¸šทที่ 7(3).pdfบทที่7...

บทท 7การอนทเกรตจำกดเขต (Definite Integral)7.1 อนทเกรตจำกดเขตพนทใตเสนโคงโดยใชลมต

ในการหาพนทของรปทรงเรขาคณตตางๆ เราสามารถหาพนทไดโดยงาย เชน พนทของสเหลยมจตรส สเหลยมคางหม สเหลยมดานขนาน วงกลม และวงร เปนตน แตเราไมสามารถหาพนทของฟงกชนตอเนองซงเปนลบ ของฟงกชน f บนชวงปดใดๆ ใน [a, b] โดยวธทางพชคณตใดๆ ได สำหรบหวขอน เราสามารถหาพนท ใต เสนโคงของฟงกชน f ดงกลาวน โดยการหาคาประมาณ โดยการหาคาประมาณ โดยใชลมตเพอหาพนทใตเสนโคงเหลานน ซงจะนำไปสการนยามของการอนทเกรตจำกดเขตของฟงกชนตอไปดงรป 7.1, 7.2, 7.3 และ 7.4

รปท 7.1: พนทใตเสนโคง f(x)

279

แคลคลส 1 สำหรบวศวกร ผชวยศาสตราจารยชนกกานต สหสทศน


สมมตให A1 เปนพนทโดยประมาณของพนทรป 7.1 และ 7.2ดงนน A1 เปนพนทของรปสเหลยมผนผาซงมฐานเปนชวงปด [a, b] และมความสงเปน

f(b) นนคอ

พนท A1 = กวาง× ยาว= f(b)(b− a)

แต x1 = b ดงนน A1 = f(x1)(x1 − a)


280

ผชวยศาสตราจารยชนกกานต สหสทศน แคลคลส 1 สำหรบวศวกร

จากรป 7.3 กำหนดให x1 เปนจดกงกลางระหวาง a และ b และให x0 = a, x2 = b จะไดx1 − x0 =

b− a

2และ x2 − x1 =

b− a

2

ให A2 เปนผลบวกยอยของสเหลยมผนผาทงสองน ดงน

พนท A2 = f(x1)(b− a)

2+ f(x2)

(b− a)

2

= [f(x1) + f(x2)](b− a)

2


จากรป 7.4 แบงชวง [a, b] เปน 3 สวนยอยๆ ทเทากน ดงนน

x1 = a+b− a

3,

x2 = a+2(b− a)

3

และ x0 = a, x3 = b

ให A3 เปนผลบวกของสเหลยมผนผาทง 3 รปดงน

พนท A3 = [f(x1) + f(x2) + f(x3)](b− a)

2

ถาแบงชวงปด [a, b] เปนจำนวนมากๆ หรอ n → ∞ จะพบวาเราจะไดสเหลยมผนผายอยๆทงหมด n รป ซงจะไดแตละรปมความกวางเปน b− a

nและความยาวเปน f(xi) เมอ i =

1, 2, . . . , n ดงรป 7.5

281


รปท 7.5: ภาพการแบงชวงปด [a, b] เปนจำนวนมากๆ หรอ n → ∞ จะพบวาเราจะไดสเหลยมผนผายอยๆ ทงหมด n รป

จากรป 7.5 จะได An เปนผลบวกของพนทสเหลยมผนผายอยๆ n รป ดงนน

พนท An = [f(x1) + f(x2) + f(x3) + . . .+ f(xn)](b− a)

2(7.1)

โดยท xi = a+ i(b− a)

nสำหรบทกๆ i = 1, 2, . . . , n

จาก (7.1) เขยนแทนดวย

An =n∑

i=1

f(xi)(b− a)

n

และถา A1, A2, . . . , An, . . . เปนลำดบเขาสคา A เมอ n → ∞ นนคอlimn→∞

An = A

หรอA = lim

n→∞An

= limn→∞

n∑i=1

f(a+ i(b− a)

n)(b− a)

n(7.2)

282


เมอ limx→∞

An หาคาได

ตวอยาง 7.1.1 จงใชสตร 7.2 หาพนทของบรเวณ ซงถกปดลอมดวยกราฟ y = x2 แกน x และเสนตรง x = 1 และ x = 4

วธทำ

รปท 7.6: พนทของบรเวณ ซงถกปดลอมดวยกราฟ y = x2 แกน x และเสนตรง x = 1 และx = 4

พจารณารป 7.6 ของฟงกชน y = x2 และแบงชวงปด [1, 4] ออกเปน n ชวง เทาๆกน

ดงนนความกวางของแตละชวง = b− a

n

=4− 1

n

=3

n

จดขวามอสดของชวงท i คอ xi = a+b− a

ni

= 1 +3i

n

กำหนดใหคาประมาณความสง (ความยาว) ของรปสเหลยมผนผาคอ f(xi) นนคอ

283


f(xi) = f(1 +3i

n)

= (1 +3i

n)2

และพนทรปท i คอ = กวาง× ยาว=

3

n(1 +

3i

n)2

= (1 +3i

n)23

n

จะไดวา

An =n∑

i=1

f(1 +3i

n)3

n

=n∑

i=1

(1 +3i

n)23

n

=n∑

i=1

(1 +6i

n+

9i2

n2)3

n

=n∑

i=1

(3

n+

18i

n2+

27i2

n3)

=3

n

n∑i=1

1 +18

n2

n∑i=1

i+27

n3

n∑i=1

i2

=3

n(n) +

18

n2

n(n+ 1)

2+

27

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6

= 21 +18

n+

9

2n+

9

2n2

และกำหนดให A คอพนทของบรเวณ ซงถกปดลอมดวยกราฟ y = x2 แกน x และเสนตรงx = 1 และ x = 4 นนคอ

A = limn→∞

An

= limn→∞

(21 +18

n+

9

2n+

9

2n2)

= 21 ตารางหนวย

284


ตวอยาง 7.1.2 จงใชสตร 7.2 หาพนทของบรเวณ ซงถกปดลอมดวยกราฟ y = x3 + 6 แกน x

และเสนตรง x = −1 และ x = 2

วธทำ

รปท 7.7: พนทของบรเวณ ซงถกปดลอมดวยกราฟ y = x3 + 6 แกน x และเสนตรง x = −1

และ x = 2

พจารณารป 7.7 ของฟงกชน y = x3 + 6 และแบงชวงปด [−1, 2] ออกเปน n ชวง เทาๆกน

ดงนนความกวางของแตละชวง = b− a

n

=2− (−1)

n

=3

n

จดขวามอสดของชวงท i คอ xi = a+b− a

ni

= −1 +3i

n

285


กำหนดใหคาประมาณความสง (ความยาว) ของรปสเหลยมผนผาคอ f(xi) นนคอ

f(xi) = f(−1 +3i

n)

= (−1 +3i

n)3 + 6

และพนทรปท i คอ = กวาง× ยาว=

3

n{(−1 +

3i

n)3 + 6}

= {(−1 +3i

n)3 + 6} 3

n

จะไดวา

An =n∑

i=1

f(−1 +3i

n)3

n

=n∑

i=1

{(−1 +3i

n)3 + 6} 3

n

=n∑

i=1

{(−1)3 + 3(−1)23i

n+ 3(−1)(

3i

n)2 + (

3i

n)3 + 6} 3

n

=n∑

i=1

{(−1) + 33i

n+ 3(−1)(

9i2

n2) + (

27i3

n3) + 6} 3

n

=n∑

i=1

{(−1) +9i

n− (

27i2

n2) + (

27i3

n3) + 6} 3

n

=3

n

n∑i=1

{5 + (9i

n)− (

27i2

n2) + (

27i3

n3)}

=3

n{

n∑i=1

(5) +n∑

i=1

(9i

n)−

n∑i=1

(27i2

n2) +

n∑i=1

(27i3

n3)}

=3

n{

n∑i=1

(5) + (9

n)

n∑i=1

i− (27

n2)

n∑i=1

i2 + (27

n3)

n∑i=1

i3}

=3

n{(5n) + (

9

n) · n(n+ 1)

2− (

27

n2) · n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (

27

n3)n2(n+ 1)2

4}

= 15 +27

2(1 +

1

n)− 27

2(2 +

3

n+

1

n2) +

81

4(1 +

2

n+

1

n2)

และกำหนดให A คอพนทของบรเวณ ซงถกปดลอมดวยกราฟ y = x3 + 6 แกน x และเสนตรง

286


x = −1 และ x = 2

A = limn→∞

An

= limn→∞

{15 + 27

2(1 +

1

n)− 27

2(2 +

3

n+

1

n2) +

81

4(1 +

2

n+

1

n2)}

= 15 +27

2(1 + 0)− 27

2(2 + 0 + 0) +

81

4(1 + 0 + 0)

=87

4ตารางหนวย

7.2 การอนทเกรตจำกดเขตอนทกรลจำกดเขตมประโยชนมากในการประยกตในการหาปรมาณบางปรมาณ เชน

ปรมาตรของรปทรงสามมตทลอมรอบดวยพนผว งาน โมเมนตของความเฉอย พนททถกลอมรอบดวยเสนโคง เปนตน

ในหวขอ 7.1 เปนการหาพนทของเสนโคงบนชวงปด [a, b] ซงใชความสงของสเหลยมผนผายอยๆ ดวยจดปลายสด แตในหวขอนเราจะเลอกคาจดใดๆ ในชวงยอยใดๆ กไดแทนความสงของ f

กำหนดฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปน [a, b] เมอ a < b แบงชวง [a, b]ออกเปนชวงยอยๆ ใหเทากน หรอไมเทากนกได โดยสมมตใหจดแบงคอ

x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn ซง x0 = a และ xn = b

ให ∆xi = x1 − x0=ความกวางของชวง [xi−1, xi] เมอ i = 1, 2, 3, . . . , n

นนคอ

∆x1 = x1 − x0 =ความกวางของชวง [x0, x1]

