10.5 相似三角形的性质 4

问题 1

相似三角形有哪些性质？

相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长的比等于相似比 .面积比等于相似比的平方 .

Ⅼ

A

B C

Ⅼ

A′

B′ C′D′E'F'

说明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 .

例题 如图，与小孔 O 相距 32cm 处有一支长 30cm 燃烧的蜡烛 AB ，经小孔，在与小孔相距 20cm 的屏幕上成像 . 求像 A’B’ 的长度 .

例 1 ：如图，已知以点 A 、 D 、 E 为顶点的三角形与△ ABC 相似，且 AD=3 ， DE=2.5 ， AE=4,AC=6 ，∠ AED＝∠ B ，求△ ABC 的周长

A

B C

DE

例 2 ：如图所示 , 正方形ABCD 中 ,AB=2,E 是 BC的中点 ,DF⊥AE 于 F.(1) 试说明△ ABE∽△DFA ；(2) 求△ DFA 的面积 S1和四边形 CDFE 的面积 S2.

例 3：如图所示 ,正方形 ABCD中 ,AB=2,E是 BC的中点 ,DF AE⊥ 于 F.(1)试说明△ ABE DFA∽△ ；(2)求△ DFA的面积 S1和四边形 CD

FE的面积 S2.

F

D

CB

A

E

例 4：如图，已知 DE∥FG∥MN∥BC，且 AD＝ DF＝ FM＝MB，

求 S1:S ２ :S ３ :S4 D

S4

S3

S2

S1

A

B C

E

F G

M N

例 5：有一块三角形铁片 ABC， BC=12cm，高 AH=8cm，按下（ 1）、（ 2）两种设计方案把它加工成一块矩形铁片 DEFG，且要求矩形的长是宽的２倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些。请你通过计算判断（ 1）、（ 2）两种设计方案哪个更好？

(1)

M

A

BC

D G

E FH

(2)

M

A

B C

D G

E FH

如图，把△ ABC沿 AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ ABC的面积一半，若 AB=，则求此三角形平移的距离 AA′.

C

A B

C'

A' B'

小试牛刀

平行线分线段成比例定理

如图 (1),已知 l1 l∥ 2 l∥ 3 ,直线 l4 被 l1、 l2、 l3 所截，其中截得的两条线段为 AB、 AC，直线 l5 是另外任一条被直线 l1、 l2、l3 所截的直线，其中截得的两条线段为 DE、 EF，则。

特别地，如图（ 2），在△ ABC中， D是 AB的中点且 DE∥BC，交 AC于点 E时， AE=CE，此时 DE叫做△ ABC的中位线；

如图（ 3），当 E是腰 AB的中点且 EF∥BC∥AD，交 CD于点F时， DF=CF， EF叫做梯形 ABCD的中位线且 EF=（ AD+BC）。

(3)(2)(1) l3

l2

l1

l5l4

F

ED

C

B

A A

B C

A D

B C

D E E F

再 见