1.1. SANAL SAYILAR - AtaSevinc.net1.1. SANAL SAYILAR Gerçel sayılar kümesinde eksi sayıların...
Transcript of 1.1. SANAL SAYILAR - AtaSevinc.net1.1. SANAL SAYILAR Gerçel sayılar kümesinde eksi sayıların...
-
1
1. KARMAŞIK SAYILAR
1.1. SANAL SAYILAR
Gerçel sayılar kümesinde eksi sayıların karekökleri mevcut değildir. Ancak gerçel sayılar kümesinin dışında “birim sanal sayı” diye adlandırılan
1j (1.1)
gibi bir sayı tanımlarsak, bütün eksi sayıların kareköklerini j cinsinden ifade edebiliriz.
Örnek 1.1:
241)4( 21 j veya 241)4( 21 j □
Genel olarak b bir gerçel sayı olmak üzere jb biçiminde ifade edilebilen
sayılara “sanal sayı” denir. Sıfır hariç her sanal sayının karesi eksi bir gerçel sayıdır ve bütün eksi gerçel sayıların karekökleri sanal sayılar kümesindedir.
1.2. SANAL SAYILARIN GERÇEL SAYI DOĞRUSUNA GÖRE KONUMU
Sanal sayıların gerçel sayı doğrusuna göre nerede gösterilmesi gerektiğini bulmak için, geometrik yerini açıkça görebildiğimiz öyle bir büyüklük formülü üretelim ki bu formüldeki parametreleri ayarlayarak bu büyüklüğü istersek gerçel, istersek sanal yapabilelim. Böylece formüldeki parametreleri ayarlayarak sanal yapacağımız büyüklüğün uzayda gerçel sayı doğrusuna göre konumunu da görebiliriz. Bu amaca uygun bir formül, elipsin odak koordinatları formülüdür.
Bilindiği gibi, düzlemde “merkez” adı verilen bir noktadan (M) sabit uzaklıktaki
noktalar kümesinin oluşturduğu şekle “çember” denilir.
-
2
(a) Her P noktasında r sabit (b) Her P noktasında 21 rr sabit
Şekil 1.1: Çember ve elips tanımları
Benzer olarak, düzlemde “odak” adı verilen iki noktadan ( 1F ve 2F ) uzaklıkları toplamı sabit olan noktalar kümesi de “elips” olarak adlandırılır (Şekil 1.1).
Aslında “uzunluk” veya mesafe, negatif olmayan gerçel sayı olarak tanımlıdır. Biz ise sanal sayıların anlamını yorumlamak istediğimiz için, uzunluk yerine, sonucu negatif veya karmaşık olsa bile, kartezyen koordinatlar arasındaki farkların kareleri toplamının karekökü ifadesini kullanalım.
Şimdi, odakları gerçel sayı doğrusu üzerinde orijine göre simetrik 1F ve 2F koordinatlarında bulunan ve bu odaklar ile koordinat farklarının kareleri toplamının karekökleri toplamı ( 21 rr ) sabit olan noktalar kümesinden oluşan düzlemsel şekli
düşünelim ( 1r ve 2r negatif olmayan gerçel sayı diye kısıtlansaydı, kastedilen elips idi). Şeklin yatay ve düşey olarak orijinden en büyük uzaklıkları sırasıyla a ve b (negatif olmayan gerçel) olsun (Şekil 1.2).
(a) Far 11 , Far 21 (b) 22
2212 bFrr
Şekil 1.2: Odakların yerlerinin iki özel nokta ( 1P ve 2P ) kullanılarak bulunması
Odakların orijine uzaklığına F dersek, Şekil 1.2 yardımıyla odakların koordinatları şöyle bulunur:
22121211 rrrr
r
M
P
1F 2F
1r2r
P
1F 2F
12r 22r
1F 2F
21r
a
1Pb
11r
0 0
2P
Gerçelsayıdoğrusu
Gerçelsayıdoğrusu
-
3
2222)()( bFaFaFa
22 baF m
222221 , baFbaF (1.2)
Baştan da amaçladığımız gibi, a ve b değerleri uygun bir biçimde seçilirse bu koordinatlar sanal sayı olabilmektedir. ba için Şekil 1.3(a)’daki biçimde olan bu
elips, ba için elipsin özel bir hali olan çember biçimini alır ve odakları üst üste çakışarak çemberin merkezi haline gelirler(Şekil 1.3(b)). ba olduğunda ise (1.2) formüllerine göre odak koordinatları sanal sayı olur. Bu durumda şeklin biçimi, Şekil 1.3(a)’daki elipsin 90° döndürülmüşü gibi olmaktadır. O halde yeni şeklin odakları da 90° döndürülmüş olacaktır(Şekil 1.3(c)).