∆x2 = x2 − x1 =ความกวางของชวง [x1, x2]

... ...∆xn = xn − xn−1 =ความกวางของชวง [xn−1, xn]

กำหนดให ||P || คอคาสงสด {∆x1,∆x2,∆x3, . . .∆xn}และเรยก ||P || วา คาประจำ (norm) ของการแบงกน P

287


ตวอยาง 7.2.1 กำหนดใหจดแบงของชวงปด [0, 2] เปน 0,1

8,1

2,3

4, 2

วธทำ นนคอ

∆x1 = x1 − x0 =1

8− 0 =

1

8

∆x2 = x2 − x1 =1

2− 1

8=

3

8

∆x3 = x3 − x2 =3

4− 1

2=

1

4

∆x4 = x4 − x3 = 2− 3

4=

5

4

เนองจาก ||P || คอคาสงสด {∆x1,∆x2,∆x3,∆x4}

นนคอ ||P || = 5

4

บทนยาม 7.2.1 ให [a, b] เปนชวงปดและ P = {x0, x1, x2, . . . , xn} โดยท x0 < x1 < x2 <

. . . < xn−1 < xn ซง x0 = a และ xn = b จะเรยก P วา ผลแบงกน (partition) ของ [a, b]และ ∆xi = xi − xi−1 สำหรบ i = 1, 2, 3, . . . , n และให ||P || = max(∆xi) แลว จะเรยก||P || วา คาประจำ (norm) ของผลแบงกน P

ตวอยาง 7.2.2 ให P = {4.3, 5.4, 6, 6.5, 7.2, 8.9, 9} จงหาคาประจำของ Pวธทำ

||P || = max{5.4− 4.3, 6− 5.4, 6.5− 6, 7.2− 6.5, 8.9− 7.2, 9− 8.9}= max{1.1, 0.6, 0.7, 1.7, 0.1}= 1.7

บทนยาม 7.2.2 ถา f(x) เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง [a, b] ม P = {x0, x1, x2, . . . , xn}เปนผลแบงกนของ [a, b] และให ∆xi = xi − xi−1 และ ci ∈ [xi–1, xi] เมอ i = 1, 2, . . . , n

แลวจะเรยกวา

An =n∑

i=1

f(ci)∆xi

วา ผลบวกรมนน (Riemann sum) ของ f(x) บนชวง [a, b]ถา Mi เปนขอบเขตบนคานอยสดและ mi เปนขอบเขตลางคามากสดของ f(x) บน

ชวง [xi–1, xi] แลวจะเรยกวา∑n

i=1(Mi)∆xi วา ผลบวกบน (upper sum) ของ f(x) บนชวง[a, b] และ จะเรยกวา∑n

i=1(mi)∆xi วา ผลบวกลาง (lower sum) ของ f(x) บนชวง [a, b]

288


ตวอยาง 7.2.3 จงหาผลบวกรมนน ผลบวกบน และผลบวกลางของฟงกชน f(x) = x+ 3 บนชวง [1, 5] ซงเกดจากผลแบงกน P = {1, 2, 3, 5} โดยทผลบวกรมนน เลอก ci คอจดกงกลางของชวงยอยท iวธทำ ให P = {1, 2, 3, 5} เปนผลแบงกนของชวง [0, 5] และให x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3 และx3 = 5 และชวงยอยโดยผลแบงกนคอ [1, 2], [2, 3], [3, 4] จะได

∆x1 = 2− 1 = 1

∆x2 = 3− 2 = 1

∆x3 = 5− 3 = 2

ให ck คอจดกงกลางของชวงยอยท k จะไดวา c1 = 1.5, c2 = 2.5 และ c3 = 4 ดงนน ผลบวกรมนน คอ

3∑k=1

f(ck)∆xk = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + f(c3)∆x3

= (1.5 + 3)1 + (2.5 + 3)1 + (4 + 3)2

= 3.5 + 5.5 + 14

= 24.5

เนองจาก Mi เปนขอบเขตบนคานอยสดและ mi เปนขอบเขตลางคามากสดของ f(x) บนชวง[xi–1, xi] จะไดวา

M1 = 2 + 3 = 5, M2 = 3 + 3 = 6, M3 = 5 + 3 = 8 และm1 = 1 + 3 = 4, m2 = 2 + 3 = 5, m3 = 3 + 3 = 6

ดงนนผลบวกบน คอ3∑

k=1

(Mk)∆xk = (M1)∆x1 + (M2)∆x2 + (M3)∆x3

= (5)1 + 6(1) + 8(2)

= 5 + 6 + 16

= 27

และผลบวกลาง คอ3∑

k=1

(mk)∆xk = (m1)∆x1 + (m2)∆x2 + (m3)∆x3

= (4)1 + 5(1) + 6(2)

= 4 + 5 + 12

= 21

289


บทนยาม 7.2.3 ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมขอบเขตบนชวง [a, b] ม P = {x0, x1, x2, . . . , xn}เปนผลแบงกน โดยท a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b แบง [a, b] เปน n ชวงยอย สำหรบ k = 1, 2, 3, . . . , n ถา ∆xi = xi − xi−1 และ ci ∈ [xi−1, xi] แลว

lim||P ||→0

n∑i=1

f(ck)∆xi =

∫ b

a

f(x)dx

จะเรยกวา การอนทเกรตจำกดเขต จาก a ถง b หรอปรพนธจำกดเขต จาก a ถง b และถา lim

||P ||→0

∑nk=1 f(ci)∆xi หาคาได แลวจะกลาววา f สามารถหาคาอนทเกรตไดบนชวง [a, b]

ฟงกชน f(x) เรยกวา ตวถกอนทเกรต (integrand)จำนวจรง a เรยกวา ขดจำกดลาง (Lower limit)จำนวจรง b เรยกวา ขดจำกดบน (Upper limit) และ∫ b

af(x)dx เรยกวา ปรพนธจำกดเขต จาก a ถง b หรออนทกรลรมนน (Riemann

integral)

บทนยาม 7.2.4 ถา ∫ b

af(x)dx หาคาไดเรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนทอนทเกรตได (integrable

function) บนชวงปด [a, b]

ตวอยาง 7.2.4 จงหาคาอนทกรลจำกดเขต ∫ 4

0(−1)dx

วธทำ เนองจาก f(ck) = −1 สำหรบทกๆ คา ck ดงนน

An =n∑

k=1

f(ck)∆xk

=n∑

k=1

(−1)∆xk

= (−1)n∑

k=1

∆xk

= −1{(x1 − x0) + (x2 − x1) + (x3 − x2) + . . .+ (xn − xn−1)}= −1(xn − x0)

= −1(4− 0)

= −4

จะไดวา

limn→∞

An =

∫ 4

0

(−1)dx

= −4

290


ตวอยาง 7.2.5 จงหา ∫ 4

1x2dx โดยการแบงชวง [0, 4] ออกเปนชวงยอยเทาๆ กน

วธทำ ถาแบงชวง [0, 4] ออกเปนชวงยอยเทาๆ กน ดงนน

∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = . . . = ∆xn =4− 0

n=

4

n

เลอก

c1 =4

n, c2 = 2

4

n, c3 = 3

4

n, . . . , cn = n

4

n

หรอ ci =4i

nเมอ i = 1, 2, 3, . . . , n จะได

f(ci) = ci2

= (4i

n)2

=16i2

n2

นนคอ

ผลบวกรมนน An =n∑

i=1

f(ci)∆xi

=n∑

i=1

16i2

n2· 4n

=64

n3

n∑i=1

i2

=64

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6

=64

6(2 +

1

n+

2

n+

1

n2)

จะไดวา ∫ 4

0

x2dx = limn→∞

An

= limn→∞

64

6(2 +

1

n+

2

n+

1

n2)

=64

6(2 + 0 + 0 + 0)

=64

3

291


แบบฝกหด 7.21. จงหาผลบวกของจำนวนตอไปน

1.1 ∑4i=1(i+ 2)

1.2 ∑7i=1(i

2 + 2i+ 2)

1.3 ∑7i=1(i

2 − 5)

1.4 ∑6i=1(−1)i(i)

1.5 ∑7i=1(i+ 1)2

2. จงหาผลบวกรมนต โดยกำหนดฟงกชน จดแบงทงหมดและจดทอยระหวางจดแบงเหลานน2.1 f(x) = 2x+ 3, จดแบงเปน 0, 1, 2, 3 และ c1 = 0, c2 = 1, c3 = 2

2.2 f(x) = x2, จดแบงเปน 0,1

4,1

2,3

4, 1 และ c1 = 0, c2 =

1

4, c3 =

1

2, c4 =

3

4


2,1

2,3

4, 1 และ c1 = 0, c2 =

1

4, c3 =

1

2, c4 =

3

4


3,1

2,2

3, 1 และ c1 = 0, c2 =

1

2, c3 =

1

2, c4 = 1

2.5 f(x) = sinx, จดแบงเปน 0,π

4,2π

3, π และ c1 =

π

4, c2 =

π

3, c3 =

3π

4

3. จงหาคาอนทกรลจำกดเขตตอไปน โดยวธประมาณคาผลบวกรมนน3.1 ∫ 4

0xdx

3.2 ∫ 2

0(3x+ 5)dx

3.3 ∫ 3

0x2dx

3.4 ∫ 2

0(x2 + 10)dx

3.5 ∫ 1

0(x3 + 1)dx

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

292


7.3 ทฤษฎบทเกยวกบคณสมบตเบองตนของการอนทเกรตจำกดเขต

......

7.1 ทฤษฎบท

.ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] แลว f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b]

......


