1

FİNANSAL MATEMATİK

ALTYAPI

1

1.1 Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır.

i-) Toplama: Eşit üslü benzer ifadelerin katsayıları toplanır.

3𝐚𝟓 + 1,5𝐚𝟓 = 4,5𝐚𝟓 𝐚𝟑 - 7𝐚𝟑 = -6𝐚𝟑

na + ma = ( n+m )a

Üsleri eşit olmayan benzer ifadeler bu şekilde toplanamaz.

ii-) Çarpma: Benzer ifadelerin üsleri toplanır.

𝐚𝟑𝐚𝟒 = 𝐚𝟕 𝐚𝟓𝐚−𝟔 = 𝐚−𝟏 𝐚𝟑/𝟐 𝐚𝟐 = 𝐚𝟕/𝟐

𝐚𝐧𝐚𝐦 = 𝐚𝐧+𝐦

iii-) Bölme: Benzer ifadelerden payı teşkil edenin üssünden paydadakinin üssü çıkarılır.

𝐚𝟓

𝐚𝟐 = 𝐚𝟑

𝐚𝟒

𝐚𝟕 = 𝐚−𝟑

𝐚𝟑/𝟒

𝐚𝟏/𝟕 = 𝐚𝟏𝟕/𝟐𝟖

𝐚𝐧

𝐚𝐦 = 𝐚𝐧−𝐦

iv-) Paydan Paydaya veya Paydadan Paya Alınma: Bir kesrin payında üslü bir ifade üssün işareti

değiştirilerek paydaya, paydadakinin de üssünün işareti değiştirilerek paya alınabilir.

𝟏

𝐚𝟑 = 𝐚−𝟑 𝐚𝟒 =

𝟏

𝐚−𝟒 𝐚−𝟓 =

𝟏

𝐚𝟓

𝐚𝐧

𝐚𝐦 = 𝐚𝐧−𝐦 =

𝟏

𝐚𝐦−𝐧

v-) Üs almak: Üslü bir ifadeyi, herhangi bir kuvvete yükseltmek/alçaltmak için, yükseltilecek

kuvvetin üssü ile çarpılır.

(𝐚𝟓)2 = 𝐚𝟏𝟎 (𝐚−𝟑)2 = 𝐚−𝟔 (𝐚𝟑/𝟒)4 = 𝐚𝟑

(𝐚𝟐

𝐛𝟑)𝟒

= (𝐚𝟐)

𝟒

(𝐛𝟑)𝟒 =

𝐚𝟖

𝐛𝟏𝟐

(𝐚𝐧)𝐦 = 𝐚𝐧m [(𝐚𝐧)𝐦]𝐫 = 𝐚𝐧𝐦𝐫

(𝐚𝐧

𝐛𝐦)𝐫

= (𝐚𝐧)𝐫

(𝐛𝐦)𝐫 = 𝐚𝐧𝐫

𝐛𝐦𝐫

2

vi-) Kök: Üslü bir ifadenin herhangi bir kuvvetten kökünü almak için üs, kök kuvvetine bölünür.

√𝐚𝟖𝟒 = 𝐚𝟐 √𝐚𝟑𝟔

= 𝐚𝟏/𝟐 √ 𝐚𝟑

𝐛𝟏/𝟐

𝟒

= √𝐚𝟑𝟒

√𝐛𝟏/𝟐𝟒 = 𝐚𝟑/𝟒

𝐛𝟏/𝟖

1.2 Neper Sayısı (e): Doğal logaritmanın tabanını teşkil eden (e) sayısı anlık faiz

formülünde yer alacağından bu sayının niteliğini ve nasıl elde edildiğini bilmemize ihtiyaç vardır.

Neper sayısı, (𝟏 +𝟏

𝐦)

𝐦 fonksiyonunun m = ∞ için limitidir. Bunu e ile ifade edersek:

e = 𝐥𝐢𝐦𝐦→∞

(𝟏 +𝟏

𝐦)

𝐦 olup parantez gerektiği şekilde açılırsa :

e = 1m(𝟏

𝐦)

𝟎 +

𝐦

𝟏! 1m-1 (

𝟏

𝐦)

𝟏 +

𝐦(𝐦−𝟏)

𝟐! 1m-2 (

𝟏

𝐦)

𝟐 + .... +

𝐦!