(a) ba , (b) ba (c) ba
Şekil 1.3: Şeklin boyutları değiştirilirken odaklarının yer değiştirmesi
Bu kurgu problemden görüldüğü gibi sanal sayılar, gerçel sayı doğrusuna dik ve orijinden geçen bir doğru üzerinde yer almaktadır. Gerçel ve sanal sayı doğruları tarafından belirlenen düzleme “karmaşık düzlem” denir (Şekil 1.4).
Şekil 1.4: Gerçel ve sanal sayı doğruları, ve karmaşık düzlem
1F2F 21FF
1F
2F
1 323 1 2
j
2j
j
2j
0
Sanal sayıdoğrusu
Gerçel sayıdoğrusu
-
4
1.3. KARMAŞIK SAYILAR
Gerçel ve sanal birer sayının toplamı olarak ifade edilebilen sayılardır. Yani a
ve b gerçel olmak üzere,
jbac (1.3)
biçiminde yazılabilen her c sayısı karmaşık sayıdır. Burada a ve b , karmaşık sayının sırasıyla gerçel ve sanal kısmıdır. (1.3) biçimdeki gösterime, “karmaşık sayının kartezyen gösterimi” denir.
Bir karmaşık sayının gerçel ve sanal kısımlarını veren fonksiyonları sırasıyla
ac }{Re (1.4)
bc }{Im (1.5)
olarak tanımlanır.
Şekil 1.5: Karmaşık sayıların karmaşık düzlem üzerindeki yeri
Karmaşık sayılar, karmaşık düzlem üzerinde yatay koordinatı sayının gerçel kısmı, düşey koordinatı da sanal kısmı olan birer noktayla gösterilirler. Karmaşık sayılar ayrıca, orijinden bu noktaya giden birer vektörle de gösterilebilirler. Bu noktanın orijine olan mesafesi r , gerçel eksenin artı kısmıyla Şekil 1.5’de gösterilen yönde yaptığı açı da ile gösterilerek “karmaşık sayının kutupsal
gösterimi” şöyle tanımlanır:
rc (1.6)
Burada r ’ye “karmaşık sayının modülü”, ’ya da “karmaşık sayının açısı” denir. açısı birimiyle birlikte dikkate alınmalıdır. Birimi belirtilmemişse radyan kabul edilir.
Kartezyen gösterimden kutupsal gösterime şöyle geçilir:
22 bar (1.7)
a
jbjbac
r
0
Sanal sayıdoğrusu
Gerçel sayıdoğrusu
-
5
iseaa
b
iseaa
b
isebvea
isebvea
0Arctan
0Arctan
002
002
(1.8)
Dikkat 1.1: Sanal sayı doğrusu üzerindeki sayıların j ile beraber gösterilmesi, sanallığın vurgulanması içindir. Ancak vektörün uzunluğunu Pisagor formülünden hesaplarken, sanal kısım j hariç hesaba katılır. Diğer yandan Sa fonksiyonunun çıkışı da j ’sizdir.
