ANTIDERIVADA

Existen problemas en los cuales conocemos la derivada de la funcin, como por

ejemplo: la tasa de variacin instantnea, la pendiente de una curva en cada uno de sus

puntos o la velocidad de un punto mvil en cada instante y queremos encontrar la

funcin que le dio origen.

El proceso de encontrar una funcin a partir de su derivada se llama antidiferenciacin.

Es un proceso inverso a la derivacin ante el cual podemos decir que buscamos una

funcin primitiva o antiderivada.

La antiderivada es la funcin que resulta del proceso inverso de la derivacin, es decir,

consiste en encontrar una funcin que, al ser derivada produce la funcin dada.

Por ejemplo:

Si , entonces , es una antiderivada de f(x),

Pues

Definicin: Una funcin F recibe el nombre de Antiderivada o Primitiva de f en un

intervalo I, si:

'( ) ( ) ,F x f x x I

Observe que no existe una derivada nica para cada funcin. Por ejemplo, si

, entonces es otra antiderivada de f(x), pues .

Ejemplos:

1. La antiderivada ms general de 6( ) 7 5f x x es 7( ) 5F x x x C .

2. La antiderivada ms general de ( ) 9f x x es 32

( ) 93

F x C x x C .

Definicin: Si F(x) es la antiderivada de f(x) sobre el intervalo I, entonces:

Es la antiderivada general de f(x).

Al conjunto de todas las antiderivadas se le llama INTEGRAL INDEFINIDA y se

representa por:

( ) ( ) ( )G x f x dx F x C

En donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integracin o diferencial de x y C es

la constante de integracin.

Ejemplos:

1. ( )x xe x dx e C

2. 1

ln( )dx x Cx

3. 6 6dx x C

FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN

Sean , f g funciones derivables, adems , k C constantes, entonces tenemos:

1. ( ) ( )k f x dx k f x dx

2. ( ) ( ) ( ) ( )a f x b g x dx a f x dx b g x dx

3. k dx k x C

4. 1

1

nn xx dx C

n

5. lndx

x Cx

6. x xe dx e C

7. ( ) cos( )sen x dx x C

8. cos( ) ( )x dx sen x C

9. tan( ) ln cos( )x dx x C

10. c ( ) ln ( )tg x dx sen x C

11. sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan2 4

xx dx x x C C

12. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2

xx dx x ctg x C C

13. 2sec ( ) tan( )x dx x C

14. 2csc ( ) ( )x dx ctg x C

15. sec( ) tan( ) sec( )x x dx x C

16. csc( ) ( ) csc( )x ctg x dx x C

17. 2 2

1 1arctan

xdx C

x a a a

18. 2 2

1ln

2

dx x aC

x a a x a

19. 2 2

1ln

2

dx x aC

a x a x a

20. 2 2

dx xarcsen C

aa x

21. 2 22 2

lndx

x x a Cx a

22. 2 22 2

lndx

x x a Cx a

23. 2

2 2 2 2

2 2

x a xa x dx a x arcsen C

a

24. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

x ax a dx x a x x a C

25. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

x ax a dx x a x x a C

26. 2 2

1, 0

xdxarcsen C a

a ax x a

27. 2 2

2 2

1 ln( )dx a a xC

a xx a x

TCNICAS DE INTEGRACIN

INTEGRACION POR FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN: Se encuentran las primitivas en forma inmediata con la aplicacin de las frmulas

bsicas de integracin, considerando algunos recursos algebraicos. En ocasiones, antes

de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresin de tal

forma que se pueda aplicar dichas frmulas bsicas.

Ejemplos:

1. 7

6 6 799 9 97 7

xx dx x dx C x C

2. 6 4 2

5 35 2 9 7 5 2 9 76 4 2

x x xx x x dx x C

3. 2

2 5 4 2 2 5 5 4 4 5 5x dx x x dx xdx xdx dx

23

24 8 5

52 3

xx x C

4. 5

2 2 44 4 16 165

xx x dx x dx x C

5.

5 3 2

3

6 9 2x x xdx

x

Solucin:

Descomponiendo la fraccin en suma de fracciones: 5 3 2 5 3

2

3 3 3

6 9 2 6 9 2 26 9

x x x x xx

x x x x x

Por tanto:

5 3 22

3

3

3

6 9 2 26 9

6 9 2ln3

2 9 2ln

x x xdx x dx

x x

xx x C

x x x C

6. 55 3 3

3 4

4 2

2

x x xdx

x

Solucin: 3 35 5

55 3 3 3 35 52 2

4 4 4 43 4 3 3 3 3

5 53 37 711 11

6 15 6 15

8313 4

6 15

4 2 4 2 4 2

2 2 2 2 2

2 22 2

12 15 3

13 4 8

x x x x x x x x xdx dx dx

x x x x x

x xx x dx x dx x dx dx

xx x C

7. El ingreso marginal derivado de la produccin de x unidades de cierto artculo

es 3'( ) 8 2I x x x dlares por unidad. Si el ingreso derivado de la produccin

de 12 unidades es de $12000, cul ser el ingreso esperado por la produccin

de 20 unidades?

8. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto

bien es 2'( ) 3 24 48C q q q dlares por unidad. Si el costo de produccin de

10 unidades es de $5000, cul es el costo de produccin de 25 unidades?

