在日常生活中所用的就是单相正弦交流电，简称交流电。本章主要介绍交流电的相量表示法及电阻、电感、电容元件在交流电路中的电流、电压和功率的分析法。

第 3 章 单相正弦交流电路

幅值、频率和初相 3.1.1 幅值交流电的瞬时值表达式为 u ＝ Umsin(ωt ＋ ψ) (3.1)

Um 幅值 , 又称最大值。

有效值 U 与幅值的关系为 （ 3.2 ）

3.1 交流电的三要素

UU 2m

每秒内交流电变化的次数，称为频率 f （ Hz ）。交流电变化一次所需要的时间称为周期 T （ s ）。频率与周期的关系为 （ 3.3 ） f ＝ 50Hz 称为工频。 ω （ red ／ s ） 称为角频率。

ω ＝ 2πf ＝ (3.4)

Tf

1

T

2

3.1.2 频率

已知我国的交流电 f ＝ 50 Hz, 试求 T 和 ω 。

解：

ω ＝ 2πf ＝ 2×3.14×50 ＝ 314rad/ s

sf

T 02.050

11

【例 3.1 】

u ＝ Umsin(ωt ＋ ψ)

(ωt ＋ ψ) 称为相位。它表示交流电在某一时刻所处的变化状态，决定该时刻瞬时值的大小、方向和变化趋势。 ψ 称为初相，它表示计时开始时交流电所处的变化状态幅值、频率和初相分别表示交流电变化的幅度、快慢和起始状态。称为交流电的三要素。

3.1.3 初相

交流电的相量表示法是为了便于分析和计算。 用复数的运算方法进行交流电的分析和计算，称为交流电的相量表示法。

3.2 交流电的相量表示法

图 3.2 称为复平面图， A 为复数，横轴为实轴 +1 ， a 是 A 的

实部， A 与实轴的夹角 ψ 称为辐角，纵轴为虚轴 j = 。

b 是 A 的虚部， r 为 A 的模。这些量之间的关系为

3.2.1 复数的二种表示形式

1

a

b

bar

rb

ra

arctan

sin

cos

22

交流电的相量 交流电的有效值 I ＝ r交流电的初相 ψ ＝ ψ

3.2.2 相量与复数

a

b

ba

b

a

I

I

III

II

II

arctan

sin

cos

22

相量只是正弦交流电的一种表示方法和运算的工具，

只有同频率的正弦交流电才能进行相量运算，所以相

量运算只含有交流电的有效值（或幅值）和初相两个

要素。

3.2.3 相量的运算

已知 u1 、 u2 的有效值分别为 U1 ＝ 100V ， U2

＝ 60V ， u1 超前于 u2 600 ，求 (1) 总电压 u ＝ u1 ＋ u2

的有效值，并画出相量图； (2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的

相位差。 解：只有同频率的交流电才能进行相量运算 ，所以 =

=ψ1 － ψ2 ＝ 600 ，如选 ψ1 ＝ 00 ，则

【例 3.2 】

单一参数是指在电路中只有电阻 R 、电感 L

或电容 C 其中的一种元件。掌握了单一参数在电路中的作用，混合参数电路的分析就很容易掌握了。

3.3 单一参数的交流电路

1 ． R 上电压与电流关系如选择 i ＝ Imsinωt

则 u ＝ Ri ＝ RImsinωt ＝ Umsinωt

u 与 i 同频同相。其有效值及相量的关系分别为 U ＝ RI

3.3.1 电阻电路

p ＝ ui ＝ UmImsin2ωt ＝ U I (1 － cos2ωt)

＝ U I － U Icos2ωt

平均功率为 P ＝ UI ＝ I2R ＝

P 为正值， R 吸收功率为耗能元件

P 又称有功功率

2.R 上功率

R

U 2

1 ． L 上电压与电流关系如 i ＝ Imsinωt 则 电感电路 u 超前 i 900 ，有效值的关系为 U ＝ XL I XL ＝ ωL ＝ 2πf L ， XL （ Ω ）称为感抗， f 愈高 XL愈大。

