第七章

长期聚合风险模型

[ 知识要点 ] 1 、盈余过程的基本模型 u(t)=u+ct - s(t) (t ≥ 0) 2 、破产概率的定义 (u)=P(T< ∞ )=P(u(t) <0, t≥ 0) 其中 T=min(t:t ≥0 且 u(t) <0) (u,t)= P(T< t )=P(u(x) <0, x (0,t)) h (u)= P(u (t)<0, t0 ,t=h,2h,3h,…) h (u,t)=P(u (x)<0, x(0,t),t=h,2h,3h,…) 3 、破产概率的性质 >

2 1 1 1 2 1 2

2 1 1 2

1 1 2

2 1

(1) ( ) ( ), >0,u ,0 ;

(2) ( ) ( ), u ;

(3) ( ) ( ) ( ), 0,,0

(4) lim ( ) ( )

(5) ( ) ( ), >0;t

n h

u u t u t t x

u u u

u u u u t t

u u

u u t

2

2

，t ，t

，t ，t

，t

，t ，t

4 、泊松过程的定义及性质 泊松过程的定义： （ 1 ）全局性方法：如果 N(t) 的长度为 h 的任意时间段内满足：

由此定义可知： N(t+h)-N(t) 服从参数为 λ h 的泊松分布。 （ 2 ）等额时间间隔法：如果事件发生的等待时间间隔随机变量序列 w

1 , w2 , w3,… 独立同分布，且分布函数是参数为 λ 的指数分布，则称 {N(t) ， t≥ 0} 为泊松过程。

2 1 2 1

1 2

0

0

(6) ( ) ( ), >u ;

(7) ( , ) ( , ) ( ), 0;

(8) lim ( , ) ( );

(9) lim ( , ) ( , );

(10) lim ( ) ( ).

h h

h h h

n ht

hh

hh

u u u

u t u t u u

u t u

u t u t

u u

( ( ) ( ) | ( ), )

( ), 0, 0, 1, 2,...

!

k h

P N t h N t k N x x t

h et h k

k

则 N(t), t 0 为泊松过程。

泊松过程的性质： （ 1 ）泊松过程是平稳独立增量过程； （ 2 ）在一个无限小的时间段内要么发生一次理赔，要么不发生

理赔，如果时间间隔为 dt ，则在 dt 时间段内的发生次数为 0—1 分布，并且 P （ N=0 ） = λ dt ， P （ N=1 ） =1- λ dt ；

（ 3 ） P （ N （ t+h ） -N （ t ）） = 1|N （ x),x≤ t)= e-λhλh 如果 dt 是一个无穷小量，则有： P （ N （ t+dt ） -N （ t ）） = 1|N （ x),x≤ t)= λ dt 5 、复合泊松过程的定义

6 、在复合泊松过程下，有关破产概率的定理

其中 F （ x ）和 f （ x ）是个别理赔额随机变量 X 的分布和密度函数， Λ 是泊松参数。

( )

1

( ) , ( )

( )

N t

i i ii

S t X X X N t

N t

独立同分布， 与 相互独立，

为泊松过程。

1 ( ) ( ) ( ) ( ) [1 ( )]0

uu u f x u x dx F u

C C C

（）

（ 2 ）若个别理赔额服从参数 α 的指数分布，则：

（ 3 ）盈余 u(t) 首次落到 u 以下，其值落在 u—y 到 u—y+dy之间的概率为：

11( )

1

u

u e

1

1 ( )( ( ) ) (1 ( ))

(1 )

10

1

F yP u y u t u y dy F y dy dy

C P

并得出（） 。

1 11

1

1(4) (1 ( )),

1( ) ( ( ) 1

Lf F x LP

F x

t ttP

1

1

L X

其中 为盈余u(t)首次下降

到u以下的损失，P是个别理赔额的数学期望，（ ）是个别理赔额的分布函数。

M M

7 、最大损失随机变量 L 的矩母函数为：

8 、调节系数的定义 设 S （ t ）为复合泊松过程，泊松参数为 λ ，个别理赔额随机

变量为 x ， MX(t) 是其矩母函数，方程 λ +Ct= λ MX(t) 的非零正解R 称为调节系数。调节系数方程必有正根，并且满足如下的不等式：

1

1

1

( )1 (1 ) ( )

( ) 1 =

1+ 1+ 1 (1 ) ( )

Ptt

Pt t

t

Pt t

LX

X

X

M M

M M

其中 是安全附加系数。

1

2

1 2(1 ) ,

P

P

C P P

C2

R〈

其中 为个别理赔额的二阶原点矩。

ln(1 )

9.

| )

(u)<

10.

i

i i

M

T

i

-Ru

-Ru(T)

-Ru

n

i =1

如果个别理赔额随机变量X有上界M，则有：1

R>

调节系数与破产概率的关系

e对于u 0,有: (u)=E(e

e

离散模型的调节系数定义及有关定理 u(n)=u+nC-S(n) (n=1, 2, 3, . . . )

S(n)= V

其中V是第年的理赔总量之和, V是独立

12

2 1

,

( ) 1 .

u>0 :

| )

min( ( ) 0) .

