1

1. KARMAŞIK SAYILAR

1.1. SANAL SAYILAR

Gerçel sayılar kümesinde eksi sayıların karekökleri mevcut değildir. Ancak gerçel sayılar kümesinin dışında “birim sanal sayı” diye adlandırılan

1j (1.1)

gibi bir sayı tanımlarsak, bütün eksi sayıların kareköklerini j cinsinden ifade edebiliriz.

Örnek 1.1:

241)4( 21 j veya 241)4( 21 j □

Genel olarak b bir gerçel sayı olmak üzere jb biçiminde ifade edilebilen

sayılara “sanal sayı” denir. Sıfır hariç her sanal sayının karesi eksi bir gerçel sayıdır ve bütün eksi gerçel sayıların karekökleri sanal sayılar kümesindedir.

1.2. SANAL SAYILARIN GERÇEL SAYI DOĞRUSUNA GÖRE KONUMU

Sanal sayıların gerçel sayı doğrusuna göre nerede gösterilmesi gerektiğini bulmak için, geometrik yerini açıkça görebildiğimiz öyle bir büyüklük formülü üretelim ki bu formüldeki parametreleri ayarlayarak bu büyüklüğü istersek gerçel, istersek sanal yapabilelim. Böylece formüldeki parametreleri ayarlayarak sanal yapacağımız büyüklüğün uzayda gerçel sayı doğrusuna göre konumunu da görebiliriz. Bu amaca uygun bir formül, elipsin odak koordinatları formülüdür.

Bilindiği gibi, düzlemde “merkez” adı verilen bir noktadan (M) sabit uzaklıktaki

noktalar kümesinin oluşturduğu şekle “çember” denilir.

2

(a) Her P noktasında r sabit (b) Her P noktasında 21 rr sabit

Şekil 1.1: Çember ve elips tanımları

Benzer olarak, düzlemde “odak” adı verilen iki noktadan ( 1F ve 2F ) uzaklıkları toplamı sabit olan noktalar kümesi de “elips” olarak adlandırılır (Şekil 1.1).

Aslında “uzunluk” veya mesafe, negatif olmayan gerçel sayı olarak tanımlıdır. Biz ise sanal sayıların anlamını yorumlamak istediğimiz için, uzunluk yerine, sonucu negatif veya karmaşık olsa bile, kartezyen koordinatlar arasındaki farkların kareleri toplamının karekökü ifadesini kullanalım.

Şimdi, odakları gerçel sayı doğrusu üzerinde orijine göre simetrik 1F ve 2F koordinatlarında bulunan ve bu odaklar ile koordinat farklarının kareleri toplamının karekökleri toplamı ( 21 rr ) sabit olan noktalar kümesinden oluşan düzlemsel şekli

düşünelim ( 1r ve 2r negatif olmayan gerçel sayı diye kısıtlansaydı, kastedilen elips idi). Şeklin yatay ve düşey olarak orijinden en büyük uzaklıkları sırasıyla a ve b (negatif olmayan gerçel) olsun (Şekil 1.2).

(a) Far 11 , Far 21 (b) 22

2212 bFrr

Şekil 1.2: Odakların yerlerinin iki özel nokta ( 1P ve 2P ) kullanılarak bulunması

Odakların orijine uzaklığına F dersek, Şekil 1.2 yardımıyla odakların koordinatları şöyle bulunur:

22121211 rrrr

r

M

P

1F 2F

1r2r

P

1F 2F

12r 22r

1F 2F21r

a

1Pb

11r

0 0

2P

Gerçelsayıdoğrusu

Gerçelsayıdoğrusu

3

2222)()( bFaFaFa

22 baF m

22

2

22

1 , baFbaF (1.2)

Baştan da amaçladığımız gibi, a ve b değerleri uygun bir biçimde seçilirse bu koordinatlar sanal sayı olabilmektedir. ba için Şekil 1.3(a)’daki biçimde olan bu

elips, ba için elipsin özel bir hali olan çember biçimini alır ve odakları üst üste çakışarak çemberin merkezi haline gelirler(Şekil 1.3(b)). ba olduğunda ise (1.2) formüllerine göre odak koordinatları sanal sayı olur. Bu durumda şeklin biçimi, Şekil 1.3(a)’daki elipsin 90° döndürülmüşü gibi olmaktadır. O halde yeni şeklin odakları da 90° döndürülmüş olacaktır(Şekil 1.3(c)).

