六合实验高中

动量和能量

第三讲 动量和能量

牛顿运动定律与动量观点和能量观点通常称作解决力学问题的三把金钥匙。其实它们是从三个不同的角度来研究力与运动的关系。解决力学问题时，选用不同的方法，处理问题的难易、繁简程度可能有很大差别，在很多情况下，用动量和能量的观点来解题，会更快捷、更有效。

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动量和能量

动 量

基本规律 动量定理 动量守恒定律

基本概念 动量 冲量

能 量

基本概念

弹性势能 重力势能

势能 动能 功率 功

基本规律 机械能守恒定律 动能定理

电势能

功能原理

一、动量和能量概述

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动量和能量二、两个定理1 、动量定理：

动量定理： F 合 t=Δp ，描述的是“力在时间上的积累效果”——改变物体的动量；该式是矢量式，即动量的变化方向与合冲量的方向相同。动能定理： F 合 S=ΔEK ，描述的是“力在空间上积累效果”——改变物体的动能；该式是标量式。

2 、动能定理：

I 合 =Δp 或 F 合 t=mv2-mv1

W 合 =ΔEK 或 F 合 S=mv22/2-mv1

2/2

用动量定理、动能定理解题关键：（ 1 ）正确地分析研究对象的受力（ 2 ）准确地分析物体的运动。 对系统用动量定理分析受力只分析系统外力；对系统用动能定理分析受力不仅分析系统外力，还要考试系统内力做功，一般指系统内滑动摩擦力做功。

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动量和能量

1 、钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的 n 倍，求 (1) 钢珠在空中下落的高度 H 与陷入泥中的深度 h 的比值 H∶h =? (2)钢珠在空中下落的时间 T 与陷入泥中的时间 t 的比值 T∶t= ？

(1) 对钢球运动全过程，由动能定理mg(H+h) － nmgh=0      H + h = n h  

  ∴H : h = n - 1

(2) 对钢球运动全过程，由动量定理    mg(T+t) － nmgt=0      T + t = n t   

∴ T : t = n - 1

例与练

析与解

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动量和能量

2 、在水平面上有两个完全相同的物体 A 、 B 处于静止状态，用水平恒力 F1 和 F2 （ F1>F2 ）分别作用在 A 、 B 上一段时间后撤去， A 、 B 最后都停下，已知 A 、 B 运动的总位移相等。则关于 F1 和 F2 的冲量大小 P1 与 P2 ，下列说法中正确的是 ( )（ A ） P1<P2 （ B ） P1>P2

（ C ） P1=P2 （ D ）以上情况都有可能对每个物体运动的全过程，动量变化为零，因而合外力的冲量为零。即 P1—ft1=0 ， P2—ft2=0    

例与练

析与解

要比较 P1 、 P2 ，只需比较 A、 B运动的总时间 t1 、t2.

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动量和能量

在同一个速度—时间图象上作出两个物体的运动图象，因为 F1>F2 ，开始 A的加速度大于 B的加速度，都撤去外力作用后， A、 B的加速度相同，运动图线平行 ,如图所示。

析与解

由于 A、 B两个物体的总位移相等，则两个图线与坐标轴围成的面积也应相同，从而很容易确定： B所用时间 t2 要长

则 ft1<ft2 ，即 P1<P2

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3 、在北戴河旅游景点之一的南戴河滑沙场有两个坡度不同的滑道 AB 和 AB1

（均可看作斜面）．甲、乙两名旅游者分别乘两个相同完全的滑沙撬从 A 点由静止开始分别沿 AB1 和 AB 滑下，最后都停在水平沙面 BC 上，如图所示．设滑沙撬和沙面间的动摩擦因数处处相同，斜面与水平面连接处均可认为是圆滑的，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙撬上不动．则下列说法中正确的是 ( )A ．甲在 B 点的速率一定大于乙在 B1 点的速率B ．甲滑行的总路程一定大于乙滑行的总路程C ．甲全部滑行的水平位移一定大于乙全部滑行的水平位移D ．甲在 B 点的动能一定大于乙在 B1 点的动能

例与练

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动量和能量

4、如图所示，三块完全相同的木块固定在水平地面上，设速度为 v0子弹穿过木块时受到的阻力一样，子弹可视为质点，子弹射出木块 C 时速度变为 v0/2.求： (1) 子弹穿过 A 和穿过 B 时的速度 v1=? v2=? (2)子弹穿过三木块的时间之比 t1∶t2∶t3 =?

V0 A B C

(1) 由动能定理 :f · 3l = mv0

2/2 - m(v0 /2) 2/2

f ·2l = mv02/2 - mv2

2/2

f · l = mv02/2 - mv1

2/2

2

34/22

20

20

20

vv

vv

1

34/21

20

20

20

vv

vv

02

01

2

2

2

3

vv

vv

例与练

析与解

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动量和能量(2) 由动量定理 : f t1 = mv0 - mv1

f t2 = mv1 – mv2 f t3 = mv2 – mv0/2

23

32

2223

23

00

00

21

10

2

1

vv

vv

vv

vv

t

t

12

23

2/22

2223

2/ 00

00

02

21

3

2

vv

vv

vv

vv

t

t

)12(:)23(:)32(:: 321 ttt

析与解

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5、光滑水平桌面上有两个相同的静止木块，枪沿两个木块连线方向以一定的初速度发射一颗子弹，子弹分别穿过两个木块。假设子弹穿过两个木块时受到的阻力大小相同，忽略重力和空气阻力的影响，那么子弹先后穿过两个木块的过程中 ( )（Ａ）子弹两次损失的动能相同（Ｂ）每个木块增加的动能相同（Ｃ）因摩擦而产生的热量相同（Ｄ）每个木块移动的距离不相同

例与练

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动量和能量

在同一个速度时间图象上作出子弹和木块的运动图象，如图所示 。

析与解

从图象可知，子弹的运动图线与木块的运动图线与坐标轴围成的面积等于木块的长度 L，两次应相同，但子弹第二次穿过木块时初速度小，因而时间长 ;木块第二次的位移大，木块增加的动能多 ;子弹损失的动能的动能也多。

设木块的长度为 L，子弹穿过木块过程中对木块的作用力为 f。 子弹穿过木块过程中，子弹和木块阻力组成的系统克服阻力做功为 fL，所以两次系统损失的动能相同，因摩擦而产生的热量相同。

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动量和能量

6、如图所示，质量为 M的木板静止在光滑的水平面上，其上表面的左端有一质量为 m 的物体以初速度 v0 ，开始在木板上向右滑动，那么： ( ) (A)若 M固定，则 m 对 M的摩擦力做正功， M对 m 的摩擦力做负功；(B)若M固定，则 m 对M的摩擦力不做功，M对 m 的摩擦力做负功；(C)若 M自由移动，则 m 和 M 组成的系统中摩擦力做功的代数和为零；(D)若M自由移动，则 m克服摩擦力做的功等于 M增加的动能和转化为系统的内能之和。

例与练

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7、如图所示，质量为 M的火箭，不断向下喷出气体，使它在空中保持静止 , 火箭质量可以认为不变。如果喷出气的速度为 v ，则火箭发动机的功率为 （ ）(A) Mgv ； (B) Mgv ； (C) Mv2 ； (D) 无法确定 .