, (1 ) ( ) :

2 P ( )

R( ) ( )

j

i i

M t R

T

T n u n

C E

E N

P P E N

i

-CtV

-Ru-Ru

-Ru(T)

同分布的此模型称

为离散模型.

对此模型调节系数有如下定义:

e 的正根

定理

定理

是调节系数

当 时

e(u)= e

E(e

其中 表示破产时刻

当V为复合分布时且 V时

21 ( )P Var N

[ 重点及难点解析 ] 本章的重点是对盈余过程的分析、破产概率的定义以及有关破

产概率的性质，与盈余过程有关的理赔过程也是本章的重点，泊松过程的几个定义的等价性是一个难点，与复合泊松分布平行的复合泊松过程是本章的又一个重点；在复合泊松过程下，破产概率的几个有关定理非常重要，特别是个别理赔额为指数分布时，破产概率有简洁的表达，最大损失过程及最大损失的分布是本章的又一个难点。

调节系数的定义及有关定理是本章的重点。 下面以例题的形式展示出重点与难点的表现形式。 例 1 一个风险组合具有如下的特点： ① 索赔一定会在时间 t=0.5,1.5,2.5,… 发生； ② 索赔额服从 [0 ， 2] 区间上的均匀分布； ③安全附加系数是 0.2 ； ④保费的交付仅在每一段时期的开始； ⑤初始盈余是 1 。 求在时刻 2 之前的破产概率。

A.0.24 B.0.024 C.0.045 D.045 E.0.072

1

1

1

1 2

1 2

1 2

u(0.5)=1+(1+ )E(S)-S(0.5)

=1+(1.2)P (0.5)

=2.2-X

(0, 2)

(0.5) 0 0.5

(1.5) (2) 2.2 (1+ )E(S)-X

=3.4- X

2 X 3.

S

X U

u

u u X

X

P X

解

恒成立，即在 时刻之前不会破产。

在时刻 之前破产的概率为

1 2

1 2

4

X 0 2

F(Z)=P(Z )= X

0, z 0

z 1, 0<z 2

0 0 4 =

z 1, 2<z 4

0 0 4

1, z

X

z P X z

z xdy dx

z xdy dx

而 与 是独立同分布的，分布是（，）。

2

2

0, z 0

, 0<z 2 8

(4 )1 , 2<z 4

81, z>4>4

z

z

此题考察了盈余过程方面的知识，运用 (2)= (1)+(1- (1))•P （在时间（ 1 ， 2] 上破产 | 在 [0 ， 1] 上没有破产 ] 公式可以解决本题提出的问题，这个公式与寿险精算中的公式 2qx=1qx+1px•qx+1 是一致的，具有一致的内涵，当然从概率论的角度出发，用事件之间的关系也可演绎出上述公式。另外，有兴趣的读者也可以在洗题的基础上计算 (3) 的概率。

例 2 一个保险人具有如下特性的盈余过程： ① 索赔额分布是 P(0)=P(1)=0.5; ② 调节系数 R=ln4=1.3863 ； ③索赔过程是复合泊松过程； ④保费是连续收取。 求 (0).

A.0.47 B.0.46 C.0.48

D.0.49 E.0.50

2 2

1 2 3.4

(4 ) 0.6X 3.4 | 0.045

8 8

zP X

C

选 。

例 3 一个保险标的出险的概率是 0.5 ，索赔发生时索赔额为 10 个单位，发生的时间 W 服从帕累托分布，参数为 x0=1 和 α = 3 ，年保费连续缴纳，速率是 7 ，求破产的概率。

A.0.3 B.0.33 C.0.34 D.0.5 E.0.25

1

1

0 r

ln 4

+(1+ ) ( ) (1)

1 1 1 P 0 1

2 2 21 1 1

( ) (1+e )2 2 2

R ln 4 1.3863

1 1 1 51+(1+ ) 1.3863 1 ) 1 4)

