ,T x x x x x จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให 1 2 3 1 2 3, , , , ,u x x x v y y y เมอ 3,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ ดงนน u v 1 2 3 1 2 3, , , ,x x x y y y

1 1 2 2 3 3, ,x y x y x y

229

1. T u v 1 1 2 2 3 3, ,T x y x y x y

1 1 2 2,x y x y 1 2 1 2, ,x x y y 1 2 3 1 2 3, , , ,T x x x T y y y

T u v T u T v 2. T ku 1 2 3, ,T k x x x

1 2 3, ,T kx kx kx

1 2,kx kx 1 2,k x x 1 2 3, ,kT x x x kT u

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน

ตวอยางท 7.3 ก าหนดให 2 2:T R R เปนฟงกชนท T u เปนภาพสะทอนของ u กบแกน x จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า

x

y

u

,a b

T u

,a b

ภาพท 7.2 แสดง T u เปนภาพสะทอนของ u กบแกน x

ดงนน T u เปนการแปลงท , ,T a b a b ก าหนดให , , ,u a b v c d เมอ 2,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ

u v , ,a b c d

,a c b d

230

1. T u v ,T a c b d

,a c b d

,a c b d , ,a b c d , ,T a b T c d

T u T v 2. T ku ,T k a b

,T ka kb

,ka kb ,k a b ,kT a b kT u

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน ตวอยางท 7.4 ก าหนดให V เปนปรภมเวกเตอร และ k เปนสเกลารใดๆ ให :T V V โดยท T v kv จะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ถา 0 1k จะเรยก T วาเปนการยอสวน (Contraction) ของ V

ถา 1k จะเรยก T วาเปนการขยายสวน (Dilation) ของ V

x

y

v

kv

ภาพท 7.3 แสดง T วาเปนการยอสวน (Contraction) ของ V

231

x

y

v

kv

ภาพท 7.4 แสดง T วาเปนการขยายสวน (Dilation) ของ V

ตวอยางท 7.5 ก าหนดให 2 3:T R R โดยท , , ,2T x y x y x y x จงแสดงวา Tเปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให 1 1 2 2, , ,u x y v x y เมอ 2,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ ดงนน u v 1 1 2 2, ,x y x y 1 2 1 2,x x y y 1. T u v 1 2 1 2,T x x y y

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, ,2x x y y x x y y x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2, ,2 2x y x y x y x y x x

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2, ,2 , ,2x y x y x x y x y x 1 1 2 2, ,T x y T x y

T u T v 2. T ku 1 1,T k x y

1 1,T kx ky

1 1 1 1 1, ,2kx ky kx ky kx 1 1 1 1 1, , 2k x y k x y k x 1 1,kT x y kT u

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน จากตวอยางท 7.5 สามารถเขยนเวกเตอรในอยในรปของเมทรกซดงน

232

1 1

1 1

2 2 0

x yx x

T x yy y

x

ในกรณทวไป ถา A เปนเมทรกซขนาด m n จะได 11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ......

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

และ

1

2

:

n

x

xu

x

เปนเวกเตอรใน nR แลว Au เปนเวกเตอรใน mR และฟงกชน : n mT R R

เมอ

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... :...

...

n

n

m m m mn n

a a a a x

a a a a xT u Au

a a a a x

T เปนการแปลงเชงเสน เนองจาก u และ v เปนเมทรกซมต 1n และ k เปนสเกลารใดๆ 1. A u v Au Av 2. A ku k Au เรยกการแปลงเชงเสนขางตนนวา การแปลงเชงเมทรกซ (Matrix Transformation)

หมายเหต

1. จาก 1 2 3 1 2, , ,T x x x x x เขยนเวกเตอรใหอยในรปเมทรกซไดดงน

1 1

2 2

3 3

1 0 0

0 1 0

x x

T x x

x x

2. ให 2 2:T R R เปนการแปลงเชงเสน T u Au โดยท 1

2

xu

x

ถา 1 0

0 1A

เรยก T วาการสะทอน (Reflection) ของ u กบแกน x

233

ถา 1 0

0 1A

เรยก T วาการสะทอน (Reflection) ของ u กบแกน y

ถา cos sin

sin cosA

เรยก T วาการหมน (Rotation) เปนการหมนทวนเขม

นาฬกาเปนมม

3. ให 3 3:T R R เปนการแปลงเชงเสน T u Au โดยท 1

2

3

x

u x

x

ถา 1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

เรยก T วาการสะทอนเทยบกบระนาบ xy

ถา 1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

เรยก T วาการสะทอนเทยบกบระนาบ xz

ถา 1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

เรยก T วาการสะทอนเทยบกบระนาบ yz

ถา 0 0

0 0

0 0

r

A r

r

เรยก T วาการเปลยนมต

ถา cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

A

เรยก T วาการหมนทวนเขมนาฬกาไปเปนมม ใน

ระนาบ xy

234

ตวอยางท 7.6 ก าหนดใหV และ W เปนปรภมเวกเตอร :T V W โดยท 0T u เมอ u V และ 0 W จะเปนการแปลงเชงเสน และเรยกวา การแปลงศนย (Zero

Transformation)

วธท า ก าหนดให ,u v V และ k เปนสเกลารใดๆ 1. T u v 0

0 0 T u T v 2. T ku 0

0k kT u

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน

บทนยามท 7.2 ก าหนดใหV และ W เปนปรภมเวกเตอร :T V W โดยท 0T u เมอ u V และ 0 W จะเปนการแปลงเชงเสน และเรยกวา การแปลงศนย (Zero

Transformation)