2

1

2

1

对气体： FΔt= Δmv 对火箭 ： F=Mg

对气体： PΔt=Δmv2/2 =FΔt v/2

∴ P= F v/2= Mg v/2

例与练

析与解

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动量和能量三、两个守恒定律1 、动量守恒定律：

公式： p =p ′或 Δp 1=-Δp2

或 m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2 ′ 成立条件—（ 1 ）系统不受外力或合外力为零；

（ 2 ）系统所受合外力不为零，但沿某个方向的合外力为零，则系统沿该方向的动量守恒 ；（ 3 ）系统所受合外力不为零，但合外力远小于内力且作用时间极短，如爆炸或瞬间碰撞等。 动量守恒定律表达式 m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2 ′是矢量式，解题时要先规定正方向。各速度是相对于同一个惯性参考系的速度。 v1 、 v2必须是作用前同一时刻的速度， v1' 、 v2' 必须是作用后同一时刻的速度。

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动量和能量三、两个守恒定律2 、机械能守恒定律：

公式： E =E′或 ΔEp= － ΔEk或成立条件——只有重力（或弹簧的弹力）做功。

222

211 2

1

2

1mvmghmvmgh

如果除了重力（或弹簧的弹力）做功以外，还有其它力做功 W 非，机械能不守恒；机械能变化 ΔE =W 非

特别要指出，系统内滑动摩擦力做功 Wf =- fS 相，这里分两种情况：

（ 1 ）若一个物体相对于另一个物体作单向运动， S 相为相对位移大小；（ 2 ）若一个物体相对于另一个物体作往返运动， S 相为相对路程。

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8、 如图示的装置中，木块与水平面的接触是光滑的，子弹沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中 （ ）A. 动量守恒，机械能守恒B. 动量不守恒，机械能守恒C. 动量守恒，机械能不守恒D. 动量不守恒，机械能不守恒

例与练

析与解 子弹射入木块过程系统要克服介质阻力做功，机械能不守恒；整个过程墙壁对弹簧有向右的弹力，系统合外力不为 0，动量不守恒。

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C

A

B D

A. 滑块m 从 A 滑到 B 的过程 ,物体与滑块组成的系统动量守恒、 机械能守恒

B. 滑块滑到 B 点时，速度大小等于C. 滑块从 B 运动到 D 的过程，系统的动量和机械能都不守

恒D. 滑块滑到 D 点时，物体的速度等于 0

gR2

9、如图示 :质量为M的滑槽静止在光滑的水平面滑槽的 AB部分是半径为 R的 1/4的光滑圆弧 ,BC部分是水平面 , 将质量为 m 的小滑块从滑槽的 A 点静止释放 ,沿圆弧面滑下 , 并最终停在水平部分 BC 之间的 D 点 ,则 ( )

例与练

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10、一个质量为 30kg 的小孩和质量为 50kg的小车以 5m/s的速度在光滑水平面上运动，若小孩以相对于车 4m/s的水平速度从小车的尾部跳下后，小车的速度多大？

v2 为小孩跳下车后小车的速度 ,以小车的运动方向为正方向，由动量守恒定律

例与练

析与解

2210 )()( MvvvmvMm

smsmMm

mvvMmv /5.6/

5030

)4(305)5030()( 102

注意：要把小孩跳下车后的速度转化为对地速度

V 人对地 =V 人对车 + V 车对地 =V1+ V2 且 V1 = - 4m/s

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动量和能量

11 、一个不稳定的原子核、质量为M，开始时处于静止状态、放出一个质量为 m 的粒子后反冲，已知放出粒子的动能为 E0 ，则反冲核的动能为 ( )

(A) E0 (B)

(C) (D)

0EM

m

0EmM

m

02)(E

mM

Mm

例与练

析与解m

p

m

mvEK 22

)( 22

mM

m

E

EK

0

又由动量守恒： p-p0=0

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12 、一个人坐在光滑的冰面的小车上，人与车的总质量为M=70kg，当他接到一个质量为 m=20kg以速度 v=5m/s迎面滑来的木箱后，立即以相对于自己u=5m/s的速度逆着木箱原来滑行的方向推出，求小车获得的速度。

v=5m/s

M=70kgm=20kg

u=5m/s

整个过程动量守恒，但是速度 u为相对于人的速度，

规定木箱原来滑行的方向为正方向

对整个过程由动量守恒定律，

mv =MV+m v 箱对地 = MV+ m( u+ V)

V=2.2m/s方向跟木箱原来滑行的方向相同

例与练

析与解

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13 、甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是 30kg．游戏时，甲推着一质量为 m=15km 的箱子，和他一起以大小为 v0=2m/s的速度滑行．乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度 ( 相对于地面 )将箱子推出，才能避免和乙相碰？

V0=2m/s乙

甲V0=2m/s

例与练

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V0=2m/s 乙甲

V0=2m/s

甲、乙不相撞的临界条件是速度相同。对甲、乙和箱由动量守恒定律（向右为正）

(M+M+m)V1=(M+m-M)V0

V0=2m/sVxv1甲 乙

对甲和箱（向右为正）

v1 v1甲 乙

对乙和箱（向右为正）

VX=5.2m/s V1=0.4m/s

析与解

(M+m)V0=MV1+mvx

-MV0+mvx =(M+m)V1

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动量和能量

14、平直的轨道上有一节车厢，车厢以 12m/s的速度做匀速直线运动，某时刻与一质量为其一半的静止的平板车挂接时，车厢顶边缘上一个小钢球向前滚出，如图所示，平板车与车厢顶高度差为 1.8m ，设平板车足够长，求钢球落在平板车上何处？（ g取 10m/s2 ）

v0

例与练

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动量和能量两车挂接时，因挂接时间很短，可以认为小钢球速度不变，以两车为对象，由动量守恒