2 2 2 2 (1+ )=2.164

X

rX

Pr M r

M r e e

e

解

又

又 满足方程（1）。

（ （

1 1 (0)= 0.46

(1+ ) 2.164

(1+ )

B

选 。1

此题平淡无奇，但间接地考察了（0）= 公式。此公式

说明了保险人在初始资产为0时的破产概率。

例 4 一个盈余过程是复合泊松过程，安全附加系数是 0.1 ， R 是调整系数，下列选项哪一项是正确的？

① 如果个别理赔额的分布是参数为 2 的指数分布，则有 R=2/11; ② 如果个别理赔额的分布是 N(10,4), 则有 R〈 1/52 ； ③如果个别理赔额都是 2 ，则 R 是 1+(1.1)r=e2r的非零正解。 A. 仅①正确 B. 仅②正确 C. 仅③正确 D.① 、②正确 E. 以上都不对

1 3

3

4

3

3( ) (x>1)

103 7

1710

1

7 1

10

a

af x

x x

dxx

解 所求概率只有在出险的情况下才会发生，所以所求的概率 为： P(出险发生) P(7W 10)

帕累托分布的密度函数为：

10P(7W 10)=P(W )

7

=

1所求概率为：2

0.33

B

选 。

1

221 1

1

(1) 2

( ) 12 2

1 (1 ) ( )2

1 1+1.1

2 22

R=11

1 (1 ) ( ) 1 ...2

X

t X

X

t tM t

t

tP M t

tt

tt

PPR M R PR R

PR

解 个别理赔额为参数是 的指数分布。

即：

解得 ，所以（1）正确。

(2)

22

12

2

2

2

22 2 0.1 10 1

4 10 52

(2)

1+1.1 2

1+1.1r

(3)

D

r

r

PR

PR

P

r e

e

也正确。 (3)个别理赔额为常数2时，调节系数方程为：

与(3)中的 不一致。错误。选 。

例 5 一个盈余过程有初始盈余 1 。索赔发生在 1 ， 2 ， 3 ，保费以一个常数连续收取，个体索赔额的分布如下：

求最小的安全附加系数 θ ，使 P(u(t) ≥ 0>0.95, 对于 t=1,2,3. A.0.8 B.1.3 C.1.2 D.1.0 E.1.5 解 个别索赔额的期望值为： E （ X ） =1*0.25+2*0.25=0.75 所以 C=(1+θ)P1= (1+θ)0.75

依题意有如下的表格：

x 0 1 2

P(x) 0.5 0.25 0.25

t u(t)=u+ct-S(t) P(u(t) ≥ 0

1

2

3

1+C-S(1)

1+2C-S(2)

1+3C-S(3)

P(S(1) ≤ 1+C)

P(S(2) ≤ 1+2C)

P(S(3) ≤ 1+3C)

依题意有 :S(1)=X1, S(2)=X1 + X2 , S(3)=X1 + X2 +X3(Xi 表示在时刻 i 上发生索赔的个别理赔额随机变量，且 X1 ， X2 ， X3 相互独立）。

因为 P(S(1) ≤ 1+C) ≥ 0.95 由上表可知： 1+C ≥2 C ≥ 1

X P(X1

)P(X1+X2) P(X1+X2+X3) F(X1

)F(X1+X2

)F(X1+X2+X3 )

0

1

2

3

4

5

6

0.50

0.25

0.25

0.2500

0.2500

0.3125

0.1250

0.0625

0.1250

0.1875

0.2813

0.2031

0.1125

0.0187

0.0156

0.50

0.75

1.00

0.2500

0.5000

0.8125

0.9375

1.0000

0.1250

0.3125

0.5938

0.7969

0.9094

0.9881

1.0000

同样： P(S(2) ≤ 1+2C) ≥ 0.95 可知： 1+2C ≥4 C ≥ 1.5 P(S(3) ≤ 1+3C) ≥ 0.95 可知： 1+3C ≥5 C ≥ 4/3 所以 (1+θ)0.75=C ≥max(1,1.5,4/3)=1.5 所以 θ=1 所以选D。 看到此题的答案，读者也许感觉思路并不复杂；可是在看到答案之前，联系到 u(t)=u+Ct-S(t) 这一公式，就让人颇感困惑，因为此公式包含了两个随机过程。去掉此式，剩下的问题只是故意设置三个弯而已，譬如卷积的运算以及在某条件下的最小值计算，解决此类问题尚属简单，关键问题是盈余过程，就此问题而言，由 u(t) 过程可以过度到研究S(t) 过程，而 S(t) 一般是一个离散过程，在每一个保险期内的理赔总额随机变量一般是一个复合分布，这样，复杂问题就变成简单问题了。

