167

7장. 진동 실험 및 실험모드 해석법

서론

본 장에서는 실험 모드 해석법에 중점을 두어 진동 실험에 관련된 내용들을 설명하고

있다. 진동 실험을 수행하는 가장 큰 두 가지 이유는, 첫째는 대상 시스템의 고유진동

특성을 파악하는 것이고 (왜냐하면 고유진동특성은 그 시스템의 동적 특성을 가장 잘

반영하기 때문에) 둘째는 검증된 해석 모델을 얻기 위한 것이다. 검증된 해석 모델은

대상 시스템에 다른 임의의 입력이 주어졌을 때도 신뢰성 있는 출력을 구할 수 있으며

그 결과를 설계에 이용할 수 있다.

또 다른 일면으로 진동 실험은 종종 제품의 내구성 검증을 위해 수행되기도 하며

기기의 건전성을 진단하고 유지보수하기 위한 목적으로 사용되기도 한다. 기기의 진동

특성이 변했다는 것은 흔히 그 기기의 구조적인 건전성에 이상이 발생했을 수도 있음을

의미한다. 예를 들어 구조물이 지속적인 하중을 받아서 파괴에 근접하게 되면 크랙이

발생하는데 이 경우에 고유진동수는 크랙이 없는 경우와 달라지게 된다. 따라서 고유

진동수의 현격한 변화가 발생하면 이는 구조 안전성에 문제가 생겼을 가능성이 높다고

예측할 수 있는 것이다. 하단의 그림은 이러한 예를 보여준다.

이상에서 언급된 모든 문제들을 해결하기 위해 전제가 되는 것은 시스템의 고유진동

특성을 구하는 일이다. 따라서 본 장에서는 고유진동수와 모드 벡터 그리고 감쇠 비를

실험적으로 구하기 위한 실험 모드 해석법을 소개 한다. 이와 관련된 주요 현상들 중

하나는 공진 현상으로 가진 주파수가 고유진동수 부근에서 동적 반응이 (감쇠비가 0.5

미만이면) 매우 커지는 것이고, 다른 하나는 가진 주파수가 고유진동수를 지나면 위상

각이 180 도 바뀐다는 점이다. 이 현상은 고유진동수를 찾는데 유용하게 이용되게 된다.

진동 실험에 관련하여서는 몇 가지 가정들이 사용된다. 첫째 대상 시스템은 실제로는

연속계라 하더라도 적절히 이산계로 변환될 수 있다는 점이고 두 번째는 대상 시스템이

선형성을 갖는 범위에서 시험이 이루어진다는 점이다.

모델링을 위한 진동 시험이나 측정은 모드 시험, 모드 해석, 또는 실험 모드 해석이라

불리며 최근 많은 발전을 이루었다. 이에 대한 적절한 이해를 위해서는 진동에 관한

지식뿐만 아니라 측정 기기, 신호 처리, 매개변수 예측 등에 대한 여러 방면의 지식이

요구된다.

고유진동수 20 Hz 고유진동수 19.8 Hz

크랙에 의한 고유진동수 저하 현상

168

측정 기기

측정 기기는 과거 십 수년간 컴퓨터 기술의 발전과 더불어 눈부시게 발전하여 왔으며

현재도 빠르게 변화 발전하고 있다. 따라서 여기서는 세부적인 기기에 대한 기술보다

전반적인 내용에 대한 언급을 하려고 한다. 기본적 측정장치로는 시스템에 힘을 가해

가진을 일으키는 가진 장치 (Exciters), 시스템의 기계적인 움직임을 전기적 신호로 변환

하는 변환기 (Transducers), 변환기와 변환기 신호를 받아들일 전자기기의 특성을 서로

맞추어주는 신호조정 증폭기 (Signal conditioning amplifiers), 그리고 최종적으로 그 신호를

가공 분석하는 신호 분석기가 있다. 이 외에 하단 그림에서 보듯이 가진기에 필요한

신호를 공급하는 신호 발생기와 (Signal generator) 발생된 신호에 따라 전력을 공급하는

전력 공급기 (Power supply) 그리고 발생 신호를 저장하는 신호저장기가 (Recorder) 있다.