Mv0=(M ＋ M/2)v ∴v=2v0 /3 = 8m/s

钢球落到平板车上所用时间为 sght 6.0/2 t 时间内平板车移动距离

s1=vt=4.8m

t 时间内钢球水平飞行距离 s2=v0t=7.2m

则钢球距平板车左端距离 x=s2 － s1=2.4m 。

v0

析与解

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动量和能量

15、质量为M=4.0kg的平板小车静止在光滑的水平面上，如图所示，当 t=0时，两个质量分别为 mA=2kg、mB=1kg的小物体 A 、 B 都以大小为 v0=7m/s。方向相反的水平速度，同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时，没有相碰， A 、 B 与车间的动摩擦因素μ=0.2 ，取g=10m/s2,求：（ 1 ） A 在车上刚停止滑动时， A 和车的速度大小（ 2 ） A 、 B 在车上都停止滑动时车的速度及此时车运动了多长时间。（ 3 ）画出小车运动的速度—时间图象。

例与练

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动量和能量（ 1）当 A和 B在车上都滑行时， 析与解

A 向右减速， B向左减速，小车向右加速，所以首先是 A物块速度减小到与小车速度相等。设 A减速到与小车速度大小相等时，所用时间为 t1 ，其速度大小为 v1 ，则：

v1=v0-aAt1 μmAg=mAaB v1=a 车 t1 μmAg-μmBg=Ma

则 v1=1.4m/s t1=2.8s （ 2）根据动量守恒定律有： mAv0-mBv0=(M+mA+mB)v

总动量向右， 当 A与小车速度相同时， A与车之间将不会相对滑动了。设再经过 t2时间小物体 A与 B、车速度相同，则： -v=v1-aBt2 μmBg=mAaB 则 t2=1.2s

则 v=1m/s

则 A、 B在车上都停止滑动时，车的运动时间为 t=t1+t2=4.0s

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动量和能量析与解（ 3 ）作小车运动图象，首先要分析小车的运动过程；再求出各个过程的初末速度和经历的时间。由（ 1 ）可知 t1=2.8s时，小车的速度为 v1=1.4m/s，在 0~t1 时间内小车做匀加速运动。在 t1~t2 时间内小车做匀减速运动， 4s 末速度为 v=1.0m/s,小车的速度—时间图如图所示：

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动量和能量

碰撞的分类

完全弹性碰撞 —— 动量守恒，动能不损失 （质量相同，交换速度）

完全非弹性碰撞—— 动量守恒，动能损失 最大。 （以共同速度运动）

非完全弹性碰撞— 动量守恒，动能有损失。 碰 撞后的速度介于上面两种 碰撞的速度之间 .

四、碰撞中的动量守恒和能量守恒

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动量和能量

（ 1 ）小球 m1 滑到的最大高度（ 2 ）小球 m1 从斜面滑下后，二者速度（ 3 ）若m1= m2 小球 m1 从斜面滑下后，二者速度

16、如图所示，光滑水平面上质量为 m1=2kg的小球以 v0=2m/s的初速冲向质量为 m2=6kg静止的足够高的光滑的斜劈体，斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧。求：

例与练

v0m1

m2

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动量和能量（ 1）以向右为正，对上升过程水平方向由动量守恒

h=0.15m

V= m1V0 / （ m1+m2 ） =0.5m/s

对系统上升过程由机械能守恒

析与解

ghmvmmvm 12

212

01 )(2

1

2

1

（ 2）以向右为正，对系统全过程由动量守恒

m1V0 = （ m1+m2 ） V

222

211

201 2

1

2

1vmvmvm

对系统全过程由机械能守恒221101 vmvmvm

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动量和能量

smsmVmm

mV

smsmVmm

mmV

/1/262

222

/1/262

62

021

12

021

211

析与解 联立以上两式，可得

（ 3） 若 m1= m2

0021

211

Vmm

mmV smV

mm

mV /2

20

21

12

注意 m1= m2 交换速度。

m1< m2 , v1<0 m1 反向。

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动量和能量

17、如图所示，质量为 m 的有孔物体 A套在光滑的水平杆上，在 A 下面用足够长的细绳挂一质量为M的物体 B 。一个质量为 m0 的子弹 C 以 v0速度射入 B并留在 B 中，求 B 上升的最大高度。

例与练

v0

C

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动量和能量向左为正，对 B、 C碰撞由动量守恒得析与解

1000 )( vMmvm Mm

vmv

0

001

向左为正，对 A、 B、 C全过程水平方向由动量守恒得

2000 )( vMmmvm Mmm

vmv

0

002

对 A、 B、 C上升过程由机械能守恒得

ghMmmvMmmvMm )()(2

1)(

2

10

220

210

gMmmMm

vmmh

200

20

20

))((2

注意 :对 A 、 B 、 C 全过程由机械能守恒吗 ?

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动量和能量

18、在光滑的水平面上，有 A 、 B 两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正方向，两球的动量分别为 pA＝ 5kgm/s， pB＝ 7kgm/s，如图所示。若两球发生正碰，则碰后两球的动量变化量 ΔpA 、 ΔpB 可能是（ ）A 、 ΔpA＝ 3 kgm/s， ΔpB＝ 3 kgm/sB 、 ΔpA＝－ 3 kgm/s， ΔpB＝ 3 kgm/sC 、 ΔpA＝ 3 kgm/s， ΔpB＝－ 3 kgm/sD 、 ΔpA＝－ 10 kgm/s， ΔpB＝ 10 kgm/s

例与练

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动量和能量由 A、 B碰撞动量守恒

析与解

由 A、 B位置关系，碰后 ΔpA<0 ， ΔpB>0

222 )

17(

2

1)

5(

2

1

BB

AAK m

mm

mE

可以排除选项 A

排除选项 C设 A、 B的质量分别为 mA 、 mB

设 ΔpA＝－ 10 kgm/s ， ΔpB＝ 10 kgm/s

则碰后 pA＝－ 5 kgm/s ， pB＝ 17 kgm/s

则碰后 VA＝－ 5 / mA ， VB＝ 17/m

B则碰后 A、 B总动能为而碰前 A 、 B总动能为

221 )