บทนยามท 7.3 ก าหนดใหV เปนปรภมเวกเตอร :T V V โดยท T u u เมอ u V เรยก T วาการแปลงเอกลกษณ (Identity Transformation) บน V

ตวอยางท 7.7 ก าหนดใหV เปนปรภมเวกเตอร :T V V โดยท T u u เมอ u V จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให ,u v V และ k เปนสเกลารใดๆ 1. T u v u v

T u T v 2. T ku ku kT u

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน

235

ตวอยางท 7.8 ก าหนดให ,V C a b เปนปรภมของฟงกชนคาจรงทตอเนองบนชวงปด

,a b ให : ,T C a b R โดยท b

a

T f f x dx เมอ ,f C a b จงแสดงวา T เปน

การแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให , ,f g C a b และ k เปนสเกลารใดๆ

1. T f g b

a

f g x dx

( )

b

a

f x g x dx

b b

a a

f x dx g x dx

T f T g

2. T kf b

a

kf x dx

b

a

k f x dx

kT f

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน

หมายเหต การแปลงบางอยางอาจดคลายกบจะเปนการแปลงเชงเสน แตไมเปนเชน :T R R โดยท 3 7T x x กราฟเปนกราฟเสนตรงในระนาบ xy แตไมเปนการแปลง

เชงเสนเนองจาก

T x y 3 7x y

3 3 7x y

แต T x T y 3 7 3 7x y

3 3 14x y

ซง T x y T x T y

ดงนน 3 7T x x ไมเปนการแปลงเชงเสน

236

บทนยามท 7.4 การแปลงเชงเสน :T V W เปนการแปลงเชงเสนไมเอกฐาน (Nonsingular Linear Transformation) กตอเมอ 1 0 0W VT

บทนยามท 7.5 ก าหนดให T เปนการแปลงเชงเสนจากปรภมเวกเตอร V ไปบนปรภมเวกเตอรW ถา T เปนทงการแปลงเชงเสนหนงตอหนงและทวถงแลว เรยก T วาเปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ (Isomorphism) และเรยก V กบ W วาถอดแบบกน (V and W are isomorphic)

ตวอยางท 7.9 ก าหนดให ฟงกชน : n

nT R R ซงนยามโดย

1

2

1 2, ,...,:

n

n

x

xT x x x

x

ทกเวกเตอร 1 2, ,..., nx x x ใน nR จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ (จะแสดงวา (1) ฟงกชน T เปนการแปลงเชง (2) T เปนฟงกชนหนงตอหนง (3) T เปนฟงกชนทวถง) วธท า (1) 1. ก าหนดให 1 2, ,..., nx x x และ 1 2, ,..., ny y y เปนเวกเตอรใน nR

1 2 1 2, ,..., , ,...,n nT x x x y y y 1 1 2 2, ,..., n nT x y x y x y

1 1

2 2

:

n n

x y

x y

x y

1 1

2 2

: :

n n

x y

x y

x y

1 2 1 2, ,..., , ,...,n nT x x x T y y y

237

2. ก าหนดให 1 2, ,..., nx x x เปนเวกเตอรใน nR และ k เปนสเกลารใดๆ

1 2, ,..., nT k x x x 1 2, ,..., nT kx kx kx

1

2

:

n

kx

kx

kx

1

2

:

n

x

xk

x

1 2, ,..., nkT x x x จาก 1.และ 2. จะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน (2) จะแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน หนงตอหนง สมมตให 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nT x x x T y y y

จะได 1 1

2 2

: :

n n

x y

x y

x y

ท าให 1 1 2 2, ,..., n nx y x y x y

ดงนน 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x y y y ดงนนสรปไดวา T เปนการแปลงเชงเสน หนงตอหนง (3) จะแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนทวถง

สมมตให 1

2

:

n

x

x

x

เปนเวกเตอรใน nR ดงนนจะม 1 2, ,..., nx x x เปนเวกเตอรใน nR

ท

1

2

1 2, ,...,:

n

n

x

xT x x x

x

เพราะฉะนน T เปนการแปลงเชงเสนทวถง

จาก (1),(2) และ (3) จะได T เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ ดงนน nR และ nR ถอดแบบกน

238

7.2 คณสมบตของการแปลงเชงเสน

ทฤษฎบทท 7.1 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F ถา :T V W เปนการแปลงเชงเสนแลว 1. 0T 0 2. T v T v ส าหรบทก v V 3. T u v T u T v ส าหรบทก ,u v V 4. T au bv aT u bT v ส าหรบทก ,u v V และ ,a b เปนสเกลาร ใดๆ

พสจน ก าหนดให ,u v V และ ,a b เปนสเกลารใดๆ 1. 0T 0.0T 0 0T

0 2. T v 1T v

1 T v T v 3. T u v 1T u v

1T u T v

1T u T v T u T v 4. T au bv T au T bv

aT u bT v

ทฤษฎบทท 7.2 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F ถา :T V W เปนการแปลงเชงเสนแลว

1 1

n n

i i i i

i i

T a v a T v

ส าหรบทก iv V และ ia เปนสเกลารใดๆ เมอ

1,2,3,...,i n

239

พสจน โดยวธอปนยเชงคณตศาสตร 1. ถา 1n จะได 1 1 1 1T a v a T v จรงตามนยามของการแปลงเชงเสน

