4. NAIZMJENINE STRUJE4.1 Prostoperiodine harmonine veliine i njihove osnovne karakteristike U elektrotehnici se najee primjenjuju ureaji koji koriste naizmjeninu struju "i". Kod naizmjenine struje mijenja se, tokom vremena, i intenzitet i smjer. Naizmjenine struje nastaju u elektrinom kolu u kojem djeluju naizmjenine elektromotorne sile e (odnosno naponi u). I struje i ems-e su periodine funkcije vremena i zadovoljavaju uslov:i (t ) = i (t + T ) ; e(t) = e(t + T) i u(t) = u(t + T)

Veliina T naziva se perioda periodine funkcije to je vremenski interval poslije koga se funkcija ponavlja. U teorijskoj elektrotehnici struja je prostoperiodina harmonina funkcija vremena (sinusna struja). Zbog toga e dalje, ako drugaije ne bude napomenuto, ovdje naizmjenina struja biti smatrana sinusoidalnom. Naizmjenina struja (napon, ems) karakterie se (Slika 4.1): trenutnom vrijednou i (u, e), maksimalnom vrijednou (amplitudom) I m (U m , E m ) , trajanjem punog ciklusa (periodom) T ili brojem perioda u jedinici vremena (uestanou, frekvencijom) ff = 1 T

(4.1)

Oigledno je da je jedinica za uestanost 1/sec. Ova jedinica ima poseban naziv jedan herc (1Hz; 1Hz (=) 1/s).i i Im t

T

Slika 4.1 Sinusna struja u funkciji vremena. Uestanost naizmjenine struje za napajanje elektroenergetskih ureaja meunarodno je standardizovana i iznosi 50 Hz. Ipak, u zemljama Sjeverne amerike i dijelu Japana ovaj standard nije prihvaen, te je, kao standardna, usvojena uestanost od 60Hz. Za pokretanje brzohodnih elektromotora koriste se i uestanosti (400-2000)Hz. Za napajanje indukcionih pei, koje se koriste za topljenje metala i za zagrijavanje metala radi termike obrade, koriste se uestanosti i do 50MHz. U sistemima radiodifuzije srijeu se uestanosti i do 3x1010Hz. Kod visokofrekventnih ureaja, umjesto uestanosti, iroko se koristi, kao veliina koja karakterie naizmjenini signal, talasna duina . Talasna duina je definisana na osnovu brzine prostiranja talasa v i uestanosti f, (odnosno periode)=v = vT [m] . f

(4.2) (4.3)

Veliina = 2f =

2 -1 s T

[ ]

iroko se koristi u elektrotehnici i naziva se kruna uestanost (kruna frekvencija, fazna brzina). Trenutna vrijednost sinusoidalne struje moe se izraunati, za bilo koji trenutak vremena t, preko njene maksimalne vrijednosti i faze (ugla pomjeraja) t na sljedei nain

i = Im sin t (4.4) Dakle, pri predstavljanju naizmjenine struje, na apscisu, umjesto vremena t, moe se nanositi ugao t, kao to je to predstavljeno na slici 4.2.i

T/4 0 /2

T/2

3T/4 3 /2

T 2

t t

Slika 4.2 Naizmjenina struja u funkciji ugla i vremena Za bilo koju od sinusoidalno promjenljivih veliina, mogue je uvijek odabrati poetak raunanja vremena tako da se poetak sinusoide poklapa sa koordinantnim poetkom (t=0, t=0). Promjene nekoliko sinusoidalnih veliina mogu se odvijati uz neki meusobni pomjeraj u vremenu. U takvim sluajevima, kae se da su naizmjenine veliine fazno pomjerene. Na slici 4.3 predstavljene su dvije naizmjenine struje razliito pomjerene po fazi. Struja sa slike 4.3a pomjerena je u jednu stranu, a struja sa slike 4.3b u drugu stranu u odnosu na koordinantni poetak. Na slici 4.3c prikazano je stanje obje struje tako da se poetak prve struje poklopio sa koordinantnim poetkom.i1t - -2

i2t

i1

i2t

a)

b)

c)