由于再保险或免赔额应用的广泛性，因此有关再保险方面的计算，也成了本章的重点内容。

例 6 保险人承保的某风险的年索赔总额服从泊松参数为 10 的复合泊松分布，个体索赔总额服从（ 0 ， 2000 ）上的均匀分布，

保险人为该风险安排了自留额为 1600 的超额赔付再保险分保，计算保险人和再保险人的赔付总额随机变量的方差。

A.2389 333.4 8532.8 B.9608 532.8 C.1194 666.7 21332

D.194 666.7 960 E.8532.8 1194 666.7

解 设 Yi=min(Xi,1600) 为第 i 次索赔发生时损失额为 Xi 时原保险人的赔付额， Ri=max(0, Xi -1600) 为第 i 次索赔发生时损失额为 X

i 时再保险人的赔付额。

2 2

2 2

1 1

( ) (min( ,1600)

1600 20001 1 = 1600

0 16002000 2000

=960

( ) (min( ,1600) )

1600 20001 1 = 1600

0 16002000 2000

=1194 666.7

Var(S )

i i

i i

E Y E X

x dx dx

E Y E X

x dx dx

P

同样：

22 1

2 2

2

( ) 1194 666.7 10=1194 6667

( ) [(max(0, 1600)) ]

2000 1 = ( 1600)

1600 2000

=10 666.1

i

i

E Y

E R E X

x dx

注意：此题是超额赔付再保险，只有损失额超过 1600 时，再保险人才发生赔付，所以泊松参数发生了变化，减少为 10*P(Xi>1600),即2 。对于原保险人泊松参数并没有发生变化，读者想一想这是为什么？如果把此题改为自留额为 80/100 的比例再保险，此题又该如何求解？

例 7 一个保险人承保了具有如下特性的风险： ① 索赔额为 2000 的概率是 0.4 ，为 3000 的概率是 0.6 ； ② 索赔次数的分布列如下：

保险人购买了自留额为 5000 的停止损失再保险，求此时再保险人的保险费。

A.1172.5 B.200 C.5200 D.1170 E.1168.5

R 2 Var(S ) 10 666.1 ( 1600) 10

2000 1 =10 666.1 10

1600 2000

=10 666.1 2=21332

C

RP P X

dx

选 。

N 0 1 2 3 4

P 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

50005000

4999

0 0

4999

0

E(I ( )) ( 5000) ( )

= ( 5000) ( ) ( 5000) ( )

=E(S)-5000+ ( 5000) ( )

E(S)=E(N)E(X)

x

x x

x

S x f x

x f x x f x

x f x

解

而

4999

0

1 3 1 1 = 1 2 3 4 (200 0.4 3000 0.6)

4 8 4 16

=2 2600=5200

( 5000) ( ) 4999x

x f x x

S

要计算 ，还需计算 时的概率值：

由已知条件可知 4999时只有0，2000，3000，4000这 四个可能值可取，下面计算P(S=0), P(S= ,

,

2000) P(S=3000)

P(S=4000)时的概率：

P(S=0)=P(

P(S=2000)=P(

P( )P(

0.4 0.1

P(S=3000)=P(

P( )P(

0.6

1没有索赔发生时）=

16发生一次索赔且索赔额为2000）

= 发生一次索赔 索赔额为2000）1

=4发生一次索赔且索赔额为3000）

= 发生一次索赔 索赔额为3000）1

=4

2

0.15

P(S=4000)=P(

P( )[P(

0.4 0.06

1( )) 5200 5000 (5000 0) (5000 2000)

16 0.1+(5000-3000) 0.1

S

2

5000

发生二次索赔且每次都是2000的赔付）

= 发生二次索赔 索赔额为2000）]

3 =

8所求的值为：

E( I

5+(5000-4000) 0.06

=200+972.5=1172.5

A

选 。

例 8 一个保险人承保了如下情形的保险： ① 索赔额仅取 0 ， 1 ， 2三个值 ; ② 索赔额的数学期望为 1 ； ③E(I1)=0.25 。 求 E(I03) 。 A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.2 E.2.4

1

( ) 1 0 (0) 1 (1) 2 (2)

= (1) 2 (2)

( ) 0.25 0 (0) 1 (1) 2 (2)

= (2)

(1) 1 2 (2) 1 2 0.25 0.5

S P P P

P P

I P P P

P

P P

解 E

E

3 3 30 ( ) ( ) 1 (1) 2 (2)

=0.5+8 0.25=2.5

B

E I E X P P

选 。