2. สมมตให 1k และ 1 1

k k

i i i i

i i

T a v a T v

เปนจรง

จะพสจนวา 1 1

1 1

k k

i i i i

i i

T a v a T v

เปนจรง

จาก 1

1

k

i i

i

T a v

1 1

1

k

i i k k

i

T a v a v

1 1

1

k

i i k k

i

a T v a T v

1

1

k

i i

i

a T v

นนคอ 1 1

k k

i i i i

i i

T a v a T v

เปนจรงส าหรบทกๆ จ านวนเตมบวก n

ก าหนดให 1 2, ,..., nS v v v เปนฐานของปรภมเวกเตอร V และให :T V W

เปนการแปลงเชงเสน ถาทราบคาของ 1 2, ,...., nT v T v T v แลวสามารถหาคาของ

T v เมอ v V โดยการเขยน v ในรปผลรวมเชงเสนของเวกเตอรในฐานกอนแลวจงหาคา T v

สมมตให 1 1 2 2 .... n nv k v k v k v จาก T เปนการแปลงเชงเสน จะไดวา

1 1 2 2 .... n nT v k T v k T v k T v

ตวอยางท 7.10 ก าหนดให 1 2 3, ,S v v v เปนฐานของปรภมเวกเตอร 3R โดยท

1 1,1,1v 2 1,1,0v และ 3 1,0,0v และให 3 2:T R R เปนการแปลงเชงเสน โดยท

1 2,0T v 2 1,2T v และ 3 3, 4T v จงหา 1 2 3, ,T x x x และ 1,3,2T

วธท า เนองจาก 1 2 3, ,S v v v เปนฐานของปรภมเวกเตอร 3R ดงนนจะมจ านวนจรง

1 2 3, ,k k k ทท าให 1 2 3, ,x x x 1 1 2 2 3 3k v k v k v

1 2 31,1,1 1,1,0 1,0,0k k k

240

จะได 1 2 3k k k 1x

1 2k k 2x 1k 3x นนคอ 1k 3x

2k 2 3x x 3k 1 2x x ดงนน 1 2 3, ,x x x 3 1 2 3 2 1 2 3x v x x v x x v นนคอ 1 2 3, ,T x x x 3 1 2 3 2 1 2 3x T v x x T v x x T v

3 2 3 1 22,0 1,2 3, 4x x x x x 3 2 3 2 3 1 2 1 22 ,0 ,2 2 3 3 , 4 4x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 33 4 3 , 4 6 2x x x x x x 1,3,2T 3 1 4 3 3 2 , 4 1 6 3 2 2 9,18

ตวอยางท 7.11 ก าหนดให 2 2:T P P เปนการแปลงเชงเสน โดยท 1 2T x

23T x x x 2 25T x x x จงหา 2

0 1 2T a a x a x และ 23 4 2T x x วธท า ให 21, ,S x x ดงนน S เปนฐานหลกของ 2P และเนองจาก 2 2:T P P เปนการแปลงเชงเสน ดงนน 2

0 1 2T a a x a x 2

0 1 2T a T a x T a x 2

0 1 21a T a T x a T x 2 2

0 1 22 3 5 a x a x x a x x 2

0 1 2T a a x a x 2

0 2 0 1 2 1 22 5 3a a a a a x a a x และ 23 4 2T x x 22 3 5 4 3 3 4 2 3 4x x

23 11 7x x

241

ตวอยางท 7.12 ก าหนดให 0 1 2, ,S p p p เปนฐานของ 2P โดยท 0p x 2

1, 1p x 2

2p x x ถา 2 3:T P P เปนการแปลงเชงเสน เมอ 0T p x 3

1, 1T p x และ

2 3

2T p x x จงหา 25 7 3T x x วธท า เนองจาก 0 1 2, ,S p p p เปนฐานของ 2P จะมสเกลาร 0 1,k k และ 2k ทท าให 25 7 3x x 0 0 1 1 2 2k p k p k p (1) 2 2

0 1 21k x k x k x x

2

1 0 2 1 2k k k x k k x จะได 1k 5

0 2k k 7 1 2k k 3 นนคอ จะได 0k 9

1k 5 2k 2 จาก (1) จะได

25 7 3x x 0 1 29 5 2p p p 25 7 3T x x 0 1 29 5 2T p T p T p 3 2 39 1 5 1 2x x x x

2 34 9 2 3x x x

ทฤษฎบทท 7.3 ก าหนดให : n mT R R เปนการแปลงเชงเสนแลวจะมเมทรกซ A มต m n ซง T v Av ส าหรบทกๆ v ใน nR พสจน ก าหนดให 1 2, ,..., ne e e เปนฐานของ nR โดยท

1 2

1 0 0

0 1 0

, ,....,0 0 0

: : :

0 0 1

ne e e

242

ให เมทรกซ A มต m n ทม 1 2, ,..., nT e T e T e เปนเวกเตอรหลก

ถา

11 12 1

21 22 2

1 31 2 32 3

1 2

, ,....,

: : :

n

n

n n

m m mn

a a a

a a a

T e a T e a e a

a a a

แลว 11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ......

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

จะแสดงวา การแปลงเชงเสน : n mT R R น T v Av

ให 1

2

1 1 2 2 ...:

n n

n

x

xv x e x e x e

x

เนองจาก T เปนการแปลงเชงเสน ดงนน

1 1 2 2 ... n nT v x T e x T e x T e

แต Av 11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... :...

...

n

n

m m m mn n

a a a a x

a a a a x

a a a a x

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

:

...

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

11 12 1

21 22 2

1 31 2 32 3

1 2

...