(a) ba , (b) ba (c) ba

Şekil 1.3: Şeklin boyutları değiştirilirken odaklarının yer değiştirmesi

Bu kurgu problemden görüldüğü gibi sanal sayılar, gerçel sayı doğrusuna dik ve orijinden geçen bir doğru üzerinde yer almaktadır. Gerçel ve sanal sayı doğruları tarafından belirlenen düzleme “karmaşık düzlem” denir (Şekil 1.4).

Şekil 1.4: Gerçel ve sanal sayı doğruları, ve karmaşık düzlem

1F2F 21 FF

1F

2F

1 323 1 2

j

2j

j

2j

0

Sanal sayıdoğrusu

Gerçel sayıdoğrusu

4

1.3. KARMAŞIK SAYILAR

Gerçel ve sanal birer sayının toplamı olarak ifade edilebilen sayılardır. Yani a

ve b gerçel olmak üzere,

jbac (1.3)

biçiminde yazılabilen her c sayısı karmaşık sayıdır. Burada a ve b , karmaşık sayının sırasıyla gerçel ve sanal kısmıdır. (1.3) biçimdeki gösterime, “karmaşık sayının kartezyen gösterimi” denir.

Bir karmaşık sayının gerçel ve sanal kısımlarını veren fonksiyonları sırasıyla

ac }{Re (1.4)

bc }{Im (1.5)

olarak tanımlanır.

Şekil 1.5: Karmaşık sayıların karmaşık düzlem üzerindeki yeri

Karmaşık sayılar, karmaşık düzlem üzerinde yatay koordinatı sayının gerçel kısmı, düşey koordinatı da sanal kısmı olan birer noktayla gösterilirler. Karmaşık sayılar ayrıca, orijinden bu noktaya giden birer vektörle de gösterilebilirler. Bu noktanın orijine olan mesafesi r , gerçel eksenin artı kısmıyla Şekil 1.5’de gösterilen yönde yaptığı açı da ile gösterilerek “karmaşık sayının kutupsal

gösterimi” şöyle tanımlanır:

rc (1.6)

Burada r ’ye “karmaşık sayının modülü”, ’ya da “karmaşık sayının açısı” denir. açısı birimiyle birlikte dikkate alınmalıdır. Birimi belirtilmemişse radyan kabul edilir.

Kartezyen gösterimden kutupsal gösterime şöyle geçilir:

22 bar (1.7)

a

jbjbac

r

0

Sanal sayıdoğrusu

Gerçel sayıdoğrusu

5

iseaa

b

iseaa

b

isebvea

isebvea

0Arctan

0Arctan

002

002

(1.8)

Dikkat 1.1: Sanal sayı doğrusu üzerindeki sayıların j ile beraber gösterilmesi, sanallığın vurgulanması içindir. Ancak vektörün uzunluğunu Pisagor formülünden hesaplarken, sanal kısım j hariç hesaba katılır. Diğer yandan Sa fonksiyonunun çıkışı da j ’sizdir.

Dikkat 1.2: (1.8) denklemindeki Arctan fonksiyonu, hesap makinelerinin 1tan fonksiyonu olup

2,

2 aralığında değer alır (Değer kümesi bu aralıkta sınırlanmış 1tan işlemi bir fonksiyon haline

gelir ve ilk harfini büyük yazarak bu fonksiyonu “ Arctan ” biçiminde göstereceğiz) Fakat bazı hesap

makinalarında kartezyen koordinatlardaki a ve b (veya x ve y )verildiğinde kutupsal gösterime

çeviren hazır fonksiyonlar bulunur ki bunlar (1.8) denklemindeki ihtimalleri dikkate alarak doğru sonuç verirler. Örneğin MATLAB’ın “[r, theta]=atan2(a, b)” fonksiyonu böyledir. a ve b ’nin her ikisi de sıfır ise açı aslında belirsizdir ama herhangi bir değer kabul edilebilir, limit olarak önemi yoksa hiç farketmez.

