动量及动量守恒定律

3-1 、质点和质点系的动量定理

大小： mv 方向：速度的方向

单位： kgm/s 量纲： MLT － 1

1 、动量 （描述质点运动状态，矢量） vmP＝

方向：速度变化的方向单位： N∙s 量纲： MLT － 1

2 、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）I

（ 1 ） 恒力的冲量 tFI

（ 2 ） 变力的冲量

11 tF 22 tF

ii tF

nn tF

I

的方向不同 !注意：冲量 的方向和瞬时力I

F

当力连续变化时

把作用时间分成 n 个很小的时段 ti ，每个时段的力可看作恒力

nn tFtFtFI

2211 ii

i tF

tF ~x

冲量的几何意义冲量的几何意义：冲量

图线与坐标轴所围的面积。

在数值上等于xI

2

1

2

1

2

1

tt zz

tt yy

tt xx

dtFI

dtFIdtFI

分量式：

（注意可取 + - 号）0

t

+

xF

1t 2t

F 为恒力时，可以得出 I ＝ F t

F 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。

质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。

3 、质点的动量定理

12

12,2

1tt

vmvm

t

PFtFPdtFI

t

t

冲量有两种求法：

zzz

yyy

xxx

mvmvI

mvmvI

mvmvI

12

12

12

注意： 1 、动量为状态量；

3 、动量定理可写成分量式，即：

4 、质点的动量定理的应用（ 1 ）由动量的增量来求冲量；

（ 2 ）进而求平均冲力，t

mvmvF xxx

12

tFP XX

1

一定时，当 增大作用时间，缓冲

2 、冲量为过程量，是力的作用对时间的积累。

4 、质点系的动量定理一、质点系的动量定理 质点系（内力 f 、外力 F ）• 两个质点（ m1 、 m2 ）的系统

dt

PdfFFfm 1

111 ,:

dt

PdfFFfm 2

222 ',':

dt

Pd

dt

PdFFff 2121'

dt

Pd

dt

PdfFfF 21

21 '

两式相加

• n 个质点的系统 由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。所以：

由此可得“质点系的动量定理”：

积分形式

微分形式

以 F 和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：

i

ii

i Pdt

dF

dt

PdF

PddtF

PPddtFP

P

t

t

2

1

2

1

内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。只有外力才能改变系统的总动量。

例 1 、质量为 2.5g 的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s 的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为 45o 和 30o ，求： （ 1 ）乒乓球得到的冲量； （ 2 ）若撞击时间为 0.01s ，求板 ==== 施于球的平均冲力的大小 ==== 和方向。

45o

30o

n

v2

v1

45o

30o

n

v2

v1

Ox

y

取坐标系，将上式投影，有：

解法一：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有：

F

mv2

mv1

mv1

tFI

12 vmvmdtFI

tFmvmvdtFI xxx )45cos(30cos 0

10

2

tFmvmvdtFI yyy 01

02 45sin30sin

gmsmvsmvst 52,/20,/10,010 21

NsINsI yx 00730,0610

NsIII yx222 10146

解法二 应用余弦定理、正弦定理解三角形

为 I 与 x 方向的夹角

'0526,12000tan x

y

I

I

NFFFNFNF yxyx 146,730,16 22

NsvvmvmvmtFI 2021

222

221

2 10146105cos2

Nt

IF 146

02

105sinsin

tFmv

'05251,78660sin

'52645'5251 000 mv2

mv1

mv1

tFI

例 2 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重力的三倍。

o

x

证明：取如图坐标，设 t 时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后的 dt

时间内将有质量为 dx （ Mdx/L)