7(

2

1)

5(

2

1

BB

AAK m

mm

mE

很明显碰后 A、 B总动能大于碰前 A 、 B总动能，不可能，排除 D，选 B 。

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动量和能量

19、质量为 m＝ 20Kg的物体，以水平速度 v0＝ 5m/s的速度滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量为M＝80Kg，物体在小车上滑行 L＝ 4m 后相对小车静止。求：

（ 1 ）物体与小车间的滑动摩擦系数。（ 2 ）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动的距离。

v0mM

V

LS

由动量守恒定律 V=1m/s

物体与小车由动能定理-μmg L = (m+M)V2/2 - mv02/2

∴μ= 0.25对小车 μmg S =MV2/2

∴ S=0.8m

例与练

析与解 （ m+M)V=mv0

v0mM

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动量和能量

20、如图，长木板 ab的 b 端固定一档板，木板连同档板的质量为 M=4.0kg， a 、 b间距离 s=2.0m 。木板位于光滑水平面上。在木板 a端有一小物块，其质量 m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数 μ=0.10，它们都处于静止状态。现令小物块以初速 v0 =4.0m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。

S=2ma

bMm

v0

例与练

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动量和能量设木板和物块最后共同的速度为 v ，由动量守恒

mv0 =(m+M)v ①设全过程损失的机械能为 ΔE，

②220 )(

2

1

2

1vMmmvE

木块在木板上相对滑动过程损失的机械能为

W=fΔs=2μmgs ③注意： Δs为相对滑动过程的总路程

碰撞过程中损失的机械能为

JmgsvMm

mMWEE 4.22

2

1 201

析与解

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动量和能量

21 、如图所示， M=2kg的小车静止在光滑的水平面上．车面上 AB 段是长 L=1m 的粗糙平面， BC部分是半径 R=0.6m 的光滑 1/4 圆弧轨道，今有一质量 m=1kg的金属块静止在车面的 A端．金属块与 AB 面的动摩擦因数 μ=0.3 ．若给m施加一水平向右、大小为 I=5N·s的瞬间冲量， （ g取 10m/s2 ）求 :（ 1 ）金属块能上升的最大高度 h（ 2 ）小车能获得的最大速度 V1

（ 3 ）金属块能否返回到 A 点？若能到 A 点，金属块速度多大？

MA B

CR

O

mI

∴ h=0.53 m

例与练

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动量和能量

MA B

CR

O

mI

I=mv0 v0=I/m=5m/s

（ 1）到最高点有共同速度水平 V

由动量守恒定律 I= (m+ M)V

由能量守恒定律

∴ h=0.53 m

析与解

mv0 2/2 =(m+ M)V2/2 +μmgL+mgh

smV /3

5

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动量和能量

MA B

CR

OmI思考：若R=0.4m ，

前两问结果如何？

（ 2）当物体 m由最高点返回到 B点时，小车速度 V2最大 ,向右为正，由动量守恒定律 I= - mv1+ MV1

由能量守恒定律

解得： V1=3m/s （向右） 或 v1=-1m/s （向左）

析与解

mv02/2 = mv1

2/2+ MV12/2 + μmgL

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动量和能量

MA B

CR

OmI

（ 3）设金属块从 B向左滑行 s后相对于小车静止，速度为 V ，以向右为正，由动量守恒

I = (m+ M)V

由能量守恒定律

解得： s=16/9m＞ L=1m 能返回到 A 点 由动量守恒定律 I = - mv2+ MV2

由能量守恒定律

解得： V2=2.55m/s （向右） v2=-0.1m/s （向左）

析与解

smV /3

5

mv0 2 /2 = (m+ M) V2 /2 + μmg （ L+s ）

mv0 2 /2 = mv22 /2 + MV2

2 /2 + 2μmgL

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动量和能量

与弹簧关联的动量和能量问题的解题要点：

（ 4）判断系统全过程动量和机械能是否守恒，如果守恒则对全对象全过程用动量守恒定律和机械能守恒定律。若全过程机械能不守恒，则考虑分过程用机械能守恒定律或动能定理。

（ 1 ）首先要准确地分析每个物体在运动过程中的受力及其变化情况，准确地判断每个物体的运动情况。

（ 2 ）注意确定弹簧是处于伸长状态还是压缩状态，从而确定物体所受弹簧弹力的方向。

五、与弹簧关联的动量和能量问题

（ 3 ）注意临界状态：弹簧最长或最短及弹簧恢复原长状态。

六合实验高中

动量和能量

22 、如图所示，光滑的水平轨道上，有一个质量为M的足够长长木板，一个轻弹簧的左端固定在长木板的左端，右端连着一个质量为 m 的物块，且物块与长木板光滑接触。开始时， m 和M均静止，弹簧处于原长。现同时对 m 、M施加等大反向的水平恒力 F1 、 F2 ，从两物体开始运动以后的整个过程中，对 m 、M和弹簧组成的系统（弹簧形变不超过弹性限度），下列说法正确的是（ ）A 、由于 F1 、 F2 等大反向，故系统动量守恒B 、由于 F1 、 F2 等大反向，故系统机械能守恒C 、由于 F1 、 F2 分别对 m 、M做正功，故系统机械能不断增大D 、当弹簧弹力大小与 F1 、 F2 大小相等时， m 、M动能最大