𝐦! 10 (

𝟏

𝐦)

𝐦

(1)

olur. Diziye dikkat edilirse birinci faktörün üssü m den başlayıp sıfıra doğru, ikinci faktörün üssü ise

sıfırdan m ye doğru gitmektedir. 1 in her kuvveti 1 e eşit olmakla beraber terimlerin katsayılarındaki

düzeni belirtmek için üsler gösterilmiştir. Dizi terimlerinin kat sayılarındaki ( ! ) işareti << faktoriyal >>

anlamındadır. 𝐧 bir tam sayıyı temsil etmek üzere (n!) n faktoriyal diye okunup 1 den n ye kadar

tam sayıların çarpımı demektir. Buna göre örneğin :

5! = 1× 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = 120 7! = 5040 8! = 40320 15! = 1.307.674.368.000

Faktoriyal hesaplarında 1! = 1 olduğu gibi sıfır faktoriyal da 1 e eşit yani ; 0! = 1 sayılır.

( 1 ) Sayılı eşitlikte sağ taraftaki terimlerin ikinci faktörlerinin payları 1 olduğundan hangi kuvvete

yükseltilirse edilirse edilsin paylar daima 1 olup her terimin ikinci faktörünün paydasındaki m ile kat

sayısındaki m lerin üsleri aynı dereceden olduklarından m = ∞ için ( 1 ) sayılı eşitlik :

e = 1 + 𝟏

𝟏! +

𝟏

𝟐! +

𝟏

𝟑! + .... +

𝟏

𝐦! ( 2 )

şeklini alır. m = ∞ olduğu zaman terim sayısı da sonsuz olur. Diziye dikkat edilirse sağa gidildikçe

terim değerlerinin de hızla küçüldüğü görülür. 2,5 dan büyük olduğu kolayca görülen e nin 3 ten

küçük bir değer olduğu, başka bir deyişle m = ∞ için ( 2 ) sayılı dizinin bir limiti bulunduğunun

ispatı yüksek matematik kitaplarında vardır.

e nin gerçek değerinin hesabı mümkün olmamakla beraber istenilen bir seviyeden daha

küçük bir hata payı ile yaklaşık değeri hesaplanabilir. e nin yaklaşık değerini bulmak için terimlerin sıra

ile toplamını alırken 𝟏

𝐧! Teriminde durursak ( ki n+1 terimin toplamı alınmış demektir ) bulduğumuz

değerin gerçek e ye göre hatası 3/(n+1)! den küçüktür. Örneğin 1/7! terimi dahil sekiz terimin

toplamında hata payı 3/8! = 3/40320 den küçük olur. Bu da e için hesaplanan değerin kesrinin

3.basamağına kadar doğru olduğunu gösterir.

3

Şayet 5.basamağa kadar doğru olmak üzere e ‘nin yaklaşık değerini elde etmek istersek

𝟑

(𝐧+𝟏)! < 0,000005 eşitsizliğinden n yi tayin ederiz. Bu eşitsizlikten :

(n+1)! > 600000 elde edilir.

Öte yandan :

9! = 362.880 ve 10! = 3.628.800 olduğundan e nin yaklaşık değerini 5.ondalığına kadar

doğru olarak hesaplayabilmek için 1/9! Terimine kadar dizinin 10 terimini toplamak yeter. Kesir kısmı

25.basamağına kadar doğru olmak üzere e nin yaklaşık değeri

e = 2.71828.18284.59045.23536.02875 olur.

Şimdi bir de (𝟏 +𝟏

𝐦)

𝐦 fonksiyonunun m = ∞ olduğu zaman limitinin ne olacağını görelim.

𝐥𝐢𝐦𝐦→∞

(𝟏 +𝐭

𝐦)

𝐭𝐦 = 𝐥𝐢𝐦

𝐦→∞[(𝟏 +

𝒕

𝒎)

𝒎]

𝒕

( 3 )

Olduğu açıktır. Parantezi m yinci kuvvete göre açarsak :

(𝟏 +𝐭

𝐦)

𝐦 = 1m +

𝐦

𝟏! 1m-1

𝐭

𝐦 +

𝐦(𝐦−𝟏)

𝟐! 1m-2

𝐭𝟐

𝐦𝟐 + ....... + 𝐦!