.

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] แลว∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

พสจน เนองจาก

−∫ a

b

f(x)dx = − limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi

= − limn→∞

n∑i=1

f(ci)a− b

n

= limn→∞

n∑i=1

f(ci)b− a

n

= − limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi

นนคอ

−∫ a

b

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx

......


.

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] แลว∫ a

a

f(x)dx = 0

293


พสจน เนองจาก ∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx ดงนน∫ a

a

f(x)dx = −∫ a

a

f(x)dx เมอ a = b

2

∫ a

a

f(x)dx = 0

จะไดวา∫ a

a

f(x)dx = 0

......


.

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] และ k เปนจำนวนจรงใดๆ แลว kf เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] และ∫ b

a

kf(x)dx = k

∫ b

a

f(x)dx

ตวอยาง 7.3.1 จงหาคา ∫ 5

05xdx

วธทำ ฟงกชน f(x) = 5x เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [0, 5]ดงนน ∆xi =

5− 0

n=

5

nเมอ i = 1, 2, 3, . . . , n

และ ci =5i

nเมอ i = 1, 2, 3, . . . , n ดงนน∫ 5

0

5xdx = 5

∫ 5

0

xdx

= 5 limn→∞

n∑i=1

5i

n

5

n

= 5 limn→∞

25

n2

n∑i=1

i

= 5 limn→∞

25

n2

n(n+ 1)

2

= 5 limn→∞

25

2(1 +

1

n)

= 525

2limn→∞

(1 +1

n)

= 525

2(1 + 0)

=125

2

294


......


.

ถา f และ g เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] และ f(x) ≥ g(x) สำหรบทกคา x ใน[a, b] แลว ∫ b

a

f(x)dx ≥∫ b

a

g(x)dx

พสจน กำหนดให f และ g เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] และ f(x) ≥ g(x) สำหรบทกคา x ใน [a, b] และ ∆xi =

b− a

n

ถา ∆xi > 0 จะได ∑ni=1 f(ci)∆xi ≥

∑ni=1 g(ci)∆xi ดงนน

limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi limn→∞

≥n∑

i=1

g(ci)∆xi

นนคอ∫ b

a

f(x)dx ≥∫ b

a

g(x)dx

......


.

ถา f และ g เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] และ f(x) + g(x) เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] แลว∫ b

a

(f(x)± g(x))dx =

∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx

พสจน กำหนดให f และ g เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] ดงนน

∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi (7.3)

และ∫ b

a

g(x)dx = limn→∞

n∑i=1

g(ci)∆xi (7.4)

295


นำสมการ (7.3)+(7.4) จะได∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx = limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi + limn→∞

n∑i=1

g(ci)∆xi

= limn→∞

n∑i=1

{f(ci) + g(ci)}∆xi

=

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx (7.5)

นำสมการ (7.3)-(7.4) จะได∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

g(x)dx = limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi − limn→∞

n∑i=1

g(ci)∆xi

= limn→∞

n∑i=1

{f(ci)− g(ci)}∆xi

=

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

g(x)dx (7.6)

จากสมการ (7.5) และ (7.6) จะได∫ b

a

(f(x)± g(x))dx =

∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx

บทนยาม 7.3.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนทมขอบเขตบนชวง [a, b] กตอเมอตองมจำนวนจรง m

และ M โดยท

m ≤ f(x) ≤ M สำหรบ x ∈ [a, b]

......


.ฟงกชน f เปนฟงกชนทมขอบเขตบนชวง [a, b] แลว f เปนฟงกชนทมขอบเขตบนชวง [a, b]

......


.

ฟงกชน f เปนฟงกชนทมขอบเขตบนชวง [a, b] แลว f และ m, M เปนจำนวนจรงททำใหm ≤ f(x) ≤ M สำหรบทก x ∈ [a, b] แลว

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ M(b− a)

296


พสจน เนองจาก m ≤ f(x) ≤ M สำหรบทก x ∈ [a, b] ถา ∆xi > 0 จะไดวา

m∆xi ≤ f(ci)∆xi ≤ M∆xi เมอ xi−1 ≤ ci ≤ xi

∴n∑

i=1

m∆xi ≤n∑

i=1

f(ci)∆xi ≤n∑

i=1

M∆xi

m

n∑i=1

∆xi ≤n∑

i=1

f(ci)∆xi ≤ M

n∑i=1

∆xi

m(b− a) ≤n∑

i=1

f(ci)∆xi ≤ M(b− a)

นนคอ limn→∞

m(b− a) ≤ limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi ≤ limn→∞

M(b− a)

ดงนน m(b− a) ≤∫ b

a


ตวอยาง 7.3.2 จงหาขอบลางทมากทสดและขอบบนทนอยทสด ของการอนทเกรต∫ 2

0

(4x3 − 7x2 + x+ 5)dx

รปท 7.8: รปกราฟฟงกชน f(x) = 4x3 − 7x2 + x+ 5

297


วธทำ จากรป 7.8 กราฟของฟงกชน f(x) = 4x3 − 7x2 + x+ 5 เปนฟงกชนตอเนองบน [0, 2]

และ f(0) = 5, f(2) = 11

ดงนนจะได m = 5, M = 11, b = 2 และ a = 0 นนคอ

m(b− a) ≤∫ b

a


5(2− 0) ≤∫ 2

0

(4x3 − 7x2 + x+ 5)dx ≤ 11(2− 0)

10 ≤∫ 2

0

(4x3 − 7x2 + x+ 5)dx ≤ 22

ดงนนขอบเขตลางทมากทสดและขอบเขตบนทนอยทสด คอ 10 และ 22 ตามลำดบ

......


.

กำหนดให f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวงปด [a, b]∫ b

a

|f(x)|dx ≤ |∫ b

a

f(x)dx|

......

7.10 ทฤษฎบท (ทฤษฎบทคามชฌมสำหรบอนทกรล The mean value theorem forintegrals)

.

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และตองมจำนวนจรง c ในชวง [a, b] ซงทำให∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a)

หรอ f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

พสจน กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b]และ m เปนขอบลางทมากทสดของ f(x) ใน [a, b]

M เปนขอบบนทนอยทสดของ f(x) ใน [a, b]

ดงนนจากทฤษฎบท 1.8 จะไดวา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนชวง [a, b] และ m ≤ f(x) ≤

298


M สำหรบทกๆ x ∈ [a, b] จะไดวา

m(b− a) ≤∫ b

a


m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x)dx ≤ M

ให k =1

b− a

∫ b

af(x)dx จะไดวา m ≤ k ≤ M

แต f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b]

ดงนนจะตองม c ∈ (a, b) ททำให f(c) = k

นนคอ f(c) =1

b− a

∫ b

af(x)dx คอคามชฌมของฟงกชน f บนชวง [a, b]

ตวอยาง 7.3.3 ให f(x) = x2 เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง [0, 3]จงหา

1. คามชฌมของฟงกชน f บน [0, 3]

2. จำนวนจรง c โดยใชทฤษฎบทคามชฌมสำหรบอนทกรลวธทำ 1. เนองจาก f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง [0, 3]ให ∆xi =

3− 0

n=

3

nสำหรบทกคา i และ ci = 0 +

3i

n=

3i

nดงนน∫ 3

0

x2dx = limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi

= limn→∞

n∑i=1

(3i

n)2(

3

n)

= limn→∞

n∑i=1

(9i2

n2)(3

n)

=27

n3limn→∞

n∑i=1

i2

=27

n3limn→∞

(n(n+ 1)(2n+ 1)

6)

=27

n3limn→∞

(2 +1

2+

2

n+

1

n2)

=27

3

= 9

299


ดงนน คามชฌมของฟงกชน f บนชวง [0, 3] คอ 1

3− 0

∫ 3

0x2dx = 3

2. โดยทฤษฎบทคามชฌมสำหรบอนทกรล จะตองมจำนวนจรง c ในชวง (0, 3)สำหรบ f(c) = c2 และ f(c) =

1

3− 0

∫ 3

0x2dx จะได

f(c) = 3

ดงนน c2 = 3

c =√3

......


.

ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง [a, b] และ c เปนจำนวนจรงใดๆ ในชวง [a, b] แลว∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

(การพสจนใหเปนแบบฝกหด)

ตอไปนกลาวถงทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส (fundamental theorem ofcalculus) ซงแสดงใหเหนความสมพนธระหวางแคลคลสเชงอนพนธ ทเกดจากการศกษาเสนสมผสเสนโคง และแคลคลสเชงปรพนธ ทเกดจากการศกษาการหาพนท

เราจะใชทฤษฎบทดงกลาวน เพอหาปรพนธไมจำกดเขตซงจะงายกวาการหาปรพนธจำกดเขตโดยเฉพาะกบฟงกชนทมความสลบซบซอน

......

7.12 ทฤษฎบท (1st fundamental Theorem of integral calculus)

.