Dikkat 1.2: (1.8) denklemindeki Arctan fonksiyonu, hesap makinelerinin 1tan fonksiyonu olup
2,
2 aralığında değer alır (Değer kümesi bu aralıkta sınırlanmış 1tan işlemi bir fonksiyon haline
gelir ve ilk harfini büyük yazarak bu fonksiyonu “ Arctan ” biçiminde göstereceğiz) Fakat bazı hesap
makinalarında kartezyen koordinatlardaki a ve b (veya x ve y )verildiğinde kutupsal gösterime çeviren hazır fonksiyonlar bulunur ki bunlar (1.8) denklemindeki ihtimalleri dikkate alarak doğru sonuç verirler. Örneğin MATLAB’ın “[r, theta]=atan2(a, b)” fonksiyonu böyledir. a ve b ’nin her ikisi de sıfır ise açı aslında belirsizdir ama herhangi bir değer kabul edilebilir, limit olarak önemi yoksa hiç farketmez.
□
Örnek 1.2:
)4(2452Arctan(1)21 oj )45(2Arctan(-1)21 o j
oo 1352180Arctan(-1)21 j oo 2252180Arctan(1)21 j
oo 900300)(0000 belirsizj
o
6003Arctan03lim0
xjxx
)2(1901 oj , o9044 j
)2(1901 oj , o9055 j
o011 , 118011 o
Şekil 1.6: Bazı karmaşık sayılar
j1
j1j1
j1
11
j
j
o45
o45
0o225
o135
Sanal
Gerçel
-
6
□
Kutupsal gösterimden kartezyen gösterime ise, Şekil 1.5’ten kolayca görülebileceği gibi şöyle geçilir:
cosra , sinrb (1.9)
yani
sincos jrrrjba (1.10)
yazılabilir.
1.4. KARMAŞIK SAYILARDA TEMEL İŞLEMLER
11111 rjbac , 22222 rjbac (1.11)
karmaşık sayılarını ele alalım.
1.4.1. Karmaşık Sayıların Eşitliği
İki karmaşık sayının birbirine eşit olması, bunların gerçel ve sanal kısımlarının karşılıklı olarak birbirine eşit olması demektir:
212121 ve bbaacc (1.12)
Ancak karmaşık sayıların eşit olması, kutupsal gösterimdeki modül veya açılarının karşılıklı olarak eşit olmasını gerektirmez. Çünkü k herhangi bir tamsayı olmak üzere açının k2 kadar değiştirilmesi karmaşık sayıyı değiştirmez. Ayrıca açıyı
)12( k kadar değiştirirken modülü de -1 ile çarparsak karmaşık sayı yine aynı kalır.
)2()()2( krkrr (1.13)
1.4.2. Toplama ve Çıkartma
Karmaşık sayıların toplanması ve çıkartılması, vektörlerdeki gibi bileşenlerinin kendi aralarında toplanması veya çıkartılmasıyla yapılır. Bu yüzden toplama ve çıkartma işlemlerinde kartezyen gösterim daha kullanışlıdır:
-
7
)bj(b)a(a
)jb(a)jb(acc
2121
221121
mm
mm
(1.14)
Şekil 1.7: Karmaşık sayıların toplanmasının vektörel ifadesi
Kutupsal gösterimle toplama veya çıkartma ise şöyledir:
)sinsin()coscos( 22112211
221121
rrjrr
rrcc
mm
mm
(1.15)
Kartezyen koordinatlarda elde edilen bu sonucu kutupsala dönüştürmek gerekirse yine (1.7) ve (1.8) denklemleri kullanılır.
