第七章非正弦周期性电流电路

西藏职业技术学院机电系

第七章非正弦周期性电流电路

第一节非正弦周期量及其分解

第二节对称波形的傅立叶级数

第三节非正弦周期量的有效值、平均值和功率

第四节非正弦周期电流电路的计算

第五节对称三相电路中的高次谐波


O t

(a )

u

O t

(b )

u

O t

(c )

i

一、非正弦周期量的产生 1 、几种常见信号波形

2 、非线性元件若在电路中存在非线性元件，常见的如：半导体二极管、晶闸管、铁心线圈等。

第一节非正弦周期信号及分解

西藏职业技术学院机电系二、非正弦周期量分解为傅立叶级数

)sincos(

)sincoscossin(

10

10)(

kkk

kkkmkkmt

tkbtkaa

tkAtkAAf

kkmk

kkmk

k

kkkkkm

Ab

Aa

Aa

b

abaA

cos

sin

tan,

00

22

)(sin)(

1sin)(

2

)(cos)(1

cos)(2

)()(2

1)(

1

2

00

2

00

2

000

tdtktfdttktfT

b

tdtktfdttktfT

a

tdtfdttfT

a

T

k

T

k

T

傅立叶系数如下

各系数间关系

西藏职业技术学院机电系例 1求图示矩形波的傅里叶级数。

f (t)

U m

£ U m

T2 T

tO


)2

(

)2

0()(

TtT

U

TtU

tf

m

m

＝

解：图示周期函数 f(t) 在一个周期内的表达式为

根据计算傅立叶系数得

)cos1(2

)(sin)(1

)(sin1

0)(cos)(1

)(cos1

0)()(2

1)(

2

1

0

2

0

2

0

2

0

tkk

UtdtkUtdtkUb

tdtkUtdtkUa

tdUtdUa

mmmk

mmk

mm


k

Ubk m

k

4,1cos 当 k 为奇数时 ,

.0,1cos kbk当 k 为偶数时 ,

该函数的傅里叶级数表达式为

)5sin5

13sin

3

1(sin

4)( ttt

Utf m


名称波形傅里叶级数有效值平均值

正弦波

梯形波

f (t)

T t0 T2

Am

f (t)

T t0

Am T

2a £ aT

2

tAtf m sin)(

)sinsin1

5sin5sin25

1

)3sin3sin9

1

sin(sin4

)(

2

tkkak

ta

ta

taa

Atf m

2mA

mA2

34

1a

Am )1(a

Am



三角波

矩形波

f (t)

T t0

Am

T2

)

sin)1(

5sin25

13sin

9

1

(sin8

)(

2

2

1

2

tkk

tt

tA

tf

k

m

f (t)

T t0

Am

T2

)sin1

5sin5

13sin

3

1

(sin4

)(

tkk

tt

tA

tf m

3mA

2mA

mAA mav AA



半波整流波

全波整流波

f (t)

T t0

Am

T4

f (t)

T t0

Am

T4

...)6,4,2(

...)cos12

cos

6cos75

1

4cos53

12cos

31

1

cos42

1(

2)(

2

k

tkk

k

t

tt

tA

tf m

...)6,4,2(

...)cos12

cos

4cos53

1

2cos31

1

2

1(

2)(

2

k

tkk

k

t

tA

tf m

2mA

mA2

2mA

mA



锯齿波 3

mA

2mA

f (t)

2T t0

Am

T

...)3,2,1(

...)sin1

...3sin3

1

2sin2

1(sin

2)(

k

tkk

t

tt

AAtf mm


第二节对称波形的傅立叶级数

1

0 )sincos()(k

kk tkbtkaatf

0,00 kaa

1

sin)(k

k tkbtf

)()( tt ff

一、奇函数

波形关于原点对称，周期函数应满足

因

1

0 )sincos()(k

kk tkbtkaatf －－－－

所以有

得


1

0 )sincos()(k

kk tkbtkaatf

0kb

1

0 cos)(k

k tkbatf

)()( tt ff

二、偶函数波形关于纵轴对称，周期函数应满足

因

1

0 )sincos()(k

kk tkbtkaatf －－

所以有

得


三、奇谐波函数

T2 T

tO

f (t)

0

0

0

42

42

0

bb

aa

a在傅立叶系数中

表达式为 )sincos()(1

tkbtkatf kk

k


1 、非正弦周期交流电波形的对称性与谐波成分有什么关系？举例说明。

2 、如何判断波形是否隐含某种对称性？

思考题


一、有效值

10

0

2

)sin()(

)(1

kkkm

T

tkIIti

dttiT

I

T

kkkm dttkII

TI

0

2

10 ])sin([

1

周期电流的有效值定义

得

第三节非正弦周期量的有效值、平均值和功率


......

......