: : :

n

n

n n

m m mn

a a a

a a a

x a x a x a

a a a

1 1 2 2 ... n nx T e x T e x T e แสดงวา T v Av

243

ตวอยางท 7.13 จงหาเมทรกซมาตรฐานส าหรบการแปลง 3 4:T R R โดยท 2 3

1

1

2

1 2

3

2

x xx

xT x

x xx

x

วธท า 1

01

10

10

0

T e T

2

10

01

10

1

T e T

และ 3

10

00

01

0

T e T

เมทรกซมาตรฐานส าหรบ T คอ

0 1 1

1 0 0

1 1 0

0 1 0

T

นนคอ T v T v

1

2

3

0 1 1

1 0 0

1 1 0

0 1 0

x

x

x

2 3

1

1 2

2

x x

x

x x

x

ตวอยางท 7.14 ให : n mT R R เปนการแปลงเชงเสน ซง 11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ......

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

และ T v Av จงหาเมทรกซมาตรฐานส าหรบ T

วธท า

11 12 13 1 11

21 22 23 2 21

1 1

1 2 3 1

... 1

... 0

... ... ... ... :... :

... 0

n

n

m m m mn m

a a a a a

a a a a aT e Ae

a a a a a

ดงนนเมทรกซมาตรฐาน ส าหรบ T คอ 1 2/ / ... / nT e T e T e A นนคอเมทรกซมาตรฐานส าหรบการแปลงเชงเมทรกซคอเมทรกซตวมนเอง

244

ถา 3 4 7

5 3 8A

แลว A จะเปนเมทรกซมาตรฐานส าหรบการแปลงเชงเสน

จาก 3 2R R ทสง 1 2 3

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

e e e

ไปยง 3 4 7, ,

5 3 8

ตามล าดบ

ทฤษฎบทท 7.4 ก าหนดให V เปนปรภมเวกเตอร ซงมฐานคอ 1 2, ,..., nS v v v และมปรภมเวกเตอร W ซงมสมาชก 1 2, ,..., nw w w แลวจะมการแปลงเชงเสน T เพยงการแปลงเดยวเทานน ท :T V W ซง i iT v w ส าหรบ 1,2,...,i n

พสจน นยามฟงกชน T ไดดงน 1. i iT v w 2. ถา 1 1 2 2 ... n nv k v k v k v แลว

1 1 2 2 ... n nT v k w k w k w เนองจาก W เปนปรภมเวกเตอร ดงนน T v W ตอไปจะแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน ให 1 1 2 2 ... n nu k v k v k v และ 1 1 2 2 ... n nv l v l v l v แลว T u v 1 1 1 2 2 2 ... n n nT k l v k l v k l v

1 1 1 2 2 2 ... n n nk l w k l w k l w T u v 1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nk w k w k w l w l w l w T u T v และ T ku 1 1 2 2 ... n nT k k v k k v k k v

1 1 2 2 ... n nkk w kk w kk w 1 1 2 2 ... n nk k w k w k w kT u นนคอ :T V W เปนการแปลงเชงเสน ซง i iT v w ส าหรบ 1,2,...,i n ก าหนดให :L V W เปนการแปลงเชงเสน ซง i iL v w ส าหรบ 1,2,...,i n จะพสจนวาT L

245

ให v V โดยท 1 1 2 2 ... n nv k v k v k v

T v 1 1 2 2 ... n nk w k w k w L v 1 1 2 2 ... n nk w k w k w ดงนน T v L v ส าหรบทกๆ v V นนคอ T L ตวอยางท 7.15 ก าหนดปรภมเวกเตอร 2R และ 3R และให

3, , / 3 0W x y z R x y z จะไดวา W เปนปรภมยอยของ 3R และฐานมาตรฐานของ 2R คอ 1 2,S v v โดยท 1 1,0v และ 2 0,1v จงหาการแปลงเชงเสน

2:T R W วธท า ถา , ,x y z W แลว 3y x z ให ,x s z t เมอ ,s t R จะได 3y s t ดงนนเวกเตอร w , ,x y z

, 3 ,s s t t , ,0 0, 3 ,s s t t 1,1,0 0, 3,1s t แสดงวา 1,1,0 , 0, 3,1W span และ 1,1,0 , 0, 3,1 เปนอสระเชงเสน เนองจากแตละเวกเตอรไมเปนผลคณสเกลารของอกเวกเตอรหนง และ 1,1,0 , 0, 3,1 เปนฐานของ W จะมการแปลงเชงเสน 2:T R W เพยงฟงกชนเดยวทท าให 1 1T v w และ

2 2T v w ให 2,x y R จะได

,x y 1,0 0,1x y ดงนน ,T x y 1,0 0,1T x y

1,0 0,1xT yT 1,1,0 0, 3,1x y , 3 ,x x y y

246

ทฤษฎบทท 7.5 ก าหนดให :T V W และ :L V W เปนการแปลงเชงเสน จะไดวาT L และ kT เปนการแปลงเชงเสน เมอ 1. :T L V W นยามโดย T L v T v L v

2. :kT V W นยามโดย kT v k T v

พสจน จะพสจนวา :T L V W เปนการแปลงเชงเสน ก าหนดให ,u v เปนเวกเตอรใน V และ l เปนสเกลารใดๆ 1. T L u v T u v L u v T u T v L u L v T u L u T v L v

T L u v T L u T L v 2. T L lv T lv L lv lT v lL v l T v L v l T L v ดงนน T L เปนการแปลงเชงเสน จะพสจนวา kT เปนการแปลงเชงเสน ก าหนดให ,u v เปนเวกเตอรใน V และ l เปนสเกลารใดๆ 1. kT u v kT u v k T u T v kT u k T v 2. kT lv kT lv k lT v kl T v l kT v

l kT v ดงนน kT เปนการแปลงเชงเสน

247

7.3 เรนจและเคอรเนลของการแปลงเชงเสน

บทนยามท 7.6 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน เรนจ (Range) ของ T เขยนแทนดวย R T จะเปนเซตของเวกเตอรใน W ทเปนภาพของเวกเตอรทงหมดใน V ภายใต T นนคอ / ,R T w W T v w v V