□

Örnek 1.2:

)4(2452Arctan(1)21 oj

)45(2Arctan(-1)21 o j

oo 1352180Arctan(-1)21 j

oo 2252180Arctan(1)21 j

oo 900300)(0000 belirsizj

o

6003Arctan03lim0

xjxx

)2(1901 oj , o9044 j

)2(1901 oj , o9055 j

o011 , 118011 o

Şekil 1.6: Bazı karmaşık sayılar

j1

j1j1

j1

11

j

j

o45

o45

0o225

o135

Sanal

Gerçel

6

□

Kutupsal gösterimden kartezyen gösterime ise, Şekil 1.5’ten kolayca görülebileceği gibi şöyle geçilir:

cosra , sinrb (1.9)

yani

sincos jrrrjba (1.10)

yazılabilir.

1.4. KARMAŞIK SAYILARDA TEMEL İŞLEMLER

11111 rjbac , 22222 rjbac (1.11)

karmaşık sayılarını ele alalım.

1.4.1. Karmaşık Sayıların Eşitliği

İki karmaşık sayının birbirine eşit olması, bunların gerçel ve sanal kısımlarının karşılıklı olarak birbirine eşit olması demektir:

212121 ve bbaacc (1.12)

Ancak karmaşık sayıların eşit olması, kutupsal gösterimdeki modül veya açılarının karşılıklı olarak eşit olmasını gerektirmez. Çünkü k herhangi bir tamsayı olmak üzere açının k2 kadar değiştirilmesi karmaşık sayıyı değiştirmez. Ayrıca açıyı

)12( k kadar değiştirirken modülü de -1 ile çarparsak karmaşık sayı yine aynı kalır.

)2()()2( krkrr (1.13)

1.4.2. Toplama ve Çıkartma

Karmaşık sayıların toplanması ve çıkartılması, vektörlerdeki gibi bileşenlerinin kendi aralarında toplanması veya çıkartılmasıyla yapılır. Bu yüzden toplama ve çıkartma işlemlerinde kartezyen gösterim daha kullanışlıdır:

7

)bj(b)a(a

)jb(a)jb(acc

2121

221121

mm

mm

(1.14)

Şekil 1.7: Karmaşık sayıların toplanmasının vektörel ifadesi

Kutupsal gösterimle toplama veya çıkartma ise şöyledir:

)sinsin()coscos( 22112211

221121

rrjrr

rrcc

mm

mm

(1.15)

Kartezyen koordinatlarda elde edilen bu sonucu kutupsala dönüştürmek gerekirse yine (1.7) ve (1.8) denklemleri kullanılır.

Örnek 1.3:

82)65()23( jjj

54)14()13()45sin24()45cos23()452()43( jjjj ooo

)332()332()60sin630sin4()60cos630cos4()606()304( jj oooooo

□

1.4.3. Çarpma

Karmaşık sayıların çarpılması, çok terimlilerin çarpılması gibidir; ancak jj

yerine -1 yazılır. Kartezyen koordinatlarda şöyle bulunur:

)babj(a)bba(a

)jb(a)jb(acc

12212121

221121

(1.16)

1a2a )a(a 21

1jb

2jb

)bj(b 21

1c

2c21 cc

Sanal

Gerçel

8

Çarpma işlemi kutupsal gösterimle çok daha kolaydır:

)()(

)()(

2121

221121

rr

rrcc (1.17)

Yani modüller çarpılıp açılar toplanır ve çarpımın sırasıyla modülü ve açısı bulunur. Bu kural şöyle ispatlanabilir:

)()(

)sin()cos()(

)sincoscos(sin)sinsincos(cos)(

)sin)(cossin)(cos(

)sincos()sincos(

2121

212121

2121212121

221121

2222111121

rr

jrr

jrr

jjrr

jrrjrrcc

Örnek 1.4:

101)901)(901()( ooojj

26264512)156)(602()156)(31( jj oooo

112)1324()1423()2)(43( jjjj

ooo 6515)173)(485( □

1.4.4. Eşlenik

rjbac gibi bir karmaşık sayının eşleniği *c ile gösterilir ve

)(* rjbac (1.18)

olarak tanımlanır. Karmaşık sayının gerçel sayı doğrusuna göre simetriğidir:

9

Şekil 1.8: Karmaşık bir sayının eşleniği

1.4.5. Mutlak Değer

rjbac gibi bir karmaşık bir sayının mutlak değeri,

22barc (1.19)

olarak tanımlanır ve buna göre

*ccc (1.20)

olarak da ifade edilebilir. Karmaşık sayının modülü ile mutlak değeri arasında küçük bir fark vardır. Mutlak değer hiç eksi değer alamazken, modül eksi de olabilir. Zira

)()( rr

olduğu kolayca görülebilir.

1.4.6. Bölme

Payı ve paydayı, paydanın eşleniğiyle çarparak kartezyen gösterimle yapılan işlem basitleştirilebilir:

2

2

2

2

2211

2

2

*

21

*

22

*

21

2

1 ))((

ba

jbajba

c

cc

cc

cc

c

c

2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

2

1

ba

babaj

ba

bbaa

c

c

(1.21)

Ancak çarpmada olduğu gibi bölmede de kutupsal gösterim daha kullanışlıdır:

a

jbjbac

r

0

jb

jbac *

r

Sanal

Gerçel

10

)( 21

2

1

22

11

2

1

r

r

r

r

c

c (1.22)

Bu kural şöyle ispatlanabilir:

)()())((

21

2

1

2

2

2121

2

2

2211

*

22

*

21

2

1

r

r

r

rr

c

rr

cc

cc

c

c

1.4.7. Kuvvet Alma

Karmaşık sayılarda kuvvet (üs) alma işlemi için de kutupsal gösterim kullanmak kolaylıktır. Genel olarak rc gibi bir karmaşık sayının .p kuvveti,

)( prc pp (1.23)

şeklinde hesaplanır. p ’nin tamsayı olduğu durumlar için bu formülün doğruluğu çarpma ve bölme formülleri gözönüne alınarak açıkça görülebilir. p ’nin herhangi bir gerçel sayı hatta karmaşık sayı olduğu durumlarda da bu formülün doğru olduğu daha ileride anlatılacaktır.

Karmaşık sayılarda logaritma işlemi de daha ileride anlatılacaktır.

1.5. EULER FORMÜLÜ

1.5.1. Formülün elde edilmesi

Mutlak değeri 1, açısı ( ) değişken olan bir karmaşık sayıyı

sincos1)( jy (1.24)

biçiminde bir fonksiyon olarak düşünelim.

)(cossin)(

jyjd

dy

olduğunu düşünerek yeniden )(y ’yı çözmeye çalışalım.

jdy

dy

)(

)(

11

Her iki tarafın belirsiz integralini alırsak k integral sabiti ve keK olmak üzere

kjy )(ln

jkj Keeey )(

bulunur. 0 için (1.24) denkleminden de faydalanarak

KKey j 010cos)0(

dolayısıyla da

jj eKey )(

bunu da (1.24) denklemiyle beraber kullanırsak

sincos je j (1.25)

elde edilir ki bu denkleme “Euler formülü” denilir. Bu denklem radyan için,

1je (1.26)

haline gelir. Bu denklem, matematikteki en önemli sayılardan dördünü, hatta 01je şeklinde yazılırsa en önemli 5 sayısını, çok önemli ve sade bir ifadede

biraraya getirdiği için, bulunduğu 18. asırda matematikçiler tarafından “asrın denklemi” kabul edilmiştir. Günümüzde bile matematikçilerin çoğu tarafından, matematik tarihinin gelmiş geçmiş en zarif denklemi kabul edilmektedir. Bu eşitlik her ne kadar Euler’in adıyla anılsa da aslında ilk defa Roger Cotes tarafından 1714’te (Euler 7 yaşındayken) yayınlanmıştır.