)()sin()(21

)(sin21

)](sin[1

221

20

1

220

221

20

1

220

0

0 0

1

2200

1

2220

kk

k

kk

k

qqmk

T

km

k

T

km

kkk

T

kkm

UUUUUU

IIIIII

qkdttqItkIT

dttkIIT

IIdttkIIT

将上式右边平方后展开得

西藏职业技术学院机电系二、平均值

2

00)(

2)(

1 TT

av dttiT

dttiT

I ＝

1. 整流平均值 T

av dttiT

I0

)(1

为了衡量非正弦波与正弦波的差异程度，常用有效值与平均值的比值来反应波形的性质，称波形因素

T

av dttuT

U0

)(1

2. 对于横轴对称非正弦波平均值

avf I

IK

西藏职业技术学院机电系三、功率

10

10

)sin(

)sin(

kikkm

kukkm

tkIIi

tkUUu

dttkIItkUUT

dttituT

dttpT

P

kikkm

T

kukkm

T T

])sin([])sin([1

)()(1

)(1

100

10

0 0

1 、瞬时功率

T

dttpT

P0

)(1

2 、有功功率


000 000

1IUdtIU

TP

T

kkk

ikukkmkm

T

ikkmukkmk

IU

IU

dttkItkUT

P

cos

)cos(2

1

)sin()sin(1

0

1

0 cosk

kkk IUPP


3 、无功功率

1

sink

kkk IUQ

1

220

1

220

kk

kk IIUUUIS

S

P

UI

Pcos

将平均功率与视在功率的比值称为非正弦周期性电路功率因数

4 、视在功率

西藏职业技术学院机电系例 1

var52)]60sin(2

6

2

20[

60)]60cos(2

6

2

20310[

Q

WP

已知某电路的电压、电流分别为

Vttti

Vtttu

)]500sin2)30100sin(63[)(

)]30300sin(8)30100(2010[)(

求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。

解：平均功率为

无功功率为

视在功率为 VAUIS 1.982

2)

2

6(3

2

8)

2

20(10

222

222


思考题

1 、什么周期电流的有效值、平均值、和顺瞬时值？


一、非正弦周期量的分解

将给定的非正弦周期激励信号分解为傅立叶级数。

有时要借助查表具体展开

二、各电源信号分量单独作用

1 、直流分量单独作用

2 、各次谐波分量分别单独作用 1 ）电阻 R 2) 电感 L 3 ）电容 C

三、结果叠加

kiiiIi 210

第四节非正弦周期电流电路的计算


四、分析电路一般步骤 : 1 、将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数 , 并根据计算精度要求 , 取有限项高次谐波。2 、分别计算各次谐波单独作用下电路的响应 , 计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量 , 电感元件等于短路 , 电容元件等于开路。对各次谐波, 电路成为正弦交流电路。3 、应用叠加原理 , 将各次谐波作用下的响应解析式进行叠加。

西藏职业技术学院机电系例 1图示电路中 ,

已知 R=10Ω, ωL=30Ω, ωL1=10Ω, 1/ωC=90Ω 。试求 i(t) 、 i1(t) 、 u(t) 。

,)3sin230sin25010( Vttus

i1

L 1

£«

£

u C

LR i

£«

£

u s(t)


AR

UII

U

so 110

10

0

)0(10

0

解 1 、对直流分量

2 、在基波作用下


AjLj

UI

VjU

AZ

UI

s

37.76325.110

63.1325.13

63.1325.1337.76178.125.11

37.76178.137.7644.42

050

1

)1()1(1

)1(

1

1)1(

3 、对三次谐波 , 并联的 L1 、 C 发生谐振 , 即 3ωL1=1/3ωC=30Ω, 这部分阻抗为无穷大 , 所以


VttuuUtu

AttiiIti

AtiiIti

AjjLj

UI

VUU

I

s

s

]3sin230)63.13sin(225.13[)(

)]903sin(2)37.76sin(2325.11[)(

)]37.76sin(2178.11[)(

1103

030

3

]30

0

)3()1(0

)3(1)1(1)0(11

)3()1(0

3)3(1

3)3(

)3(

L L

C

C C

L

(a ) (b )


思考题

1. 什么是谐波分析法？用谐波分析法计算非正弦周期电流电路时应注意哪些问题？2. 在 R 、 L 、 C 串联电路中，已知 R=100Ω ，L=2.26mH, C=10μF ，基波角频率为 ω=100πrad/s, 试求对应于基波、三次谐波、五次谐波时的谐波阻抗。


一、对称三相非正弦交流量的分解

)3

(

)3

(

)(

Ttuu

Ttuu

tuu

w

v

U

T 为其波周期，用傅立叶级数展开得

tUtUu mmU 3sinsin 31

)3

25sin()3sin()

3

2sin(u 531

tUtUtU mmmV

)3

25sin()3sin()

3

2sin(u 531w

tUtUtU mmm

第五节对称三相电路中的高次谐波

西藏职业技术学院机电系二、三相电源的高次谐波

P

L

U

UUU

UUUU

3

3

)3()3()3(

27

25

21

27

25

21

1 、 Y 接法

2 、三角形接法

P

L

U

UUUU

27

25

21

西藏职业技术学院机电系三、高次谐波

1 、三角形联接

2 、 Y 形联接

思考题

1 、对称三相非正弦量的含义是什么？2 、对称三相四线制电路中，若三相电源是标准的正弦

交流电压，中线上有无电流？若三相电源是非正弦交流电压，中线上有电流吗？为什么？

第七章非正弦周期性电流电路

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