บทนยามท 7.7 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน เคอรเนล (Kernel) ของ T เขยนแทนดวย ker T จะเปนเซตของเวกเตอรใน V ซง T สงสมาชกตวนไปทเวกเตอร 0 ใน W นนคอ ker / 0T v V T v

ตวอยางท 7.16 จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนอยในเรนจ ของการแปลงเชงเสน 3 2:T R R เมอ , , ,T a b c a b c

1. 2, 1

2. 4,7

วธท า 1. พจารณาวามบางเวกเตอร , ,a b c โดยท

, ,T a b c 2, 1 , ,T a b c ,a b c 2, 1 จะได a 2 (1) b c 1 (2) จะเหนไดวามค าตอบหนงในหลายๆค าตอบของสมการ (2) คอ 0b และ 1c นนคอ 2,0,1T 2, 1 ดงนน 2, 1 เปนเรนจของ 2,0,1 และท าให 2, 1 อยในเรนจของ T หรอ R T 2. พจารณาวามบางเวกเตอร , ,a b c โดยท

, ,T a b c 4,7 , ,T a b c ,a b c 4,7 จะได a 4 (3) b c 7 (4) จะเหนไดวามค าตอบหนงในหลายๆค าตอบของสมการ (4) คอ 9b และ 2c

248

นนคอ 4,9,2T 4,7 ดงนน 4,7 เปนเรนจของ 4,9,2 และท าให 4,7 อยในเรนจของ T หรอ R T

ตวอยางท 7.17 จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนเวกเตอรใดเปนสมาชกใน ker T ของการแปลงเชงเสน 3 2:T R R เมอ , , ,T a b c a b c

1. 0,0,0

2. 0,5, 5

3. 1,1,0

4. 0,7,7

วธท า 1. เนองจาก 0,0,0T 0,0 0

0,0 ดงนน 0,0,0 ker T 2. เนองจาก 0,5, 5T 0,5 5

0,10 ดงนน 0,5, 5 ker T 3. เนองจาก 1,1,0T 1,1 0

1,1 ดงนน 1,1,0 ker T 4. เนองจาก 0,7,7T 0,7 7

0,0 ดงนน 0,7,7 ker T

ตวอยางท 7.18 ก าหนดการแปลงเชงเสน 3 3:T R R เมอ , , 0, ,T a b c a b จงหา

R T และ ker T วธท า จะไดวาเรนจของ T จะเปนระนาบ yz เขยนไดในรป

R T 0, , / ,a b a b R และ 3ker , , / 0,T a b c R a b c R 30,0, /c R c R

249

ตวอยางท 7.19 ก าหนดการแปลงเชงเสน 3 3:T R R เมอ

1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3, , , 2 ,2 3T x x x x x x x x x x x จงหา ker T และ R T

วธท า 1

2

3

x

T x

x

1 3

1 2 3

1 2 3

2

2 3

x x

x x x

x x x

1

2

3

1 0 1

1 1 2

2 1 3

x

x

x

ให 1 0 1

1 1 2

2 1 3

A

1 1

3

2 2

3 3

0

/ 0

0

x x

Ker T x R A x

x x

พจารณาสมการ 1

2

3

0

0

0

x

A x

x

จะไดเมทรกซแตงเตมดงน 1 0 1 0

1 1 2 0

2 1 3 0

ใชการด าเนนการแบบแถวได 1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

จะได 1 3x x 2 3x x ให 3x s โดยท s เปนสเกลารใดๆ จะได

1x s 2x s 3x s

เพราะฉะนน

1

1 /

1

Ker T s s R

250

ให 1

2

3

a

a

a

เปนเวกเตอรใดๆใน 3R จะหา 1

2

3

x

x

x

ใน 3R ทท าให

1 1

2 2

3 3

x a

T x a

x a

จาก 1

2

3

x

T x

x

1

2

3

a

a

a

จะได 1

2

3

1 0 1

1 1 2

2 1 3

x

x

x

1

2

3

a

a

a

จะไดเมทรกซแตงเตมดงน 1

2

3

1 0 1

1 1 2

2 1 3

a

a

a

ใชการด าเนนการแบบแถวได 1

2 1

3 2 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

a

a a

a a a

จะมผลเฉลยเมอ 3 2 1 0a a a

เพราะฉะนน 1

2 3 3 2 1

3

/ 0

a

R T a R a a a

a

ทฤษฎบทท 7.6 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน แลว 1. ker T เปนปรภมยอยของ V 2. R T เปนปรภมยอยของ W พสจน 1. ก าหนดให ,u v เปนเวกเตอรใน ker T และ k เปนสเกลารใดๆ

T u v T u T v

0 0w w 0w

251

ดงนน keru v T

T ku kT u

0wk 0w ดงนน kerku T จงสรปไดวา ker T เปนปรภมยอยของ V 2.ก าหนดให 1 2,w w เปนเวกเตอรใน R T และ k เปนสเกลารใดๆ จากนยามของ R T จะม 1v และ 2v ใน V ทซง 1 1T v w และ 2 2T v w เนงจาก 1 2T v v 1 2T v T v

1 2w w ดงนน 1 2w w R T

1T kv 1kT v

1kw ดงนน 1kv R T จงสรปไดวา R T เปนปรภมยอยของ W

ทฤษฎบท 7.7 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน ขอความตอไปนสมมลกน

(1) T เปนการแปลงเชงเสนไมเอกฐาน (2) T เปนการแปลงเชงเสนหนงตอหนง (3) มการแปลงเชงเสน * :T range T V ทท าให *