Örnek 1.3:
82)65()23( jjj
54)14()13()45sin24()45cos23()452()43( jjjj ooo
)332()332()60sin630sin4()60cos630cos4()606()304( jj oooooo
□
1.4.3. Çarpma
Karmaşık sayıların çarpılması, çok terimlilerin çarpılması gibidir; ancak jj
yerine -1 yazılır. Kartezyen koordinatlarda şöyle bulunur:
)babj(a)bba(a
)jb(a)jb(acc
12212121
221121
(1.16)
1a2a )a(a 21
1jb
2jb
)bj(b 21
1c
2c21 cc
Sanal
Gerçel
-
8
Çarpma işlemi kutupsal gösterimle çok daha kolaydır:
)()(
)()(
2121
221121
rr
rrcc (1.17)
Yani modüller çarpılıp açılar toplanır ve çarpımın sırasıyla modülü ve açısı bulunur. Bu kural şöyle ispatlanabilir:
)()(
)sin()cos()(
)sincoscos(sin)sinsincos(cos)(
)sin)(cossin)(cos(
)sincos()sincos(
2121
212121
2121212121
221121
2222111121
rr
jrr
jrr
jjrr
jrrjrrcc
Örnek 1.4:
101)901)(901()( ooojj
26264512)156)(602()156)(31( jj oooo
112)1324()1423()2)(43( jjjj
ooo 6515)173)(485( □
1.4.4. Eşlenik
rjbac gibi bir karmaşık sayının eşleniği *c ile gösterilir ve
)(* rjbac (1.18)
olarak tanımlanır. Karmaşık sayının gerçel sayı doğrusuna göre simetriğidir:
-
9
Şekil 1.8: Karmaşık bir sayının eşleniği
1.4.5. Mutlak Değer
rjbac gibi bir karmaşık bir sayının mutlak değeri,
22 barc (1.19)
olarak tanımlanır ve buna göre
*ccc (1.20)
olarak da ifade edilebilir. Karmaşık sayının modülü ile mutlak değeri arasında küçük bir fark vardır. Mutlak değer hiç eksi değer alamazken, modül eksi de olabilir. Zira
)()( rr
olduğu kolayca görülebilir.
1.4.6. Bölme
Payı ve paydayı, paydanın eşleniğiyle çarparak kartezyen gösterimle yapılan işlem basitleştirilebilir:
2
2
2
2
2211
2
2
*
21
*
22
*
21
2
1 ))((
ba
jbajba
c
cc
cc
cc
c
c
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
ba
babaj
ba
bbaa
c
c
(1.21)
Ancak çarpmada olduğu gibi bölmede de kutupsal gösterim daha kullanışlıdır:
a
jbjbac
r
0
jb
jbac *r
Sanal
Gerçel
-
10
)( 212
1
22
11
2
1
r
r
r
r
c
c (1.22)
Bu kural şöyle ispatlanabilir:
)()())((
21
2
1
2
2
2121
2
2
2211
*
22
*
21
2
1
r
r
r
rr
c
rr
cc
cc
c
c
1.4.7. Kuvvet Alma
Karmaşık sayılarda kuvvet (üs) alma işlemi için de kutupsal gösterim kullanmak kolaylıktır. Genel olarak rc gibi bir karmaşık sayının .p kuvveti,
)( prc pp (1.23)
şeklinde hesaplanır. p ’nin tamsayı olduğu durumlar için bu formülün doğruluğu çarpma ve bölme formülleri gözönüne alınarak açıkça görülebilir. p ’nin herhangi bir gerçel sayı hatta karmaşık sayı olduğu durumlarda da bu formülün doğru olduğu daha ileride anlatılacaktır.
Karmaşık sayılarda logaritma işlemi de daha ileride anlatılacaktır.
1.5. EULER FORMÜLÜ
1.5.1. Formülün elde edilmesi
Mutlak değeri 1, açısı ( ) değişken olan bir karmaşık sayıyı
sincos1)( jy (1.24)
biçiminde bir fonksiyon olarak düşünelim.
)(cossin)(
jyjd
dy
olduğunu düşünerek yeniden )(y ’yı çözmeye çalışalım.
jdy
dy
)(
)(
-
11
Her iki tarafın belirsiz integralini alırsak k integral sabiti ve keK olmak üzere
kjy )(ln
jkj Keeey )(
bulunur. 0 için (1.24) denkleminden de faydalanarak
KKey j 010cos)0(
dolayısıyla da
jj eKey )(
bunu da (1.24) denklemiyle beraber kullanırsak
sincos je j (1.25)
elde edilir ki bu denkleme “Euler formülü” denilir. Bu denklem radyan için,
1je (1.26)
haline gelir. Bu denklem, matematikteki en önemli sayılardan dördünü, hatta 01je şeklinde yazılırsa en önemli 5 sayısını, çok önemli ve sade bir ifadede
biraraya getirdiği için, bulunduğu 18. asırda matematikçiler tarafından “asrın denklemi” kabul edilmiştir. Günümüzde bile matematikçilerin çoğu tarafından, matematik tarihinin gelmiş geçmiş en zarif denklemi kabul edilmektedir. Bu eşitlik her ne kadar Euler’in adıyla anılsa da aslında ilk defa Roger Cotes tarafından 1714’te (Euler 7 yaşındayken) yayınlanmıştır.
