第六章

短期聚合风险模型

[ 知识要点 ] 1 、  短期聚合风险模型 对于 , 其中 N 表示保险期内所有承保保单发生索赔

的

次数随机变量， Xi 表示第 I 次发生理赔时的理赔额随机变量， S为保险期内的理赔总额随机变量。 Xi 对不同的 i 是独立同分布的，N 与各 Xi 是独立的。称此模型为短期聚合风险模型。

2 、  理赔次数和理赔额的分布 （ 1 ）       泊松分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函

数： （ 2 ）       负二项分布的定义、分布列、期望与方差、矩母

函数。 负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广，假设泊松参数也是

一个随机变量，且有密度函数 f(x) ，由全概率公式有：

N

ii=1

S= x

( ) ( , ) ( )0

( )0

n x

P N n P N n x f x dx

x ef x dx

n

而：

特别地，当 λ 的密度为 ， x＞ 0 时， N 服从参

数 r = a ,p= β /1+ β 的负二项分布。 （ 3 ） S 的分布问题 假设 S 的分布函数和密度函数分别为 F （ x ）和 f(x), 则：

( 1)

( ) ( ( , )) ( )

( ) ( ( , )) ( ( , ))

( ) ( )

( ) ( ) ( ( , )) ( )

( 1)

ttN tN eN

t

E N E E N E

Var N E Var N Var E N

E Var

M t E e E E e E e

M e

1( )

( )x af x e x

a

除用卷积方法之外，还可以用矩母函数法及逆转公式来求 S 的分布，由矩母函数的定义有：

其中 X 是与各 Xi 同分布的随机变量。

也就是说，若知道 Xi 和 N 的矩母函数，就可计算出 S 的矩母函数，

0

1 20

0

0

( ) ( ) ( , ) ( )

( ... ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

nn

n

n

n

n

F x P S x P S x N n P N n

P X X X x P N n

P x P N n

f x P x P N n

ln ( )

( ) ( ) ( ( , )) ( ( ) )

( ) (ln ( ))X

tS tS Ns X

N M tN X

M t E e E E e N E M t

E e M M t

而

4 、复合泊松分布 在聚合风险 中，当 N 服从泊松分布时， S 的分布就称

为复合泊松分布。这样： E （ S ） =E （ X ）• E （ N ） =λ •E（ X ）

其中 λ 为泊松参数。

2

( ) ( ( , )) ( ( )) ( ) ( )

( ) ( ( , )) ( ( , ))

( ( )) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

E S E E S N E NE X E X E N

Var S Var E S N E Var S N

Var NE X E NVar X

E X Var N E N Var X

N

ii=1

S= x

ln ( )

2 2

0

0

( ) 1)( 1) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )M tX

X

nn

sn

nn

sn

M tes

Var S E X Var N E N Var X E X

eF x p x

n

ef p x

n

M t e e

关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律： （ 1 ）如果 S1 ， S2 ，… ， Sm 是相互独立的随机变量，且 Si

服从参数为 λi 的复合泊松分布，理赔额的分布为 Pi(x),i=1,2,…,m,

则

服从参数为 的复合泊松分布，且个别理赔

额分布为：

（ 2 ）对于一个复合泊松分布随机 ，可以分解为：

个别理赔额的分布列为：

1

m

ii

S S

1

m

ii

1

( ) ( )m

ii

i

P x P x

N

ii=1

S= x

1

m

i ii

S x N

X x1 x2 … xm

P p1 p2 … pm

则 N1 ， N2 ，…， Nm 相互独立且 Ni 服从参数为 λ i=λ pi 的泊松分布，其中 λ 为 S 的泊松参数。

对于此定理，若 xi 仅取正整数值，则理赔总额 S 的密度函数为：

对于此定理，还有更普遍的推广，也就是说在聚合风险模型中，若理赔额只取正整数，理赔次数 N 的分布满足：

(n=1,2,…)

（ 3 ）在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变量为 X ，保险合同有一个免赔额 d ，即 ， X>d

, X≤ d

是其真正的理赔额随机变量，泊松参数为 λ ，则带免赔的理赔总额 S

仍是复合泊松分布，泊松参数变为 λ •P （ x >d), 个别理赔额的分布密度函数为：

1 1

( )( ) ( )

x xi i

i i

i i p f x if x f x i

x x

( )

( 1)