진동 시험을 위한 장치 개념도

가진장치의 (Exciter) 대표적 기기로는 쉐이커와 (Shaker) 임펄스 햄머가 (Impulse hammer)

있다. 쉐이커는 통상 전자기력을 이용해 가진하며 이 경우 장치가 작고 제어 피드백을

이용해 힘 크기도 쉽게 조절할 수 있는 장점을 가지고 있다. 그러나 대형 구조 시험의

경우에는 유압장치를 이용한 쉐이커가 사용되며 이 경우는 가진 장치의 크기 및 용량이

대형이 된다. 가진장치의 신호는 조화함수나 랜덤 함수 혹은 기타 적절한 형태로 주어

지는데 조화함수의 경우가 가장 널리 쓰이며 낮은 주파수부터 주파수를 점점 증가시켜

일정 범위의 주파수들에 대한 시스템의 동특성을 살피게 된다. 또한 특정 주파수에서

정상상태까지 시간을 두고 가진하여 그 반응을 (동적 응답 크기나 위상 차) 측정하기도

한다. 전자력 쉐이커는 통상 교류전압을 입력으로 하며 이에 따라 선형적인 가진력을

발생시킨다. 쉐이커를 통한 시험을 수행할 때는 시험 대상 구조물과 쉐이커의 부착과

Exciter

Power

Supply

Signal

Generator

Test Structure

Analyzer

T T

SC&A Recorder SC&A

169

관련하여 상당한 주의를 요한다. 그 이유는 쉐이커의 가진을 위하여 질량이 구조물에

부착되면 (이를 Mass loading 이라 함) 질량 증가로 인해 진동특성변화를 가져오기 때문

이다. 이를 방지 혹은 최소화하기 위한 장치가 스팅거 (Stinger) 이다. 스팅거는 가늘고

짧은 막대들로 이루어지며 이를 통해서 가진력이 구조물에 전달되어 가진력의 방향도

정확히 조절될 수 있다.

임펄스 햄머는 쉐이커가 가진 Mass loading과 같은 문제점이 없고 실험도 간단하여 널리

쓰이고 있는 가진 장치이다. 그러나 임펄스 햄머는 그 가진력의 한계 때문에 비교적

작은 구조물의 진동 시험에 주로 사용된다. 임펄스 햄머는 그 머리부분에 (두드리는

부분의 반대쪽) 힘 변환기를 가지고 있으며 대상 구조물을 두드려서 충격함수의 힘을

가하게 된다. 이 때 발생하는 힘은 햄머의 질량과 타격 속도에 비례하는 최대 크기를

가지며 형상은 하단 그림에서 볼 수 있는 Half Sine 함수 형태와 유사한 형태를 갖는다.

따라서 이 함수의 푸리에 변환은 Delta 함수의 변환인 일정한 크기의 값이 아니라 하단

그림에서와 같은 형태를 갖는다. 이 그림에서 그 크기가 최대에서 10 내지 20 데시벨

차이가 지는 부분까지를 (이에 해당하는 주파수를 Cutoff frequency 라 함) 임펄스 햄머의

유효범위로 사용한다. 왜냐하면 그 이상의 주파수에서는 주파수 응답이 작아 구조물의

진동을 제대로 측정할 수가 없기 때문이다.

170

다음은 변환기에 대해 설명을 하도록 하자. 변환기중 현재 가장 널리 쓰이는 원리는

피에조 원리이다. 이는 물질이 물리적인 힘이나 가속을 받으면 이에 비례하여 전기적

신호가 발생하는 피에조 현상을 이용한 것으로 이를 이용한 가장 대표적인 측정기기가

가속도계이다 (Accelerometer). 이에 대한 내용은 2 장에서 이미 이론적으로 다루어졌다.

가속도계는 측정대상에 부착되어 사용되므로 질량의 부착 효과가 작아야 한다. 따라서

이를 고려하면 일반적으로 가속도계 자신보다 질량이 훨씬 큰 구조물들의 진동 특성을

측정할 때 사용되게 되며 주파수로 말하면 가속도계 고유진동수의 약 5 분의 1 정도의

주파수까지 구조 고유진동수를 측정을 하게 된다. 가속도계는 일반적으로 아주 낮은

고유진동수를 측정하는 데에는 적절하지 않다. 왜냐 하면 그 때 가속도가 주파수 값의

제곱에 비례하기 때문이다. 이 경우는 다음에 소개할 스트레인 게이지나 변위 측정에

사용되는 광 변환기 (Optical transducers), 유도 (Inductive) 변환기, 또는 저장 (Capacitive)

변환기를 사용하는 것이 적절하다.

스트레인 게이지는 금속이나 반도체 물질을 이용한 것으로서 스트레인을 받으면 전기

저항이 변화하는 현상을 이용한다. 이를 이용할 때는 Wheatstone bridge 회로를 구성하여

측정을 하는데 이를 이용해 저울 등에 사용하는 로드 셀을 (Load cell) 구성하기도 한다.