𝐦! 10 𝐭𝐦

𝐦𝐦 ( 4 )

m = ∞ için gerekli sadeleştirmeler yapılırsa :

𝐥𝐢𝐦𝐦→∞

(𝟏 +𝐭

𝐦)

𝐦 = 1 + t +

𝐭𝟐

𝟐! +

𝐭𝟑

𝟑! + ...... +

𝐭𝐦

𝐦! ( 5 )

Öte yandan :

𝐥𝐢𝐦𝐦→∞

(𝟏 +𝐭

𝐦)

𝐦 = 𝟏𝐭𝐦 +

𝐭𝐦

𝟏! 𝟏𝐭𝐦−𝟏

𝟏

𝐦 +

𝐭𝐦(𝐭𝐦−𝟏)

𝟐! 𝟏𝐭𝐦−𝟐

𝟏

𝐦𝟐 + ... +

𝟏

𝐦! ( 6 )

Olup m = ∞ için ( 3 ) sayılı eşitliğe göre 𝐞𝐭 olup sağ yandaki terimlerde gerekli sadeleştirmeler

yapılınca :

4

𝐥𝐢𝐦𝐦→∞

(𝟏 +𝟏

𝐦)

𝐭𝐦 = 1 + t +

𝐭𝟐

𝟐! +

𝐭𝟑

𝟑! + .... +

𝐭𝐦

𝐦! = 𝐞𝐭 ( 7 )

Olur. Dikkat edilirse 7 sayılı eşitliğin sağ yanındaki terimler sırası ile 5 sayılı eşitliğin sağındaki

terimlere eşit olduğundan :

𝐥𝐢𝐦𝐦→∞

(𝟏 +𝐭

𝐦)

𝐦 = 𝐥𝐢𝐦

𝐦→∞(𝟏 +

𝟏

𝐦)

𝐭𝐦 = 𝐞𝐭 elde edilir.

1.3 Logaritma : Logaritma konusunun, sadece mali cebirde ele alacağımız problemlerle ilgili

yönlerine değineceğiz.

Logaritmanın niteliği : Bir sayının logaritması bir üssüdür/kuvvetidir. Üssü alınan değere taban

denir. Logaritmanın niteliğini üslü bir fonksiyon aracılığı ile şöyle ifade edebiliriz :

Y = 𝒂𝑿

Fonksiyonunda x, a tabanına göre Y nin logaritmasıdır. Taban 1 den büyük pozitif herhangi bir değer

olabilir. Buna göre örneğin :

8 = 𝟐𝟑 ifadesini ele alırsak 8 in 2 tabanına göre logaritması 3 deriz. Aynı şekilde 49 = 𝟕𝟐 olduğundan

49 un 7 tabanına göre logaritması 2 dir. Birinci örnekte a = 2 , ikinci örnekte ise a = 7 farzedilmiştir.

a > 1 olmak üzere logaritma için istenilen her değerin taban olarak alınması mümkün olmakla

beraber uygulamada biri e , öteki 10 tabanına göre olmak üzere hazırlanmış iki çeşit logaritma

cetvellerinden faydalanılır. Tabanı e olana Neper logaritması veya tabii logaritma, 10 olana ise

Briggs logaritması veya ondalık logaritma denmektedir.

Ondalık logaritmada :

1 = 𝟏𝟎𝟎 10 = 𝟏𝟎𝟏 100 = 𝟏𝟎𝟐 1000 = 𝟏𝟎𝟑

Eşitlikleri göz önünde tutulursa 1, 10, 100, 1000,... gibi 1 den başlayıp onar onar büyüyen sayıların

logaritmalarının sırası ile 0, 1, 2, 3, 4, .... olduğu kolayca anlaşılır. Bunların arasındaki sayıların

logaritmaları kesirli bir değerdir. Mesela 26 nın ondalık logaritmasına, 26 = 𝟏𝟎𝒙 eşitliğine göre X

dersek 10 < 26 < 100 olduğundan 𝟏𝟎𝟏 < 𝟏𝟎𝒙 < 𝟏𝟎𝟐 olur. Yani 26 nın 10 tabanına göre logaritması 10

un logaritması olan 1 den büyük, 100 ün logaritması olan 2 den küçük kesirli bir değere eşittir. Ancak,

hazır logaritma cetvellerine başvurmaksızın, adi matematik bilgilerle Y = 𝟏𝟎𝒙 denklemini çözüp X in

değerinin elde edilmesi mümkün değildir. 26 nın logaritmasının tam sayısını kolayca tayin ettikten

sonra kesir kısmını logaritma cetvellerinden buluruz. Logaritmanın tam sayısına karakteristik, kesir

kısmına mantis denir. Herhangi bir sayının tam sayı kısmı kaç basamaklı ise karakteristiği, basamak

sayısının 1 eksiğine eşittir. Mesela, 14, 3446, 322,15 0,1214 sayılarının karakteristikleri sırası ile 1, 3,