ถา f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] คาคงตว c ∈ [a, b] และ G(x) =∫ x

cf(t)dt

เมอ x ∈ [a, b] จะไดวา

1. G เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b]

2. G มอนพนธบนชวง (a, b) และ G′(x) = f(x) สำหรบแตละ x ท x ∈ (a, b)

พสจน เนองจาก x ∈ [a, b] ดงนนกำหนดให h เปนจำนวนจรงบวกซง x < x+ h ≤ b

300


เนองจาก G(x) =∫ x

cf(t)dt และ G(x+ h) =

∫ x+h

cf(t)dt จะไดวา

G(x+ h)−G(x) =

∫ x+h

c

f(t)dt−∫ x

c

f(t)dt

=

∫ c

x

f(t)dt+

∫ x+h

c

f(t)dt

นนคอ G(x+ h)−G(x) =

∫ x+h

x

f(t)dt

ให M และ m เปนคาสงสดและคาตำสดของ f บนชวง [x, x+ h] ตามลำดบจะไดวา Mh และ mh เปนผลบวกบนและผลบวกลางของ f บนชวง [x, x+ h] ตาม

ลำดบ และ

Mh ≤∫ x+h

x

f(t)dt ≤ mh

Mh ≤ G(x+ h)−G(x) ≤ mh

M ≤ G(x+ h)−G(x)

h≤ m

limh→0

M ≤ limh→0

G(x+ h)−G(x)

h≤ lim

h→0m

f(x) ≤ limh→0

G(x+ h)−G(x)

h≤ f(x)

ดงนน limh→0

G(x+ h)−G(x)

h= f(x)

หรอ G′(x) = f(x)

จะไดวา G(x) มอนพนธ บนชวง (a, b) ดงนน

limh→0+

G(a+ h)−G(a)

h= lim

h→0−

G(a+ h)−G(a)

h= lim

h→0

G(a+ h)−G(a)

h= f(x)

และ limh→0+

G(a+ h)−G(a)

h= f(a)

นนคอ f(x) มความตอเนองทางขวาทจด x = a

ในทำนองเดยวกนจะพสจนไดวา f(x) มความตอเนองทางซาย ทจด x = b

ดงนน G เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ G มอนพนธบนชวง (a, b) และG

′(x) = f(x) สำหรบแตละ x ท x ∈ (a, b)

301


ตวอยาง 7.3.4 จงหาคาของจำนวนตอไปน1. d

dx[∫ x

0(t2 − 3)dt]

2. d

dx[∫ x

0

√t5 + 1dt]

วธทำ 1. เพราะวา f(t) = t2 − 3 เปนฟงกชนตอเนอง จากทฤษฎบท 7.12 จะไดวาd

dx[

∫ x

0

(t2 − 3)dt] = x2 − 3

2. เพราะวา √t5 + 1 เปนฟงกชนตอเนอง จากทฤษฎบท 7.12 จะไดวาd

dx[

∫ x

0

√t5 + 1dt] =

√x5 + 1

......

7.1 หมายเหต

.

การหาอนทกรลจำกดเขตในหวขอ 7.2 และ 7.3 เปนการหาคาอนทเกรตของฟงกชนจากการคำนวณ โดยใชผลบวกรมนน ซงเปนรากฐานทสำคญของวชาแคลคลส หวขอตอไปจะเปนการนำเอา ทฤษฎบทในหวขอ 7.3 มาพสจนเปนทฤษฎหลกมลสำหรบแคลคลส ซงมประโยชนในการคำนวณหาอนทเกรตจำกดเขต โดยทำใหคำนวณไดรวดเรวยงขน

......

7.13 ทฤษฎบท (2th fundamental Theorem of integral calculus)

.

ถา f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และ F (x) เปนปฏยานพนธของ f(x) บนชวงปด [a, b] จะไดวา ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

พสจน ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และจากทฤษฎบท 7.2 จะไดวาถา G(x) =

∫ x

af(t)dt เมอ x ∈ [a, b] แลว G

′(x) = f(x) สำหรบแตละ x ท x ∈ (a, b)

หรอ G(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) และเนองจาก F (x) เปนปฏยานพนธของ f(x) ดงนนG(x) = F (x) + C เมอ C เปนคาคงท ดงนน

G(x) =

∫ x

a

f(t)dt = F (x) + C

302


และG(a) =

∫ a

a

f(t)dt = F (a) + C

0 = F (a) + C

C = −F (a) (7.7)และ

G(b) =

∫ b

a

f(t)dt

= F (b) + C (7.8)นำคา C จากสมการ (7.7) ไปแทนคาในสมการ (7.8) จะไดวา∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a)

หรอ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

ตวอยาง 7.3.5 จงหาคาของ ∫ 3

0(x3 − 4x2 + 2x− 3)dx

วธทำ∫ 3

0

(x3 − 4x2 + 2x− 3)dx

={∫

(x3 − 4x2 + 2x− 3)dx}∣∣∣3

0

= (x4

4− 4x3

3+ x2 − 3x+ C)

∣∣∣30

= {(3)4

4− 4(3)3

3+ (3)2 − 3(3) + C} − {(0)

4

4− 4(0)3

3+ (0)2 − 3(0) + C}

= −15.75

ตวอยาง 7.3.6 ให f(x) = sin x จงหาพนทของบรเวณทถกปดลอมโดยเสนโคง f แกน x

สำหรบทกคา x ในชวง [0, π]วธทำ เนองจาก f(x) = sin x ≤ 0 สำหรบทกคา x ในชวง [0, π] ดงนน

พนทA =

∫ π

0

sinxdx

= − cos x|π0= − cos π − (− cos 0)= 2

303



1(5x4 − 4x3 + 13)dx

วธทำ

∫ 4

1

(5x4 − 4x3 + 13)dx ={∫

(5x4 − 4x3 + 13)dx}∣∣∣4

1

= (x5 − x4 + 13x+ C)∣∣∣41

={(4)5 − (4)4 + 13(4) + C

}−{(1)5 − (1)4 + 13(1) + C

}= 308− 13

= 295

ตวอยาง 7.3.8 จงหาคาของ ∫ π

0cosxdx

วธทำ

∫ π

0

cosxdx = {∫

cos xdx}∣∣∣π0

= {sin x}∣∣∣π0

= sinπ − sin 0

= 0− 0

= 0


0

(6x2 + 3)

(x3 + x+ 6)5dx

วธทำ ให

u = x3 + x+ 6

du

3x2 + 1= dx

304


เลอกใชเทคนคอนทเกรตแบบแทนคา จะไดวา

∫ 2

0

(6x2 + 3)

(x3 + x+ 6)5dx =

{∫(6x2 + 3)

(x3 + x+ 6)5dx

}∣∣∣10

={∫

(6x2 + 3)

u5

du

3x2 + 1

}∣∣∣10

={∫

2

u5du

}∣∣∣10

={∫

2u−5du}∣∣∣1

0

={u−4

−2+ C

}∣∣∣10

={(x3 + x+ 6)−4

−2+ C

}∣∣∣10

={− (x3 + x+ 6)−4

2+ C

}∣∣∣10

={− (13 + 1 + 6)−4

2+ C

}−

{− (03 + 0 + 6)−4

2+ C

}=

1

2(1

64− 1

84)

= (229

2)(

1

64)4


8

dx

x− x13

วธทำ การหาคาอนทกรลจำกดเขตน ตองใชเทคนคการอนทเกรตการแทนคาดวยตวแปรใหมไดดงน

จะเหนวาตวถกอนทเกรตม x ยกกำลงเศษสวนคอ 1

3

จงแทนคาโดยให x = u3 และ du = 3u2du

ถา x = 8 จะไดวา ลมตลางคอ u3 = 8 นนคอ u = 2

ถา x = 27 จะไดวา ลมตลางคอ u3 = 27 นนคอ u = 3

305


แทนคา ∫ 27

8

dx

x− x13

=

∫ 3

2

3u2

u3 − udu

=

∫ 3

2

3u

u2 − 1du

=

∫ 3

2

3ud(u2 − 1)

(u2 − 1)(2u)

=3

2

∫ 3

2

d(u2 − 1)

u2 − 1

=3

2(ln |u2 − 1|)

∣∣∣32

=3

2(ln 8− ln 3)

=3

2ln 8

3

แบบฝกหด 7.31. จงหาขอบบนทนอยทสดและขอบลางทมากทสดของอนทกรลตอไปน

1.1 ∫ 3

0(x2 − 2x+ 2)dx

1.2 ∫ 2

−1(2x3 − 3x2 + 4)dx

1.3 ∫ π

0(sin x+ cosx)dx

1.4 ∫ 3

1

2x

x2 + 5x+ 4dx

2. จงใชทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลแคลคลสหา d

dx[F (x)] สำหรบฟงกชน f(x) ตอไปน

2.1 F (x) =∫ x

0t√t2 + 9dt

2.2 F (x) =∫ 3

0t√t2 + 9dt

2.3 F (x) = x∫ x

1

√t2 + 9dt

2.4 F (x) =∫ 1

xt√t2 + 9dt

3. จงหาคาอนทกรลตอไปน3.1 ∫ 3

0(x3 − 4x+ 1)dx

3.2 ∫ 2

02x(x2 + 1)3dx

306


3.3 ∫ 2

0(2− x)2dx

3.4 ∫ 2

−1(1− x2)xdx

3.5 ∫ 3

0(3− 2x+ x2)dx

3.6 ∫ 3

0

dx√1 + x

3.7 ∫ 1

0x(1−

√x)2dx

3.8 ∫ 4

1(1− x)

√xdx

3.9 ∫ 2

0x2(x3 + 1)dx

3.10 ∫ 8

1

√1 + 3xdx

3.11 ∫ 8

4

x√x2 − 15

dx

3.12 ∫ 11

3

√2x+ 3dx

3.13 ∫ 3

0(x3 − 4x+ 1)dx

3.14 ∫ 2

02x(x2 + 1)3dx

3.15 ∫ 2

0(2− x)2dx

3.16 ∫ 2

−1(1− x2)xdx

3.17 ∫ 3

0(3− 2x+ x2)dx

3.18 ∫ 3

0

dx√1 + x

3.19 ∫ 1

0x(1−

√x)2dx

3.20 ∫ 4

1(1− x)