일반적으로 스트레인 게이지는 얇고 작은 막 위에 회로가 인쇄되어 있으며 스트레인을

받으면 회로가 인장되어 저항이 변화한다. 스트레인 게이지는 다른 변환기에 비해서

매우 작으며 이를 구조물의 표면을 매끈하게 닦아 낸 후 접착제로 부착하고 이를 신호

조정기 등에 회로로 연결한다. 이에 관한 상세한 내용은 참고문헌들을 참조할 수 있다.

대부분 변환기의 임피던스는 (Impedance) 신호 분석기의 그것과 일치하지를 (이를 보통

Matching 이라 부르며 오디오기기와 스피커가 서로 같은 Impedance 를 갖게 연결하는 것

같이 우리 주변에서도 그 개념이 사용됨) 않는다. 이 역할을 하는 장치를 신호조정기라

(Signal conditioners) 부르는데 이것은 우리가 관심을 가지고 있는 주파수 범위에서 신호

특성의 크기 및 위상 차를 적절하게 조절하고 동시에 신호를 증폭시키는 역할도 통상

함께 한다. 그 이유는 변환기에서 발생하는 전압이 신호분석기에서 필요로 하는 전압

보다 훨씬 작을 경우가 많기 때문이다.

신호 분석기는 변환기에서 발생한 신호가 적절히 조정되어 입력되는데 이는 가속도나

변위, 속도, 힘, 변위율 등을 대표하는 값들이다. 이들은 우선 디지털 신호로 바뀐 후

Fast Fourier Transform의 과정을 거쳐 주파수 영역에서의 특징들로 변환된다. 이 값들은

또한 고유진동수, 모드벡터 그리고 감쇠비 등의 값으로 가공되어 도표나 그래프로 제공

되게 된다. 이러한 신호분석기는 그 정확도와 사용 편이성 그리고 기타 성능에 따라

작게는 수백만원 대에서 많게는 수천만원 대까지 상용화되어 존재한다. 그러나 이러한

기기가 작동하는 기본 원리들에 대한 원리를 잘 이해해야만 이들을 효율적으로 잘 이용

할 수 있는 것이다. 다음 두 절에는 이러한 원리들과 관련된 신호처리 관련 내용들을

소개하려 한다.

171

디지털 신호 처리

측정된 신호는 아날로그 (Analogue) 값으로 주어지는데 이의 가공 작업은 주로 컴퓨터를

이용하여 주파수 영역에서 이루어지게 된다. 따라서 아날로그 신호를 디지털 신호로

변환하는데 이 때 사용하는 장치가 A/D 변환기이다. 아날로그 신호를 디지털 신호로

바꿀 때 일정 시간 간격으로 신호 값을 읽는데 이 시간 간격을 샘플링 시간 (Sampling

time) 이라 부른다. 이 샘플링 시간을 선택하게 되면 필연적으로 어느 이상의 주파수는

측정할 수가 없다. 즉 1 Hz까지 측정하려고 하면 1초 이내에 두 개의 신호를 측정해야

하므로 적어도 샘플링 시간은 0.5초가 되어야 한다. 같은 이치로 100Hz까지 측정하려면

0.01초 이내에 2개를 측정해야 하므로 샘플링 시간은 0.005초가 된다.

tf 2sin

1

1 sec

Sampling time = 0.5 sec

샘플링 시간의 2 배의 역수를 컷오프 주파수라 (Cut-off frequency, Nyquist frequency 혹은

Folding frequency라고도 부름) 한다. 그러나 경험적으로는 이보다 샘플링을 더 많이 하는

것이, 즉 2 배가 아니라 2.5 배 정도, 적절하다는 것이 알려져 있다. 즉 이 경우 샘플링

시간을 더 작게 하는 것이 필요하다.

알리아싱

컷 오프 주파수를 결정하게 되면 그 주파수 이상의 성분들이 그 이하 주파수 성분처럼

오인되는 현상이 발생할 수 있다. 예를 들어 샘플링 시간이 1 초라면 컷오프 주파수는

0.5Hz 이다. 관찰하려는 신호 중에, ttx

8

72sin)(2 의 성분이 (

8

7Hz) 섞여 있다면

이는 컷오프 주파수 값 이상이다. 그런데 이 값은 ttx

8

12sin)(1 와 동일한 값을

갖게 되므로 (왜냐하면 샘플링 시간 1, 2, 3,t 에서 두 함수 값이 같음) 원래 신호인

8

7Hz 성분이

8

1Hz 성분으로 오인되는 것이다.