4.3 Dvije struje fazno pomjerene predstavljene u: a) i b) Razliitim koordinantnim sistemima; c) Istom koordinantnom sistemu. Za poetnu fazu kae se da je pozitivna ako je trenutna vrijednost sinusoidalne veliine, pri t=0, pozitivna, i obratno, za poetnu fazu kae se da je negativna kad je trenutna vrijednost veliine, pri t=0, negativna. Za veliinu sa pozitivnom poetnom fazom kae se da prednjai, a za veliinu sa negativnom poetnom fazom kae se da kasni u odnosu na veliinu ija je poetna faza jednaka nuli. U optem sluaju, trenutna vrijednost naizmjenine veliine izraava se kao i = Im sin( t + ) (4.5) s tim to moe biti: pozitivno, negativno ili jednako nuli. 4.2 Efektivna vrijednost naizmjenine veliine Pri mjerenju i davanju podataka o vrijednosti naizmjenine struje, u elektrotehnikoj praksi se oigledno ne govori o trenutnoj vrijednosti struje. Uostalom, poto se struja mijenja, o trenutnoj vrijednosti struje se moe govoriti samo ako se odredi i trenutak posmatranja. Ve sa grafike predstave naizmjenine struje, jasno je da je njena srednja vrijednost u toku jedne periode T jednaka nuli, tj. da je:

1 idt = 0 . T 0Meutim, esto se, da bi se istakla uloga pojedinih naizmjeninih veliina u odreenim efektima elektrine struje, za kvantitativno izraavanje naizmjeninih veliina, koristi srednja vrijednost odgovarajue veliine ne za vrijeme jedne periode, ve za vrijeme T/2 (za jednu poluperiodu). Tako je za strujuI sr = 1 T /2 1T /2

T

idt =0

1 T /2

T /2

I m sin(t ) =0

1

0

I0

m

sin(t )d (t ) =

=

I m cos(t ) 0 =Isr = 2

1

I m cos(t ) =Usr = 2 Um

2

Im2

odnosno (4.6) , za sve tri interesantne sinusoidalne veliine (struja, napon i ems). Kao osnovna karakteristika za kvantitativno izraavanje naizmjeninih veliina, koristi se njihova efektivna vrijednost. Uobiajeno je da se kao efektivna vrijednost naizmjenine struje Ief (I) smatra ona vrijednost struje, koja bi da je stalna, za vrijeme T, prolazei kroz termogeni otpor R, oslobodila istu koliinu toplote kao i ta naizmjenina struja. Da bi se dolo do ove vrijednosti, dakle, treba poi odIm

Esr =

Em

RI 2T = Ri 2 dt .0

T

Odavde se, izvlaenjem I i sreivanjem odgovarajueg izraza, dobija:I= = 1 T

T

0

i 2 dt =

1 T

T

0

2 I m sin 2 (t )dt =

I 1 2 T 1 1 1 2 1 I m cos(2t ) dt = Im T = m 0 T T 2 2 2 2I= Im 2 U= Um 2 E= Em 2

Na slian nain definiu se efektivne vrijednosti napona U i ems E, pa vai . (4.7) Pogodnost davanja podataka u efektivnim vrijednostima struje i napona je oigledna. To su vrijednosti koje mjerni instrumenti direktno mjere. S tim se vrijednostima direktno, pomou Dulovog zakona, moe sraunati srednja snaga kojom se oslobaa toplota u kolu: P = RI 2 ili P = U 2 / R , i sl. Jo jednom da podsjetimo da izrazi (4.6) i (4.7) vae samo za prostoperiodine (sinusne) veliine. Odnos izmeu efektivne i srednje vrijednosti naizmjenine veliine =I/Isr naziva se faktor oblika i, za sinusne veliine, iznosi o=1,11.

4.3 Predstavljanje naizmjeninih veliina obrtnim vektorima-fazorima U mehanici (teorija harmonijskih oscilacija) razraen je metod vektorskih dijagrama, koji omoguava da se harmonijsko oscilovanje predstavi projekcijom nekog radijus-vektora na nepokretnu osu, pri njegovom obrtanju stalnom brzinom. Na slici 4.4 predstavljen je radijus vektor A koji se obre stalnom ugaonom brzinom suprotno kretanju kazaljke na

satu. Poloaj toga vektora u trenutku t=0 odgovara pozitivnom smjeru ose 0x. Projekcija radijus-vektora na ordinatnu osu, pri njegovom obrtanju stalnom ugaonom brzinom , mijenja se premaa = A sin( t ) ,

to je, na slici 4.4 predstavljeno odgovarajuom sinusoidom u funkciji t.a a A t 0 2

Slika 4.4 Predstavljanje harmonijske oscilacije obrtnim vektorom. Navedeni metod, oigledno je, moe biti primijenjen i za predstavljanje naizmjeninih (sinusnih) veliina, to je ilustrovano, na primjeru etiri naizmjenine veliine, slikom 4.5. Veliinama predstavljenim na slici 4.5, oigledno, odgovaraju zapisie 1 = E1m sin( t + 0 ); e 2 = E 2 m sin( t + 2 ); i1 = I1m sin( t 3 ); i 2 = I2 m sin( t + 4 ).