3.3.2 电感电路

)90sin(cossin 0 tUtLIdt

tdIL

dt

diLu mm

m

p ＝ ui ＝ UmImsin(ωt ＋ 900)sinωt

＝ UmImcosωtsinωt ＝ UIsin2ωt

在 0-π/2 区间 p 为正值，电感吸收

功率，在 π/2-π 区间 p 为负值，电感

发出功率，不消耗功率，为储能元件。

电感的平均功率 P ＝ 0 。电感与电源之间能量的互换用无功功率 Q 来计量。

Q ＝ UI ＝ I2XL ＝ (var)

2. L 上功率

LX

U 2

在功放机的电路中，有一个高频扼流线圈，用来阻挡高频而让音频信号通过，已知扼流圈的电感 L ＝ 10mH ，求它对电压为 5 伏，频率为 f1 ＝ 500kHz 的高频信号及对 f2 ＝ 1kHz 的音频信号的感抗及无功功率分别是多少？

解： XL1 ＝ 2πf1 L ＝ 2×3.14×500k×10m ＝ 31.4kΩ

Q1 ＝ I1U ＝ 0.16m×5 ＝ 0.8mvar

XL2 ＝ 2πf2 L ＝ 2×3.14×1k×10 m ＝ 62.8Ω

Q ＝ I2U ＝ 79.62 m×5 ＝ 398mvar

【例 3.3 】

mA16.0k4.31

51

LX

UI

mA62.798.62

5

22

LX

UI

1 ． C 上电压与电流关系如 u ＝ Umsinωt 则

电容 i 超前 u900 ，有效值 U ＝ XC I （ Ω ）

XC 称为容抗，与频率 f 成反比， f 愈高 XC 愈小。电容有隔直通交作用。电容两端的电压与电流的相量关系为 

3.3.3 电容电路

)90sin(cossin 0 tItCU

dt

tdUC

dt

duCi mm

mC

fCCX C 2

11

p ＝ ui ＝ UmImsinωtsin(ωt ＋ 900) ＝ UmImsinωtcosωt ＝ UIsin2ωt

在 0-π/2 区间 p 为正值，电容吸收功率，在 π/2-π 区间 p 为负值，电容发出功率，不消耗功率，也为储能元件。

P ＝ 0 ，电容与电源之间互换的能量用无功功率 Q来计量，单位是乏（ var ）

2. C 上功率

CC X

UXIUIQ

22

在收录机的输出电路中，常利用电容来短掉高频干扰信号，保留音频信号。如高频滤波的电容为0.1μF ，干扰信号的频率 f1 ＝ 1000KHz ，音频信号的频率 f2 ＝ 1kHz ，求容抗分别为多少？

解：

【例 3.4 】

6.10.1μk100014.32

1

2

1

11 Cf

X C

k6.10.1μk114.32

1

2

1

22 Cf

X C

3.4.1 阻抗三角形

R 、 L 、 C 串联后对电流的阻碍作用称为 阻抗，用字母 Z （ Ω ）表示，复数式为 Z ＝ R ＋ jXL ＋ ( － jXC) ＝ R ＋ j(XL － XC) ＝ R ＋ jX

X （ Ω ）称为电抗 X ＝ XL － XC

阻抗值为

|Z| 、 R 、 X 三者之间符合直角三角形的关系，称其为阻抗三角形。

阻抗角 ＝ arctan

3.4 电阻、电感、电容串联的电

2222 )( CL XXRXRZ

R

X

与 之间的相位差　 ＝ ψu － ψi ＝ arctan ＝ arctan

U

I R

X

U

U

R

X

3.4.2 电压三角形

2222 )( CLRXR UUUUUU Z

UI

将电压三角形的各个边乘以电流 I ，就可得到功率三角形。

P ＝ UR I ＝ S cos （ W ）

Q ＝ QL － QC=S sin （ var ）

　 S ＝ U I ＝ ＝ 　　 （ VA ） 　

阻抗三角形、电压三角形和功率三角形是分析计算 R 、L 、 C 串联或其中两种元件串联的重要依据。

22 QP cos

P

3.4.3 功率三角形

功率因数：

在只有电感或电容元件的

电路中， P ＝ 0 ， S ＝ Q ， ＝ 0 ；

在只有电阻元件的电路中，

Q ＝ 0 ， S ＝ P ， ＝ 1 ；

当 L 很大时，并接电容提高功率因数

3.5 功率因数的提高

cosS

P

)tan(tan 12

U

PC

某供电设备输出 220V ，额定视在功率为 220kVA ，如果向额定功率为 33kW ，功率因数为 0.8 的工厂供电，能供给几个工厂？若把功率因数提高到 0.95 ，又能供给几个工厂？每个工厂应并接多大的电容？