P N n ba

P N n n

,

0,

X dY

5 、聚合理赔量的近似模型 （ 1 ）正态近似 定理 如果 S 是复合泊松分布，泊松参数为 λ ，个别理赔

额的数学期望 μ 与方差 σ 2 有界，则：

定理 如果 S 服从复合负二项分布，参数为 r,p, 个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的 μ 与 σ2 ，则：

( )( )

(x >d)X

Y

f x df x

p

2 2

2 2

lim ( )( )

( ) , ( ) ( )

SP x x

E S D S

其中，

2 22

22 2

lim ( )

1 , ( ) , ( )

r

rqS

pP x x

rq rqp p

rq rq rqq p E S Var S

p p pp

其中，

（ 2 ）平移伽马近似 定义

其中， g （ x ）为 Γ(α,β) 分布的概率密度函数， h （ x ）为相应的平移 x0 个单位的平移伽马分布的概率密度函数。

由定义知平移伽马分布有三个参数 x0 ， α,β ，如果能定出这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组可解决这一问题：

1

0 0

) ,0 ( )

H( , , ) ( , , )

a xxx e dx

x x G x x

若G(x, ,

则 ,

为平移伽马分布的分布函数。

2

0 30

2 2

33 3

2 ( ( ))( )

[( ( )) ]

( )[( ( )) ]

2 ( )[( ( )) ] 2

[( ( )) ]

Var Sx E SE S x

E S E S

Var SE S E S

Var SE S E S

E S E S

3

（ ）

(Var(S))解得： =4

[ 重点及难点解析 ] 本章的重点内容是复合泊松分布，包括当个别理赔额是正整数

时的复合泊松分布，另外，理赔总额 S 分布的正态近似及平移伽马近似也是本章的重点内容。

当然，对重点内容可以进行引申，譬如当索赔次数分布为负二项分布、几何分布、超几何分布、二项分布等；更简单的还有二点分布，这时聚合风险模型与个别风险模型有相通之处。当然，个别索赔额的分布形式更加多样，特别是当个别索赔额随机变量的取值仅为正整数值时，是本章的难点。

下面看几个例子，以便让读者有一些感性认识。 例 1 一组一年期的定期寿险组合，每份保单的保险金额都相

同为 B 个单位元，索赔次数 N 服从泊松分布，参数为 λ ，以下陈述中哪一项是不正确的？

A 、 E ( S )=E ( N )•B=λ B B 、 Var ( S )= Var ( N )•B2 C 、 S 的可能取值为 0 ， B ， 2B ，… D 、 E ( X )=B , Var( X )= B2

E 、 P(S≤ Bx)=P(N≤ x)

解 由聚合风险模型有： E ( S )=E ( N )E （ X ） =λ• B 所以 A 正确。 Var ( S )= E2 （ X ） Var ( N )+E （ N ）• Var ( X)= B2 • λ 所以 B 正确。 由于每次理赔额均为常数 B ，所以在保险期内索赔总额仅取 B 的倍数，所以 C 正确。

依题意有： P （ X=B ） =1 所以 E （ X ） =BM ， Var(X)=0 所以 D错误。 因为 S=BN 所以 P （ S≤ BX ） =P （ BN≤ BX ） =P （ N≤ X ） 所以 E 正确。 所以选 D 。 例 2 保险人承保了保险金额为 1万元的一年定期意外险保险单 10

00 份，假设投保人出险的概率是独立的，每个被保险人索赔的概率为0.0002 ，求索赔总额超过 12000 元的概率。

1000

1000

1000

1000 1 9991000

.(1 0.0002)

.0.0002

.1 (1 0.0002)

.1 [(1 0.0002) 0.0002 (1 0.0002) ]

. ( >12000)=P(S 10000)=1-P(S<10000)

P( >12000)=P(S>10000)=1-P(S 10000)

=1

A

B

C

D C

E P S

S

解

0 0 10001000

1 1 9991000

1000 11000

-P(N 1)=1-[P(N=0)+P(N=1)]

=1-[C 0.0002 (1 0.0002)

+C 0.0002 (1 0.0002) ]

=1-[(1-0.0002) 0.00C

99902 (1 0.0002) ]

D

选 。

以上两道例题有相似之处，理赔额均为常数，这样索赔总额 S 的 E（ S ）为：

例 3 设 Si ， i=1 ， 2 ，…， n , 是一系列相互独立的且具有相同分布的复合负二项分布，负二项分布的参数分别为 K 和 P ，个别索赔额的密度函数为 ƒ(x),令： ，下面有关 S 的陈述哪一项