√xdx

3.21 ∫ 2

0x2(x3 + 1)dx

3.22 ∫ 8

1

√1 + 3xdx

3.23 ∫ 8

4

x√x2 − 15

dx

3.24 ∫ 11

3

√2x+ 3dx

3.25 ∫ 3

0

1√x+ 1

dx

3.26 ∫ π

0x sin 2xdx

3.27 ∫ e

0x lnxdx

3.28 ∫ ππ2x2 cos xdx

307


3.29 ∫ 4

0x√2x+ 1dx

3.30 ∫ π6

0sin 2x sin 5xdx

3.31 ∫ 1

0x arctan xdx

3.32 ∫ π2

1sin2 2x cos3 2xdx

3.33 ∫ π2

−π2(sin x+ cos x)3dx

3.34 ∫ π2π4

cot2 xdx

3.35 ∫ 2

1x√x2 + 1dx

3.36 ∫ 2

1

√x2 − 1

xdx

3.37 ∫ 1

−1

√16− 9x2dx

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

7.4 การอนทเกรตเชงตวเลข (Numerical Integration)จากความรเบองตนของแคลคลส เราสามารถนำไปใชหาพนทใตโคง y = f(x) เหนอ

แกน x บนชวง [a, b] โดยใชอนทกรลจำกดเขต ∫ b

af(x)dx ในการหาพนท ใตโคงดงกลาวได

แตบางกรณฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนทซบซอนยากตอการอนทเกรต จงมเทคนควธการหาอนทกรลจำกดเขตโดยการประมาณคา เราเรยกวา การหาอนทกรลเชงตวเลข (NumericalIntegrations) เปนเทคนควธการทใชจะใหคำตอบโดยประมาณเทานน แตอยางไรกตามกสามารถปรบความแมนยำของคำตอบทตองการได โดยขยายขบวนการททำซำๆ กนนนใหมากขน ซงในทนจะกลาวถง 2 วธคอ

1. การหาคาประมาณของ ∫ b

af(x)dx โดยใชกฎสเหลยมคางหม (Approximations

by the trapezoidal Rule)2. การหาคาประมาณของ ∫ b

af(x)dx โดยใชกฎของซมปสน (Approximations by

Simpson's Rule)

7.4.1 กฎสเหลยมคางหมกฎสเหลยมคางหม (Trapezoidal Rule) เปนกฎซงใชประมาณคาอนทกรลโดยการ

ประมาณตวถกอนทเกรต f(x) ดวยฟงกชนทมกราฟเปนเสนตรงหรอฟงกชนเชงเสน

308


กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ f(x) ≥ 0 บนชวง [a, b] ดงรป7.9

รปท 7.9: ฟงกชน f(x) ตอเนองบนชวง [a, b] และ f(x) ≥ 0 บนชวง [a, b]

แบงชวง [a, b] ออกเปนชวงยอย n ชวงทกวางเทากน จะไดความกวางแตละชวงยอยเทากบb− a

nและให

Ai แทน พนทรปสเหลยมคางหมรปท i เมอ i = 1, 2, 3, . . . , n

yi แทน ระยะระหวาง เสนโคง y = f(x) กบแกน x ณ ตำแหนง xi เมอ i =

1, 2, 3, . . . , n ดงรป 7.10

รปท 7.10: แบงชวง [a, b] ออกเปนชวงยอย n

A1 =1

2(y0 + y1)(

b− a

n) =

b− a

2n(y0 + y1)

A2 =1

2(y1 + y2)(

b− a

n) =

b− a

2n(y1 + y2)

A3 =1

2(y2 + y3)(

b− a

n) =

b− a

2n(y2 + y3)

... ...

An =1

2(yn−1 + yn)(

b− a

n) =

b− a

2n(yn−1 + yn)

309


ให A = A1 + A2 + A3 + . . .+ An จะไดวา

A =b− a

2n(y0 + y1) +

b− a

2n(y1 + y2) +

b− a

2n(y2 + y3) + . . .+

b− a

2n(yn−1 + yn)

=b− a

2n[(y0 + y1) + (y1 + y2) + (y2 + y3) + . . .+ (yn−1 + yn)

=b− a

2n[(y0 + y1) + (y1 + y2) + (y2 + y3) + . . .+ (yn−1 + yn)]

=b− a

2n[(y0 + y1) + (y1 + y2) + (y2 + y3) + . . .+ (yn−1 + yn)]

=b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

นนคอ A =

∫ b

a

f(x)dx ≈ b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

ให Tn แทน การประมาณคาโดยกฎสเหลยมคางหมดงนน

Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn] (7.9)

......


.

จากสมการท (7.9) สงเกตไดวา y0 หรอ f(x0) และ yn หรอ f(xn) ถกใชเพยงครงเดยวขณะท y หรอ f(x) อนๆ ถกใช 2 ครง เพราะวา y0 หรอ f(x0) และ yn หรอ f(xn) ใชเปนดานของรปสเหลยมคางหมปดหวทายเทานน สวน y หรอ f(x) อนๆ ถกใชเปนดานของรปสเหลยมคางหม 2 รปทอยชดกนและทกกรณถาเลอกใช n ทมคามากๆ จะไดคาประมาณทดยงขน

ในการคำนวณหาคาประมาณของอนทกรลโดยใชกฎสเหลยมคางหม เราสามารถหาขอบเขตบนของคาสมบรณของความคลาดเคลอน (Error) ไดดงทฤษฎตอไปน

......


.

ถา f′′ เปนอนพนธอนดบสองทตอเนองบนชวง [a, b] ของฟงกชน f และให |ET | แทน

ความคลาดเคลอนจากการคำนวณจากการใชกฎสเหลยมคางหม จะได

|ET | = |∫ b

a

f(x)dx− Tn| ≤(b− a)3K2

12n2

เมอ K2 เปนคาสงสดของ |f ′′(x)| บนชวง [a, b] หรอ a ≤ x ≤ b

n เปนจำนวนชวงยอยบนชวง [a, b]

310


......


.

ในกรณ y = f(x) ทเปนฟงกชนพหนามกำลงหนงหนงหรอนอยกวา ม f ′′(x) = 0 ดงนน

K2 = 0 จะได |ET | = 0 แสดงวา การประมาณคาของอนทกรลจำกดเขตของฟงกชนพหนามกำลงหนงหรอนอยกวา โดยใชกฎสเหลยมคางหมจะเทากบคาทแทจรง ไมวาจะกำหนดจำนวนจำนวนชวงยอย n เปนจำนวนใดๆ กตาม

ตวอยาง 7.4.1 จงใชกฎสเหลยมคางหมประมาณคา ∫ 4

0xdx โดยท n = 4

วธทำ กำหนดให Tn แทน การประมาณคาโดยกฎสเหลยมคางหม ดงนน

Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

โดยแบงชวงระหวาง a = 0 ถง b = 4 ออกเปน n = 4 ชวงยอยเทาๆ กน จะไดความกวางชวงละb− a

n=

4− 0

4= 1

b− a

2n=

1

2

และ

T4 =1

2[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4]

สรางตารางหาคาไดดงน

i xi yi = xi ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = 0 1 y0 = (1)(0) = 0

1 x1 = 1 y1 = 1 2 2y2 = (2)(1) = 2

2 x2 = 2 y2 = 2 2 2y3 = (2)(2) = 4

3 x3 = 3 y3 = 3 2 2y3 = (2)(3) = 6

4 x4 = 4 y4 = 4 1 y4 = 4

311


ดงนน ∫ 4

0

xdx ≈ T4 =1

2[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4]

=1

2[0 + 2 + 4 + 6 + 4]

= 8

ตวอยาง 7.4.2 จงใชกฎสเหลยมคางหมประมาณคา ∫ π

20 sinxdx โดยท n = 2


Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

โดยแบงชวงระหวาง a = 0 ถง b = π

2ออกเปน n = 2 ชวงยอยเทาๆ กน จะไดความกวางชวง

ละb− a

n=

π2− 0

4=

π

4b− a

2n=

π

8

และ

T2 =π

8[y0 + 2y1 + y2]


i xi yi = sinxi ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = sin 0 = 0 1 y0 = (1)(0) = 0

1 x1 =π

4y1 = sin π

4=

√2

22 2y2 = (2)(

√2

2) =

√2

2 x2 =π

2y2 = sin π

2= 1 1 y3 = (1)(1) = 1

312


ดงนน ∫ π8

0

xdx ≈ T2

=π

8[y0 + 2y1 + y2]

=π

8[0 +

√2 + 1]

=π

8[√2 + 1]


0x2dx โดยท n = 4 และเปรยบเทยบคา

ประมาณนกบคาทแทจรงของอนทกรลวธทำ กำหนดให Tn แทน การประมาณคาโดยกฎสเหลยมคางหม ดงนน

Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

โดยแบงชวงระหวาง a = 0 ถง b = 2 ออกเปน n = 4 ชวงยอยเทาๆ กน จะไดความกวางชวงละ

b− a

n=

2− 0

4=

1

2b− a

2n=

1

2(1

2) =

1

4

และ

T4 =1

4[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4]


ดงนน ∫ 4

0

x2dx ≈ T4 =1

4[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4]

=1

2[0 +

1

2+ 2 +

9

2+ 2]

=11

4

= 2.75

313


i xi yi = (xi)2 ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = (0)2 = 0 1 y0 = (1)(0) = 0

1 x1 =1

2y1 = (

1

2)2 =

1

42 2y2 = (2)(

1

4) =

1

2

2 x2 = 1 y2 = (1)2 = 1 2 2y3 = (2)(1) = 2

3 x3 =3

2y3 = (

3

2)2 =

9

42 2y3 = (2)(

9

4) =

9

2

4 x4 = 2 y4 = (2)2 = 4 1 y4 = (1)(4) = 4

คาทแทจรงของการอนทเกรต คอ ∫ 2

0

x2dx = (x3

3)∣∣∣20

= (8

3)− (

0

3)