Bu eşitliğin her iki tarafının karesini alarak
12 je (1.27)
yazmak da mümkündür.
-
12
1.5.2. Karmaşık sayıların üstel gösterimi
Euler formülünü (1.10) ile birlikte düşünürsek rc gibi bir karmaşık sayı için
jrec (1.28)
yazılabileceği kolayca görülür ki buna karmaşık sayının “üstel gösterimi” denir. Buna göre c karmaşık sayısı,
)sin()cos( rjrrre j (1.29)
biçimlerinde yazılabilir. Kutupsal gösterimdeki r ve , üstel gösterimdeki r ve ile tamamen aynıdır. Bu yüzden karmaşık sayıların üstel gösterimle yapılan işlemlerinde, kutupsal gösterim kullanılmasındakiyle aynı yollar izlenir.
1.5.3. Karmaşık sayılarda kuvvet alma
Üstel gösterim dikkate alındığında, karmaşık sayılarda üs alma kuralı (1.23)’in, herhangi bir gerçel p sayısı için de geçerli olduğu, (1.28) ifadesinin iki tarafının p. kuvvetini alarak kolayca gösterilebilir:
)()( prererc pjpppjpp (1.30)
je bir fonksiyon olarak ele alınırsa 2 ile periyodik olduğu Euler formülünden kolayca görülebilir.
Dikkat 1.3: Euler formülü, aslında radyan cinsinden kullanılan için geçerlidir; çünkü formülün türetilmesinde kullanılan sin ve cos ’nın türevlerinin sırasıyla cos ve sin olması,
açısının radyan olması halinde doğrudur. Ancak dikkatli olmak şartıyla açıyı derece gibi başka bir
birimle de kullanabiliriz. Genel olarak pc gibi bir ifadede şunlara dikkat edilmelidir:
* c pozitif gerçel ve p gerçel ise açı birimi ayarlaması sözkonusu değildir. Sayılar aynen kullanılmalıdır.
* c pozitif gerçel, jvqp gibi karmaşık ise, )ln()( cvjqjvqp ecccc biçiminde
ayrıştırılabilir. Buradaki v değeri bir açı olup radyan, derece veya herhangi bir açı birimiyle
gösterilebilir. qc kısmı ise gerçeldir ve önceki şıktaki gibidir.
-
13
* Hem jrejbac , hem de jvqp gibi karmaşık ise özel bazı kabuller ve
büyük dikkat gerektiğinden tüm açıları radyan olarak almak en güvenli yoldur. Çünkü )ln()( qrvjvqvjqjvqp eereerrc ifadesinden görüldüğü gibi hem v hem de açı
olmasına rağmen birbiriyle çarpılarak gerçel olan ve terimini oluşturmaktadırlar. Başka açı birimi kullanılırsa yanlış sonuç bulunur.
Özetlersek, tüm açılar için radyan kullanmak en güvenilir yoldur. Karışıklığa meydan verebilecek karmaşık üzeri karmaşık ifadelerle de pek karşılaşmayacağımız için, gerçel üzeri karmaşık ifadelerdeki üssün sanal kısmında istediğimiz açı birimini güvenle kullanabiliriz.