例与练

mF1F2

M

六合实验高中

动量和能量

由于 F1 和 F2 等大反向，对 m、 M和弹簧组成的系统，合外力为 0，故系统动量守恒。 　　 　　由于 F1 和 F2分别对 m、 M做功，故系统机械能不

守恒

析与解

mF1F2

M

FF开始弹簧弹力 F小于拉力 F1 和 F2 ，

mF1F2

M

FF当弹簧弹力 F大于拉力 F1 和 F2 后，

m、 M分别向右、向左加速运动，系统弹性势能和总动能都变大，总机械能变大。

m、 M分别向右、向左减速运动，系统弹性势能变大，总动能变小，但总机械能变大。

v1

v1

v2

v2

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动量和能量

所以系统机械能不是一直变大。 　　 　　

当 m、 M速度减为 0以后，析与解

F1mF2

M

FF

m 、 M分别向左、向右加速运动，　　 　　这时 F1 和 F2分别对 m、 M做负功，系统机械能变小。 　　 　　

讨论： 　　

（ 1 ）系统总动能最大时总机械能是否最大？ 　　弹簧弹力 F 大小等于拉力 F1 和 F2 时 m 、 M 速

度最大，系统总动能最大； 当 m 、 M 速度都为0时系统总机械能最大。 　　（ 2 ）弹性势能最大时，系统的总机械能是否最大？ 　　当 m 、 M 速度都为 0时系统总机械能和弹性势能都最大。

v1

v2

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动量和能量

23 、如图所示， A 、 B 、 C 三物块质量均为 m ，置于光滑水平面上。 B 、 C 间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块 A 以初速度 v ０沿 B 、 C连线方向向 B 运动，相碰后， A 与 B 、 C粘合在一起，然后连接 B 、 C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使 C 与 A 、 B 分离，脱离弹簧后 C 的速度为 v ０ .求弹簧所释放的势能 ΔE.

例与练

C

V0

A B

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动量和能量

向右为正，对 A、 B、 C碰撞过程由系统动量守恒： 　　 　　

析与解

C

V1

A B

mv0 =3mv1 得 v1 =v0/3当弹簧恢复原长时， C脱离弹簧，向右为正，对 A、 B、 C全过程由系统动量守恒： 　　 　　

mv0 =2mv2+ mv0 得 v2 =0对 A、 B、 C碰撞以后的过程由机械能守恒： 　　 　　

20

21

20 18

72

2

1

2

1mvmvmvE

注意： A 、 B碰撞过程有机械能损失！ 　　 　　

V1

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动量和能量

24、如图所示， A 、 B 、 C 三物块质量均为 m ，置于光滑水平面上。 B 、 C 用轻弹簧相连处于静止状态。物块 A以初速度 v ０沿 B 、 C连线方向向 B 运动，相碰后， A 与B粘合在一起。求：（ 1 ）弹簧的最大弹性势能 Ep.（ 2 ）以后 AB 会不会向左运动？

例与练

C

V0

A B

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动量和能量

先分析 AB 、 C的受力和运动情况： 　　 　　析与解

AB C

V1

V1↓

V2↑V1

F FV2

AB C

AB C

V1 V2

AB C

V2V1

V1↓

V2↑V1 ↑

V2 ↓

V1 ↑

V2 ↓

V1 V2

AB CF F

小结： 　　 　　

（ 1 ）两物体速度相同时，弹簧最短（或最长），弹簧弹性势能最大，系统总动能最小。 　　 　　

（ 2 ）弹簧恢复原长时，两物体速度分别达到极限。

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动量和能量

（ 1）向右为正，对 A、 B碰撞过程由动量守恒： 　　 　　

析与解

mv0 =2mv1 得 v1 =v0/2

当 A、 B、 C速度相同时，弹簧最短，弹性势能最大。向右为正，对 A、 B、 C全过程由系统动量守恒： 　　 　　mv0 =3mv 得 v =v0/3对 A、 B碰撞后到弹簧最短过程由机械能守恒： 　　 　　

20

221 12

13

2

12

2

1mvmvmvEp

注意： A 、 B碰撞过程有机械能损失！ 　　 　　

V1F F

V2

AB C

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动量和能量

（ 2）方法一：以向右为正，设某时 AB的速度为 v’1<0 ，对系统由动量守恒： 　　 　　

2mv1 =2mv’1+mv’2 此时系统总动能：

析与解

则总机械能变大，不可能 或设某时 AB的速度为 v’1=0 ，对系统由动量守恒：

得 v’2 >2v1

212

1'22

1'12

1 )2(2'22

vmmvmvEk 而碰撞后系统总动能： 2

121 2mvEk

2mv1 =mv’2

得 v’2 =2v1

此时系统总动能： 212

1'22

1 )2('2

vmmvEk 而碰撞后系统总动能： 2

121 2mvEk

总机械能变大，则 AB 的速度不能为 0，更不能为负

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动量和能量

（ 2）方法二：弹簧恢复原长时，两物体速度达到极限。求出这时两物体的速度。以向右为正，对系统由动量守恒： 　　 　　2mv1 =2mv’1+mv’2 对系统由机械能守恒：

析与解

22 '22

1'12

1212

1 22 mvmvmv

则 v’1= v1 , v’2=0 （开始） ,

或 v’1= v1 /3>0, v’2=4v1 /3>0 ( 第一次恢复原长 )

当弹簧第一次恢复原长后 ,AB 的速度方向仍向右 ,以后将不可能向左 .

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动量和能量

25、光滑的水平轨道上，质量分别为 m1=1Kg和 m2=2Kg的小车 A 、 B 用轻弹簧连接静止，弹簧处于原长。现使 A 以速度 V0=6 m/s沿轨道向右运动，求： （ 1 ）当弹簧第一次恢复原长时 A 和 B 的速度（ 2 ）弹簧的最大弹性势能

例与练

A BV0

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动量和能量

（ 1）以向右方向为正，对系统由动量守恒： 　　 　　m1v0 =m1v1+m2v2

对系统由机械能守恒：

析与解

2222

12112

12012

1 vmvmvm 则 v1=6m/s, v2=0 （开始） , 或 v1=-2m/s, v2=4m/s

（ 2）当 A、 B速度相同时，弹簧压缩（伸长）量最大，弹簧弹性势能最大。以向右方向为正，对系统由动量守恒： 　　 　　m1v0 = （ m1+m2 ） v

对系统由机械能守恒： 则 v =2m/s

JvmmvmEpm 12)( 2212

12012

1 A BV0

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动量和能量

26、如图所示，光滑水平轨道上，质量分别为 m1=2Kg和 m2=4Kg小车 A 、 B 用轻弹簧连接将弹簧压缩后用细绳系在 A 、 B 上，然后使 A 、 B 以速度 V0=6m/s沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到原长时， A 的速度刚好为 0，求：（ 1 ）被压缩的弹簧所具有的弹性势能 Ep