=8

3

= 2.66667

ความคลาดเคลอนจากการคำนวณโดยใชกฎสเหลยมคางหม จะได

|ET | = |∫ b

a

f(x)dx− Tn|

= |2.66667− 2.75|= 0.08333


0(x2 + 3)dx โดยท n = 6 และเปรยบ

เทยบคาประมาณนกบคาทแทจรงของการอนทเกรตวธทำ เนองจาก

Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

314


โดยแบงชวงระหวาง a = 0 ถง b = 2 ออกเปน n = 6 ชวงยอยเทาๆ กน จะไดความกวางชวงละ

b− a

n=

2− 0

6=

1

3b− a

2n=

1

2(1

3) =

1

6

และ

T6 =1

6[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + y6]

i xi yi = (xi)2 + 3 ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = (0)2 + 3 = 3 1 y0 = (1)(3) = 3

1 x1 =1

3y1 = (

1

3)2 + 3 =

28

92 2y2 = (2)(

28

9) =

56

9

2 x2 =2

3y2 = (

2

3)2 + 3 =

31

92 2y3 = (2)(

31

9) =

62

9

3 x3 = 1 y3 = (1)2 + 3 = 4 2 2y3 = (2)(4) = 8

4 x4 =4

3y4 = (

4

3)2 + 3 =

43

92 y4 = (2)(

43

9) =

86

9

5 x5 =5

3y5 = (

5

3)2 + 3 =

52

92 2y5 = (2)(

52

9) =

104

9

6 x6 =6

3= 2 y6 = (2)2 + 3 = 7 1 y6 = (1)(7) = 7

ดงนน ∫ 2

0

(x2 + 3)dx ≈ T6 =1

6[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + y6]

=1

6[3 +

56

9+

62

9+ 8 +

86

9+

104

9+ 7]

= 8.7037

315


คาทแทจรงของการอนทเกรต คอ∫ 2

0

(x2 + 3)dx = (x3

3+ 3x)

∣∣∣20

= (8

3+ 6)− (

0

3+ 0)

=8

3+ 6

= 8.6667


|ET | = |∫ b

a

f(x)dx− Tn|

= |8.66667− 8.7037|= 0.03703


0e−x2

dx โดยท n = 5

วธทำ เนองจาก

Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]


n=

1− 0

5=

1

5= 0.2

b− a

2n=

1

2(1

5) =

1

10

และ

T5 =1

10[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + y5]


ดงนน∫ 1

0

e−(x2)dx ≈ T5 =1

10[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + y5]

=1

10[3 + 1.9216 + 1.7043 + 1.3954 + 1.0546 + 0.3679]

= 0.7444

316


i xi yi = e−(xi)2 ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = e0 = 1 1 y0 = (1)(1) = 1

1 x1 = 0.2 y1 = e−(0.2)2 = e−0.04 2 2y2 = (2)(e−0.04) = 1.9216

2 x2 = 0.4 y2 = e−(0.4)2 = e−0.16 2 2y3 = (2)(e−0.16) = 1.9216

3 x3 = 0.6 y3 = e−(0.6)2 = e−0.36 2 2y3 = (2)(e−0.36) = 1.3954

4 x4 = 0.8 y4 = e−(0.8)2 = e−0.64 2 y4 = (2)(e−0.64) = 1.0546

5 x5 = 1 y5 = e−(1)2 = e−1 1 y5 = (1)(e−1) = 0.3679

ตวอยาง 7.4.6 ในการประมาณคา ∫ 2

1

1

xdx ดวยกฎสเหลยมคางหม โดยให เกดความคลาด

เคลอนไมเกน 0.0007 จะตองแบงชวง [1, 2] ออกเปนกชวงยอยวธทำ จากทฤษฎบท ให |ET | แทน ความคลาดเคลอนจากการคำนวณ โดยใชกฎซมปสน จะได

|ET | = |∫ b

a

f(x)dx− Tn| ≤(b− a)3K2

12n2

พบวา a = 1, b = 2 และ

f(x) =1

x= x−1

f′(x) = −x−2

f′′(x) = 2x−3

ฟงกชน f′′(x) มความตอเนองบนชวง [1, 2]พจารณาคา x ทอยบนชวง [1, 2] เพอทำให |f ′′

(x)| = | 2x3

| = 2

|x3|มคาสงสด จาก

1 ≤ x ≤ 2

13 ≤ x3 ≤ 23

1 ≤ x3 ≤ 23

1 ≥ 1

x3≥ 1

231

23≤ 1

x3≤ 1

2

23≤ 2

x3≤ 2

317


| 2x3

| ≤ 2

จะไดวาคาสงสดของ |f ′′(x)| = | 2

x3| = 2

นนคอ K2 = 2 และ(b− a)3K2

12n2=

(2− 1)2(2)

12n2

=1

6n2

จากโจทยตองการ

|E(T )| ≤ 0.0007

6

n2≤ 0.0007

1

n2≤ 0.0042

1

0.0042≤ n2

n ≥ 15.43

ดงนน ควรแบงชวง [1, 2] ออกเปนชวยยอยอยางนอย 16 ชวง

7.4.2 การประมาณพนทระหวางเสนโคงโดยใชกฎสเหลยมคางหมถา y = f(x) และ y = g(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ g(x) ≤ f(x)

ทกคา x บนชวง [a, b] แลวพนทระหวางโคง f และ g บนชวง [a, b] สามารถประมาณคาไดโดยใชกฎสเหลยมคางหม ดงน

ถาแบงชวง [a, b] ออกเปน n ชวงเทาๆกน จะไดความกวางชวงละ h =b− a

nโดย

มจดแบงคอ x0 = a, x1, x2, x3, . . . , xn = b และให y0 = f(xn) − g(xn) คาประมาณของพนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b] และพนทใตโคง y = g(x) บนชวง [a, b] โดยใชกฎสเหลยมคางหม∫ b

a

f(x)dx ≈ b− a

2n[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + . . .+ 2f(xn−1) + f(xn)]

และ∫ b

a

g(x)dx ≈ b− a

2n[g(x0) + 2g(x1) + 2g(x2) + 2g(x3) + . . .+ 2g(xn−1) + g(xn)]

318


ดงนนคาประมาณของพนท A ระหวางโคง f และ g บนชวง [a, b] โดยกฎสเหลยมคางหม ดงน

A =

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

g(x)dx

≈ b− a

2n[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + . . .+ 2f(xn−1) + f(xn)]−

b− a


=b− a

2n[{f(x0)− g(x0)}+ 2{f(x1)− g(x1)}+ 2{f(x2)− g(x2)}+ 2{f(x3)− g(x3)}+

. . .+ 2{f(xn−1)− g(xn−1)}+ {f(xn)− g(xn)}]

=b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

ตวอยาง 7.4.7 จงประมาณคาพนทระหวางโคง y = x2 + 9 และเสนตรง y = x บนชวง [0, 3]โดยใชกฎสเหลยมคางหม เมอ n = 3


Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]


n=

3− 0

3= 1

b− a

2n=

1

2

และ

T3 =1

2[y0 + 2y1 + 2y2 + y3]


ดงนน ∫ 3

0

(x2 + 9)dx ≈ T2 =1

2[y0 + 2y1 + 2y2 + y3]

=1

2[9 + 20 + 26 + 18]

=73

2= 36.5

319



0 x0 = 0 y0 = (0)2 + 9 = 9 1 y0 = (1)(9) = 9

1 x1 = 1 y1 = (1)2 + 9 = 10 2 2y2 = (2)(10) = 20

2 x2 = 2 y2 = (2)2 + 9 = 13 2 y2 = (2)(13) = 26

3 x3 = 3 y2 = (3)2 + 9 = 18 1 y3 = (1)(18) = 18

7.4.3 กฎซมปสน

กฎซมปสน (Simpson's Rule) เปนกฎซงใชประมาณคาอนทกรล โดยการประมาณตวถกอนทเกรต f(x) ดวยฟงกชนพาราโบลา ถาเราประมาณตวถกอนทเกรต f(x) ดวยฟงกชนพาราโบลา g(x) = Ax2+Bx+C ทผานจด (xi−1, yi−1), (xi, yi) และ (xi+1, yi+1) ในแตละชวงยอย [xi−1, xi] เลอกคา A, B และ C โดยท

yi−1 = f(xi−1) = A(xi − h)2 +B(xi − h) + C, xi−1 = xi − h

yi = f(xi) = A(xi)2 +B(xi) + C

yi+1 = f(xi+1) = A(xi + h)2 +B(xi + h) + C, xi+1 = xi + h

เมอ h =b− a

nและเปนจำนวนคบวกดงรป 7.11 พจารณา

รปท 7.11: ฟงกชน f(x) ตอเนองบนชวง [a, b]

320

ผชวยศาสตราจารยชนกกานต สหสทศน แคลคลส 1 สำหรบวศวกร∫ xi+1

xi−1

f(x)dx

≈∫ xi+1

xi−1

(Ax2 +Bx+ C)dx

=

∫ xi+h

xi−h

(Ax2 +Bx+ C)dx

= [Ax3

3+B

x2

2+ Cx]

∣∣∣xi+h

xi−h

= [(A(xi + h)3

3+B

(xi + h)2

2+ C(xi + h))− (A

(xi − h)3

3+B

(xi − h)2

2+ C(xi − h))]

=A

3[(xi + h)3 − (xi − h)3] +

B

2[(xi + h)2 − (xi − h)2] + C[(xi + h)− (xi − h)]

=A

3[(xi + h− xi + h){(xi + h)2 + (xi + h)(xi − h) + (xi − h)2}]

+B

2[xi

2 + 2xih+ h2 − xi2 + 2xih− h2] + C[2h]