172

일반적으로 cf 가 컷오프 주파수라 하면 (샘플링 시간 cft 2/1 ) 컷오프 주파수보다

더 높은 주파수 f 의 고주파 성분은 cnff 2 의 저주파 성분으로 오인될 수 있다. 그

이유는 tnffft c )2(2sin2sin 이기 때문이다. 아래 그림도 알리아싱의 예인데

이 경우도 앞서 논의된 것과 유사한 이유에 의해 발생하는 현상이다.

*f

즉, tfftff cc )(2sin)(2sin ** 이 되기 때문인데 여기서 *f 는 cnf 값이다.

이상에서 언급한 것처럼 알리아싱 현상이 일어나면 컷오프 주파수보다 고주파 성분들이

저주파 성분들로 인식되어 저주파 성분의 파워밀도 함수가 실제보다 더 크게 오인되며

결국 원 신호에 의한 파워밀도 함수가 왜곡되게 된다. 이를 방지하기 위하여 사용하는

필터를 알리아싱 방지 (Anti-aliasing) 필터라고 부르는데 이 필터는 기본적으로 로우패스

필터이다. 이는 고주파 성분을 애초에 제거해 버림으로써 고주파성분이 저주파에 섞여

나타날 가능성을 원천적으로 배제하는 것이다. 최근에 제작되는 대부분의 디지털 신호

처리기들에는 이 알리아싱 방지 필터가 부착되어 있다. 우리의 주변에서 흔히 우리가

관찰할 수 있는 알리아싱 현상은 마차 바퀴가 돌고 있을 때 그 회전이 실제 회전보다

천천히 앞으로 혹은 뒤로 도는 것같이 보이는 착시 현상이 있다. 이 현상은 우리 눈의

샘플링 타임과 관련되어 발생하는 것이다.

*f *f

173

리키지 (Leakage)

일단 신호가 디지털 신호로 변환되면 이것을 가지고 푸리에 변환작업을 수행하게

되는데 이를 디지털 푸리에 변환이라 부른다. 디지털 푸리에 변환은 교과서 식(7.1-4)에

나와 있는 식들을 기본으로 이용하여 주어진 디지털 신호로 주파수성분 크기들을 계산

하는 작업인데 이를 가장 효율적으로 할 수 있도록 Cooley 와 Tukey 에 의해 개발되어

널리 사용되고 있는 알고리즘이 F.F.T. 알고리즘이다 (이 알고리즘은 현재 많은 변종을

가지고 있다). 이러한 디지털 신호 처리에서 나타날 수 있는 또 다른 문제점이 리키지

(Leakage) 현상이다. 이 현상은 측정하려는 모든 주파수에 대해 샘플링을 정확한 시간

간격으로 할 수 없기에 발생하는 현상으로 이로 인해 원래의 주파수 성분의 파워밀도

함수의 크기가 주변 주파수로 마치 새어나가는 것 같은 현상이 일어나는 것을 의미한다.

이러한 현상을 방지하기 위해서는 Hanning 의 Window 와 같은 함수를 사용하는데 이러

한 함수는 원래 신호를 변형시켜 리키지 현상을 완화시키는 역할을 수행한다. 아래의

그림은 리키지 현상이 일어나는 모습과 Hanning Window 를 사용할 때의 신호 변화 및

그 결과로 나타나는 리키지의 감소 현상을 보여준다. Hanning Window 유효성과 관련된

이론적 배경에 관한 논의는 여기서는 생략하기로 한다.

174

랜덤 신호 분석 시험

변환기에서 측정되는 신호는 입력과 출력 모두 통계적 특성이 주어지며 대상 구조물의

진동 특성과 관련이 없는 잡음을 가지고 있다. 또한 진동시험을 실시할 경우는 1 회로

시험을 종료하는 경우는 드물며 통상 여러 번에 걸쳐 그 시험을 반복적으로 수행한다.

이러한 이유로 인해서 통계적 신호처리에 대한 이해는 매우 중요하다고 할 수 있다.

3 장에서 유도된 관계식에서 자기상관성(Auto-correlation)함수에 대해서는 이미 잘 언급이

되었으며 그 푸리에 변환에 의해서 자기주파수(Auto-spectral )밀도함수를 구할 수 있다는

것도 언급되었다. 입력과 출력의 자기주파수밀도함수 간에는 다음 관계가 성립한다.

)()()(2 ffxx SHS

이 관계식으로부터 시스템의 전달함수의 주파수 변화에 따른 크기를 구할 수 있는 것을

알 수 있다.