（ 2 ）讨论在以后的运动过程中 B 有没有速度为 0的时刻

例与练

A BV0

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动量和能量

27、图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块 B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同的滑块 A ，从导轨上的 P 点以某一初速度向 B滑行，当 A 滑过距离 l1 时，与 B 相碰，碰撞时间极短，碰后 A 、 B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后 A恰好返回出发点 P并停止。滑块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为 μ，运动过程中弹簧最大形变量为 l2 ，重力加速度为 g，求 A 从 P出发时的初速度 v0

l2l1

AB

P

例与练

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动量和能量

l2l1

AB

P

设 A、 B质量均为 m,A刚接触 B 时速度为 v1 （碰前） ,对 A碰前由动能定理： 1

2

1

2

11

20

21 mglmvmv

设碰后 A、 B共同运动的速度为 v2 , 向左为正，对 A、 B碰撞过程由动量守恒：m v1 =2m v2 ( 2)

碰后 A、 B先一起向左运动 ,接着 A 、 B一起被弹回 , 在弹簧恢复到原长时 ,设 A、 B的共同速度为 v3 ，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，对 A、 B由动能定理：

3)2()2()2(2

1)2(

2

12

22

23 lgmvmvm

后 A、 B分离， A单独向右滑到 P点停下，对 A由动能定理： 4

2

10 1

23 mglmv

由以上各式，解得：

)1610( 210 llgv

析与解

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动量和能量

28、两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P ，右边有一小球 C 沿轨道以速度 v0 射向 B 球，如图所示。 C与 B发生碰撞并立即结成一个整体 D 。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后， A 球与挡板 P发生碰撞，碰后 A 、 D 都静止不动， A 与 P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）。已知 A 、 B 、 C 三球的质量均为 m 。（ 1 ）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。（ 2 ）求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

v0BA

CP

例与练

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动量和能量

v0

BACP

（ 1）设 C球与 B球粘结成 D时， D的速度为v1 ，由动量守恒，有 　　 　　

v1A DP

mv0 =(m+m)v1 ①当弹簧压至最短时， D与 A的速度相等，设此速度为 v2 ，由动量守恒，有

DAP

v2

2mv1 =3m v2 ②

由①、②两式得 A的速度 v2=v0/3 ③

析与解

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动量和能量（ 2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP ，由能量守恒，有

④PEmvmv 22

21 3

2

12

2

1

撞击 P 后， A与 D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成 D 的动能，设 D的速度为 v3 ，则有 ⑤2

322

1mvEP

当弹簧伸长， A球离开挡板 P，并获得速度。当 A、 D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为 v4 ，由动量守恒，有 2mv3=3mv4 　 ⑥当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 ，由能量守恒，有

PE⑦ PEmvmv 2

423 3

2

12

2

1

解以上各式得 2036

1mvEP

析与解

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动量和能量

29、质量为M=3kg的小车放在光滑的水平面上，物块 A和 B 的质量为 mA=mB=1kg，放在小车的光滑水平底板上，物块 A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接起来，不会分离。物块 A 和 B并排靠在一起，现用力压 B ，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功 135J，如右图所示。撤去外力，当 B 和 A 分开后，在 A达到小车底板的最左端位置之前， B 已从小车左端抛出。求(1) B 与 A 分离时 A 对 B 做了多少功 ?(2) 整个过程中，弹簧从压缩状态开始，各次恢复原长时，物块 A 和小车的速度

MABmAmB

例与练

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动量和能量

MABmAmB E0=135J

(1) AB 将分离时弹簧恢复原长 , AB 的速度为 V0, 小车速度为 V, 对 A、 B、 M系统，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：(mA+mB) V0 -MV=0(mA+mB) V0 2/2 + MV2/2 =E0

即 2 V0 -3V=0 V0 2+1.5V2 =135

解得 V0 = 9m/s, V=6m/s

∴WA 对 B= mB V0 2/2 =40.5J

析与解

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动量和能量

Vv ABM

(2)B 离开小车后，对小车和 A及弹簧系统由动量守恒定律和机械能守恒定律得（向右为正）mAv1+MV1=9mAv1

2 /2 + MV12/2 =E0 –40.5

即 v1+3V1=9 v1

2+3V12 =189

代入消元得 2V12 – 9V1-18=0

解得 v1= 13.5m/s, V1=-1.5m/s 或 v1= -9m/s, V1=6m/s

所以 B 与 A 分离时 A 对 B 做了多少功 40.5J (2)弹簧将伸长时小车 和 A 的速度分别为 9m/s, 6m/s；将压缩时为 13.5m/s, 1.5m/s

析与解

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动量和能量

30、如下图所示，在水平光滑桌面上放一质量为 M的玩具小车。在小车的平台（小车的一部分）上有一质量可以忽略的弹簧，一端固定在平台上，另一端用质量为m 的小球将弹簧压缩一定距离用细线捆住。用手将小车固定在桌面上，然后烧断细线，小球就被弹出，落在车上 A 点， OA=s，如果小车不固定而烧断细线，球将落在车上何处？设小车足够长，球不至落在车外。

AsO

例与练

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动量和能量当小车固定不动时：设平台高 h、小球弹出时的速度大小为 v，则由平抛运动可知

2

2

1gth

∴　 v2 = gs2/2h 　（ 1）　　

当小车不固定时：设小球弹出时相对于地面的速度大小为 v ′，车速的大小为 V，由动量守恒：

mv ′=MV （ 2）

因为两次的总动能是相同的，所以有

)3(2

1

2

1

2

1 222 mvMVvm

析与解

s=vt

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动量和能量设小球相对于小车的速度大小为 v″，则

)4(Vvv

设小球落在车上 A ′ 处， sAO 由平抛运动可知：

)5(2

g

hvs

由（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）解得：

sM

mMs

析与解

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动量和能量

31 、直立的轻弹簧的下端固定在地面上，上端位于 O点。将质量为 m 的钢板与弹簧的上端连接，平衡时，弹簧的压缩量为 x0 ，如图。一物块从钢板的正上方距离为 3x0的 A 处自由落下，打在钢板上并立即与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。若物块的质量也为 m 时，它们恰好回到 O点。若物块质量为 2m ，仍从 A 点自由落下，则物块与钢板回到 O点时，还具有向上的速度。求物块质量为 2m 时向上运动到最高点与 O点的距离。

例与练

六合实验高中

动量和能量

解决电磁场中的动量和能量问题的基本方法和思路：

（ 1 ）首先考虑系统全过程动量是否守恒，如果守恒则对系统全过程用动量守恒定律。否则考虑用动量定理。

（ 2 ）要准确地分析每个物体在运动过程中的受力及其变化情况，准确地判断每个物体的运动情况。

（ 3 ）注意临界状态：磁通量不变时感应电流为 0，系统中两个物体速度相等。

六、电磁场中的动量和能量

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动量和能量

32 、如图所示，金属杆 a从离地 h 高处由静止开始沿光滑平行的弧形轨道下滑，轨道的水平部分有竖直向上的匀强磁场 B ，水平轨道上原来放有一金属杆b，已知 a杆的质量为 ma, 且与杆b的质量之比为 ma∶mb=3∶4，水平轨道足够长，不计摩擦，求：(1)a和 b的最终速度分别是多大 ?(2)整个过程中回路释放的电能是多少 ?(3)若已知 a、 b杆的电阻之比 Ra∶Rb=3∶4，其余部分的电阻不计，整个过程中杆 a、 b上产生的热量分别是多少 ?