=A

3[(2h)(xi + h)2 + (xi + h)(xi − h) + (xi − h)2] +

B

2[4xih] + C[2h]

=h

3[(2A){(xi + h)2 + (xi + h)(xi − h) + (xi − h)2}] + 2Bxih+ 2Ch

=h

3[(2A){(xi + h)2 + (xi + h)(xi − h) + (xi − h)2}+ 6Bxi + 6C]

=h

3[2A(xi + h)2 + 2A(xi + h)(xi − h) + 2A(xi − h)2 + 6Bxi + 6C]

=h

3[A(xi + h)2 + A(xi + h)2 + 2A(xi

2 − h2) + A(xi − h)2 + A(xi − h)2 + 6Bxi + 6C]

=h

3[A(xi + h)2 + 4A(xi)

2 + A(xi2 − h2) + B(xi + h) + 4Bxi +B(xi − h) + 6C]

=h

3[{A(xi − h)2 +B(xi − h) + C}+ 4{A(xi)

2 +Bxi + C}+ {A(xi + h)2 +B(xi + h) + C}]

=h

3[f(xi − h) + 4f(xi) + f(xi + h)]

=h

3[f(xi−1) + 4f(xi) + f(xi+1)]

=h

3[yi−1 + 4yi + yi+1]

321


ดงนน∫ xi+1

xi−1

f(x)dx ≈ h

3[yi−1 + 4yi + yi+1]

แต∫ b

a

f(x)dx =

∫ x2

x0

f(x)dx+

∫ x4

x2

f(x)dx+ . . .+

∫ xn

xn−2

f(x)dx

≈ Sn

=h

3(y0 + 4y1 + y2) +

h

3(y2 + 4y3 + y4) + . . .+

h

3(yn−2 + 4yn−1 + yn)

=h

3(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn)

สรปกฎซมปสนไดดงน∫ b

a

f(x)dx ≈ Sn =b− a

3n(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn)

เมอ n เปนจำนวนคบวกในการคำนวณหาคาประมาณของการอนทเกรตโดยใชกฎซมปสน เราสามารถหาขอบเขต

บนของคาสมบรณของความคลาดเคลอน (Error) ไดดงทฤษฎตอไปน

......


.

ถา f (4) เปนอนพนธอนดบสท ตอ เนองบนชวง [a, b] ของฟงกชน f และให |ES| แทนความคลาดเคลอนจากการคำนวณ โดยใชกฎซมปสน จะได

|ES| = |∫ b

a

f(x)dx− Sn| ≤(b− a)5K4

180n4

เมอ K4 เปนคาสงสดของ |f (4)(x)| บนชวง [a, b] หรอ a ≤ x ≤ b

n เปนจำนวนชวงยอยบนชวง [a, b]

......


.

ในกรณ y = f(x) ทเปนฟงกชนพหนามกำลงสามหนงหรอนอยกวา ม f (4)(x) = 0 ดงนนK4 = 0 จะได |ES| = 0 แสดงวา การประมาณคาของอนทกรลจำกดเขตของฟงกชนพหนามกำลงสามหรอนอยกวา โดยใชกฎซมปสนจะเทากบคาทแทจรง ไมวาจะกำหนดจำนวนจำนวนชวงยอย n เปนจำนวนใดๆ กตาม

322


ตวอยาง 7.4.8 จงใชกฎซมปสนประมาณคา ∫ 4

0xdx โดยท n = 4

วธทำ กำหนดให Sn แทน การประมาณคาโดยกฎซมปสน ดงนน

Sn =b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]


n=

4− 0

4= 1

b− a

3n=

1

3

และ

S4 =1

6[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]


i xi yi = xi ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = 0 1 y0 = (1)(0) = 0

1 x1 = 1 y1 = 1 4 4y2 = (4)(1) = 4

2 x2 = 2 y2 = 2 2 2y3 = (2)(1) = 2

3 x3 = 3 y3 = 3 4 4y3 = (4)(12) = 12

4 x4 = 4 y4 = 4 1 y4 = 4

ดงนน ∫ 4

0

xdx ≈ S4 =1

6[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]

=1

6[0 + 4 + 2 + 12 + 4]

= 3.6667

323



0x2dx โดยท n = 4 และเปรยบเทยบคาประมาณ

นกบคาทแทจรงของการอนทเกรตวธทำ กำหนดให Sn แทน การประมาณคาโดยกฎซมปสน ดงนน

Tn =b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]


n=

2− 0

4=

1

2b− a

3n=

1

3(1

2) =

1

6

และS4 =

1

6[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]


i xi yi = (xi)2 ตวคณ (wi) ผลคณ (wiyi)

0 x0 = 0 y0 = (0)2 = 0 1 y0 = (1)(0) = 0

1 x1 =1

2y1 = (

1

2)2 =

1

44 4y2 = (4)(

1

4) = 1

2 x2 = 1 y2 = (1)2 = 1 2 2y3 = (2)(1) = 2

3 x3 =3

2y3 = (

3

2)2 =

9

44 4y3 = (4)(

9

4) = 9

4 x4 = 2 y4 = (2)2 = 4 1 y4 = (1)(4) = 4

ดงนน ∫ 4

0

x2dx ≈ S4 =1

4[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]

=1

2[0 + 1 + 2 + 9 + 4]

=16

6

= 2.66667

324


คาทแทจรงของการอนทเกรต คอ ∫ 2

0

x2dx = (x3

3)∣∣∣20

= (8

3)− (

0

3)

=8

3

= 2.66667

ความคลาดเคลอนจากการคำนวณโดยใชกฎซมปสน จะได

|ES| = |∫ b

a

f(x)dx− Sn|

= |2.66667− 2.66667|= 0


0(x2 +3)dx โดยท n = 6 และเปรยบเทยบคา

ประมาณนกบคาทแทจรงของการอนทเกรตวธทำ เนองจาก

Sn =b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]


n=

2− 0

6=

1

3b− a

3n=

1

3(1

3) =

1

9

และ

S6 =1

9[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6]


325



0 x0 = 0 y0 = (0)2 + 3 = 3 1 y0 = (1)(3) = 3

1 x1 =1

3y1 = (

1

3)2 + 3 =

28

94 4y2 = (4)(

28

9) =

112

9

2 x2 =2

3y2 = (

2

3)2 + 3 =

31

92 2y3 = (2)(

31

9) =

62

9

3 x3 = 1 y3 = (1)2 + 3 = 4 4 4y3 = (4)(4) = 16

4 x4 =4

3y4 = (

4

3)2 + 3 =

43

92 y4 = (2)(

43

9) =

86

9

5 x5 =5

3y5 = (

5

3)2 + 3 =

52

94 4y5 = (4)(

52

9) =

208

9

6 x6 =6

3= 2 y6 = (2)2 + 3 = 7 1 y6 = (1)(7) = 7

ดงนน ∫ 2

0

(x2 + 3)dx ≈ S6 =1

9[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6]

=1

9[3 +

112

9+

62

9+ 16 +

86

9+

208

9+ 7]

= 8.6667

คาทแทจรงของการอนทเกรต คอ∫ 2

0

(x2 + 3)dx = (x3

3+ 3x)

∣∣∣20

= (8

3+ 6)− (

0

3+ 0)

=8

3+ 6

= 8.6667

326



|ES| = |∫ b

a

f(x)dx− Sn|

= |8.6667− 8.6667|= 0

ตวอยาง 7.4.11 การเคลอนทของวตถหนงเปนดงตาราง

เวลา (วนาท) 0 1 2 3 4

ความเรว (เมตร/วนาท) 2 4 6.5 10 15

จงประมาณระยะทางทวตถเคลอนทไดใน 4 วนาทแรกโดยใชกฎซมปสนวธทำ ให S แทน ระยะทางในการเคลอนทของวตถในเวลา t วนาท (หนวยเปน เมตร)

V แทน ความเรวของวตถ ณ เวลา t วนาท (หนวยเปน เมตร / วนาท)

เนองจาก V (t) =ds

dt

และ S =

∫V (t)dt

หาคาประมาณของ S เมอ t = 0 ถง t = 4 โดยใชกฎซมปสน จากกฎซมปสนSn =

b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]


n=

4− 0

4= 1

b− a

3n=

1

3(1) =

1

3และ

S4 =1

3[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]

ดงนน S =

∫ 4

0

V (t)dt ≈ 1

3[2 + 4(4) + 2(6.5) + 4(10) + 15]

=1

3(86)

= 28.67

327


นนคอ ระยะทางทวตถเคลอนทไดใน 4 วนาทแรกประมาณ 28.67 เมตร

ตวอยาง 7.4.12 จงหาคา ∫ π2

0sinxdx โดยใชกฎสเหลยมคางหมและกฎของซมปสน โดยท

n = 10


Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]



ละb− a

n=

π2− 0

10=

π

20b− a

2n=

1

2(π

20) =

π

40

และ

T10 =π

40[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 + 2y8 + 2y9 + y10]

ดงนน∫ π2

0

sinxdx ≈ T10

=π

40[sin 0 + 2(sin π

20+ sin 2π

20+ sin 3π

20+ sin 4π

20sin 5π

20+ . . .+ sin 9π

20) + sin π

2]

= 0.9979

คาทแทจรงของการอนทเกรต คอ∫ π2

0

sinxdx = − cos x∣∣∣π20

= − cos π2+ cos 0

= 1


|ET | = |∫ b

a

f(x)dx− Tn|

= |1− 0.9979|= 0.0021

328


กำหนดให Sn แทน การประมาณคาโดยกฎซมปสน ดงนน

Sn =b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]



ละb− a

n=

π2− 0

10=

π

20b− a

3n=

1

3(π

20) =

π

60

และ

S10 =π

60[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4y9 + y10]