9. Un fabricante estima que el ingreso marginal ser 1/2'( ) 200R q q dlares por

unidad cuando el nivel de produccin sea de q unidades. Se ha determinado

que el costo marginal correspondiente es de 0.4q dlares por unidad. Suponga

que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de produccin es de 25

unidades. Cul es la utilidad del fabricante cuando el nivel de produccin sea

de 36 unidades?

10. Un ecologista encuentra que cierto tipo de rbol crece de tal forma que su

altura ( )h t despus de t aos cambia a una razn de

2/3'( ) 0.2 pies/aoh t t t

Si cuando se plant el rbol ste tena una altura de 2 pies, cul ser su altura dentro de 30 aos?

INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE

El mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable consiste en transformar

la integral dada, mediante un cambio de variable en otra ms sencilla de integrar.

Si se tiene ( )f u du (una integral no inmediata), se trata de hacer un cambio:

( )u g x , entonces '( )du g x dx para llegar a:

( ) ( ) '( )f u du f g x g x dx

Ejemplos:

1. Determinar 22 1 x xdx .

Solucin:

Hacemos el cambio 21u x , entonces 2du xdx . Sustituyendo en la

integral, tenemos:

32 2

22 1

3x xdx u du u C

Reemplazando u por 21 x , tenemos:

3

2 2 222 1 13

x xdx x C

2. Determinar 3 24x x dx .

Solucin:

Haciendo 24 2u x du xdx

2

duxdx

Luego, reemplazando en la integral:

1 43 2 3 3 3

42 3

1 34

2 2 8

34

8

dux x dx u u du u C

x C

3. Determinar 3

5 42 5x x dx

Solucin: Hagamos 5 42 5u x du x dx . Reemplazando en la integral,

tenemos:

43

5 4 3

45

2 54

2

4

ux x dx u du C

xC

4. Determinar 2sec ( ) tan( )x x dx .

Solucin: Hagamos 2tan( ) sec ( )u x du x dx . Reemplazando en la integral,

tenemos: 2

2

2

sec ( ) tan( )2

tan ( )

2

ux x dx udu C

xC

5. Determinar

2

2 3cos

x dxdx

x .

Solucin:

Hagamos 3 23u x du x dx

2

3

dux dx

Reemplazando, tenemos:

22 2 3 2

2 3

3

1sec sec ( )

3cos

1 1tan( ) tan

3 3

x dxdx x x dx u du

x

u C x C

INTEGRACIN POR PARTES:

Se obtiene de la frmula para la derivada del producto de dos funciones. Si y f g

son

funciones diferenciales, entonces:

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

df x g x f x g x f x g x

dx

df x g x f x g x g x f x

dx

Al integrar cada miembro de esta ecuacin se obtiene:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

df x g x dx f x g x dx g x f x dx

dx

f x g x dx f x g x g x f x dx

Recibe el nombre de frmula de integracin por partes. Para los propsitos del clculo,

una forma ms conveniente de esta frmula se obtiene al considerar

( ) y ( )u f x v g x .

Entonces '( )du f x dx

y '( )dv g x dx de modo que se transforma en:

udv uv vdu

Ejemplos:

1. Hallar cos( )x x dx .

Solucin: Haciendo u x du dx .

cos ( )

cos ( )

( )

dv x dx

dv x dx

v sen x

cos ( ) cos ( ) ( ) ( )

( ) cos( )

v vdvu u du

x x dx x x dx x sen x sen x dx

x sen x x C

2. Hallar ln( )x dx .

Solucin:

Haciendo ln( ) dx

u x dux

.

dv dx

dv dx

v x

Integrando por partes, tenemos:

ln( )x dx uv vdu

Reemplazando:

1

ln( ) ln( )

ln( )

ln( )

x dx x x x dxx

x x dx

x x x C

3. Hallar 32 ln( )x x dx .

Solucin:

Haciendo ln( )u x

y 32dv x dx ; tenemos:

dxdu

x

3

4

2

2

dv x dx

xv

Entonces: 4 4

3

4 3 4 4

12 ln( ) ln( )

2 2

ln( ) ln( )2 2 2 8

x xx x dx x dx

x

x x x xx dx x C

4. Hallar 3 32 1 xx x e dx .

Solucin:

Haciendo 3 22 1 3 2u x x du x dx

y 3

3 3

xx edv e dx v .

Luego:

3 3

3 3 3 2

(1)

2 1 2 1 3 23 3

x xx e ex x e dx x x x dx

Luego, volveremos a aplicar integracin por partes en (1) para encontrar la integral dada:

3

2

1 3 23

xeI x dx

Haciendo 23 2 6u x du x dx

y 3 3

3 9

x xe edv dx v .

Luego:

3 3

2

1

(2)

3 2 69 9

x xe eI x xdx

Luego, volveremos a aplicar integracin por partes en (2) para encontrar la integral dada:

3

2

2

3

xe xI dx

Haciendo u x du dx

y 3 32 2

3 9

x xe edv dx v .

3

3 3 3 3

2

2 2 2 2 2

3 9 9 9 27

xx x x xe xI dx xe e dx xe e C

Reemplazando en (1) y (2) se obtiene:

3 3 3 3

3 3 3 2 2 22 1 2 1 3 23 9 9 27

x x x xx e e xe ex x e dx x x x C