例与练

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动量和能量(1)a下滑过程中机械能守恒 析与解

magh=mav02/2 a 进入磁场后，回路中产生感应电流， a、 b都受安培力作用， a做减速运动， b做加速运动，经过一段时间， a、 b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为 0，安培力为 0，二者匀速运动 .匀速运动的速度即为 a.b的最终速度，设为 v.由于所组成的系统所受合外力为 0，故系统的动量守恒 mav0=(ma+mb)v

va=vb=v= gh273

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动量和能量

(3) 由能的守恒与转化定律，回路中产生的热量应等于回路中释放的电能等于系统损失的机械能，即 Qa+Qb=E. 在回路中产生电能的过程中，电流不恒定，但由于 Ra与 Rb 串联，通过的电流总是相等的，所以应有

43

2

2

b

a

b

a

b

a

R

R

tRI

tRI

Q

Q

ghmEQ

ghmEQ

ab

aa

4916

74

4912

73

析与解 (2) 由能量守恒得知，回路中产生的电能应等于 a、 b系统机械能的损失，所以

E=magh-(ma+mb)v2/2=4magh/7

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动量和能量

33 、将带电量 Q=0.3 C ，质量 m′=0.15 kg的滑块，放在小车的绝缘板的右端，小车的质量M=0.5 kg，滑块与绝缘板间的动摩擦因数μ=0.4，小车的绝缘板足够长，它们所在的空间存在着磁感应强度 B=20 T 的水平方向的匀强磁场，开始时小车静止在光滑水平面上，当一个摆长为 L=1.25 m ，摆球质量 m=0.4 kg的单摆从水平位置由静止释放，摆到最低点时与小车相撞，如图所示，碰撞后摆球恰好静止， g取 10 m/s2.求：（ 1 ）摆球与小车碰撞过程中系统损失的机械能 E 是多少？（ 2 ）碰撞后小车的最终速度是多少？

例与练

六合实验高中

动量和能量

解决对多对象多过程的动量和能量问题的基本方法和思路：

（ 1 ）首先考虑全对象全过程动量是否守恒，如果守恒则对全对象全过程用动量守恒定律。

（ 2 ）如果全对象全过程动量不守恒，再考虑对全对象全过程用动量定理。要求每次系统动量变化要相同。

（ 3 ）如果每次系统动量变化不相同。不能对全对象全过程用动量定理，则考虑用列举法。

（ 4）如果用列举法不能列尽，则再考虑用归纳法。

七、多对象多过程的动量和能量

六合实验高中

动量和能量

34、人和冰车的总质量为M，人坐在静止于光滑水平冰面的冰车上，以相对地的速率 v 将一质量为 m 的木球沿冰面推向正前方的竖直固定挡板。设球与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞后球以速率 v反弹回来。人接住球后，再以同样的相对于地的速率 v 将木球沿冰面推向正前方的挡板。已知M： m=31 ： 2 ，求：（ 1 ）人第二次推出球后，冰车和人的速度大小。（ 2 ）人推球多少次后不能再接到球？

例与练

六合实验高中

动量和能量每次推球时，对冰车、人和木球组成的系统，动量守恒，设人和冰车速度方向为正方向，每次推球后人和冰车的速度分别为 v1 、 v2…，

则第一次推球后： Mv1 － mv=0 ⑴ 第一次接球后：（ M ＋ m ） V1′= Mv1 + mv ⑵

第二次推球后： Mv2 － mv = （ M ＋ m ） V1′ ⑶ 三式相加得 Mv2 = 3mv ∴v2=3mv/M=6v/31

以此类推，第 N次推球后，人和冰车的速度 vN=(2N－ 1)mv/M当 vN＞ v 时，不再能接到球，即

2N－ 1＞ M/m=31/2 N＞ 8.25∴人推球 9次后不能再接到球

析与解

六合实验高中

动量和能量

35、如图所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 0两侧的人的序号都记为 n(n=1 ， 2 ， 3…) 。每人只有一个沙袋， x>0一侧的每个沙袋质量为 m=14千克， x<0一侧的每个沙袋质量为 m′=10千克。一质量为M=48千克的小车以某初速度从原点出发向正 x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上， v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍 (n 是此人的序号数 ) 。 (1) 空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（ 2 ）车上最终有大小沙袋多少个？

3 12 0 1 2 3x

例与练

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动量和能量

3 12 0 1 2 3x

我们用归纳法分析。 (1) 在 x>0 的一侧：

第 1人扔袋： Mv0 － m·2v0=(M＋m)v1 ，

第 2人扔袋： (M＋m)v1 － m·2·2v1 =(M＋ 2m)v2 ，

第 n人扔袋： [M＋ (n － 1)m]vn1 m·2nvn1=(m+nm)vn

要使车反向 , 则要 Vn<0

即： M＋ (n － 1)m － 2nm<0 n=2.4 ，

取整数即车上堆积有 n=3 个沙袋时车将开始反向 ( 向左 ) 滑行。

析与解

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动量和能量(2) 只要小车仍有速度，都将会有人扔沙袋到车上，因此到最后小车速度一定为零，在 x<0 的一侧： 经负侧第 1人：

(M＋ 3m)v3 － m' ·2v3=(M＋ 3m+m')v' ，经负侧第 2人：(M＋ 3m＋m')v4 － m' ·4v4=(M＋ 3m＋ 2 m' )v5'

……

经负侧第 n'人 (最后一次 )： [M ＋ 3m ＋ (n' － 1)m']vn' 1 － m' ·2n' vn'1 =0

n' = 8 故车上最终共有 N=n＋ n' =3 ＋ 8=11( 个沙袋 )

3 12 0 1 2 3x

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动量和能量

36、如图质量为 m=2kg的平板车 (车身足够长 ) 的左端放一质量为M=3 kg的铁块 ,它和车间的动摩擦因数 μ =0.5.开始时 , 车和铁块以速度 vo=3m/s的速度向右运动 ,与墙碰撞 ,时间极短 ,且无机械能损失 .求 :车与墙第一次碰后 ,小车右端与墙的最大距离 ?车与墙第二次碰撞前 ,车和铁块的速度 ?铁块最终距车的左端多远 ?(车身至少要多长 ,铁块才不会从车上滑下 ?)

