§4.4 相似三角形的性质及其应用 (2)

笛卡尔说过 : 我所解决的每一个问题都将成为一个范例 , 以用于解决其他问题 , 这便是学习数学的真谛 !

西门中学 王娜君

如图 . 有一路灯杆 AB，小明在灯光下看到自己的影子 DF，那么（ 1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出 .（ 2）如果已知 BD=3m,DF=1m, 小明身高为 1.6m, 你能求得路灯杆的高吗？

A

BD

F

C

例 1 如图，屋架跨度的一半 OP=5m，高度 OQ=2.25m ，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1.20m ， AB 在水平位置。求 AB的长度（结果保留 3个有效数字）。

C

P

B

O

Q

A

例 2 数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：

方法一：如图，把镜子放在离树（AB） 8M 点 E处，然后沿着直线 BE后退到 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE=2.8M ，观察者目高 CD=1.6M ；

D E

A

B

C

3. 数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：

方法二：如图，把长为 2.40M 的标杆 CD直立在地面上，量出树的影长为 2.80M ，标杆影长为 1.47M 。分别根据上述两种不同方

法求出树高（精确到 0.1M ）FD

C

EB

A

请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？

如图，已知零件的外径为 a，要求它的厚度 x，需先求出内孔的直径 AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC和 BD 相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=n ，且量得 CD=b ，求厚度 x。

分析：

如图，要想求厚度 x，根据条件可知，首先得求出内孔直径 AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出 AB的长度。

O

O

解：

∴△AOB COD∽△

∵AB=CD · n = nb

又∵ CD=b

且∠ AOB= COD∠

∵ OA:OC=OB:OD=n

∵ OA:OC=AB:CD=n

又∵ x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2

1 、如图，△ ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120 毫米，高 AD=80 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB、 AC 上，这个正方形零件的边长是多少？

N

MQ

P E

DCB

A解：设正方形 PQMN 是符合要求的△ ABC 的高 AD与 PN 相交于点 E。设正方形 PQMN 的边长为 x毫米。

因为 PN∥BC ，所以△ APN∽ △ABC

所以AE

AD=

PN

BC

因此 ，得 x=48 （毫米）。答：边长为 48毫米。80–x

80=

x

120

2 、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B和 C，使 AB⊥BC ，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD＝ 120 米， DC ＝ 60 米， EC＝ 50 米，求两岸间的大致距离 AB．

A

D C

E

B

解： 因为 ∠ ADB＝∠ EDC， ∠ABC＝∠ ECD＝ 90° ，

所以 △ ABD∽△ECD，

 

答： 两岸间的大致距离为 100 米．

DC

BD

EC

AB那么

)米100(60

50120

DC

ECBDAB解得

我们还可以在河对岸选定一目标点 A，再在河的一边选点 D和 E ，使 DE⊥AD ，然后，再选点 B，作 BC∥DE ，与视线 EA 相交于点 C。此时，测得 DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离 AB了。

A

D E

B C

一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的 )

2 测距 (不能直接测量的两点间的距离 )二、测高的方法

测量不能到达顶部的物体的高度 ,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决

三、测距的方法 测量不能到达两点间的距离 ,常构造相似三角形求解解决实际问题时（如测高、测距），一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题