是错误的？ A 、 S 仍是复合负二项分布 B 、 S 的个体索赔额的密度函数仍为 ƒ(x) C 、复合负二项分布具有可加性

( )

E S E N E X BE N

X

2

2

（ ） （ ） （ ） （ ）(其中B为常数索赔额）S的方差为： Var(S)=E(E(S, N))

=E Var(N)+E(N) Var(X)

=B Var(N)

而总索赔额的分布函数为：

x F(x)=P(S x)=P(BN x)=P N

B

1

n

ii

S S

所以 S 的分布仍是复合负二项分布，参数为 nk 和 P ，个别索赔额的密度函数仍为 ƒ(x) ，因此 A、 B 、 D 正确。

i

1

X

iX

i

S ln ( )X

S

P D. S

1-qM ( )

P E. S

1-qM ( )

S

P( )

1 1-qM ( )

( ) ( ) ( )

X

n

ii

nk

k

KK

M t

t Sts

t

t

Pt

qe t

E

t E e E e

的矩母函数为：

的矩母函数为：

解 矩母函数为：

M

正确。

MitS

X

=(E(e )) ( ( ))

P =

1-qM ( )

i

n nS

nk

M t

t

但是，上述结果并不意味着复合负二项分布与复合泊松分布具有一样的可加性。如果 Si 不独立同分布， S 的矩母函数为：

也就是说，如果负二项分布参数 qi 不一样，即使 K 、 MX

（ t ）对每个 Si 都相同，复合负二项分布也没有可加性，但是 P和 MX （ t ）对每个 Si 都相同， K 参数对每个 Si 具有不同的 ki 时，复合负二项分布是具有可加性的。因为

1

i

S

ni

Si=1 1 i X

( )

X

( ) ( ) ( )

P = ( )

1-q M ( )

1-Q

1-QM ( )

n

ii

t Sts

kn

i

R k

t E e E e

tt

t

M

M

1

S S1 X

P( ) ( )

1-qM ( )

n

ii

kn

i

t tt

M M

所以，综合以上分析，此题的答案应选 C 。 例 4 保险人提供具有如下情形的三种保险：

对于每一个保险标的，方差和期望的索赔金额是相等的，对于每一类型的保单，保费是按（ 1+θ ）倍的期望值收取，求 θ ，使总索赔额超过总保费的概率为 0.05 。

A. 0.09 B. 0.1 C. 0.11 D.0.12 E.0.13 解 期望的总索赔额是：

种类 保单数 索赔概率 期望索赔金额

1

2

3

500

1000

500

0.05

0.10

0.15

5

10

5

3

1

( ) ( ) ( )

=500 0.05 5+1000 0.1 10+500 0.15 5=1500

ii

E S E N E X

总索赔额的方差是：3

2

1

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]

=500 [25 0.05 0.95+0.05 5]

+1000 [100 0.1 0.9+0.1 10]

+500 [25 0.15 0.85+0.15 5]=12687.5

> 1+ E S

i ii

Var S E X Var N E N Var X

由题意有： 0. 05=P(S （ ） （ ）)

S- =P(

( )

1500 1- 1 (13.3 )

12678.5

(13.3 )=0.95

13.3 =1.645, =0.124

E S

D

E(S)

Var(S) Var(S)

选 。

这道题可用个别风险模型解决，两种方法难度相当；由于保单数量较多，正态分布近似总是不错的选择。

例 5 具有正整数个别索赔额的复合泊松分布的总索赔额随机变量的概率密度函数如下：

已知索赔总额的数学期望为 1.68 ，求期望的索赔次数。 A. 0.60 B. 0.70 C. 0.80 D. 0.90 E.1.0

[0.16 ( 1) ( 2)

+0.72 ( 3)] ( 1,2,3,...)

f f x kf x

f x x

1（x）=x

1

( ) ( ) ( )

3

0.80

x

i

iP if x f x i

x

C

解

由代定系数法可知：

P(1)=0. 16

2 P(2)=K

P(3)=0. 72

E(S)=(1 P(1)+2 P(2)+3P(3))=1. 68

P(1)+P(2)+P(3)=1

解得：选 。

例 6 S 是具有下列特征的复合泊松分布； ① 个别索赔额为1 ， 2或 3 ；② E （ S ） =56 ；③ Var （ S ） =126；④ λ =29 。决定索赔额为 2 时的期望索赔次数是多少？