的柔绳以 dx/dt 的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：

一维运动可用标量

o

x

根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

柔绳对桌面的冲力 F ＝－ F’ 即：

而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L

所以 F 总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

22 vL

MvF

而 LMgxFgxv /222

2' vdtdtdx

dx

dt

dPF

3-2 、动量守恒定律

一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。

—— 这就是动量守恒定律，其条件是：

系统所受合外力为零 : 0 外F

常矢量）(,0,0 CPdt

PdF

CvmP ii

ii

i

即

注意： 1 、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应 ===是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的 === 动量之和。2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 === 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 === 向为零。）——部分守恒条件5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 === 定律更普遍的最基本的定律

例 3 质量为 m 的质点作圆锥摆运动，质点的速率为 u ，圆半径为 R ，圆锥母线与轴线之间的夹角为 α ，计算拉力在一周内的冲量。

Ir =0 ∴， IT=-IP=mg2R/u k

解 1 一周内重力 P 的冲量为

IP = Pdt = -mg ∮ tk= -mg2R/u k

Ir = F∮ rdt=0 。而重力是恒力，只需知道它运动一周的时间就能算出其冲量，则拉力的冲量 IT =Ir – IP

分析：冲量 I=∫Fdt 是一矢量式，当质点在作圆周运动时，拉力 T 的方向是时刻改变的，因此，直接由拉力来求冲量是困难的；但是，若采用转换的方法，先分别求出合力 Fr 和重力 P 的冲量，再利用矢量合成的平行四边形法则，即可求得拉力的冲量。虽然合力 Fr 仍是一变力，但它在任意 dt 时间内的冲量 dIr 均指向圆心。当计算一周内的冲量时，由于各 dIr 的对称性，

Fr

P

T

●m

R

解 2 根据动量定理，一周内合力的冲量为

IF = IT + IP =mu –mu =0

则 IT = - IP = mg 2R/u k

注意：一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内

质点的动量时时处处守恒，只是终点又恢复

到起点的动量，这不叫动量守恒；所以，动

量守恒的条件，不能说是“系统所收合外力

的冲量为零”。

例 4 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点 h ＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后 1 秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离 S1 ＝ 100米 ,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计， g=9.8m/s2)

解：已知第一块方向竖直向下2

1 '2

1' gttvh

st 1' 为第一块落地时间

smvv y /71411

v2

y

h

x

v1

h

S1

爆炸中（忽略重力）系统动量守恒smvst

gtvvghtvS

tv

x

yyx

y

/502

2

,0

0201

）（，

到最高点用时为炮弹在最高点，

v2

y

h

x

v1

h

S1

02

1

2

12

1

12

2

yy

xx

mvmv

mvmv

mv1/2

mv2/2

mvxsmvv xx /10022 smvv yy /71412

第二块作斜抛运动

mv1/2

mv2/2

mvx

可得第二块碎片落地点的水平位置：mx 5002

22222

2212

2

1gttvhy

tvSx

y

x

落地时，

st

sty

2

4,0'2

22

（舍去）

例 5 如图所示 , 在水平地面上，有一横截面 S = 0. 20m2 的直角弯管 , 管中有流速为 v =3. 0m.s-1 的水通过 , 求弯管所受力的大小和方向 .v

v

A

B

S

分析 : 对于弯管部分 AB 段内的水而言 , 由于流速一定 , 在时间△ t 内 , 从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量 . 因此，对这部分水来说 , 在时间△ t 内动量的增量

也就是流入与流出水的动量的增量 ;)( AB vvmP

此动量的变化是管壁在时间△ t 内对其作用冲量 的结果 . 依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力 ； 由牛顿第三定律 , 自然就得到水流对管壁的作用力 .

I

F

FF

'

依据动量定理 ,PI

得到管壁对这部分水的平均冲力 )( AB vvSv

t

IF

从而可得水流对管壁作用力的大小为

N

SvFF3

22

1052

)03(200141612'

作用力的方向则沿直角平分线指向管外侧 .

解 : 在时间△ t 内 , 从管一端流入 ( 或流出）水的质量为 tvSm 弯管部分 AB 段内的水的动量的增量 则为

)()( ABAB vvtvSvvmP