여기서는 입력과 출력 신호간 관계, 교차상관성(Cross-correlation )함수에 대해 설명하기로

한다. 입력함수가 )(tf 이고 출력함수가 )(tx 라 할 때 그들에 의한 교차상관성함수는

다음과 같이 구할 수 있다.

T

Txf dttftxT

R0

)()(1

lim)(

이 함수를 푸리에 변환하면 다음과 같은 교차주파수(Cross-spectral)밀도함수를 구할 수

있다.

deRS jxfxf )()(

자기주파수밀도 함수와 교차주파수밀도함수 간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

)()()( fffx SHS --- (A)

)()()( xfxx SHS --- (B)

이 관계식들을 이용하면 자기주파수밀도함수로서 구할 수 있었던 전달함수의 크기뿐만

아니라, 이제는 위상변화까지도 구할 수 있다는 점을 알 수가 있다.

위 두 식을 이용하면 각각 전달함수를 계산할 수 있다. 이 때 각각에 의한 계산결과가

175

서로 일치한다면 그 신호처리 계산의 결과는 강건성을 갖는다고 할 수 있다. 이러한

강건성을 함수로 나타낸 값을 신호순도(Coherence)함수라 부르며 아래와 같이 계산한다.

)()(

)(2

2

ffxx

xf

SS

S

이 값은 어떻게 계산되더라도 0 에서 1 사이의 값을 가지며 만일 정확하게 신호처리가

되어 전달함수가 계산되었다면 그 값이 1 이 되어야만 한다. 신호순도(Coherence)는 결국

신호 속에 존재하는 측정하려는 진동신호의 순수한 정도를 나타내며 그 값이 0 이라면

신호 속에 잡음만이 들어 있다는 의미가 된다. 실제의 신호 분석기에서 나타나는 신호

순도의 값을 주파수 영역에서 구해 보면 통상 아래 그림처럼 나타난다. 일반적으로는

고유진동수 부근에서의 신호순도의 값이 1 이 되는가 하는 것을 신중히 살펴볼 필요가

있는데 고유진동수로부터 비롯되는 신호는 다른 주파수에 비해 크기가 훨씬 더 크므로

잡음에 비해 영향력이 크고 따라서 신호순도의 값을 1 에 가깝게 갖는 것이 자연스러운

일이다. 그럼에도 불구하고 신호순도의 값이 매우 작다면 이는 신호 건전성에 문제가

있는 것이며 통상적으로 그 값이 0.7보다 커야만 신호의 건전성이 인정된다.

176

모달 데이터 추출

앞 절의 (A)식과 (B)식에 의해 전달함수를 계산하고 나면 이로부터 여러 가지 진동관련

특성 변수들을 계산할 수 있다. 이 과정을 실험 모드 해석이라 부른다. 우선 먼저 전달

함수를 알고 고유진동수와 감쇠비 그리고 각 고유진동수에서의 전달함수의 최대치 등을

계산하는 과정을 알아보기로 하자.

어느 구조물의 한 점을 가진 하면서 다른 점에서의 변위를 측정하고 이 두 값으로부터

전달함수의 절대값을 아래와 같이 구하였다고 하자. 이렇게 구한 결과로부터 시스템의

자유도를 정하는 부분은 실은 약간 애매한 부분이다. 일반적으로 피크의 개수만큼을

자유도로 정하는 것이 통상적이기는 하나 엄밀하게 말해서 이 방법은 두 고유진동수가

서로 가까이 접근해 있다면 (혹은 중근을 갖는다면) 적절한 방법이 될 수 없다.

모달 데이터 추출과 관련하여 가장 오래된 방법은 SDOF 방법이다 (Single degree of

freedom curve fit). 이 방법은 각 고유진동수를 각각 개별적으로 1 자유도처럼 취급하여

서로 영향을 주지 않는다는 가정 하에 계산을 수행하는 방법이다. 앞선 3 장에서 이미

언급하였듯이 전달함수의 값이 최대가 되는 주파수의 값 d 가 (그 주파수에서 위상의

값이 5.0 의 값을 갖기만 한다면) 고유진동수이며, 감쇠는 선형점성 감쇠로 가정하고

그 값은 하단의 그림에서 볼 수 있는 바와 같이 Half power point 둘을 (3 dB down point라

부르기도 함) 구한 후 다음 식으로부터 계산한다. 물론 이 식은 감쇠비의 값이 작을 때

성립하는 관계식이다.

d

ab

2

177

Circle Fitting에 의한 모드 매개변수 추정

본 절에서는 전 절에서 언급된 고유진동수 및 감쇠 비 등 모드 매개변수를 구하기 위한

좀 더 체계적인 방법을 소개하려 한다.