□ Örnek 1.5:
?21 jx
Çözüm: )2
2(
2
kjj
eej olduğundan k , farklı x çözümleri verebilecek tüm tamsayı değerleri olabilmek üzere
kx 44)
4(
21 )1(
jkjjkkj
eeeej
olur. Buradan anlaşılabileceği gibi yalnızca 1k ve 2k için bulunan 1x ve 2x çözümleri elde edilebilir. Başka tamsayı k değerleri yine bu iki çözümden birisini verir. Buna göre çözümler şunlardır:
1x je j 12
14 , 2x je j 12
14
Örnek 1.6:
?)8( 31 y
Çözüm: )360180(180 888ooo kjj ee olduğundan k , farklı y çözümleri verebilecek
tüm tamsayı değerleri olabilmek üzere
ky )12060(3)360180(3131 28)8(oooo kjkj ee
-
14
olur. Buradan yalnızca 1k , 2k ve 3k için bulunan 1y , 2y ve 3y çözümleri elde
edilebilir. Buna göre çözümler şunlardır:
1y 22180
oje , 2y 3122 60300 jee jj oo
, 3y 3122 60420 jee jj oo
□ Dikkat 1.4: Genel olarak n bir tamsayı olmak üzere herhangi bir jrec karmaşık sayısının n. kuvvetten kökü n adettir:
nkerxcnkjn
kn
,,2,1;)2(11
K
□ Örnek 1.7:
?131 x
Çözüm: oo 36001 jkj ee olduğundan 3,2,1k için kx
o120 jke , yani
1x2
3
2
1120je
j o
, 2x2
3
2
1240je
j o
, 3x 10360 oo jj
ee
□
1.5.4. Karmaşık sayılarda logaritma
Euler formülünden faydalanarak, jrerc karmaşık sayısının doğal logaritması,
jrc lnln (1.31)
olarak hesaplanır. Ancak burada da kutupsal gösterimde olduğu gibi, k bir tamsayı olmak üzere θ değerini k2 radyan kadar değiştirmek mümkündür. Bu nedenle doğal logaritma işlemi, pozitif gerçel sayı tanım kümesinden gerçel sayı değer kümesine bir bağıntı olarak düşünüldüğünde iyi tanımlanmış bir fonksiyon iken, karmaşık sayı (veya pozitif ve negatif gerçel sayılar) tanım kümesinden karmaşık sayı değer kümesine bir bağıntı olarak düşünüldüğünde bir fonksiyon değildir; çünkü
tanım kümesindeki bir sayıya, değer kümesinde pek çok sayı karşılık gelmektedir. Bunun da bir fonksiyon olabilmesi için, değer kümesinin açı ifade eden sanal kısmının birimini belirlemeli ve 2 radyanlık (veya 360°’lik) belirli bir aralıkla (örneğin
-
15
],( gibi) sınırlamalıyız. Tanım kümesinin sıfır hariç bütün karmaşık düzlem,
değer kümesinin de karmaşık düzlemde sanal kısmın radyan birimli açı kabul edilip ],( aralığıyla sınırlandırıldığı bölge olarak düşündüğümüzde doğal logaritma
fonksiyonunu “ Ln ” biçiminde (ilk harfini büyük yazarak) göstereceğiz.
Örnek 1.8:
j2ln)1(Ln2lnLn(-2)
3
24ln)32(4Ln)322Ln(
jj
□
1.6. TRİGONOMETRİK VE HİPERBOLİK FONKSİYON İLİŞKİLERİ
1.6.1. Trigonometrik Fonksiyonlar
Euler formülü yardımıyla karmaşık sayılar üzerinden trigonometrik fonksiyonlar hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilir. (1.25) Euler denklemini ve için yazıp
sincos je j (1.32)
sincos je j (1.33)
ifadelerini toplayıp ikiye bölersek
jee jj
cosh2
cos (1.34)
ve (1.32)’den (1.33)’yi çıkartıp 2j ’ye bölersek
jjj
ee jjsinh
2sin (1.35)
buluruz. (1.35)’i (1.34)’e bölerek de
jjeej
eejj
jj
tanhtan (1.36)
-
16
elde edilir.
Bu ifadelerden faydalanarak, ters trigonometrik bağıntılarla ters hiperbolik bağıntılar (logaritmik ifadeler) arasında da ilişki kurulabilir. Ancak önce ters hiperbolik bağıntıların logaritmik ifadelerini hatırlayalım.