VT T I

พสจน (1) (2) สมมตให T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยง W และ T เปนการแปลงเชงเสน

ไมเอกฐาน เพราะฉะนน 1 0 0W vT ก าหนดให 1 2,v v V โดยท 1 2T v T v หรอ 0w 1 2 1 2T v T v T v v

252

เพราะฉะนน 1

1 2, 0Wv v T นนคอ 1 2 0vv v ผลทตามมาคอ 1 2 0vv v ซงท าให 1 2v v ดงนน T เปนการแปลงเชงเสนหนงตอหนง (2) (3) สมมตวา T เปนการแปลงเชงเสน 1-1 ดงนน :T V rangeT เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ จาก 1 :T rangeT V เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ นยามการแปลงเชงเสน * :T rangeT V โดยท * 1T T ดงนน *T เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบดวย สรปวามการแปลงเชงเสน * :T rangeT V ทท าให *

VT T I (3) (1) สมมตวามการแปลงเชงเสน * :T rangeT V ทท าให *

VT T I ก าหนดให v เปนสมาชกของ 1 0WT เพราะฉะนน 0wT v จะได * *T T v T หรอ 0wv ดงนน 1 0 0W VT นนคอ T เปนการแปลงเชงเสนไมเอกฐาน

บทนยามท 7.8 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน คาล าดบชนของ T (Rank of T ) คอ มตของปรภมเวกเตอร R T คานลลตของ T (Nullity of T ) คอ มตของปรภมเวกเตอร ker T

ตวอยางท 7.20 ก าหนดใหการแปลงเชงเสน 3 3:T R R ซงนยามโดย

1 1

2 2

3 3

0 1 1

1 1 0

0 1 2

a a

T a a

a a

จงหาคาล าดบชนของ T และคานลลตของ T

วธท า ก าหนดให a

v b

c

เปนเวกเตอรใน 3R

253

พจารณาระบบสมการ 1

2

3

0 1 1

1 1 0

0 1 2

x a

x b

x c

จะไดเมทรกซแตงเตมของระบบสมการคอ 0 1 1

1 1 0

0 1 2

a

b

c

ใชการด าเนนการแบบแถวได 1 0 0 2

0 1 0 2

0 0 1

b c a

a c

c a

ดงนนผลเฉลยของระบบสมการคอ 1 22 , 2x b c a x a c และ 2x c a

ทกเวกเตอร a

b

c

ใน 3R มเวกเตอร 2

2

b c a

a c

c a

ใน 3R ทท าให 2

2

b c a a

T a c b

c a c

เพราะฉะนน T เปนการแปลงเชงเสนแบบทวถง ท าใหได 3R T R นนคอ ล าดบชนของ T = มตของ 3R = 3

พจารณาระบบสมการ 1

2

3

0 1 1 0

1 1 0 0

0 1 2 0

x

x

x

ซงระบบสมการเอกพนธ

เพราะวา 0 1 1

1 1 0

0 1 2

เปนเมทรกซไมเอกฐาน จะไดวามผลเฉลยชด คอ

1 20, 0x x และ 3 0x

จะไดวา 1

2

3

0

0

0

x

T x

x

กตอเมอ 1

2

3

0

0

0

x

x

x

ดงนน

0

0

0

Ker T

นนคอ dim Ker T = มตของ 0

0 0

0

จะได คานลลตของ 0T

254

7.4 เมทรกซของการแปลงเชงเสน

ในหวขอนจะกลาวถง เมทรกซทจะเปนตวแทนของการแปลงเชงเสน (Matrices of

Linear Transformations) แทนทจะพจารณาสมบตของการแปลงเชงเสน อาจพจารณาสมบตของเมทรกซซงเปนตวแทนของการแปลงเชงเสน พจารณาการแปลงเชงเสนจากตวอยางตอไปน ตวอยางท 7.21 ก าหนดให 3 4:T R R นยามโดย

1 2 3 2 1 1 2 2 3, , , , ,T x x x x x x x x x ดงนน 1 1,0,0 1,1,0,0T e T

2 0,1,0 1,1,1,0T e T 3 0,0,1 0,0,0,1T e T เมอ 1 2,e e และ 3e เปนเวกเตอรฐานหลกแบบมาตรฐานของ 3R จะได 1 2 3, ,T x x x 1 2 3,0,0 0, ,0 0,0,T x x x

1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1T x x x

1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1x T x T x T 1 2 31,1,0,0 1,1,1,0 0,0,0,1x x x

1 21 2

1 21 2

22

3 3

0

0

00

0 0

x xx x

x xx x

xx

x x

จะเหนวา 1

1 2 3 2

3

1 1 0

1 1 0, ,

0 1 0

0 0 1

x

T x x x x

x

ดงนน ก าหนดให

1 1 0

1 1 0

0 1 0

0 0 1

m T

จะเหนวาหลกท 1, 2 และ 3 ไดมาจาก 1 2,T e T e และ 3T e ตามล าดบ ขณะนจะเหนไดวา การแปลงเชงเสน T และเมทรกซ m T มความสมพนธกนโดย

255

1

1 2 3 2

3

1 1 0

1 1 0, ,

0 1 0

0 0 1

x

T x x x x

x

ตอไปพจารณาในความหมายทกวางขน ก าหนด ให : n mT R R เปนการแปลงเชงเสนและ

1 2, ,..., ne e e เปน เวกเตอรฐานหลกแบบมาตรฐานของ nR เมอ

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... :...