A.10 B.11 C.12 D.13 E.15

1

2

2 22 1 1

E(S)=E(N) E(X)= P

= (P(1)+2P(2)+3P(3))=56 (1)

Var=E ( ) Var(N)+E(N) Var(X)

= ( )

= (P(1)+4P(2)+9P(3))=126 (2)

29

X

P P P

解

(3)

P(1)+P(2)+P(3)=1 (4)

(1) (2)(3)(4)

解 构成的方程组的得： P(2)=0. 3793

所求的 P(2)=29 0. 3793=11

选B。

此例和上例也有相似之处，对于复合泊松分布、 λ （泊松参数）、个别索赔的正整数值及对应的概率值，这两个量已知，所有未知的量即可求出；或知道其余的一些量就可求出另外一些量，但此题也可推广到其他一些情况，譬如索赔次数分布改为负二项分布或二点分布时， λ 已知改为负二项分布的参数 k 与 p 已知或二项分布的参数 n 与 p 已知，再计算本题。此方面的具体题目参见本章思考题。

由于复合分布的重要性，再看如下的例子： 例 7 对于泊松参数 λ 为 6的复合泊松分布，个别索赔额的

分布为 , 另外，还已知索赔总

额的一些如下概率值：

x 1 2 4

P 1/3 1/3 1/3

S … 3 4 5 6 7 …

P … 0.0132

0.0215

0.0271

P(6) 0.0410

…

求 P （ 6 ） A.0.031 B.0.066 C.0.039 D.0.0365 E.0.0345

1

i

1

2

3

4

1 ( ) ( ) ( )

( )

1 6 (1) 6 2

31

6 (2) 6 23

6 (3) 6 0 0

1 6 (4) 6 2

31

( ) [2 ( 1) 2 2 ( 2) 2 4 ( 4)]

x

i

f x iP i f x ix

P i

P

P

P

P

f x f x f x f xx

解

而

1 = [2 ( 1) 4 ( 2) 8 ( 4)]

1(7) [2 (6) 4 (5) 8 (3)]

71

= (2 (6) 4 0.0271 8 0.0132)7

=0.0410

(6) 0.0365

f x f x f xx

f f f f

f

f

D

选 。

当然此题也可在没有 P （ 3 ）、 P （ 4 ）、 P （ 5 ）、 P（ 7 ）的值时算出，不过那要算出 P （ 0 ）、 P （ 1 ）、 P（ 2 ）、 P （ 3 ） P （ 4 ）、 P （ 5 ）的值才能求 P（ 6 ）的值。当然这种计算读者会感到很无聊，如果给出一些特殊的值，此题便立刻具有了灵性。

例 8 设复合分布 ，其中 Xi 相互独立且 N 与 Xi 独立，

问下面选项哪一项是正确的？ ①如果个别索赔额 P(x)=e-x,x ＞ 0,那么 Var(S)=E(N2) ； ②假设 Var(N)=E （ N ），那么 Var(S)=P2•E （ N ）； ③ E(S2) = E （ N ） E(X2) +P1

2 E(N2) A、仅①正确 B 、仅②正确 C 、仅③正确 D 、 ②③正确 E 、都不对

N

ii=1

S= x

2

2

X (1)

( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( )

(1)

e

E X Var X

Var S E X Var N E N Var X

Var N E N E N

Var N E N

解

错误。当 （ ） （ ）时；

例 9 对复合负二项分布，参数 r=1 ， p=1/3 ，个别索赔额服从参数为 λ 的指数分布，已知 Ms （ 1 ， 0 ） =3 ，求 λ 。

A.4.9 B.5.0 C.3.5 D.4.0 E.4.5

2

2

2

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ))

= ( )

(2)

( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) (

Var S E X Var N E N Var X

E N Var X E X

E N P

E S Var S E S

E X Var N E N

（ ）=

（

正确。对于选项（3）：

2 2

2 2

) ( ) ( )

= ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

(3)

B

Var X E X E N

E X E N E N Var X E N Var X

（ ）

错误。选 。

s N M (t)=M (ln ( ))1 ( )

11 13 = =

2 3 2 ( ) 31 ( ) 3-23 -t

XX

XX

PM t

qM t

t

M t tM t

解

例 10 没有再保险时的总索赔分布为复合泊松分布 , 如果用平移伽马分布来近似 , 则平移伽马分布的参数为 (α =2.0, β =5,x0=40). 如果有 50％ 的比例再保险 , 也用平移伽马分布来近似 , 求有再保险时的平移伽马分布的有关参数 .