ดงนน ∫ π2

0

sinxdx ≈ S10

=π

60[sin 0 + 4(sin π

10+ sin 3π

10+ sin 5π

10+ sin 7π

20+ sin 9π

10)

+ 2(sin π

20+ sin 2π

10+ sin 3π

20+ sin 4π

10) + sin π

2]

= 0.9999


|ES| = |∫ b

a

f(x)dx− Sn|

= |1− 0.9999|= 0.0001

จะพบวาการหาคาประมาณโดยใชกฎสเหลยมคางหมมความคลาดเคลอน คอ 0.0021และการหาคาประมาณโดยใชกฎซมปสนมความคลาดเคลอน คอ 0.0001

แสดงวาการหาคาประมาณโดยใชกฎของซมปสน มความแมนยำมากกวาหรอ มความผดพลาดนอยกวาการใชกฎสเหลยมคางหม

329


ตวอยาง 7.4.13 จงหาคาประมาณ ∫ 4

0

1

xdx โดยท n = 6 โดยการใชกฎสเหลยมคางหม กฎของ

ซมปสน และเปรยบเทยบคาประมาณนกบคาทแทจรงของการอนทเกรตวธทำ กำหนดให Tn แทน การประมาณคาโดยใชกฎสเหลยมคางหม และ Sn แทน การประมาณคาโดยใชกฎของซมปสน ดงนน

Tn =b− a

2n[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + . . .+ 2yn−1 + yn]

และSn =

b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]


n=

4− 1

6=

1

2= 0.5

ดงนนT6 =

1

4[y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + y6]

และ S6 =1

6[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6]

สรางตารางหาคาไดดงน ดงนน

i xi yi =1

xi

0 1.0 1.00001 1.5 0.66662 2.0 0.50003 2.5 0.40004 3.0 0.33335 3.5 0.28576 4.0 0.2500

โดยกฎสเหลยมคางหม จะได∫ 4

0

1

xdx ≈ T6

=1

4[1.0000 + 2(0.6666) + 2(0.5000) + 2(0.4000) + 2(0.3333) + 2(0.2857) + 0.2500]

=1

4(5.5212)

= 1.4053

330


โดยกฎซมปสน จะได∫ 4

0

1

xdx ≈ S6

=1

6[1.0000 + 4(0.6666) + 2(0.5000) + 4(0.4000) + 2(0.3333) + 4(0.2857) + 0.2500]

=1

6(8.3258)

= 1.3876

คาทแทจรงของอนทกรล คอ ∫ 4

0

1

xdx = ln |x|

∣∣∣41

= ln 4− ln 1

= 2 ln 2

= 1.3862


|ET | = |∫ b

a

f(x)dx− Tn|

= |1.3862− 1.4053|= 0.0191


|ES| = |∫ b

a

f(x)dx− Sn|

= |1.3862− 1.3876|= 0.0014

......


.

การหาคาประมาณโดยใชกฎของซมปสน มความแมนยำมากกวาหรอมความผดพลาดนอยกวาการใชกฎสเหลยมคางหม

ตวอยาง 7.4.14 ในการประมาณคา ∫ 3

11xdx ดวยกฎซมปสน โดยใหเกดความคลาดเคลอนไม

เกน 0.00001 จะตองแบงชวง [1, 3] ออกเปนกชวงยอยวธทำ จากทฤษฎบท ให |ES| แทน ความคลาดเคลอนจากการคำนวณ โดยใชกฎซมปสน จะได

|ES| = |∫ b

a

f(x)dx− Sn| ≤(b− a)5K4

180n4

331


พบวา a = 1, b = 3 และ

f(x) =1

x= x−1

f′(x) = −x−2

f′′(x) = 2x−3

f′′′(x) = −6x−4

f (4)(x) = 24x−5

|f (4)(x)| = |24x−5| = 24

x5

ฟงกชน f (4)(x) มความตอเนองบนชวง [1, 3]พจารณาคา x ทอยบนชวง [1, 3] เพอทำให |f (4)(x)| = 24

x5มคาสงสด จาก

1 ≤ x ≤ 3

15 ≤ x5 ≤ 35

1 ≤ x5 ≤ 35

1 ≥ 1

x5≥ 1

351

35≤ 1

x5≤ 1

24

35≤ 24

x5≤ 24

|24x5

| ≤ 24

จะไดวาคาสงสดของ |f (4)(x)| = |24x5

| = 24

นนคอ K4 = 24 และ(b− a)5K4

180n4=

(3− 1)5(24)

180n4

=64

15n2

จากโจทยตองการ

|E(S)| ≤ 0.00001

64

15n2≤ 0.00001

n ≤ 26

ดงนน ควรแบงชวง [1, 3] ออกเปนชวยยอยอยางนอย 26 ชวง

332


7.4.4 การประมาณพนทระหวางโคงโดยใชกฎซมปสนถา y = f(x) และ y = g(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ g(x) ≤ f(x)

ทกคา x บนชวง [a, b] แลวพนทระหวางโคง f และ g บนชวง [a, b] สามารถประมาณคาไดโดยใชกฎซมปสน ดงน

ถาแบงชวง [a, b] ออกเปน n ชวงเทาๆกน จะไดความกวางชวงละ h =b− a

nโดยม

จดแบงคอ x0 = a, x1, x2, x3, . . . , xn = b และให y0 = f(xn)− g(xn) คาประมาณของพนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b] และพนทใตโคง y = g(x) บนชวง [a, b] โดยใชกฎซมปสน∫ b

a

f(x)dx ≈ b− a

3n[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + . . .+ 4f(xn−1) + f(xn)]

และ∫ b

a

g(x)dx ≈ b− a


ดงนนคาประมาณของพนท A ระหวางโคง f และ g บนชวง [a, b] โดยกฎกฎซมปสน ดงน

A =

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

g(x)dx

≈ b− a

3n[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + . . .+ 4f(xn−1) + f(xn)]−

b− a


=b− a

2n[{f(x0)− g(x0)}+ 4{f(x1)− g(x1)}+ 2{f(x2)− g(x2)}+ 4{f(x3)− g(x3)}+

. . .+ 4{f(xn−1)− g(xn−1)}+ {f(xn)− g(xn)}]

=b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]

ตวอยาง 7.4.15 จงประมาณคาพนทระหวางโคง y = x2+9 และเสนตรง y = x บนชวง [0, 4]โดยใชกฎซมปสน เมอ n = 4

วธทำ กำหนดให Sn แทน การประมาณคาโดยกฎซมปสน ดงนน

Tn =b− a

3n[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + . . .+ 4yn−1 + yn]


n=

4− 0

4= 1

b− a

3n=

1

3

333


และ

T4 =1

3[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]



0 x0 = 0 y0 = (0)2 + 9 = 9 1 y0 = (1)(9) = 9

1 x1 = 1 y1 = (1)2 + 9 = 10 4 2y2 = (4)(10) = 40

2 x2 = 2 y2 = (2)2 + 9 = 13 2 y2 = (2)(13) = 26

3 x3 = 3 y2 = (3)2 + 9 = 18 4 y3 = (4)(18) = 72

3 x4 = 4 y2 = (4)2 + 9 = 25 1 y3 = (1)(25) = 25

ดงนน ∫ 3

0

(x2 + 9)dx ≈ T4 =1

3[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4]

=1

2[9 + 40 + 26 + 72 + 25]

=172

3= 57.33

แบบฝกหด 7.41. จงหาคาประมาณของอนทกรลโดยใชกฎสเหลยมคางหม ตามขอกำหนดคา n แตละขอ

1.1 ∫ 1

0

√1 + x3dx, n = 5

1.2 ∫ 3

1lnxdx, n = 4

1.3 ∫ 0.5

0

1

1 + x2dx, n = 5

334


1.4 ∫ 5

1

√126− x3dx, n = 4

1.5 ∫ π2

0cosxdx, n = 4

1.6 ∫ 1

0ex

2dx, n = 4

1.7 ∫ 2

1

√x3 − 1dx, n = 4

1.8 ∫ 1

0

1√x3 + 1

dx, n = 4

2. จงประมาณคาพนทระหวางโคง y = x2 + 3 และเสนตรง y = x บนชวง [−1, 3] โดยใชกฎสเหลยมคางหม เมอกำหนดให n = 4

3. ในการประมาณคา ∫ 3

1exdx ดวยกฎสเหลยมคางหม โดยกำหนดความคลาดเคลอนในการ

ประมาณคาอนทกรลไมเกน e = 0.01 จะตองแบงชวง [1, 3] ออกเปนกชวงยอย

4. จงหาคาประมาณของอนทกรลโดยใชกฎสเหลยมคางหม ตามขอกำหนดคา n แตละขอ4.1 ∫ 12

0x2dx, n = 12

4.2 ∫ 3

0

1

x3dx, n = 6

4.3 ∫ 2

0

1

xdx, n = 4

4.4 ∫ 1

0

√x2 + 1dx, n = 6

4.5 ∫ 1

0(1− x2)dx, n = 4

4.6 ∫ π

0

sinx

xdx, n = 6

4.7 ∫ π

1sinxdx, n = 2

4.8 ∫ π2

0sinxdx, n = 4

5. จงประมาณคาพนทระหวางโคง y = x2 + 3 และเสนตรง y = x บนชวง [−1, 3] โดยใชกฎซมปสน เมอกำหนดให n = 4

6. ในการประมาณคา ∫ 3

1exdx ดวยกฎซมปสน โดยกำหนดความคลาดเคลอนในการประมาณ

คาอนทกรลไมเกน e = 0.01 จะตองแบงชวง [1, 3] ออกเปนกชวงยอย

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

335


336

¸šทที่ 7(3).pdfบทที่7...

Documents

Transcript of ¸šทที่ 7(3).pdfบทที่7...