...

n

n

m m m mn n

a a a a x

a a a a xT u Au

a a a a x

สมมตให 1 11 21 31 11,0,0,...,0 , , ,..., mT e T a a a a

2 12 22 32 20,1,0,...,0 , , ,..., mT e T a a a a 3 13 23 33 30,0,1,...,0 , , ,..., mT e T a a a a

1 2 30,0,0,...,1 , , ,...,n n n n mnT e T a a a a

และก าหนดให

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ......

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a am T

a a a a

1 2 3 ... nT e T e T e T e ก าหนดให x เปนเวกเตอรใน nR โดยท 1 2, ,..., nx x x x ดงนน

1 1 2 2 ... n nx x e x e x e เพราะฉะนน T x 1 1 2 2 ... n nT x e x e x e

1 1 2 2 ... n nx T e x T e x T e

256

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

...: : :

n

n

n

m m mn

a a a

a a ax x x

a a a

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

:

...

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... :...

...

n

n

m m m mn n

a a a a x

a a a a x

a a a a x

ดงนน T x m T x

บทนยามท 7.9 ก าหนดให T เปนการแปลงเชงเสน และ 1 2, ,..., ne e e เปนเวกเตอรฐาน

หลกแบบมาตรฐานของ nR A เปนเมทรกซมต m n ซงหลกท i ของ A คอ iT e ทกคา 1,2,...,i n เรยก A วาเปนเมทรกซของการแปลงเชงเสน T แบบมาตรฐาน ( Standard Matrix of a Linear Transformation T )

ตอไปจะศกษาเมทรกซของการแปลงเชงเสน T จากปรภมเวกเตอรมตจ ากด V ไปยงปรภมเวกเตอรมตจ ากด W ก าหนดให V ปรภมเวกเตอรมต n และ 1 2, ,..., nB v v v เปนฐานหลกของปรภมเวกเตอร V ดงนนทกเวกเตอร v ใน V จะม สเกลาร 1 2, ,..., nk k k ทท าให

1 1 2 2 ... n nv k v k v k v เพราะฉะนน พกดของ v เทยบกบฐานหลก B คอ

1

2

:B

n

k

kv

k

ก าหนดให W ปรภมเวกเตอรมต m และ 1 12 1, ,..., nC w w w เปนฐานหลกของ W ดงนนทกเวกเตอร w ใน W จะมสเกลาร

1 2, ,..., nl l l ทท าให

257

1 1 2 2 ... n nw l w l w l w หรอ

1

2

:C

n

l

lw

l

ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน ดงนน 1T v เปนเวกเตอรใน W นนคอมสเกลาร 11 21 1, ,..., ma a a ทท าให

1 11 1 21 2 1... m mT v a w a w a w

ซงท าใหได

11

21

1

1

:C

m

a

aT v

a

ในท านองเดยวกน ส าหรบแตละ j ซง 2 j n จะมสเกลาร

1 2, ...,j j mja a a ทท าให 1 1 2 2 ...j j j mj mT v a w a w a w

ดงนน

1

2

:

j

j

jC

mj

a

aT v

a

ก าหนดให

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ......

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a am T

a a a a

และถา v เปนเวกเตอรใดๆ ใน V โดยท

1

2

:B

n

k

kv

k

จาก T v 1 1 2 2 ... n nT k v k v k v 1 1 2 2 ... n nk T v k T v k T v 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2... ... ...m m m mk a w a w a w k a w a w a w 1 1 2 2 ...n n n mn mk a w a w a w

1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2... ... ...n n n nk a k a k a w k a k a k a w 1 1 2 2 ...m m n mn mk a k a k a w

258

ดงนน C

T v 1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

...

...

:

...

n n

n n

m m n mn

k a k a k a

k a k a k a

k a k a k a

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... :...

...

n

n

m m m mn n

a a a a k

a a a a k

a a a a k

B

m T v

นนคอ BC

T v m T v

บทนยามท 7.10 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรมตจ ากด B และ C เปนฐานหลกของ V และ W ตามล าดบ ฟงกชน :T V W เปนการแปลงเชงเสน เมทรกซ

ij m nm T a

เรยกวาเปน เมทรกซของการแปลงเชงเสนขนอยกบฐานหลก B

และ C กตอเมอ B C

m T v T v ทกเวกเตอร v ใน V

ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสนซง B และ C เปนฐานหลกV และ W ตามล าดบ สามารถหาคา T V โดยอาศยเมทรกซของการแปลงเชงเสนไดดงน ส าหรบเวกเตอร v ใน V 1. หาพกดของ v ทสมพทธกบฐานหลก B 2. หาพกดของ iT v ทสมพทธกบ C ทกเวกเตอร iv ใน B 3. ก าหนดให m T เปนเมทรกซมต m n โดยทใหหลกท i ของ m T คอ i C

T v ทกคา i 4.

BCT v m T v

จากลกษณะของ m T จะพบวา m T จะขนกบฐานหลก B ของปรภมเวกเตอร V และกยงขนอยกบล าดบทของเวกเตอรในฐานหลก B อกดวยปญหาทสนใจ ในขนแรกคอเมทรกซของการแปลงเชงเสน T ทขนอยกบฐานหลก B และ C ของปรภมเวกเตอร V และ W ตามล าดบ จะมไดกแบบ ถาล าดบทของเวกเตอรใน B และ C ไมเปลยนแปลง

259

ทฤษฎบท 7.8 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอร มต n และ m ตามล าดบ ซง :T V W เปนการแปลงเชงเสน 1 2, ,..., nB v v v และ 1 2, ,..., mC w w w เปนฐานหลก

ของ V และ W ตามล าดบจะไดวาเมทรกซของการแปลงเชงเสน T ทขนอยกบฐานหลกของ B และ C มไดแบบเดยวเทานน