통상적으로 언급이 되는 전달함수는 (Transfer function) 힘과 변위의 Fourier 혹은 Laplace

변환을 연결해주는 함수로 Receptance 전달함수라 부르며, 이 외에 힘과 속도를 연결해

주는 Mobility 전달함수, 그리고 힘과 가속도를 연결해주는 Accelerance 전달함수가 있다.

통상 Circle Fitting을 통한 매개변수의 추정은, Receptance나 Accelerance 전달함수를 이용

하기 보다는, Mobility 전달함수를 이용해 이루어진다. 1자유도 감쇠계 경우를 예로 들면,

Fourier 변환을 통한 Mobility 전달함수를 )( 라 하면

cjmk

jHj

)()()(

2

이 복소수 함수를 의 변화에 따라 복소수 평면에 그린 그림을 Polar Plot 혹은 Nyquist

Plot 이라 부르며 그 형상이 원의 형태를 이루므로 그 원을 Nyquist Circle 이라고도 한다.

이 그림으로부터 고유진동수와 감쇠 비를 구하면 앞 절에서 언급했던 방법보다 훨씬 더

효율적으로 계산을 할 수 있으며 두 고유진동수가 서로 가까이 접근한 경우도 비교적

용이하게 그 값들을 예측할 수 있다. )( 의 절대값의 크기는 의 값이 고유진동수

근처에서 가장 커지므로, 1자유도 감쇠계의 경우, 아래 그림에서 보는 것 같이 원점으로

부터 가장 먼 실수 축과 만나는 점에서 고유진동수를 갖게 된다. 이 원과 관련하여서

다음의 관계가 성립한다 (위 식을 실수와 허수로 나누어 아래 식에 대입하면 증명 가능).

2

22

2

1)Im(

2

1)Re(

cc

여기서 우리는 원의 직경이 감쇠 상수의 역수 값을 가짐을 알 수 있다. 즉 다음과 같은

관계를 얻게 된다.

cMax1

)Re(

178

다자유도계의 모드 매개변수

실제의 시스템은 통상 다자유도를 가지며 이 경우 다자유도계의 모드 매개변수 추출이

필요하다. 통상 우리가 관심을 갖고 있는 주파수 범위를 정하면 (컷오프 주파수) 구한

전달함수를 가지고 적정 자유도의 수와 각 자유도의 고유진동수 및 감쇠 비를 구한다.

다음에는 그 과정을 설명하기로 하자.

하단 그림은 어떤 진동계의 Mobility 전달함수를 그 주파수 범위 0 – 25 (rad/s) 에서

그린 그림이다. 그림에는 4 개의 원이 나타나 있는데 이는 우리의 관심 주파수 범위에

4 개의 고유 진동수들이 존재하는 것을 의미한다. 이 그림의 경우 가장 큰 원이 가장

낮은 고유 진동수를 의미하는데 2 rad/s 의 값을 갖는다. 여기서 한가지 주목할 사실은

다자유도계 경우는 그 고유진동수 값들이 정확히 실수 축과 일치하는 점에서 결정되지

않는다는 점이다. 일반적으로 일정 간격의 주파수 값들을 대입해 원을 그릴 때, 원호의

크기 변화율이 가장 커지는 점이 고유진동수가 된다. 그림에서 2, 3, 4 번째 고유진동수

들도 각각 5, 10, 20 rad/s 의 값을 갖는 것을 알 수 있으며, 이들은 거의 같은 감쇠 비를

갖는 시스템이라, 그 반경이 점점 작아지는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 고유진동수가

커질 때 감쇠 비가 일정 하려면 감쇠 상수의 값은 더 커져야 하기 때문이다. 참고로

두 개의 고유진동수가 서로 아주 가깝게 붙어있다면 거의 동일한 원이 주파수 변화에

따라 두 번 그려지는 현상이 나타날 것이다.

이 그림에서 감쇠 비를 구하는 방법은 관심 있는 대상 고유진동수와 관련된 원에

그 직경 크기의 2/1 값을 갖는 크기로 원점을 중심으로 (주파수가 0 의 값을 가지는

점) 호를 그려 이 호가 원과 만나는 두 점을 구하면 이 점들이 Half power point 들이다.

이 점들에서의 주파수 값들을 낮은 값으로부터 각각 a 와 b 라 하면 이미 구한 고유

진동수의 값이 라면 감쇠 비는 다음과 같이 결정된다.