Bu eşitliğin her iki tarafının karesini alarak

12 je (1.27)

yazmak da mümkündür.

12

1.5.2. Karmaşık sayıların üstel gösterimi

Euler formülünü (1.10) ile birlikte düşünürsek rc gibi bir karmaşık sayı için

jrec (1.28)

yazılabileceği kolayca görülür ki buna karmaşık sayının “üstel gösterimi” denir. Buna göre c karmaşık sayısı,

)sin()cos( rjrrre j (1.29)

biçimlerinde yazılabilir. Kutupsal gösterimdeki r ve , üstel gösterimdeki r ve ile tamamen aynıdır. Bu yüzden karmaşık sayıların üstel gösterimle yapılan işlemlerinde, kutupsal gösterim kullanılmasındakiyle aynı yollar izlenir.

1.5.3. Karmaşık sayılarda kuvvet alma

Üstel gösterim dikkate alındığında, karmaşık sayılarda üs alma kuralı (1.23)’in, herhangi bir gerçel p sayısı için de geçerli olduğu, (1.28) ifadesinin iki tarafının p. kuvvetini alarak kolayca gösterilebilir:

)()( prererc pjpppjpp (1.30)

je bir fonksiyon olarak ele alınırsa 2 ile periyodik olduğu Euler formülünden kolayca görülebilir.

Dikkat 1.3: Euler formülü, aslında radyan cinsinden kullanılan için geçerlidir; çünkü formülün türetilmesinde kullanılan sin ve cos ’nın türevlerinin sırasıyla cos ve sin olması,

açısının radyan olması halinde doğrudur. Ancak dikkatli olmak şartıyla açıyı derece gibi başka bir

birimle de kullanabiliriz. Genel olarak pc gibi bir ifadede şunlara dikkat edilmelidir:

* c pozitif gerçel ve p gerçel ise açı birimi ayarlaması sözkonusu değildir. Sayılar aynen kullanılmalıdır.

* c pozitif gerçel, jvqp gibi karmaşık ise, )ln()( cvjqjvqp ecccc biçiminde

ayrıştırılabilir. Buradaki v değeri bir açı olup radyan, derece veya herhangi bir açı birimiyle

gösterilebilir. qc kısmı ise gerçeldir ve önceki şıktaki gibidir.

13

* Hem jrejbac , hem de jvqp gibi karmaşık ise özel bazı kabuller ve

büyük dikkat gerektiğinden tüm açıları radyan olarak almak en güvenli yoldur. Çünkü )ln()( qrvjvqvjqjvqp eereerrc ifadesinden görüldüğü gibi hem v hem de açı

olmasına rağmen birbiriyle çarpılarak gerçel olan ve terimini oluşturmaktadırlar. Başka açı birimi

kullanılırsa yanlış sonuç bulunur.

Özetlersek, tüm açılar için radyan kullanmak en güvenilir yoldur. Karışıklığa meydan verebilecek karmaşık üzeri karmaşık ifadelerle de pek karşılaşmayacağımız için, gerçel üzeri karmaşık ifadelerdeki üssün sanal kısmında istediğimiz açı birimini güvenle kullanabiliriz.

□ Örnek 1.5:

?21 jx

Çözüm: )2

2(

2

kjj

eej olduğundan k , farklı x çözümleri verebilecek tüm tamsayı değerleri olabilmek üzere

kx 44)

4(

21 )1(

jkjjkkj

eeeej

olur. Buradan anlaşılabileceği gibi yalnızca 1k ve 2k için bulunan 1x ve 2x çözümleri elde edilebilir. Başka tamsayı k değerleri yine bu iki çözümden birisini verir. Buna göre çözümler şunlardır:

1x je j 12

14 , 2x je j 12

14

Örnek 1.6:

?)8( 31 y

Çözüm: )360180(180 888ooo kjj ee olduğundan k , farklı y çözümleri verebilecek

tüm tamsayı değerleri olabilmek üzere

ky )12060(3)360180(3131 28)8(oooo kjkj ee

14

olur. Buradan yalnızca 1k , 2k ve 3k için bulunan 1y , 2y ve 3y çözümleri elde

edilebilir. Buna göre çözümler şunlardır:

1y 22 180 oje , 2y 3122 60300 jee jj oo

, 3y 3122 60420 jee jj oo

□ Dikkat 1.4: Genel olarak n bir tamsayı olmak üzere herhangi bir j

rec karmaşık sayısının n.

kuvvetten kökü n adettir:

nkerxcnkjn

kn

,,2,1;)2(11

K

□ Örnek 1.7:

?131 x

Çözüm: oo 36001 jkj ee olduğundan 3,2,1k için kx

o120 jke , yani

1x2

3

2

1120je

j o

, 2x2

3

2

1240je

j o

, 3x 10360 oo jj

ee

□

1.5.4. Karmaşık sayılarda logaritma

Euler formülünden faydalanarak, jrerc karmaşık sayısının doğal logaritması,

jrc lnln (1.31)

olarak hesaplanır. Ancak burada da kutupsal gösterimde olduğu gibi, k bir tamsayı olmak üzere θ değerini k2 radyan kadar değiştirmek mümkündür. Bu nedenle doğal logaritma işlemi, pozitif gerçel sayı tanım kümesinden gerçel sayı değer kümesine bir bağıntı olarak düşünüldüğünde iyi tanımlanmış bir fonksiyon iken, karmaşık sayı (veya pozitif ve negatif gerçel sayılar) tanım kümesinden karmaşık sayı değer kümesine bir bağıntı olarak düşünüldüğünde bir fonksiyon değildir; çünkü

tanım kümesindeki bir sayıya, değer kümesinde pek çok sayı karşılık gelmektedir. Bunun da bir fonksiyon olabilmesi için, değer kümesinin açı ifade eden sanal kısmının birimini belirlemeli ve 2 radyanlık (veya 360°’lik) belirli bir aralıkla (örneğin

15

],( gibi) sınırlamalıyız. Tanım kümesinin sıfır hariç bütün karmaşık düzlem,

değer kümesinin de karmaşık düzlemde sanal kısmın radyan birimli açı kabul edilip ],( aralığıyla sınırlandırıldığı bölge olarak düşündüğümüzde doğal logaritma

fonksiyonunu “ Ln ” biçiminde (ilk harfini büyük yazarak) göstereceğiz.

Örnek 1.8:

j2ln)1(Ln2lnLn(-2)

3

24ln)32(4Ln)322Ln(

jj

□

1.6. TRİGONOMETRİK VE HİPERBOLİK FONKSİYON İLİŞKİLERİ

1.6.1. Trigonometrik Fonksiyonlar

Euler formülü yardımıyla karmaşık sayılar üzerinden trigonometrik fonksiyonlar hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilir. (1.25) Euler denklemini ve için yazıp

sincos je j (1.32)

sincos je j (1.33)

ifadelerini toplayıp ikiye bölersek

jee jj

cosh2

cos (1.34)

ve (1.32)’den (1.33)’yi çıkartıp 2j ’ye bölersek

jjj

ee jj

sinh2

sin (1.35)

buluruz. (1.35)’i (1.34)’e bölerek de

jjeej

eejj

jj

tanhtan (1.36)

16

elde edilir.

Bu ifadelerden faydalanarak, ters trigonometrik bağıntılarla ters hiperbolik bağıntılar (logaritmik ifadeler) arasında da ilişki kurulabilir. Ancak önce ters hiperbolik bağıntıların logaritmik ifadelerini hatırlayalım.