2 ve -1 dir. Bir ondalık kesrin anlamlı ilk rakamı ( sıfırdan başka bir rakam ) virgülden sonra kaçıncı

basamakta ise basamak sayısının negatif işaretlisi kesrin karakteristiğidir. Buna göre, 0,5 0,0021

0,000124 kesirlerinin karakteristikleri; sırası ile -1 , -3 , ve -4 dür. Logaritma cetvelleri sadece

pozitif mantislere göre düzenlenmiş bulunduğundan 1 den küçük bir değerin logaritmasında

karakteristiğin negatif işareti soluna değil üstüne yazılır.

𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟐𝟏𝟑 = �̅�,32838 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟒 = �̅�,38021 gibi.

5

Bir sayının logaritmasının mantisi, sayının tam sayı veya kesir olmasına göre değişmeyip sadece

rakamlarına bağlıdır. Mesela :

𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟏𝟑 = 2,32838 𝐥𝐨𝐠 𝟐, 𝟏𝟑 = 0,32838 gibi.

Bir sayının logaritması verilirse bunun antilogaritmasını ( yani sayının kendisini ) bulmak için sadece

mantis ele alınarak logaritma cetvelinden sayının rakamları belirtilir. Karakteristiğin bir fazlası

antilogaritmanın tam sayı kısmının basamak sayısından ibarettir. Antilogaritmanın nasıl aranacağı

hakkında logaritma cetvellerinde yeterli açıklama vardır.

Taban ne olursa olsun 1 in logaritması daima sıfırdır.

İki Tip Logaritma Arasındaki Bağıntı

e = 𝟏𝟎𝐌 ( 8 )

Eşitliğinde M, Neper sayısının ondalık logaritması olup tabii logaritmaları ondalık logaritmaya

çevirmek için çevirme faktörüdür.

M = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝐞 = 0,43429

Öte yandan ( 8 ) sayılı eşitlikten :

10 = 𝐞𝟏/𝐌 ( 9 )

Elde edilir ki buna göre 1/M , 10 un tabii logaritması olup ondalık logaritmaların tabii logaritmaya

çevrilmesinde çevirme faktörüdür.

1/M = 𝐥𝐨𝐠𝐞 𝟏𝟎 = 2,30259

M ve 1/M çevirme faktörlerinin yaklaşık değerleri, kesir kısmı 25. basamağa kadar çoğu logaritma

cetvellerinde vardır. Tabii logaritma için L, ondalık logaritma için log işaretini kullanacağız. Yani

Y = 𝒆𝑿 için X = LY ve Y = 𝟏𝟎𝑿 için X = 𝐥𝐨𝐠 𝒀 yazacağız.

Herhangi Bir Sayının Logaritmasının Hesabı

Taylor Formülü ile herhangi bir matematik fonksiyon, terim sayısı sonsuz olan bir diziye

çevrilebilir. Başka bir deyişle bir fonksiyon Taylor Formülü ile bir dizi şeklinde geliştirilebilir. Taylor

Formülünün nasıl elde edildiğinin ele alınması programımız için söz konusu olamaz. Bununla beraber

logaritmaların, başka bir deyişle kesirli üslü ifadelere ilişkin işlemler hakkında genel bir bilgi edinmenin

faydalı olacağı kanısındayız.

Taylor Formülü ile L ( X+1 ) fonksiyonu aşağıdaki diziye çevrilebilir :

L ( X+1 ) = LX + 2 [𝟏

𝟐𝐗+𝟏+

𝟏

𝟑 (

𝟏

𝟐𝐗+𝟏)

𝟑+

𝟏

𝟓 (

𝟏

𝟐𝐗+𝟏)

𝟓+

𝟏

𝟕 (

𝟏

𝟐𝐗+𝟏)

𝟕… . ] ( 10 )

6

Bu dizinin incelenmesinden kolayca anlaşılacağına göre bir sayının tabii logaritması bilinince bir

sonraki sayının logaritmasının değeri, diziden yeteri kadar terim alınıp toplanmak suretiyle, istenilen

bir doğruluk derecesi altında hesaplanabilir. Mesela 1 in logaritmasının 0 olduğu bellidir. 2 nin tabii

logaritmasını, büyük parantez içindeki 5 terimle yetinmek şartı ile 0,69315 buluruz.

