第四章 证券的收益与风险第四章 证券的收益与风险

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一、单利与复利

持有期收益率 (Holding-period return) 拥有金融资产期间所获得的收益率。HPR=(投资的期末价值—期初价值 + 此期间所得到的收入 )/期初价值投资者期初储蓄 5000元，期末获本息 5200元，有 (5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%

[(19×500)-(20×500)+(4×500)]/(20×500)

=0.15=15%

二、年收益率的折算

不同期限的折合成年收益率，折算的公式为

年收益率 = 持有期收益率 ×[年 ( 或 365)÷持有期长度 ]

股票投资期限是 5 年，而银行储蓄的期限是 17个月

股票投资的年收益率为 15%×[1/5]=3%

银行储蓄的年收益率为 4%×[12/17]=2.82%

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三、算术平均收益率三、算术平均收益率

算术平均收益率 R 的计算公式为 :

R=(R1+R2+……+RN)/N

如果投资者一项投资 4 年的收益率分别为 10%， -5%， 0 和 23%，年算术平均收益率为

(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%

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几何平均方法是计算复利的方法，几何平均收益率 RG 的计算公式为

RG=[(1+ R1)(1+R2)……(1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1

如果将上例 4 期收益的数字代入几何平均收益率的公式，得到的结果为

RG=[(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)]1/4-

1=1.065-1=0.065=6.5%

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四、几何平均收益率四、几何平均收益率

五、时间权重收益率五、时间权重收益率

时间权重收益率也是计算复利的一种收益率，计算公式为

RTW=[(1+ R1)(1+R2)……(1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1

它与几何平均收益率的计算公式相比较，只缺少对总收入开 1/n次方。因此，也可以说，时间权重收益率是投资的考虑复利 (Compound

rate)的总收益率。

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六、名义利率与实际利率六、名义利率与实际利率

实际利率（ Nominal Interest Rate）与名义利率(Effective Interest Rate)的关系有下式： Rreal =[(1+

Rnom)/(1+h)]-1

Rreal为实际利率， Rnom为名义利率， h 是通货膨胀率（ Inflation Rate）。如果名义利率为 8%，通货膨胀率为 5%，其实际利率就是

[(1+0.08)/(1+0.05)]-1=1.02857-1=0.02857=2.857%

计算实际利率的公式可以近似地写成 :Rreal≈Rnom—h

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七、通货膨胀（七、通货膨胀（ InflationInflation ）效应）效应

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  年通      买 1元物品 20年     1000元 20年     年实际  胀率        后要求的金额     后的购买力      收益率

4% 2.19元          456.39元          7.69% 6% 3.21元          311.80元          5.66% 8% 4.66元          214.55元          3.70% 10% 6.73元          148.64元          1.82% 12% 9.65元          103.67元          0.00%

八、连续复利（八、连续复利（ Continuous Continuous Compounding )Compounding )

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九、连续复利的计算九、连续复利的计算

连续复利的计算公式为

这里， APR为利息的年百分率， n 为每年计算复利的期数。当 n趋近于无穷大时， (1+APR/n)n会趋近于 e APR，这里， e 的值为2.71828。在上例中， e 0.06=1.0618365，因此，我们可以说，利息为 6%的债券的连续复利为每年 6.18365%。

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十、净现值十、净现值 (Net Present Value)(Net Present Value) 的计算的计算

净现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如 8 年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为 5%的情况下，现在要存入银行多少钱， 8 年后才会有 30000元。计算现值 PV的公式为PV=1/(1+i)n 这是利率为 i ，持续期为 n 时的 1 元的现值系数，PV=[1/(1+0.05)8]×30000=0.6768×30000=20305.18 即家长现在需要储蓄 20305.18元，就可以了。PV=[1/(1+0.06)8]×30000=0.6274×30000=18822.37， PV=[1/(1+0.04)8]×30000=0.7307×30000=21920.71，利率提高或降低一个百分点，可以节省 (20305.18-18822.37=)1482.81元，或者多存 (20305.18-21920.71=)1615.53元。

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十二、不同资产投资收益（十二、不同资产投资收益（ investment incomeinvestment income））

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十四、风险（十四、风险（ RiskRisk）及测度）及测度 风险 (Risk) 是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风

险就越大。

形势              概率           期末总价           总收益率 繁荣               0.25 13000元                  30% 正常增长       0.50 11000元                  10 萧条              0.25 9000元                 -10

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十七、彼得堡悖论十七、彼得堡悖论

数学家丹尼尔·贝诺里 1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬 R 的公式为：

公式中的 n 为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。

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十七、彼得堡悖论十七、彼得堡悖论

参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表反面         概率            报酬                    概率 ×报酬 0 1/2 1 1/2

1 1/4 2 1/2

2 1/8 4 1/2

3 1/16 8 1/2

. . . .

n (1/2)n+1 2n 1/2 

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如果 n 为 0 ，他可以得到的报酬为 20=1元，期望报酬为 1/2；如果n 为

1 ，他可以得到的报酬为 21=2元，期望报酬仍为 1/2；余此类推，如果n 为

n ，他可以得到的全部期望报酬为

E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。

由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1 元价值是递减的。因此，函数 log(R)给报酬为R 元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为 2 元，这是参加者愿付的最高价。

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十七、彼得堡悖论十七、彼得堡悖论

二十、效用公式二十、效用公式

这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为 E(r)，其收益方差为 ，其效用值为：

其中 A 为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值， A 值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。

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二十一、效用数值应用举例二十一、效用数值应用举例

如果股票的期望收益率为 10%，标准差为 21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有 6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。

投资者 A=3时，股票效用值为： 10-(0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。

如果投资者的 A 为 2 ，股票效用值为：

10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。

所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。

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二十二、均值二十二、均值 --方差准则方差准则

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二十二、均值二十二、均值 --方差准则方差准则

因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合 P 优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合 P 更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合 P ，标准差等于或小于资产组合 P ，即资产组合 P 的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过 P 点的投资者效用的无差异曲线 (indifference curve)一定位于第二和第三象限，即一定是条通过 P 点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。

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二十二、均值二十二、均值 --方差准则方差准则

均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。

一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差 ( 方差， M4，等 ) 都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差 ( 包括其他奇数矩差： M5， M7

等 ) 表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。

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二十四、方差的分析二十四、方差的分析

萨缪尔森有两个重要结论：

①所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。

②方差与均值对投资者的效用同等重要。

得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。

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