例与练

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动量和能量(1) 车从第一次碰到速度为零时 (此时铁块速度仍向右 ),距右端的距离最大 .对车用动能定理 :

(2) 如果车在与墙第二次碰前仍未与铁块相对静止 ,则车碰前的速度一定为 3m/s. 由系统在水平方向上动量守恒 :

可知 , 车在与墙第二次碰前车与铁块已相对静止以 v1=0.6m/s 速度运动。

(3)最后车与铁块一起静止在墙角 , 对全过程 ,由能量守恒 :

即板至少要 1.5 m铁块才不会从车上滑下

析与解

mdmvMgd 6.0,2

11

201

smvvmMmvMv /6.0,)( 1100

msvmMMgs 5.1,)(2

1 20

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动量和能量

37、一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是 1 ， 2 ， 3 ，… n 的物块，所有物块的质量均为 m ，与木板间的摩擦因素都相同，开始时，木板静止不动，第 1 ， 2 ， 3 ，… n号物块的初速度分别是 v0 ， 2 v0 ， 3 v0 ，… nv0 ，方向都向右，木板的质量木块的总质量相等，最终所有的物块与木板以共同速度匀速运动，设物块之间均无相互碰撞，木板足够长。试求：（ 1 ）所有物块与木板一起匀速运动的速度 vn （ 2 ）第 1号物块与木板刚好相对静止时的速度 v1

（ 3 ）通过分析和计算说明第 k号（ k＜ n ）物块的最小速度 vk

例与练

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动量和能量(1) 对所有木块和木板全过程由动量守恒 : 析与解nnmvnvvvvm 2)32( 0000

04

)1(v

nvn

(2) 方法一：第 1号木块与木板刚好相对静止时，第 1号木块与木板的速度都为 V1所有木块动量减少为 nm （ V0-V1 ） ,木板动量增加为 nmV1

20

1

vv

对所有木块和木板由动量守恒nm （ V0-V1 ） =nmV1

动量守恒定律也可用动量变化的形式： 21 PP

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动量和能量

(2) 方法二：第 1号木块与木板刚好相对静止时，此时第 1号木块与木板的速度都为 V1 ，此时

析与解

第 2号木块的速度为 2V0- （ V0-V1 ） = V0+V1 ，第 3号木块的速度为 3V0- （ V0-V1 ） = 2V0+V1 ，以此类推，第 n 号木块的速度为 nV0- （ V0-V1 ） = (n-1)V0+V1

对所有木块和木板由动量守恒 :

01

11010101

0000

2

)1(2

])1()2()([

)32(

mvnn

nmv

nmvvvnvvvvvm

nvvvvm

20

1

vv

实际上，第 2 、 3…n号木块的速度比第 1号木块速度分别大V0 、 2V0… (n-1)V0

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动量和能量 (3) 第 k 号木块先是在木板上减速，当速度与木板的速度相同后又将随木板加速。则当它相对于木板静止时速度最小，设此时第 k 号木块与木板速度为 Vk

析与解

第 k+1号木块的速度为 V0+Vk ，第 k+2号木块的速度为 2V0+Vk ，以此类推，第 n 号木块的速度为 (n-k)V0+Vk 对所有木块和木板由动量守恒 :

0

000

0000

2

)1)((2

])()2()[(

)32(

mvknkn

nmv

nmvvvknvvvvmkmv

nvvvvm

k

kkkkk

n

vknkvk 4

)12( 0

此时第 1号、第 2号、第 k-1号木块速度都为 Vk

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动量和能量

38、光滑水平面的一直线上，排列着一系列可视为质点的完全相同质量为 m 的物体，分别用 1 ， 2 ， 3 ，……标记，如图所示。在 1 之前，放一质量为M=4m 的可视为质点的物体 A ，它们相邻间的距离均为 L。现在，在所在物体都静止的情况下，用一水平恒力 F推物体 A ，从而发生一系列碰撞，设每次碰撞后物体都粘在一起运动。问： （ 1 ）当运动物体与第 3 个物体碰撞前的瞬间，其速度是多少？ （ 2 ）当运动物体与第几个物体碰撞前的瞬间，运动物体会达到在整个运动过程中的最大速度，此速度是多少？从开始运动到最大速度经历了多长时间？

例与练

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动量和能量

39、在做“碰撞中的动量守恒”实验中：（ 1 ）用精度为 0.1mm 的游标卡尺测量直径相同的入射球与被碰球的直径，测量结果如图甲所示，该球直径为 ______ ｃｍ．（ 2 ）实验中小球的落点情况如图乙所示，入射球Ａ与被碰球Ｂ的质量比为ＭＡ∶ＭＢ＝ 3∶2 ，则实验中碰撞结束时刻两球动量大小之比为ｐＡ∶ｐＢ＝ _____．

例与练

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动量和能量

40、某同学设计了一个用打点计时器验证动量守恒定律的实验：在小车 A 的前端粘有橡皮泥，推动小车 A使之做匀速运动，然后与原来静止在前方的小车 B 相碰并粘合成一体，继续做匀速运动，他设计的具体装置如图 (a) 所示，在小车 A 后连着纸带，电磁打点计时器电源频率为 50Hz，长木板下垫着小木片用以平衡摩擦力。 (1) 若已得到打点纸带如图 (b) ，并测得各计数点间距标在图上．A 为运动起始的第一点．则应选 ______段来计算 A 的碰前速度．应选 ______段来计算 A 和 B碰后的共同速度。 (2) 已测得小车 A 的质量 m1＝ 0.40kg，小车 B 的质量 m2＝ 0.20kg．由以上测量结果可得：碰前总动量＝ ________kg·m／ s；碰后总动量＝ ________kg·m／ s．

例与练