Taylor formülünün özel bir hali olan Maclaurin formülünden faydalanarak da istenilen bir

sayının logaritmasını istenilen bir hata payı altında hesaplamak mümkündür. Maclaurin formülüne

göre:

LX = ( X−1 ) − (𝑿−𝟏)𝟐

𝟐 +

(𝑿−𝟏)𝟑

𝟑 −

(𝑿−𝟏)𝟒

𝟒 + .... ( 11 )

Bu formüle göre herhangi bir sayının tabii logaritması, yaklaşık olarak, doğrudan doğruya

hesaplanır. Ancak, 11 sayılı eşitlikteki terimler, 10 sayılı eşitlikteki gibi hızla küçülen terimler niteliğinde

olmadıklarından bir sayının logaritmasının, aynı hata payı altında, yaklaşık değerini elde etmek için 10

sayılı eşitliktekine nazaran çok daha fazla sayıda terimin toplanması gerekir. Mesela L2 değeri için 10

sayılı formülden 5 terimle elde edilen doğruluk derecesi, 11 sayılı formülle 30 - 40 terimle elde edilir.

Logaritmalı İşlemler : Logaritmalı işlemlerle ilgili olarak aşşağıdaki kuralları göz önünde

tutmak gerekir.

i-) İki veya daha fazla sayıların logaritmaları bilinse bu logaritmalardan sayıların

toplamının logaritması hesaplanamaz.

ii-) Bir çarpımın logaritması, çarpanların logaritmalarının toplamına eşittir.

𝐥𝐨𝐠(𝟓 × 𝟐𝟖) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟖 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟒𝟎

𝐥𝐨𝐠 𝒂𝒃𝒄 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠 𝒄

iii-) Bir bölmenin logaritması, payın logaritmasından paydanın logaritmasının çıkarılması ile

elde edilen değere eşittir.

𝐥𝐨𝐠 (𝟒𝟎

𝟏𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟎 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐

𝐥𝐨𝐠 (𝐚

𝐛) = 𝐥𝐨𝐠 𝐚 − 𝐥𝐨𝐠 𝐛

iv-) Üslü bir terimin logaritması, terimin logaritmasının üssü ile çarpımına eşittir.

𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐𝟓𝟓 = 5 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐𝟓

𝐥𝐨𝐠 𝐚𝐛 = b 𝐥𝐨𝐠 𝐚

7

v-) Köklü bir sayının logaritması, sayının logaritmasını kök kuvvetine bölmekle elde edilen

değerdir.

𝐥𝐨𝐠 √𝟏𝟐𝟖𝟒

= 𝟏

𝟒 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐𝟖

𝐥𝐨𝐠 √𝐚𝐧

= 𝟏

𝐧 𝐥𝐨𝐠 𝐚

Bazı değerlerin logaritmaları belli olduğu takdirde, bunlara yukarıdaki eşitliklerden biri ile bağlı

bulunan bir değerin logaritması, öteki değerlerin logaritmalarından elde edilebilir. Mesela :

𝐥𝐨𝐠 𝟐 = 0,30103 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 0,47712 𝐥𝐨𝐠 𝟓 = 0,69897

Değerleri belli olduğu zaman logaritma cetvelini kullanmadan, bazı sayıların logaritmaları bu belli

değerlerden elde edilebilir.

Mesela ; 20 = 2 × 10 olduğundan

𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 eşitliğini göz önünde tutarak :

𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎𝟑 + 𝟏 = 𝟏, 𝟑𝟎𝟏𝟎𝟑 elde edilir.

Aynı şekilde :

6 = 2 × 3

𝐥𝐨𝐠 𝟔 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 0,30103 + 0,47712

= 0,77815

250 = 𝟓𝟑 × 2

𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟓𝟎 = 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟓 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐

= 3 × 0,69897 + 0,30103

= 2,39794

0,6 = 𝟑

𝟓

𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟔 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 − 𝐥𝐨𝐠 𝟓

= 0,30103 – 0,69897

= − 0,39794

= �̅�,60206

bulunur.