Kako je kod sinusoidalnih veliina odnos maksimalnih i efektivnih vrijednosti konstanta ( 21 / 2 ), to se ove veliine mogu predstaviti i radijus-vektorima iji moduli odgovaraju efektivnim vrijednostima. Dakle, prostoperiodine funkcije vremena mogu se predstaviti obrtnim vektorima (fazorima). Poto se fazori obru istom ugaonom brzinom , oni su, dakle, meusobno nepokretni, te je njihov meusobni poloaj u bilo kom drugom trenutku isti kao u trenutku t=0. Na taj nain, mogue je prostoperiodine veliine sabirati grafiki.I2m E2m4 2 3

E1m

I1m

Slika 4.5 etiri elektrine veliine predstavljene obrtnim vektorima. Meutim, ovakva, grafika metoda, nije pogodna za rjeavanje iole sloenijeg kola, jer ne prua mogunost dublje, preciznije i obuhvatnije analize sloenog kola. 4.4 Predstavljanje naizmjeninih veliina kompleksnim koliinama Analiza malo sloenijeg kola za naizmjeninu veliinu preko trenutnih vrijednosti predstavljala bi mukotrpan posao rjeavanja sistema diferencijalnih jednaina. S druge strane, analiza istih pomou vektorskih veliina podrazumijeva sloene operacije nad vektorima. Ove tekoe su uslovile traenje metoda koji bi pojednostavio analizu kola za naizmjeninu struju. Znaajan korak naprijed u rjeavanju sloenih kola, nainio je tajnmec (1894. god.). On je grafiko predstavljanje obrtnim vektorima zamijenio analitikom predstavom pomou kompleksnog broja. Na taj nain, geometrijske operacije sa fazorima svode se na algebarske operacije sa kompleksnim brojevima. Time se i problem rjeavanja diferencijalnih jednaina svodi na rjeavanje algebarskih jednaina sa

kompleksnim brojevima. Ovaj metod obino se naziva simboliki metod sa kompleksnim brojevima Da bi se objasnio ovaj metod, valja se prvo podsjetiti da je opti oblik kompleksnog broja Z Z = R + jX , gdje je: R realna komponenta kompleksnog broja (realna osa) X imaginarna komponenta kompleksnog broja (imaginarna osa) j = 1 - imaginarna jedinica, nazvana imaginarnom zato to je j 2 = 1 , to nije sluaj kod ijednog realnog broja. (podsjetimo da je: j 3 = j 2 j = j ili a da je eksponencijalni oblik kompleksnog brojaZ = Z e j . 1 1 j = =j j j j

Veza izmeu ova dva oblika je Ojlerov obrazac e j = cos + j sin , te je Z = Z cos + jZ sin , ili { { R = Re Z} = Z cos i X = Im Z} = Z sin , sa modulom kompleksnog broja Z = Z = R 2 + X 2 i argumentom kompleksnog broja = arctg X R

Ako ugao fazora sa realnom osom zavisi od vremena = (t + ) tada se kompleksni broj pie u obliku:z (t ) = Z e j (t + ) = Ze j (t + )

Ovih nekoliko konstatacija, koje su itaocu poznate iz kompleksnog rauna, koristiemo kod rjeavanja elektrinih kola naizmjenine struje. Stoga, navedimo ovdje i sljedee: neka je elektromotorna sila prostoperiodina funkcija vremena, ija je trenutna vrijednost data u obliku: e(t ) = E m sin(t + ) . Ona se moe izraziti u kompleksnom obliku: e(t ) = E m e j (t + ) (4.8) Izvod po vremenu ovog kompleksnog izraza je:de = jE m e j (t + ) = j e , dt