A.x0 = 20, α = 20, β = 10

B. x0 = 40, α = 40, β = 20

C. x0 = 20, α = 20, β = 20

D. x0 = 10, α = 10, β = 10

E. x0 = 20, α = 20, β = 30

解 依题在没有再保险时有 :

S M (1.0) 3

33

4.5

E

选 。

2 2

33 3

2040 44

5

20( )

25

2 40[( ( )) ]

125

Var S P

E S E S P

0E(S)= E(X)=x

在有 50％ 的比例再保险时 , 泊松参数 λ 不会发生改变 , 个别索赔额会变为原来的 1/2,再保后有 :

解得 : x0R=20,aR=20, βR=10 , 其中 x0

R,aR,βR 为有再保险时的平移伽马分布参数 , 所以此题答案为 A.

例 11 某保险人承保了一医疗保险 , 其中包括住院费和其他费用 , 个别赔付的特征如下 :

2

22

33 3

3

0

2

3

4422

2

20 5( ) / 4 0.2

4 25 25

40 1[( ( )) ]

8 125 8 25

22

0.2( )

2 1

( ) 25

R

R R

RR

R

R

R

R

R

PVar S P

PE S E S P

x

R

X E(x)E(S )= E( )=

2 2

XE

2

XE

2

所以有方程组：

另外 ,住院费用和其他赔付金额的协方差为 100 000. 保险人对住院花费全部保险 , 对其他花费保险了损失的 80％ , 索赔次数服从参数为 4 的泊松分布 , 求保险人赔付总额的方差 .

A.9710 400 B.10500 C.9720400

D.1020 400 E.9920 400

种类 平均值 标准差住院其他

1000

500

500

300

2 2

300 0.8 2 0.8 100000

=467 600

( )

X

2

2 2

解 个别赔付额的期望与方差为： E(X)=1000+0. 8 500=1400

Var(X)= Var(A)+ Var(B)+2Cov(A, B)

=500

E(X )=Var(X)+E2 =467 600+1400

=2427 600

( )

=4 2467 600=9710 400

A

X

22Var(S)= P E

选 。

这是一道没有全额赔付的例题 , 这有点像再保险情况下的一些数字特征或分布函数的有关计算 , 这种例子在实务中的应用非常普遍 , 下面再看一道类似的例题 , 望读者能归纳出这类题的解题方案 .

例 12 保险公司承保的风险服从泊松参数为 100 的复合泊松分布 . 个体索赔额服从均值为 500 的指数分布 ,该保险人进行了比例再保险 ,自留额为 80％ , 求在这种情况下保险人和再保险人的年个别索赔额的分布 ,并求出原保险人和再保险人索赔总额随机变量的期望与方差 .

解 由于是比例再保险 ,原保险人和再保险人的泊松参数不会发生变化 ,改变的只是个别理赔额的分布 .

原保险人的个别索赔额随机变量 Y=0.8X,X 为没有再保险情况下的个别索赔额随机变量 ,再保险人的索赔额的随机变量 R=0.2X.

Y

1-500 0.8 400

1 1 x- -500 0.2 100

P(Y x)=F ( ) (0.8 ) ( )0.8

=1-e 1

Y

( ) ( ) (0.2 ) ( )0.2

=1-e 1-e

R

x x

x

xx P x x P X

e

xx P R x P X x P X

R

服从均值为400的指数分布。

同样F

服 1

100从参数为 的指数分布

对于此例读者可以更进一步思考 , 在对个别索赔额进行停止损失再保险时 ,再求再保险人和原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差 .

Y

2Y

2 2 6

R

E(S ) E(N) E(Y) 100 400 40 000

Var(S ) E (Y)Var(N) E(N) Var(Y)

=400 100 100 400 32 10

E(S ) E(N) E(R) 100 100

原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差：

再保险人索赔总额随机变量的数学期望与方差：

4

2R

2 2 6

10

Var(S ) E (R)Var(N) E(N) Var(R)

=100 100 100 100 2 10