1.6.2. Ters Hiperbolik Bağıntı Veya Fonksiyonlar

xxe x sinhcosh (1.37)

1sinhcosh 22 xx (1.38)

ifadelerinden görülebileceği gibi,

1

221coshcosh1coshcosh

m

m

xxxxe

x (1.39)

yazarak ve xy cosh olarak tanımlayarak

1lncosh21

yyyx m (1.40)

bulunmaktadır (bu haliyle 1cosh işlemi bir fonksiyon değildir). Veya (1.37) denklemini

1sinhsinh 2 xxe x (1.41)

biçiminde yazarak (karekökün eksi işaretlisini neden almadık?) ve xz sinh olarak

tanımlayarak

1lnsinh 21 zzzx (1.42)

bulunmaktadır. Diğer yandan,

1

1tanh

2

2

x

x

xx

xx

e

e

ee

eex

olduğundan,

1tanhtanh22 xx

exxe

17

)tanh1(tanh1 2 xex x

x

xe x

tanh1

tanh12

olur. xv tanh tanımlayarak

v

vvx

1

1ln

2

1tanh

1 (1.43)

bulunmaktadır. (1.40), (1.42) ve (1.43) denklemleri, ters hiperbolik fonksiyonlardır.

Bunlardan faydalanarak ters trigonometrik bağıntılar elde edilecektir.

1.6.3. Ters Trigonometrik Bağıntı Veya Fonksiyonlar

(1.34) ve (1.40) denklemlerinden açıkça görülebileceği gibi,

1lncoshcos211

yyjyjy (1.44)

yazılabilir. (1.35) ve (1.42) denklemlerinden açıkça görülebileceği gibi de

211 1ln)(sinhsin xjxjjxjx (1.45)

bulunur. Ayrıca (1.36) ve (1.43) denklemlerinden,

jx

jxjjxjx

1

1ln

2

1)(tanhtan

11 (1.46)

olarak elde edilir.

1.7. MOIVRE FORMÜLÜ

)( pjpj ee

olduğu için (1.25) Euler denkleminin sağ tarafının .p kuvvetini, Euler denkleminde açı yerine p yazarak bulacağımız ifadeye eşitleyebiliriz:

)sin()cos(sincos pjpjp (1.47)

Bu formül, Moivre formülü olarak bilinir.

18

Moivre formülü yardımıyla, özellikle p bir tamsayı olmak üzere pcos ve psin değerleri, cos ve sin cinsinden kolayca ifade edilebilir.

Örnek 1.9:

2cos ve 2sin ’yı, cos ve sin cinsinden ifade ediniz.

Çözüm: Moivre denklemini 2p için kullanmalıyız:

cossin2)sin(cos

)sin(cos2sin2cos22

2

j

jj

Bu denklemin her iki tarafındaki gerçel ve sanal kısımları karşılıklı olarak birbirine eşitleyerek sonuca ulaşırız:

22 sincos2cos (1.48)

cossin22sin (1.49)

Örnek 1.10:

3cos ve 3sin ’yı, cos ve sin cinsinden ifade ediniz.

Çözüm: Moivre denklemini 3p için kullanmalıyız:

)θsinθcosθsin3()θcosθsin3θ(cos

)θsinθ(cosθ3sinθ3cos3223

3

j

jj

Bu denklemin her iki tarafındaki gerçel ve sanal kısımları karşılıklı olarak birbirine eşitleyerek sonuca ulaşılır:

θcosθsin3θcosθ3cos 23 (1.50)

θsinθcosθsin3θ3sin 32 (1.51) □

19

ÇÖZÜLMÜŞ ÖRNEK PROBLEMLER

Örnek 1.11: Kartezyen koordinatlarda verilen aşağıdaki karmaşık sayıların kutupsal veya üstel gösterimlerini bulalım:

o13,535))34(Arctan(4343 22jo13,53

5j

e (Sayı karmaşık düzlemin birinci çeyrek bölgesinde)

o

8,2129))52(Arctan()2(52522

jo8,2129 je (dördüncü bölgede)

o

o 9069066 jej (sayı sanal eksenin pozitif kısmı üzerinde)

oo 69,12313)180)2

3(Arctan(3)2(32 22j

o69,12313 je (2. bölgede,

yani sol yarı bölgede olduğu için 180° eklendi)

oo

13,2335)180)34(Arctan()4()3(4322

jo13,233

5j

e (3. bölgede

yani sol yarı bölgede olduğu için 180° eklendi)

oo

1804)1800Arctan(0)4(04422 j

o1804

je (Sol yarı bölgede olduğu

için 180° eklendi)

oo

90890)8(080822 jj

o908

je (sayı sanal eksenin negatif kısmı

üzerinde)

o050Arctan05055 22 jo0

5j

e (Sayı gerçel sayı doğrusunun pozitif kısmı

üzerinde)