8

Logaritma cetveli ile aşağıdaki ifadelerin logaritmalarını hesaplayınız.

1 – 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟑𝟓 = ?

2 – 𝐥𝐨𝐠 𝟐, 𝟑𝟒𝟏 = ?

3 – 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟖𝟐 = ?

4 – 𝐥𝐨𝐠(𝟑𝟖𝟑 𝐱 𝟕𝟐𝟓) = ?

5 – 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟕𝟓

𝟏𝟐𝟖 = ?

6 – 𝐥𝐨𝐠(𝟖𝟒𝟒 𝐱 𝟐𝟔)𝟏𝟎 = ?

7 – 𝐥𝐨𝐠(𝟐𝟓 𝐱 𝟒𝟗 𝐱 𝟐𝟖𝟒𝟓)𝟑

(𝟏𝟏𝟐 𝐱 𝟑𝟒)𝟐 = ?

8 – 𝐥𝐨𝐠 √𝟑𝟖𝟎𝟓

= ?

9 – 𝐥𝐨𝐠 √𝟐𝟑 𝐱 𝟑𝟏𝟐𝟐

𝟕𝟔

𝟒

= ?

10 – 𝐥𝐨𝐠 √𝐚𝐛𝐫

(𝐜𝐝)𝐦

𝐧 = ?

11 – 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟒𝟑

𝟓𝟗𝟐 = ?

12 – 4 ve 11 inci sorular için bulduğunuz logaritmaların antilogaritmalarını hesaplayınız.

13 – 𝐥𝐨𝐠 𝟓 = 0,69897 , 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟎 = 1,60206 , 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟖 = 1,68124 değerleri verildiğine göre bu

değerlerden yararlanarak aşağıdaki sayıların logaritmalarını bulunuz.

(𝟐𝟎𝟎) , (𝟐𝟒𝟎) , (𝟏𝟐) , (𝟏𝟔𝟎𝟎) , (𝟔𝟐𝟓) , (√𝟒𝟖)

1.4 Aritmetik ve Geometrik Dizi. Değerleri bir matematik fonksiyona göre beliren

sayılar grubuna matematik dizi denir. Bu tariften, matematik dizi çeşitlerinin sonsuz sayıda olacağı

kolayca anlaşılabilir. Bununla beraber teorik alanda kendilerinden faydalanılan matematik diziler sınırlı

olup bunlardan sadece ikisini, aritmetik ve geometrik diziyi göreceğiz.

A. Aritmetik Dizi. Birbirini izleyen terimleri arasındaki farkların eşit bulunduğu bir diziye

Aritmetik Dizi denir. Yan yana iki terim arasındaki farka Ortak Fark diyeceğiz. Dizinin terimlerinin genel

ifadesini ai , terim sayısını n , ortak farkı r ve n terimin toplamını da S ile gösterip aritmetik dizinin

çeşitli özelliklerini inceleyelim.

9

İlk önce dizinin terimleri:

𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 , , , , , ,𝐚𝐧 olacaktır. Tarife göre:

𝐚𝟐 − 𝐚𝟏 = 𝐚𝟑 − 𝐚𝟐 = 𝐚𝐩 − 𝐚𝐩−𝟏 = r dir.

Aritmetik dizinin başlıca özellikleri şunlardır:

i - Bir aritmetik dizide, baştan ve sondan aynı uzaklıkta bulunan iki terimin toplamı

sabittir. Bunu ispatlamak için bütün terimleri birinci terimle ortak fark cinsinden yazacağız. Terim sıra

numarasını gösteren alt işaretini de atıp birinci terime a dersek dizinin terimlerini:

a , (𝐚 + 𝐫) , (𝐚 + 𝟐𝐫) , . . . , [𝐚 + (𝐧 − 𝟐)𝐫] , [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]

şeklinde yazabiliriz. AAritmetik dizinin bu özelliğine göre baştan p yinci terimi ile sondan p yinci terimi

toplamının birinci ve sonuncu terimlerin toplamına eşit olması gerekir. Bu eşitliği kolayca görebiliriz.