解：供电设备输出的额定电流为

当 1 ＝ 0.8 时，每个工厂取用的电流为

可供给的工厂数为 个厂

当 ＝ 0.95 时，每个工厂取用的电流为

可供给的工厂数为 1 个厂

应并接的电容

式中 1 ＝ arccos0.8 ＝ 36.90 ＝ arccos0.95 ＝ 18.20

916μF

【例 3.5 】

kA1220

k220

U

SI N

1

A5.1870.8220

k33

11

U

PI

55.187

1000

1

I

I N

A9.1570.95220

k33

U

PI

69.157

1000

I

I N

)tan(tan 12

U

PC

)2.18tan9.36(tan

2205014.32

100033 002

C

所谓谐振，是指在含有电容和电感的电路中，当调节电路的参数或电源的频率，使电路的总电压和总电流相位相同时，整个电路的负载呈电阻性。这时电路就发生了谐振。谐振分为串联谐振和并联谐振。

3.6 电路中的谐振

R 、 L 、 C 串联

当 与 同相时 ,

即 ＝ 0 ，

电路产生串联谐振。

串联谐振的条件是

XL ＝ XC 即

3.6.1 串联谐振

U

I

CfLf

00 2

12

LCf

2

10

（ 1 ）电路的阻抗最小并呈电阻性，根据阻抗三角形

（ 2 ）电路中的电流最大，谐振时的电流为

（ 3 ）当 XL ＝ XC＞＞ R 时， UL ＝ UC＞＞ U 故又称其为电

压谐。

串联谐振电路的品质因数

串联谐振的特点：

RXXRZ CL 220 )(

R

U

Z

UI

00

R

L

CRU

U

U

UQ LC 0

0

1

某收音机的输入电路，各地电台发射的无线电波在

天线线圈中分别产生感应电动势 e1 、、 e2 、 e3等。如果线圈

的电阻为 16Ω ，电感为 0.3mH ，今欲收听中央人民广播电台 5

60kHz 的广播，应将调谐的可变电容 C调到多少？如果调谐回

路中感应电压为 2μV ，求谐振电流及谐振线圈上的电压 UL 及

谐振电路的品质因数 Q 。

【例 3.

6 】

解： 串联谐振频率

电容

谐振时

XL ＝ 2πf0L ＝ 2×3.14×560k×0.3m ＝ 1kΩ

UL ＝ I0XL ＝ 0.13μ×1k ＝ 130μV

LCf

2

10

pFLf

C 269m3.0k)56014.32(

1

)2(

122

0

A13.016

20

R

UI

652

130

U

UQ L

当 R＜＜ ωL ， 同相时，即 ＝ 0 ，电路产生并联谐振。并联谐

振 的条件是 XL ＝ XC 。谐振频率。

并联谐振的特点：

（ 1 ）阻抗最大，呈电阻性，

（ 2 ）电路的总电流量小，

（ 3 ）谐振总电流 和 支路电流的相量关系如图。 并联谐振各支路电流大于总电流，所以并联谐振又称其为电流谐振。

3.6.2 并联谐振

LCf

2

10

RC

LZ 0

00 Z

UI

1. 幅值、频率和初相是正弦交流电的三要素 。2. 正弦交流电主要有瞬时表达式，波形图和相量表示法三种形式。相量表示法是利用复数的运算方法对正弦交流电进行分析和运算。3. 电阻电路电压与电流同相，电感电路电压超前电流 900 ，电容电路电压滞后电流 900. 电阻为耗能元件，电感、电容均为储能元件。利用相量图可得出 R 、 L 、 C 串联电路的阻抗三角形、电压三角形和功率三角形。4. 串联谐振的条件是 XL ＝ XC ， 同相。特点是阻抗最小 |Z0| ＝

R ， 电流最大，如果 XL ＝ XC ＞＞ R ，则 UL ＝ UC＞＞ U ，所以串联谐振又称电压谐振。并联谐振在 R＜＜ XL 时，（一般情况都能满足），其谐振条件也为 XL

＝ XC ， 同相。特点是阻抗最大，总电流 I0 最小， IL≈IC＞＞ I0

所以并联谐振又称电流谐振。

本章小结