(4.9) (4.10)

a integral istog izraza je:

edt =

1 1 E m e j (t + ) = e j j

Imajui prethodno u vidu, uvijek se, na osnovu kompleksnog predstavnika, moe jednoznano odrediti originalna funkcija kao imaginarni dio kompleksne koliine. Ako u linearnom elektrinom kolu (kolu sa konstantnim parametrima R, L i C) svi izvori imaju istu uestanost, tada i naponi na krajevima pojedinih elemenata kola, i struje u njima, imaju istu uestanost. Fazne razlike izmeu pojedinih naizmjeninih veliina su konstantne, pa ako se. za cijelo kolo, usvoji isti poetni trenutak, fazne razlike ostaju jednake razlikama poetnih faza odgovarajuih veliina (i, e i u). Na osnovu prethodnog, moe se, iz oblika za trenutnu vrijednost neke veliine, nai njen kompleksni predstavnik, za to je neophodno poznavati amplitudnu ili efektivnu vrijednost te sinusne veliine i njenu poetnu fazu.

4.5 Struja u kolu: termogene, kapacitivne i induktivne otpornosti Pri izuavanju kola jednosmjerne struje konstatovali smo da struja u takvom kolu, za odreenu vrijednost ems, zavisi samo od termogene otpornosti R kola. S druge strane, struje u kolima sa kondenzatorima javljaju se kroz grane sa kondenzatorima samo pri punjenju i pranjenju kondenzatora, dok u ustaljenim reimima izezavaju, te kondenzator u takvoj grani, za ustaljeno stanje, predstavlja prekid grane. Slino, elektromagnetna indukcija javlja se samo pri promjeni fluksa, odnosno promjeni struje koja izaziva taj fluks. Dakle, kalem, koji se karakterie induktivnou L, ne prua otpor stalnoj, ve samo promjenljivoj struji. Zbog toga, prisustvo kalema u grani kola jednosmjerne struje za ustaljena stanja valja smatrati kratkom vezom. Sasvim drugaije teku procesi u kolima za naizmjeninu struju. Naizmjenini napon, ili naizmjenina ems, u kolu sa kondenzatorom izaziva neprekidno ponavljanje procesa punjenja i pranjenja kondenzatora, to govori o tome da se, u toku jedne periode, kondenzator ponaa as kao prijemnik (uzima energiju kada napon raste kondenzator se puni) a as kao izvor (vraa energiju kada dovedeni napon opada kondenzator se prazni). Dakle, prisustvo kondenzatora u kolu za naizmjeninu struju, i pri ustaljenom stanju, treba uvaiti preko neke posebne otpornosti, koju kondenzator izaziva u odnosu na naizmjeninu struju. S druge strane, u kalemu se javlja elektromagnetna indukcija pri svakoj promjeni fluksa, tj. pri svakoj promjeni, pa i sinusnoj promjeni struje kao uzroka pojave fluksa. Pri tome, u kalemu se indukuje takva ems koja tei da suzbije uzrok svoje pojave. Ovo, takoe, govori o tome da kalem prua neki posebni otpor promjenama struje kroz njega, to se ne smije zanemariti pri analizi kola za naizmjeninu struju, koja sadre ovakve elemente, ni kada se radi o stacionarnim reimima. Pojam stacionarnog stanja ovdje ima drugi smisao nego kad se radi o kolima jednosmjerne struje. Naime, stacionarnim se smatra ono stanje pri kojem se naizmjenine veliine neprekidno mijenjaju u vremenu, ali se, pri tome, te promjene, u toku vremena posmatranja, stalno ponavljaju, tj., pri tome ne dolazi do promjena njihovih amplituda niti uestanosti. Pomenuemo samo kao injenicu, da je aktivna (termogena) otpornost vea pri naizmjeninoj nego pri jednosmjernoj struji, tj. da je (4.11) gdje je K>1 i naziva se faktor potiskivanja. Kaimo samo jo da je k utoliko vee ukoliko je uestanost naizmjenine struje vea i ukoliko je presjek provodnika vei. Vano je napomenuti da ne postoje elektrotehniki ureaji, niti elementi, koji pruaju samo jedan oblik otpornosti proticanju naizmjenine struje. Meutim, pojedini vidovi otpornosti, kod nekih ureaja ili elemenata, mogu biti dominantni, te je esto dozvoljeno druge oblike otpornosti zanemariti pri nekim analizama. Ako se poe od toga da je uvijek mogue odabrati toliko mali interval vremena posmatranja naizmjeninih veliina i odnosa meu njima, u kojem se te veliine mogu smatrati konstantnim (stalnim), tada nije neophodno dokazivati da svi algoritmi za rjeavanje kola jednosmjerne struje vae i za kola za naizmjeninu struju, ako se rauna sa odgovarajuim trenutnim vrijednostima naizmjeninih veliina, tj. vai i:R = kR=

u = Ri;

ik =1

m

k

= 0;

ui =1

m

(4.12)

i

= 0; p = ui.