2

ab

예를 들어 우측 그림의

경우는

025.022

95,105,2

179

일반적으로 실험데이터를 이용하여 전달함수를 계산하고 이로부터 Nyquist Plot 을

그리면 신호의 불완전성으로 인해 (즉 신호 중에는 시스템의 진동특성과 상관이 없는

잡음이 섞이게 되어) Nyquist Circle 은 완전한 원이 되지 않는다. 또한 Nyquist Circle 이

앞장에서 본 것과 달리 허수 축에 접하지도 않고 나타나게 된다. 이 때 최소자승법을

(Least square method) 이용해 이상적 Circle 을 구하고 이 원과 관련된 모드 매개변수들을

구하게 되는데 이를 Circle Fitting 이라 부른다. Circle Fitting 으로 구한 원에서 고유진동

수와 감쇠 비를 구하는 과정은 앞에서 설명한 과정과 동일하다. 즉 먼저 주파수가 0 이

되는 점으로부터 가장 멀리 떨어진 점을 구하여 (혹은 더 널리 쓰이는 방법은 원호가

변하는 율이 가장 빠른 점을 구하여) 고유진동수를 구한 후 Half power point 들을 구해

감쇠 비를 구하는 것이다. Circle fitting 과정은 다음과 같다. 실험을 통해 알려진 점들이

n개로 ( ix , iy )라면 2

1

222 )()(),,(

n

iii rbyaxrbaf 을 최소화하는 a , b ,

r 을 구하는 것이다. 또한 앞서 언급된 대로 )2/(1 cr 이므로 c값을 구할 수 있으며

값과 값을 구했으므로 )2/( cm 으로 결정되며 또한 2mk 으로 결정된다.

모든 모드에 대해서 m , c , k값이 결정되므로 그들을 각각 im , ic , ik 라고 하면

imM * icC * ikK *

이들은 모두 대각행렬로서 원래 시스템의 질량, 감쇠, 강성 행렬과 다음 관계를 갖는다.

UMUM T*

UCUC T*

UKUK T*

즉

1* UMUM T

1* UCUC T

1* UKUK T

따라서 이제 각 모드형상만 측정할 수 있으면 M , C , K 를 구할 수 있는 것이다.

180

모드 형상 측정 (Mode Shape Measurement)

본 절에서는 모드 형상을 계산하기 위한 방법을 설명하려 한다. 우선 조화함수로 가진

되는 n자유도 계의 운동방정식은 다음과 같이 기술할 수 있다.

tj drefxKxCxM ( 1)

이 방정식의 특해를 tj dreux 라 하고 이를 위 방정식에 대입하면,

fuCjMK drdr 2 ( 2)

따라서 이 시스템의 전달함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

12)(

CjMKH drdrdr ( 3)

그런데 모드감쇠를 가정하고 정규 모드행렬을 (Normalized modal matrix) U 라 하면,

][]][[][ 2i

T UKU , ][]][[][ IUMU T , ]2[]][[][ iiT UCU ( 4)

따라서,

12 ]][[][][ UUK iT , 1][][][ UUM T , 1]][2[][][ UUC ii

T ( 5)

이 식들을 식 (3)에 대입하면,

111212 ]][2[][][][]][[][)( UUjUUUUH ii

Tdr

Tdri

Tdr

1122 ][]2)[(])[(][][ UjIU iidrdri

T

Tdriidri UjU ][)2()(][

122 ( 6)

위 식 우변 항의 두 번째 행렬은 대각 행렬이며 식 전개에 관련된 설명의 편의상 다음

기호를 정의한다.

122 )2()(

driidri j ( 7)

181

행렬 의 대각요소를 i 라 하면

)2()(

122

driidri

ij

(8)

이제 (6)식은 다음과 같이 간단히 표시된다.

TUUH ]][][[][ ( 9)

이 식으로부터 다음 관계를 얻을 수 있다.

n

iqipiipq UUH

1

( 10)

(9)식에서 (10)식이 유도되는 것을 확인하고 싶으면 직접 행렬을 곱해서 확인하면 쉽게

확인할 수 있다. 그런데 kdr 값이 되면 의 k 번째 대각항 k 가 다른 항들에

비해 훨씬 큰 값을 갖는다. 왜냐하면 (8)식의 우변에서 볼 수 있듯이 그 항만이 분모가

작아지기 때문이다. 따라서 (10)식으로부터 다음 관계가 성립한다.

qkpkkkpq UUH )( (11)

이 식의 양변에 절대값을 취해 정리하면

)(2 2kpqkkqkpk HUU (12)

여기서 pkU 는 k 번째 모드 벡터의 요소를 나타내므로 이 식을 이용하면 k 번째 모드

벡터 요소들의 크기를 모두 구할 수 있다. 그런데 요소 부호까지 알아내려면 식(11)을

직접 사용하면 되며, 결국 전달함수 위상 각이 90 도면 qkpkUU 의 값이 양수 –90 도면

qkpkUU 의 값이 음수가 된다.