พสจน ก าหนดให m T และ m T เปนเมทรกซของการแปลงเชงเสน T ทขนอยกบฐานหลกของ B และ C จะแสดงวา m T m T ก าหนดให kl m n

m T a

และ kl m nm T a

ส าหรบทกเวกเตอร iv ใน B , 1 i n ไดวาพกดของ iv ทสมพทธกบฐานหลก B คอ

0

0

:

1

0

:

0

i Bv

thi และ iT v มพกดสมพทธกบ C เปน i CT v

ดงนน

0 0

0 0

: :

1 1

0 0

: :

0 0

i Cm T T v m T

นนคอ

0 0

0 0

: :

1 1

0 0

: :

0 0

kl klm n m na a

260

จะไดวา 1 1

2 2

: :

i i

i i

mi mi

a a

a a

a a

ดงนน kl kla a ทกคา 1,2,..,k m ทกคา 1,2,..,l n และ

สามารถสรปไดวา kl kla a kta = kta ทกคา 1,2,..,k m ทกคา 1,2,..,l n นนคอ m T m T

ตวอยางท 7.22 ก าหนดให V เปนปรภมพหนามคาจรง ซงมดกรนอยกวาหรอเทากบ 2 นยามโดย 5 2T p x p x p x p x ทก p x ใน V จงหาเมทรกซของ T ทขนกบฐานหลก 21, ,B x x เมอ p x และ p x เปนอนพนธอนดบท 1 และ 2 ของ p x ตามล าดบ วธท า 1T p 5 1 2 1 1p p p 1

21 1 0 0x x

T p x 5 2p x p x p x 2 x

22 1 1 0x x

2T p x 2 2 25 2p x p x p x 210 4x x

210 1 4 1x x

ดงนนเมทรกซของ T ทขนกบฐานหลก 1 2 10

0 1 4

0 0 1

B

บทสรป

การแปลงเชงเสนเปนฟงกชนจากปรภมเวกเตอรหนงไปยงปรภมอกเวกเตอรหนง ซงสอดคลองกบคณสมบต 2 ขอ เรยกการแปลงเชงเสนวาการแปลงเชงเสนถอดแบบ ถาการแปลงเชงเสนนนเปนการแปลงเชงเสนหนงตอหนงและทวถง คาล าดบชนและคานลลตของการแปลงเชงเสนเปนมตของเรนจและมตของเคอรเนลของการแปลงเชงเสนนนตามล าดบ

261

แบบฝกหด

1. จงตรวจสอบวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนหรอไม 1.1 2 2: , , ,T R R T x y x y x y

1.2 2: , ,T R R T x y xy 1.3 2 3: , , 1, ,T R R T x y x y x y

1.4 3 3: , , , , ,T R R T x y z x y y x z

2. จงตรวจสอบวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนหรอไม 2.1 : , T

nn nnT M M T A A 2.2 : , T

nn nnT M M T A A A

2.3 : , T

nn nnT M M T A A A

3. จงตรวจสอบวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนหรอไม

3.1 2

2 1 0 1 2 0 1: ,T P P T a a x a x a a x

3.2 2

2 1 0 1 2 1 2: ,T P P T a a x a x a a x

3.3 2

2 4: ,T P P T p x p x

4. จงอธบายความหมายทางเรขาคณตของการแปลงเชงเสนทก าหนดใหตอไปน

4.1 2 2: , , 0,T R R T x y y 4.2 2 2: , , ,T R R T x y x y

4.3 3 3: , , , 0, ,T R R T x y z y z

5. จงแสดงวาฟงกชน 22 23:T M M ก าหนดโดย T A AB เมอ B เปนเมทรกซมต 2 3 เปนการแปลงเชงเสน

6. ก าหนดให T เปนตวด าเนนการเชงเสนบน 3R และ ,u v เปนเวกเตอรอสระเชงเสนใน 2R ถา T u u และ T v v แลวจงแสดงวา T เปนการแปลงเอกลกษณ

7. ก าหนดให 3 4:T R R เปนการแปลงเชงเสนและ 1 2 3, ,s v v v เปนฐานหลกของ 3R

โดยท 1 22, 1,1 , 0,1,3v v และ 3 1,4,2v จงหา

7.1 1 2 3, ,T x x x เมอ 1 11,0,1,1 , 1, 1,2,3T v T v และ 3 0, 2,1,5T v

7.2 2,0,4T

262

8. ก าหนดให 2 2:T P P เปนการแปลงเชงเสนและ 1 2 3, ,s p p p เปนฐานหลกของ 2P

โดยท 2 2 2

1 2 34 3 , 6 5 2 , 8 4p x x p x x p x x และ

2 2

1 21 ,T p x x T p x x 2

3,T p x จงหา 220 30T x x

9. ก าหนดให 2 2:T R R เปนการแปลงเชงเสน โดย , ,0T a b a

9.1 0,2 เปนเวกเตอรใน Ker T หรอไม

9.2 0,2 เปนเวกเตอรใน Ker T หรอไม

9.3 3,0 เปนเวกเตอรใน range T หรอไม

9.4 3,2 เปนเวกเตอรใน range T หรอไม

9.5 จงหา Ker T และ range T

10. ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน จงพสจนวา T เปนการแปลงหนงตอหนง ก ตอเมอ dim dimrange T V 11. ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน จงพสจนวา T เปนการแปลงหนงตอหนง ก ตอเมอเซตของเวกเตอรทเปนภาพฉายของเวกเตอรทเปนอสระเชงเสนใน V จะเปนอสระ เชงเสนใน W