Jedan od metoda za analizu kola za naizmjeninu struju oslanja se na algoritme date izrazom (4.12). I pored toga to je ovaj metod dosta sloen i nepraktian, zbog njegovog izvornog znaaja, valja ga primijeniti na neke jednostavne primjere kola. 4.5.1 Otpornik u kolu naizmjenine struje Kada je na krajeve kola sa slike 4.6a doveden napon oblikau = Um sin( t ),

tom naponu, u svakom trenutku vremena, mora drati ravnoteu pad napona na otpornikuuR = Ri

tako da je:u uR = 0 ,i u uR=Ri R

a)p=ui u i T/2 PR t T =0 Im Um f.o.

b)

c)

Slika 4.6 Otpornik u kolu naizmjenine struje: a) Kolo; b) Vremenski dijagram; c) Vektorski dijagram. odnosnou = uR = Ri .

Odavde jei=

Ovo je ilustrovano vremenskim (Slika 4.6b) i vektorskim dijagramom (Slika 4.6c). Iz izraza (4.13) i sa ovih slika, jasno je da su, u ovakvom kolu, promjene napona i struje jednovremene, tj. da nisu meusobno fazno pomjereni, pa kaemo da je struja u fazi sa naponom. Dakle, termogena otpornost ne utie na promjenu faznog stava struje u odnosu na napon koji je uzrokovao tu struju. Pored izraza za trenutnu vrijednost naizmjenine struje i=u/R, jednostavno je uoiti odnose izmeu maksimalnih i efektivnih vrijednosti U U Im = m i I= . (4.14) Trenutna snaga ovoga kola, saglasno (4.12), jeR R

u Um = sin( t ) = Im sin( t ) . R R

(4.13)

= 2UIsin 2 (t ) = UI 2sin 2 (t ) = UI [(1 cos(2t )] = = UI - UIcos(2t).

p = ui = U m sin(t ) I m sin(t ) = 2U sin(t ) 2 I sin(t ) =

(4.15)

Prvi lan u konanom izrazu za trenutnu snagu (4.15) predstavlja srednju, ili aktivnu, snagu PR = UI , dok drugi lan predstavlja periodinu komponentu trenutne snage koja osciluje oko srednje vrijednosti dvostrukom uestanou napajanja, pa je srednja vrijednost te komponente, za vrijeme T, jednaka nuli. Trenutna snaga p u otporniku nema negativnih vrijednosti to govori o tome da se itava snaga, koja dolazi u otpornik, troi u njemu (pretvara u toplotu) i da se nikakav njen dio ne vraa izvoru (mrei). 4.5.2 Kalem u kolu naizmjenine struje Kolo sa kalemom predstavljeno je na slici 4.7a. Neka su krajevi kola prikljueni na napon u = U m sin(t ) . Pod uticajem ovog napona, kroz kolo e protei struja i. Da bi se u kolu uspostavila ravnotea, mora biti u u L = 0 , pa, kako je:uL = eL =

to je odnosnoUm sin( t ) = L di , dt

di d d(Li) = =L , dt dt dtdi , dt

u=L

to, razdvajanjem promjenljivih, dovodi do 1 di = Um sin( t )dt . L Integraljenjem lijeve i desne strane ovog izraza, dobija sei=

injenica da struja kroz ovo kolo fazno zaostaje za ugao /2 za naponom, to se da uoiti iz izraza (4.16), prikazana je na slikama 4.7b i 4.7c. Proizvod L oznaava se sa X L i naziva se induktivnom otpornou ili reaktansom. Saglasno prethodnim izrazima, oigledno, vai:Im = Um U ; I= i U= XLI = EL . XL XL

1 1 U m cos(t ) = U m sin(t / 2) = I m sin(t / 2) (4.16) L L

(4.17)

i u uL=L(di/dt) L

a)u p=ui i /2 t3 /2 2

t =- /2

Um

f.o.

b)

c)

Im

Slika 4.7 Kalem u kolu naizmjenine struje; a) Kolo; b) Dijagram u funkciji t; c) Vektorski dijagram.