1.6.2. Ters Hiperbolik Bağıntı Veya Fonksiyonlar
xxe x sinhcosh (1.37)
1sinhcosh 22 xx (1.38)
ifadelerinden görülebileceği gibi,
1
221coshcosh1coshcosh
m
m
xxxxe x (1.39)
yazarak ve xy cosh olarak tanımlayarak
1lncosh 21 yyyx m (1.40) bulunmaktadır (bu haliyle 1cosh işlemi bir fonksiyon değildir). Veya (1.37) denklemini
1sinhsinh 2 xxe x (1.41)
biçiminde yazarak (karekökün eksi işaretlisini neden almadık?) ve xz sinh olarak
tanımlayarak
1lnsinh 21 zzzx (1.42) bulunmaktadır. Diğer yandan,
1
1tanh
2
2
x
x
xx
xx
e
e
ee
eex
olduğundan,
1tanhtanh22 xx exxe
-
17
)tanh1(tanh1 2 xex x
x
xe x
tanh1
tanh12
olur. xv tanh tanımlayarak
v
vvx
1
1ln
2
1tanh
1 (1.43)
bulunmaktadır. (1.40), (1.42) ve (1.43) denklemleri, ters hiperbolik fonksiyonlardır.
Bunlardan faydalanarak ters trigonometrik bağıntılar elde edilecektir.
1.6.3. Ters Trigonometrik Bağıntı Veya Fonksiyonlar
(1.34) ve (1.40) denklemlerinden açıkça görülebileceği gibi,
1lncoshcos 211 yyjyjy (1.44) yazılabilir. (1.35) ve (1.42) denklemlerinden açıkça görülebileceği gibi de
211 1ln)(sinhsin xjxjjxjx (1.45) bulunur. Ayrıca (1.36) ve (1.43) denklemlerinden,
jx
jxjjxjx
1
1ln
2
1)(tanhtan
11 (1.46)
olarak elde edilir.
1.7. MOIVRE FORMÜLÜ
)( pjpj ee
olduğu için (1.25) Euler denkleminin sağ tarafının .p kuvvetini, Euler denkleminde açı yerine p yazarak bulacağımız ifadeye eşitleyebiliriz:
)sin()cos(sincos pjpj p (1.47)
Bu formül, Moivre formülü olarak bilinir.
-
18
Moivre formülü yardımıyla, özellikle p bir tamsayı olmak üzere pcos ve psin değerleri, cos ve sin cinsinden kolayca ifade edilebilir.
Örnek 1.9:
2cos ve 2sin ’yı, cos ve sin cinsinden ifade ediniz.
Çözüm: Moivre denklemini 2p için kullanmalıyız:
cossin2)sin(cos
)sin(cos2sin2cos22
2
j
jj
Bu denklemin her iki tarafındaki gerçel ve sanal kısımları karşılıklı olarak birbirine eşitleyerek sonuca ulaşırız:
22 sincos2cos (1.48)
cossin22sin (1.49)
Örnek 1.10:
3cos ve 3sin ’yı, cos ve sin cinsinden ifade ediniz.