Birinci terim a olursa sonuncu terim [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫] , baştan p yinci terim [𝐚 + (𝐩 − 𝟏)𝐫] , sondan p

yinci terim [𝐚 + (𝐧 − 𝐩)𝐫] dir. Buna göre :

[𝐚 + (𝐩 − 𝟏)𝐫] + [𝐚 + (𝐧 − 𝐩)𝐫] = a + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]

Olması gerekir. Sol yandaki terimlerin parantezleri açılıp gerekli işlemler yapılarak :

a + pr – r + a + nr – pr = a + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]

a + a + nr – r = a + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]

a + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫] = a + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫] elde edilir.

ii - Aritmetik dizide n terimin değerleri toplamı birinci ve sonuncu terimlerin toplamının

n/2 ile çarpımına eşittir. n terimin toplamını S ile gösterirsek :

S = a + (𝐚 + 𝐫) + (𝐚 + 𝟐𝐫) + …… + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫] olur.

Dizinin terimlerinin sırası değişmekle toplam değişmeyeceğinden bir de :

S = [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫] + [𝐚 + (𝐧 − 𝟐)𝐫] + …… + a

Şeklinde yazıp iki çeşitliği taraf tarafa toplarsak :

2S = {𝐚 + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]} + {(𝐚 + 𝐫) + [𝐚 + (𝐧 − 𝟐)𝐫]} + ……. + { [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫 + 𝐚 ]}

olur. Son eşitliğin sağ yanında yer alan akülat içindeki terimlere dikkat edilirse hepsinin de baştan ve

sonran aynı uzaklıkta iki terim kapsadığı görülür. Bu nitelikte n tane çift terim bulunduğundan bunların

toplamı birinci ve sonuncu terim toplamının n katına eşit olur. O halde ;

2S = n {𝐚 + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]}

S = 𝐧

𝟐 {𝐚 + [𝐚 + (𝐧 − 𝟏)𝐫]}

Olup gerekli sadeleştirmelerden sonra :

S = 𝐧 [𝟐𝐚+ (𝐧−𝟏)𝐫]

𝟐 elde edilir. ( 12 )

10

Ortak fark r sıfırdan farklı bir değerdir. 1 ( * ) r > 0 ise, aritmetik dizinin terimleri büyüyerek, r < 0 ise

küçülerek gider.

Problem.

1 – Birinci terimi 17, ortak fark r = 4 olan bir aritmetik dizinin 20. terimi nedir ?

2 – Birinci terimi 3, 30. terimi 61 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı nedir ?

3 – 1 den 1000 e kadar tam sayıların toplamı nedir ?

4 – Birinci terimi 40, ortak fark ( -8 ) olan bir aritmetik dizinin 15. terimi nedir ?

5 – Ortak farkı 0,6 olan bir aritmetik dizinin 41. terimi 315 olursa birinci terimi ne olur ?

B. Geometrik Dizi Ardıl terimlerinin oranı sabit olan diziye Geometrik Dizi denir. Geometrik diziyi

bir de, her terimin değeri, önceki terimin sabit bir q değeri ile çarpımına eşit ise bu terimlerin teşkil

ettiği diziye geometrik dizi denir, şeklinde tarif edebiliriz.

𝐚𝟏 , 𝐚𝟐 , 𝐚𝟑 , , , , 𝐚𝐧

dizisini alalım. Bu dizide herhangi bir ( i ) yinci birim 𝐚𝐢 şeklinde gösterilecektir. Birinci tarife göre :

𝐚𝐢

𝐚𝐢−𝟏 = q

olması gerekir. Eşitliğin iki yanı 𝐚𝐢−𝟏 ile çarpılırsa :

𝐚𝐢 = 𝐚𝐢−𝟏 q

olur ki, bu da ikinci tarife göre yazılacak ifadeden başka bir şey değildir.

q ya ortak çarpan denir. Dizinin birinci terimi a, ortak çarpanı q ile gösterirsek geometrik dizinin

terimleri :

a aq 𝐚𝐪𝟐 …… 𝐚𝐪𝐧−𝟏 olur.

1 ( * ) r = 0 olması halinde bütün terimleri aynı değerde olan bir aritmetik dizi ortaya çıkar. Böyle bir dizi için 12 sayılı eşitliğe ihtiyaç duyulmaz.