Trenutna snaga p predstavlja brzinu promjene energije magnetnog polja kalema p L i jednaka je:p L = u L i = U m sin(t ) [ I m cos(t )] = = 2UI sin(t ) cos(t ) = UI sin(2t )

(4.18)

Iz izraza (4.18) jasno je da je srednja (aktivna) snaga jednaka nuli (P=0). Dakle, kalem naizmjenino, sa uestanou 2f (vidi sliku 4.7b), uzima energiju iz mree (izvora) i vraa je istoj. Ova energija se angauje na "stvaranje" magnetnog polja u okolini kalema i vraa mrei pri "ukidanju" toga polja. 4.5.3 Kondenzator u kolu naizmjenine struje Kada se na ulaz kola sa slike 4.8a dovede napon oblika u=Umsin(t), tom naponu mora drati ravnoteu uc:u uc = 0 .

Kako je u C = q / C , to je i u = q / C , pa vai odakle se dobija:i=C

du 1 dq 1 = = i, dt C dt C

du d =C Um sin( t ) = CUm cos( t ) , dt dt

ili: gdje je:

i = Im sin( t + / 2) ,

(4.19)

Im = CUm =

Um 1/ C

i I=

U 1/ C

.

(4.20)

i u uC=q/C C

a)u p=ui i t Im = /2 Um f.o. 0 /2 3/2 2 t 2

b)

c)

Slika 4.8 Kondenzator u kolu naizmjenine struje: a) Kolo; b) Dijagram u funkciji t; c) Vektorski dijagram.

Struja u kolu sa kondenzatorom (isto kapacitivno optereenje) pomjerena je u odnosu na dovedeni napon za /2, to se vidi iz izraza (4.19) i sa dijagrama 4.8b i 4.8c, i prednjai dovedenom naponu za taj ugao. Veliina 1/C oznaava se sa i naziva se kapacitivna otpornost ili kapacitivna reaktansa. U skladu sa razmatranjima iz ovog dijela, moe se pisatiIm = Um U ; I= i U= XcI . Xc Xc1 = XC , C

(4.21)

Srednja vrijednost trenutne snage kola (4.22) jednaka je nuli (P=0). Dakle, kondenzator naizmjenino, uz uestanost 2f, prima energiju iz mree (puni se) i odaje energiju mrei (prazni se).p = ui = uc i = UI sin( 2t )

4.6 Potpuno prosto kolo naizmjenine struje Na slici 4.9 prikazano je potpuno prosto kolo naizmjenine struje. Potpuno, zato to kolo, osim aktivnog elementa izvora (mree) naizmjenine struje, sadri i sva tri pasivna elementa; otpornik otpornosti R, kalem induktivnost L i kondenzator kapacitivnosti C. Prosto kolo, zato, to sadri samo jednu granu, u kojoj su redno vezani pasivni elementi.i u R uR L uL C uC uL+ uC

Slika 4.9 Potpuno prosto kolo naizmjenine struje Rjeavanje kola najee se svodi na odreivanje struje u kolu, kada su poznati parametri kola; R, L i C i vrijednost naizmjeninog napona u (ems-e e). Kao to je pokazano za prosto kolo jednosmjerne struje, na osnovu zakona o odranju energije, u svakom trenutku mora biti zadovoljena jednaina ravnotee elektrinih sila u kolu: u u R u L uC = 0 . Neka je za kolo sa slike 4.9 na krajeve kola doveden napon oblika u = U m cos t . Jednaina ravnotee elektrinih sila moe se pisati u formi:U m cos t Ri L di uC = 0 dt

(4.23)

odnosno, kako je u C = q / C i i = dq/dt imamo:L d 2q dq q +R + = U m cos t . 2 dt C dt

(4.24)

Ova diferencijalna nehomogena jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (parametri R, L i C se ne mijenjaju tokom posmatranja) poznato je, ima rjeenje, koje se sastoji od zbira opteg i partikularnog rjeenja. Opte rjeenje, meutim, veoma brzo tei nuli. Partikularno rjeenje, koje je u ovom sluaju prostoperiodina struja, opisuje ustaljeni reim (stacionarno stanje) naizmjenine struje.