마지막으로 식(11) 혹은 식(12)를 이용하기 위해서는 pqH 값을 측정해야 하는데 이는

q번째 입력에 의한 p번째 출력의 전달함수를 의미하므로 실험장치를 구성하여 입력은

한군데서 출력은 여러 곳에서 측정하거나 (가진을 Shaker 를 이용할 때 사용하는 방식),

입력을 여러 곳에서 하고 출력은 한 곳에서 측정할 수도 (가진을 임펄스 햄머를 이용할

때 사용하는 방식) 있다. 교재 그림 7-12와 7-13에는 전자의 경우를 보여준다.

182

예제

측정된 고유진동수와 감쇠비는

101 , 202 , 323 , 01.021 , 05.03

)(2 2kpqkkqkpk HUU 를 이용하면

)(2 1112111111 HUU

)(2 1212

111121 HUU

)(2 1312

111131 HUU

첫 번째 고유진동수와 관련된 전달함수 관련 정보가 다음과 같다면

423.0)( 111 H oHphase 90)( 111 920.011 U

917.0)( 121 H oHphase 90)( 121 993.121 U

317.2)(31 H oHphase 90)( 131 036.531 U

두 번째 모드를 구하려면

)(2 2112221212 HUU

)(2 2212221222 HUU

)(2 2312221232 HUU

세 번째 모드를 구하려면

)(2 3112331313 HUU

)(2 3212331323 HUU

)(2 3312331333 HUU

두 번째와 세 번째도 전달함수관련 정보를 가지면 동일한 절차로 모드를 구할 수 있다.

183

내구성과 진단을 위한 진동 시험

통상 상업적 제품들은 그들을 사용하는 동안 하자 없이 작동되기 위해서 내구성 시험을

하게 된다. 예를 들어서 휴대폰이나 PDA 등은 사용 중에 떨어뜨려 충격을 받는 경우가

많이 발생하므로 이러한 외부 충격에 충분한 저항력을 갖도록 설계 제작되어야 한다.

그리고 그 설계와 제작이 제대로 잘 되었는지를 확인하기 위해 내구성 시험을 수행하게

된다. 예를 들어 3m 의 높이에서 휴대폰을 20 번을 떨어뜨린다든지 혹은 유압 장치에

사용되는 밸브는 12 시간을 백색잡음 형태의 가진력을 가진 장치에 의해서 가한다든지

하는 것인데 이러한 시험을 할 때 어려운 점은 도대체 어떤 가진력을 어떻게 얼마 동안

주어야 하는가를 결정하는 것으로 이것을 위해서는 상당한 경험과 지식이 필요하다.

예를 들어서 자동차를 10 년 혹은 15 년을 사용한다고 하더라도 그와 똑 같은 기간 동안

시험을 할 수 없는 것이기 때문에 통상 압축환경 속에서 시험을 수행해야 하는데 이런

경우 실제 사용기간 중 받게 되는 하중을 어떻게 압축하여 부과하여야 하는지 결정하는

것은 쉽지 않은 일이며 전문적 지식과 경험이 필요하다. 아래 그림은 컴퓨터에 의해

조정되어 가진 되고 그 결과가 다시 제어 저장되고 있는 내구성 시험의 한 장면이다.

진동 시험을 이용한 또 다른 주요 연구분야 중 하나는 기계요소 또는 시스템의 건전성

모니터링 및 진단 분야이다. 이는 본 장의 서론에서 이미 언급되었듯이 기계의 작동

시 구조물의 건전성에 이상이 발생하면 진동 특성이 변하게 된다는 것을 이용한 것으로

이 개념을 잘 이용하면 기계를 정기적으로 점검하기 위하여 기계의 작동을 멈출 필요가

없다는 점에서 생산성과 밀접히 연관된다. 즉 통상 점검을 위해 기계의 작동을 멈추고

다시 작동을 하려면 상당한 시간이 소요되며 이 기간 동안에 그 기계를 이용한 생산이

중단되어야 하므로 이러한 문제를 모니터링 및 진단을 통해 해결할 수 있다면 생산성

향상에 상당히 기여할 수 있을 것이기 때문이다.

184

Homework Problems

1, 7, 9, 10, 14, 17, 23, 24, 25, 29, 31