Çözüm: Moivre denklemini 3p için kullanmalıyız:
)θsinθcosθsin3()θcosθsin3θ(cos
)θsinθ(cosθ3sinθ3cos3223
3
j
jj
Bu denklemin her iki tarafındaki gerçel ve sanal kısımları karşılıklı olarak birbirine eşitleyerek sonuca ulaşılır:
θcosθsin3θcosθ3cos 23 (1.50)
θsinθcosθsin3θ3sin 32 (1.51) □
-
19
ÇÖZÜLMÜŞ ÖRNEK PROBLEMLER
Örnek 1.11: Kartezyen koordinatlarda verilen aşağıdaki karmaşık sayıların kutupsal veya üstel gösterimlerini bulalım:
o13,535))34(Arctan(4343 22jo13,53
5j
e (Sayı karmaşık düzlemin birinci çeyrek bölgesinde)
o8,2129))52(Arctan()2(525 22jo8,2129 je (dördüncü bölgede)
o
o 9069066 jej (sayı sanal eksenin pozitif kısmı üzerinde)
oo 69,12313)180)2
3(Arctan(3)2(32 22j
o69,12313 je (2. bölgede,
yani sol yarı bölgede olduğu için 180° eklendi)
oo 13,2335)180)34(Arctan()4()3(43 22jo13,233
5j
e (3. bölgede
yani sol yarı bölgede olduğu için 180° eklendi)
oo
1804)1800Arctan(0)4(04422 j
o1804
je (Sol yarı bölgede olduğu
için 180° eklendi)
oo
90890)8(080822 jj
o908
je (sayı sanal eksenin negatif kısmı
üzerinde)
o050Arctan05055 22 jo0
5j
e (Sayı gerçel sayı doğrusunun pozitif kısmı
üzerinde)
Örnek 1.12: Kutupsal veya üstel gösterimle verilen aşağıdaki karmaşık sayıların kartezyen gösterimlerini bulalım:
326
je 333)32sin()32cos(6)32(6 jj
o3308
je 43430sin830cos83083308 jj oooo
o1805
je 505)180sin(5)180cos(51805 jj ooo
-
20
Örnek 1.13: Aşağıda verilen karmaşık sayıların modülleri eksi olanları artı, artı
olanları eksi modüllü olarak yazalım:
oooo 2005)18020(5205 veya oooo 1605)18020(5205
oooo 2237)18043(7437 veya oooo 1377)18043(7437
ooooo 1023702)180190(21902 veya oooo 102)180190(21902
ooooo 6044204)180240(42404 veya ooo 604)180240(4
Örnek 1.14: Aşağıda verilen karmaşık sayı işlemlerini çözelim:
a) oo
o
oo
o
o
524,02
35,1
405
4522120sin120cos3
405
221203
jj
j
ooo
136309,1915,0936,05sin24,05cos24,02
35,1 jjj
b) 62180)35(Arctan34)732(6253)732( jjj
ooo
62821,2316,116214662,116259831,5)732( jjjj ooo o4,4383,12821,8316,9 j
c)
33 2540sin440cos4
)37(Arctan58702
25404
73702
jjj
j
oo
o
o
o
33 95,112964,4
8,66616,7879,1684,0
571,4936,1
8,66616,770sin270cos2
o
oo
oo
j
jj
o
o
o
7,4506226,0879,1684,01,213,122
8,66616,7879,1684,0
jj
o252028,2924.1641.0045,0043,0879,1684,0 jjj
Örnek 1.15: Aşağıda verilen karmaşık sayı işlemlerinin bütün köklerini bulalım:
a) ?21 jx
-
21
k tamsayı değerler almak üzere, )36090(1901 ooo kj olduğundan.
)18045(1)2/)36090((1 oooo kkxk olur. 1k ve 2k için iki farklı çözüm
bulunur: 2
1
2
122511 jx
o ve 2
1
2
145140512 jx
oo
b) ?)1( 32 jy
)36045(2452)1( ooo kj yazılabileceğinden,
)12030(2)36045(3
22
oooo
kkyk olur. 3,2,1k için üç farklı çözüm
bulunur: 2
1
2
315021 jy
o , 227022 jy o ve
2
1
2
330239023 jy
oo
c) ?16 41 x
4,3,2,1k için
o3604
116 kxk değerleri, 29021 jx o , 218022 ox ,
227023 jx o ve 236024 ox bulunur.
Örnek 1.16: Aşağıda sorulan işlemlerin bütün çözümlerini bulalım:
a) ?2cos 1 x
(1.44) denklemine göre 32ln2cosh 1 jjx yazılabileceğinden,
317,11 jx ve 317,12 jx bulunur. Halbuki örneğin 5,0cos 1 sorulsaydı çözümlere
2 radyanın tam katlarını ekleyerek sonsuz adet çözüm bulabilirdik.
b) ?5,0cosh 1 x
Yine (1.44) denkleminden anlaşılabileceği gibi, 5,0cos 1 jx olduğundan, k her
tamsayı olabilmek üzere kjjx 23
m biçiminde sonsuz adet çözüm mevcuttur.
Halbuki örneğin 2cosh 1 sorulsaydı yalnızca iki adet çözüm bulabilirdik.