Mi emo izuiti samo ustaljeni reim, tj. traiemo izraz za struju u kolu, ne neposredno nakon prikljuenja kola na izvor (mreu), ve struju koja se u kolu ustali poslije izvjesnog vremena. Praktino se moe uzeti da se u kolu uspostavlja ustaljeni reim ve poslije nekoliko mili- ili mikrosekundi. Kako je napon, kao uzronik kretanja elektriciteta u kolu, oscilatorna funkcija, intuicija navodi da i rjeenje bude takoe oscilatorna funkcija, koja moe biti fazno pomjerena u odnosu na napon, pa rjeenje jednaine (4.24) potraimo u obliku: q = q m sin(t ) . (4.25) Dakle, za rjeenje je neophodno odrediti q m i fazni stav . Imajui u vidu da je:i= dq = q m cos(t ) , dt

(4.26)

i drugi izvod po vremenu:d 2q = 2 q m sin(t ) . 2 dt

(4.27)

Uvrstimo li izraze (4.25), (4.26) i (4.27) u jednainu (4.24) imamo:Um 1 2 C L sin( t ) + R cos( t ) = q cos t m

(4.28)

Koristei adicione teoreme za sinus i kosinus razlike uglova, gornja jednaina se moe napisati u pogodnijem obliku: 1 2 L cos + R sin sin t + C U 1 + 2 L sin + R cos cos t m cos t C qm

(4.29)

Kako ravnotea elektrinih sila u kolu mora biti zadovoljena u svakom trenutku, to lijeva strana jednaine (4.29) mora biti identiki jednaka desnoj strani. To je mogue samo ako je na lijevoj strani lan uz sin t jednak nuli, a lan uz cos t jednak desnoj strani, tj.1 2 C L cos + R sin = 0 Um 1 2 L C sin + R cos = q m

(4.30) (4.31)

Iz jednaina (4.30) i (4.31) moemo odrediti traene nepoznate veliine q m i . Iz jednaine (4.30) direktno slijedi: = arctg1

L

1 C = arctg X L X C = arctg X , R R R Um = 1 Um R2 + X 2

(4.32)

a nakon kvadriranja i sabiranja jednaina (4.30) i (4.31) slijedi:qm =

1 R 2 + L C

2

(4.33)

Sada je ustaljena naizmjenina struja, koja predstavlja prinudne oscilacije pod dejstvom naizmjeninog napona:i= dq = q m cos(t ) dt

(4.34)

ili kako je uobiajeno da se oznaava:

i = I m cos(t )

(4.35) (4.36)

Maksimalna vrijednost struje, oigledno je iz obrasca (4.33), je:Im = Um 1 R 2 + L C 2

=

Um R2 + X 2

=

Um Z

gdje je Z impedansa kola. Prema tome, impedansa ili prividna otpornost kola se sastoji od: R termogena ili aktivna otpornost, X L = L - induktivna otpornost, XC = 1 - kapacitivna otpornost, C X = X L X C - reaktivna otpornost ili krae reaktansa kola.

Svi ovi otpori se mjere u omima, ali, kao to pokazuje jednaina (4.36), oni se ne sabiraju jednostavno, ve na nain koji podsjea na Pitagorino pravilo za pravougaoni trougao. Zadrimo nau panju jo malo na posmatranom prostom kolu. Kolo moe biti realizovano sa razliitim vrijednostima parametara R, L i C (mogue je da kolo ne sadri L i/ili C). Ako je induktivni otpor vei od kapacitivnog, kolo nazivamo preteno induktivno kolo, tada je ugao faznog stava pozitivan, pa struja kasni za naponom za ugao . Obrnuto, ako je kapacitivni otpor vei od induktivnog, kolo nazivamo preteno kapacitivno kolo, ugao je negativan i struja prednjai naponu za ugao . Iako realno kolo ne moe biti realizovano bez aktivne otpornosti R, ipak se, u teorijskim razmatranjima, kolo sa kalemom za koje vai da je X L >> R smatra isto induktivnim. Kao to je pokazano ranije struja u kalemu kasni za ugao = / 2 . Kada je realizovano kolo sa kondenzatorom, u kome je X C >> R , smatramo ga isto kapacitivnim, a struja u njemu prednjai naponu za = / 2 . Iz izraza za impedansu (4.36) se vidi, da otpornost kola naizmjenine struje zavisi od uestanosti f napona na koji je kolo prikljueno ( = 2f ) . Uestanost, pri kojoj je zadovoljen uslov X L = X C , naziva se rezonantna uestanost, a pojava se naziva rezonancija. Oigledno, pri rezonanciji je impedansa minimalna Z = Z min = R , pa je struja u kolu maksimalna. Ova interesantna pojava se koristi u mnogim praktinim primjenama. Prelaskom na vektorsku interpretaciju, moe se rei da vektoru dovedenog napona Um dre ravnoteu dvije komponente, koje su meusobno fazno pomjerene za /2, kako je to ilustrovano slikom 4.10a.Um X Im

U XI f.o.

