1 、会用尺规作角的平分线 .

角的平分线上的点到角的两边的距离相等2 、角的平分线的性质 :

O C

B

1

A

2P

D

E

PD⊥OA， PE⊥OB∵∵ OC 是∠ AOB 的平分线

∴ PD＝ PE

用数学语言表述：

• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

已知：如图 ,QD⊥OA ， QE⊥OB ，点 D 、 E 为垂足， QD ＝ QE ．求证：点 Q 在∠ AOB 的平分线上．

证明 : ∵∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），　∴ ∠QDO＝∠QEO＝ 90° （垂直的定义）

在 Rt△QDO和 Rt△QEO中　 QO＝QO（公共边）

QD=QE ∴ Rt△QDO Rt≌ △QEO（ HL ）

　∴ ∠ QOD ＝∠ QOE

∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上

已知：如图 ,QD⊥OA ， QE⊥OB ，点 D 、 E 为垂足， QD ＝ QE ．求证：点 Q 在∠ AOB 的平分线上．

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

∵∵ QD⊥OA ， QE⊥OB ， QD ＝QE ．

∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上．

用数学语言表示为：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等 .∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点 Q 在∠ AOB 的平分

线上∴ QD ＝ QE

思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1： 20 000 ）

Ｓ

Ｏ

公路 铁路

做角的平分线OC ，然后截取 OP=2.5cm ，即点 P 为所求。

如图 , △ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P,求证：点 P 到三边 AB 、 BC 、 CA 的距离相等

∵BM 是△ ABC 的角平分线 ,点 P 在 BM 上 ,

A

B C

PMN D

E

F

∴PD=PE( 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 ).同理 ,PE=PF.∴PD ＝ PE=PF.即点 P 到三边 AB 、 BC 、 CA 的距离相等

证明：过点 P 作 PD AB⊥ 于 D ，PE BC⊥ 于 E ， PF AC⊥ 于 F

如图，已知△ ABC 的外角∠ CBD 和∠ BCE的平分线相交于点 F ，

求证：点 F 在∠ DAE 的平分线上．

证明：过点 F作 FG⊥AE 于 G， FH⊥AD 于 H， FM⊥BC 于 M G

H

M∵点 F在∠ BCE 的平分线上， 　　　　 FG⊥AE ， FM⊥BC

∴FG ＝ FM又∵点 F 在∠ CBD 的平分线上， 　　　　 FH⊥AD ， FM⊥BC∴FM ＝ FH∴FG ＝ FH∴ 点 F 在∠ DAE 的平分

线上　　　

如图，在△ ABC 中， D 是 BC 的中点， DE⊥AB ， DF⊥AC ，垂足分别是 E ， F ，且BE ＝ CF 。求证： AD 是△ ABC 的角平分线。A

B C

E F

D

利用结论，解决问题练一练 1 、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村 . 要使这个度假村到三条公路的距离相等 , 应在何处修建 ?想一想 在确定度假村的位置时 , 一定要画

出三个角的平分线吗 ? 你是怎样思考的 ? 你是如何证明的 ?

拓展与延伸2 、直线表示三条相互交叉的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 则可供选择的地址有 :( ) A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处

分析 : 由于没有限制在何处选址 , 故要求的地址共有四处。

A

B

C

D

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

∵∵ QD⊥OA ， QE⊥OB ， QD ＝QE ．

∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上．

用数学语言表示为：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等 .∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点 Q 在∠ AOB 的平分

线上∴ QD ＝ QE

由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；

反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。

• 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 .

拓展与延伸3 、已知 :BD⊥AM 于点 D,CE⊥AN 于点 E,BD,CE 交点 F,CF=BF, 求证 : 点 F 在∠ A 的平分线上 .

AAAAAAA

D

NE B

F

MC

A

先证明△ CDF BEF≌△ （ AAS ）

FD=FE

再证明△ ADF AEF≌△

（ HL ）∠ DAF= ∠ EAF