Örnek 1.12: Kutupsal veya üstel gösterimle verilen aşağıdaki karmaşık sayıların kartezyen gösterimlerini bulalım:

326

je 333)32sin()32cos(6)32(6 jj

o3308

je 43430sin830cos83083308 jj oooo

o1805

je 505)180sin(5)180cos(51805 jj ooo

20

Örnek 1.13: Aşağıda verilen karmaşık sayıların modülleri eksi olanları artı, artı

olanları eksi modüllü olarak yazalım:

oooo 2005)18020(5205 veya oooo 1605)18020(5205

oooo 2237)18043(7437 veya oooo 1377)18043(7437

ooooo 1023702)180190(21902 veya oooo 102)180190(21902

ooooo 6044204)180240(42404 veya ooo 604)180240(4

Örnek 1.14: Aşağıda verilen karmaşık sayı işlemlerini çözelim:

a) o

o

o

oo

o

o

524,02

35,1

405

4522120sin120cos3

405

221203

jj

j

ooo

136309,1915,0936,05sin24,05cos24,02

35,1 jjj

b) 62180)35(Arctan34)732(6253)732( jjj

ooo

62821,2316,116214662,116259831,5)732( jjjj ooo

o4,4383,12821,8316,9 j

c)

33

2540sin440cos4

)37(Arctan58702

25404

73702

jjj

j

oo

o

o

o

33

95,112964,4

8,66616,7879,1684,0

571,4936,1

8,66616,770sin270cos2

o

oo

oo

j

jj

o

o

o

7,4506226,0879,1684,01,213,122

8,66616,7879,1684,0

jj

o252028,2924.1641.0045,0043,0879,1684,0 jjj

Örnek 1.15: Aşağıda verilen karmaşık sayı işlemlerinin bütün köklerini bulalım:

a) ?21 jx

21

k tamsayı değerler almak üzere, )36090(1901 ooo kj olduğundan.

)18045(1)2/)36090((1 oooo kkxk olur. 1k ve 2k için iki farklı çözüm

bulunur: 2

1

2

122511 jx o ve

2

1

2

145140512 jx oo

b) ?)1( 32 jy

)36045(2452)1( ooo kj yazılabileceğinden,

)12030(2)36045(3

22

oooo

kkyk olur. 3,2,1k için üç farklı çözüm

bulunur: 2

1

2

315021 jy o , 227022 jy o ve

2

1

2

330239023 jy oo

c) ?16 41 x

4,3,2,1k için

o

3604

116 kxk değerleri, 29021 jx o , 218022 ox ,

227023 jx o ve 236024 ox bulunur.

Örnek 1.16: Aşağıda sorulan işlemlerin bütün çözümlerini bulalım:

a) ?2cos 1 x

(1.44) denklemine göre 32ln2cosh 1 jjx yazılabileceğinden,

317,11 jx ve 317,12 jx bulunur. Halbuki örneğin 5,0cos 1 sorulsaydı çözümlere

2 radyanın tam katlarını ekleyerek sonsuz adet çözüm bulabilirdik.

b) ?5,0cosh 1 x

Yine (1.44) denkleminden anlaşılabileceği gibi, 5,0cos 1 jx olduğundan, k her

tamsayı olabilmek üzere

kjjx 23

m biçiminde sonsuz adet çözüm mevcuttur.

Halbuki örneğin 2cosh 1 sorulsaydı yalnızca iki adet çözüm bulabilirdik.