Z I f.o. R

S= UI X P= RI2

Q= XI2

Im

RI m

a)

b)

c)

d)

Slika 4.10 Dijagrami R, L, C - kola; a) Dijagram maksimalnih vrijednosti; b) Dijagram efektivnih vrijednosti;c) Trougao impedanse; d) Trougao snaga. Kada se sve komponente dijagrama sa slike 4.10a podijele sa 21/2 dobija se vektorski dijagram efektivnih vrijednosti veliina, kakav je prikazan na slici 4.10b. Sa ovih slika jasno se uoavaju jednakosti

2 2 2 Um = R2Im + X2Im

i

U2 = R2I2 + X2I2 ,

odakle se dobijaju izrazi za odgovarajue struje:Im = Um R +X2 2

i

I=

U R + X22

.

(4.37)

Iz trougla napona sa slike 4.10c, moe se dobiti i fazni pomjeraj napona u odnosu na struju:tg = XI X XL XC = = RI R R

.

(4.38)

Veliina

(4.39) predstavlja neku uoptenu otpornost kojom se kolo suprotstavlja proticanju struje kroz njega. Oigledno je da se impedansa moe predstaviti trouglom kao to je to uinjeno na slici 4.10c, na kojoj je zamijenjeno simbolom koji se ee srijee u literaturi. Komponente impedanse (otpor R i reaktansa X) mogu se sraunati preko: R = Z cos i X= XL XC = Z sin . (4.40) Bilans snaga u RLC kolu jasno se da sagledati iz trougla sa slike 4.10d, dobijenog kada su stranice trougla sa slike 4.10b pomnoene sa I. Shodno Dulovom zakonu, komponenta RI2 predstavlja srednju (aktivnu) snagu kola i obino se oznaava sa P, a izraava u W. Analogno ovome, definisana je komponenta XI2 kao reaktivna snaga kola, i ona se oznaava sa Q, a izraava u VAr (volt-amper reaktivni). Proizvod UI=U2(R2+X2)1/2 naziva se ukupna, ili prividna, snaga i obino se oznaava sa S i izraava u VA (volt-amper). Dakle, vae relacije P = RI2 ; Q = XI2 i S= UI. (4.41) Iz trougla snaga sa slike 4.10d jasni su odnosi P = S cos = UI cos i Q = S sin = UI sin . (4.42) Veliina cos naziva se faktor snage i predstavlja jednu od osnovnih veliina kojom se kvantitativno karakteriu kola za naizmjeninu struju.Z = R2 + X2 = R2 + ( XL XC )2

4.7 Osnovni zakoni kola u kompleksnom obliku Ako na krajevima kola za naizmjeninu struju djeluje napon U = Ue j , i kroz njega tee struja I = Ie j , a kad kolo, pored aktivne otpornosti sadri i reaktivnu, preteno induktivnu, otpornost, tada odgovarajui dijagram u kompleksnoj ravni izgleda kao na slici 4.11.+jXI U= Z I

RI

I

+1

Slika 4.11 Dijagram ravnotee napona u kompleksnoj ravni. Veliina, koja je jednaka odnosu kompleksnog napona na krajevima prijemnika i kompleksne struje kroz taj prijemnik, Z naziva se kompleksna otpornost ili impedansa prijemnika

Z=

U Ue j U j ( ) U j = j = e = e . I Ie I I

Ovdje Z=U/I predstavlja moduo impedanse, a =- njen argument. Dakle, kada je prijemnik preteno induktivnog karaktera, tada struja zaostaje (kasni) u odnosu na napon, ili napon prednjai struji (>), pa je >0, te je: Z = Zej = Z cos + jZ sin = R + jX . U suprotnom, struja prednjai naponu (0 pa se smatra da on troi

reaktivnu snagu. Kada je prijemnik preteno kapacitivan ( X L < X C ) ,onda je Q