11

a ve q nün bazı özel değerlerine karşılık dizinin özellikleri:

i - a ve q sıfırdan başka bütün değerleri alabilir. a = 0 olursa q nün değeri ne olursa olsun

bütün değerler 0 olacağından bir geometrik dizi söz konusu olamaz. a ≠ 0 fakat q = 0 olursa ilk

terimden sonraki bütün terimler sıfır çıkacağından tarife uygun bir dizi ortaya çıkmaz.

ii - q = 1 olursa dizinin bütün terimleri eşit olur. q = - 1 için tek sıra numaralı terimler a ve çift

sıra numaralı terimler – a olur.

iii - q > 1 olursa 𝐚𝐧+𝟏 > 𝐚𝐧 olur. ( Büyüyen geometrik dizi )

iv - 0 < q < 1 olursa 𝐚𝐧+𝟏 < 𝐚𝐧 olur. ( Küçülen geometrik dizi )

v - a > 0 ise q < - 1 olduğu zaman geometrik dizinin tek sıra numaralı terimleri büyüyerek, çift

sıra numaralı terimleri küçülerek gider. a > 0 olup 0 > q > - 1 olursa tek sıra numaralı terimler

küçülerek, çift sıra numaralı terimler ise büyüyerek gider.

vi - n daima pozitif bir tam sayıyı temsil edip kesirli bir değere eşit olamaz.

Geometrik Dizinin Özellikleri

i - Bir geometrik dizide her terim, iki yanındaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir. Bunu

kolayca görebiliriz. Şöyle ki :

𝐚𝐪𝐧 = √𝐚𝐪𝐧−𝟏 𝐚𝐪𝐧+𝟏 = √𝐚𝟐𝐪𝟐𝐧 = 𝐚𝐪𝐧

ii - Bir geometrik dizide baştan ve sondan aynı uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımı sabittir.

Baştan ve sondan i yinci terimlerin çarpımının birinci ve sonuncu birimlerin çarpımına eşit olduğunu

ispatlamak bu özelliği doğrulamak için yeterlidir.

𝐚𝐪𝐢−𝟏 × 𝐚𝐪𝐧−𝐢 = a × 𝐚𝐪𝐧−𝟏

= 𝐚𝟐𝐪𝐧−𝟏

Geometrik Dizinin n Teriminin Toplamı. Toplamı S ile gösterirsek :

S = a + aq + . . . . + 𝐚𝐪𝐧−𝟏

olur. Eşitlik q ile çarpılırsa :

Sq = aq + 𝐚𝐪𝟐 + . . . + 𝐚𝐪𝐧

elde edilir. Birincisini ikinciden çıkarırsak :

Sq = aq + 𝐚𝐪𝟐 + . . . + 𝐚𝐪𝐧

± 𝐒 = ± 𝐚 ± 𝐚𝐪 ± ⋯ ± 𝐚𝐪𝐧−𝟏

S ( q-1 ) = a ( 𝐪𝐧 − 𝟏 )

12

S = 𝐚 𝐪𝐧−𝟏

𝐪−𝟏 ( 13 )

elde edilir. q > 1 olduğu zaman n büyüdükçe S toplamının da büyüyeceği açıktır. n = ∞ için S = ∞

olur. 0 < q < 1 ise sonsuz olduğu zaman ( 13 ) sayılı formül :

S = 𝐚

𝟏−𝐪

şekline girer. q = 1 olursa terimleri eşit değerli bir geometrik dizi elde edilir.

13 sayılı formülde n büyüdükçe 𝐪𝐧 nin değerini adi aritmetik işlemlerle hesaplamak çok zaman alıcı ve

q nün hesaplanması ise imkansız olur. Oysa :

X = 𝐪𝐧

𝐥𝐨𝐠 𝐗 = n 𝐥𝐨𝐠 𝐪

bağıntısı ile 𝐪𝐧 veya q değeri kolayca hesaplanır.

Problem.

1 – Birinci terimi 1, ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5 inci terimi kaçtır ?

2 – Birinci terimi 2, onuncu terimi 1024 olan bir geometrik dizinin ortak çarpanı nedir ?

3 – Birinci terimi 3, ortak çarpanı 0,5 olan bir geometrik dizinin 30 teriminin toplamı nedir ?

4 – Üçünçü terimi 1/8 ve ilk 10 terimi toplamı 16 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir ?

5 – Bir kenarı 2 m olan eşkenar bir üçgenin kenarları orta noktalarının birleştirilmesiyle iç içe

çizilebilecek sonsuz sayıdaki eşkenar üçgenlerin kenarları toplamı kaç metredir ?

6 – Birinci terimi a, ortak çarpanı ( 1+t ) olan bir geometrik dizinin n terimi toplamı neye eşittir?