3-7 正弦交流电路的功率一、瞬时功率

+

-

N u

i

0 ωt

u

i

p

cosUI

)sin(2 utUu itIi sin2 若

网络 N 吸收的瞬时功率

i u t t UI ui p sin sin 2

cos( ) cos(2 )u i u ip UI UI t cos ) 2 cos( UI t -UI

i u

p>0 表示网络 N 吸收能量 p<0 表示网络 N 释放能量。

当 ||↑ 时， p 的正的部分↓ 负的部分↑ 常数部分↓ 当 ||↓ 时， p 的正的部分↑ 负的部分↓ 常数部分↑

当 || =π 时， p 的正、负部分相等，常数部分 =0

而 ＝ 0 时，总有 p≥0

]1)(2cos[

]1)2cos([,0

u

iuR

tUI

tUIP

纯电阻时：

纯电感时：

纯电容时：

)(2sin

)2cos(,2

u

iuL

tUI

tUIP

)(2sin

)2cos(,2

u

iuC

tUI

tUIP

任何时刻 pR≥0 ，所以电阻 R 为耗能元件。 而 pL 、 pC 正负半轴对称， L 和 C 为非耗能元件。

单位：瓦（ W ）、千瓦（ kW ）

cos — 功率因数 —功率因数角

纯电阻时： R

URIUIUIP

22cos 0

0 , 2

P纯电感时： 不耗能

0 , 2

P纯电容时： 不耗能

二、有功功率（平均功率）

cos

]cos2cos[11

00

UI

dtUItUIT

dtpT

PT

iu

T

三、无功功率sinUIQ

单位：乏 var

电压超前电流，为感性电路 00 时，当Q

电压滞后电流，为容性电路 00 时，当Q

LL X

UXIUIUIUIQ

2290sinsin

纯电感：

cc X

UXIUIUIUIQ

2290sinsin

纯电容：

四、视在功率

22 QPS

如变压器的容量为 1000VA ，额定工作状态下：

如 cos = 0.5 ，则 P=1000×0.5=500W

如 cos=1 ， P=1000W

五、复功率

如端口处

+

-

N U

I

iu IIUU ,

UIS 单位：伏安（ VA ）

网络 N 吸收的复功率

复杂电路中的功率满足

P = P1+P2+……

Q = Q1+Q2+……

21 SSS ……

但 SS1+S2+……

单位：伏安（ VA ）

UIUIIUIUS iuiu *

jQPjSSjUIUI sincossincos

Z1 为感性

788.3185.0cos 11

Z2 为容性负载， P2=10KW ， cos2 = 0.9 。 求总的有功、无功、视在功率和功率因数。

Z1 Z2

解： 总的有功

KWPPP 3021

P1=20KW ， cos1 = 0.85 ； 例 Z1 为感性负载，

总的无功 kvar 552.721 QQQ

总的视在功率

kVAQPS 936.30552.730 2222

功率因数 97.0cos S

P

kvar 395.12tgsincos

sin 1111

1111

P

PSQ

Z2 为容性 842.259.0cos 12

kvar 843.4tg 222 PQ

问题的提出：日常生活中很多负载为感性的， 其等效电路及相量关系如下图。

u

i

R

L

Ru

Lu

COS I 当 U 、 P 一定时，

希望将 COS 提高

U

I

RU

LU

P = PR = UICOS

其中消耗的有功功率为：

六 功率因数的提高

负 载

i u

说明： 由负载性质决定。与电路的参数 和频率有关，与电路的电压、电流无关。

cos

功率因数 和电路参数的关系）（ COS

R

XXtg CL

1

R

CL XX Z

例 40W 白炽灯 1COS

40W 日光灯 5.0COS

A364.05.0220

40

cos

U

PI

发电与供电 设备的容量 要求较大

供电局一般要求用户的 ， 否则受处罚。

9.0COS

A182.0220

40

U

PIcosUIP

纯电阻电路 )0( 1COS

10 COSR-L-C 串联电路

)9090(

纯电感电路或 纯电容电路

0COS )90(

电动机 空载

满载

3.0~2.0COS9.0~7.0COS

日光灯 （ R-L-C 串联电路） 6.0~5.0COS

常用电路的功率因数

提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

提高功率因数的措施 :

u

i

R

L

Ru

Lu

并电容C

RLI

CI

I

L

并联电容值的计算

u

i

R

L

Ru

LuC

设原电路的功率因数为 cos L ，要求补偿到 cos 须并联多大电容？（设 U 、 P 为已知）

U

分析依据：补偿前后 P 、 U 不变。由相量图可知：

sinsin III LRLC

LRLUIP cos

cosUIP

CUXUI

CC

sincos

sincos U

P

U

PCU L

L

RLI

CI

I

L

U

)(2

tgtgU

PC L

sincos

sincos U

P

U

PCU L

L

i

u

R

L

Ru

LuC

已知： f=50Hz, U=380V, P=20kW, cos1=0.6( 滞后 ) 。要使功率因数提高到 0.9 , 求并联电容 C 。

o11 13.53 6.0cos φφ 得由

例 .

P=20kW cos1=0.6

+

_

CUL

RCU

I

LI

CI

+

_

解：o

22 84.25 9.0cos φφ 得由 UI

LICI

1 2

F 375

)84.25tg13.53tg(380314

1020

)tgtg(

2

3

212

φφU

PC

呈电容性。

1cos

IU

RLI

CI

呈电感性

1cos

0

U

I

CI

RLI

0CI

UI

RLI

问题与讨论

功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况 :

功率因素补偿问题（一）

1cos 呈电阻性

0

结论：在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容 容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。

感性（ 较小）CI 容性（ 较大）CI '

C 较大

功率因数补偿成感性好，还是容性好？ 一般情况下很难做到完全补偿 （即： ）1cos

过补偿欠

补偿

RLI

U

I

CI

U

I

CI '

RLI

功率因素补偿问题（二） 并联电容补偿后，总电路（ R-L//C ）的有功功率是否改变了？

问题与讨论

R

LjXCjXU

I

LI1

2I

定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。

I RLI<

L <

通过计算可知总功率不变。cosUIP cos I 、其中

RLI

CI

I

L

U

功率因素补偿问题（三）提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？

补偿后

R

UI

RLUL

I

UURL

I

RLU

CU

U

0

串电容 行否补偿前

R

UI

RLUL

C

问题与讨论

UU RL

串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到 1 ，但不可以这样做！ 原因是：在外加电压不变的情况下，负载得不到所需的额定工作电压。

同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因 数的提高。其请自行分析。

RU

I

RLUL

C

CUI

RLU

U

CU

七、共轭匹配（与最大功率传输相似）

Z S

Z L

£«

£

U S

.

I.

)()(

...

LSLS

S

LS

S

XXjRR

U

ZZ

UI

22 )()( LSLS

S

XXRR

UI

22

22

)()( LSLS

LSLL XXRR

RURIP

只改变 XL ，保持 RL 不变， 当 XS+XL=0 时，即 XL= － XS ， PL 可以获得最大值

sss jXRZ LLL jXRZ 令

2

2

)( LS

LSL RR

RUP

改变 RL， 使 P L 获得最大值的条件是

0L

L

dR

dP

得 RL=RS

所以负载获得最大功率的条件为

SL

SL

RR

XX

ssSL jXRZZ

即

最大功率为

S

S

R

UP

4

2

max

例：一 R 、 L 串联的电感线圈，用电压表测端口的电压为50V ，电流表读数为 1A ，功率表的读数为 30W ，工频情况下求 R 、 L 值。

解：

13.53)50

30arccos(

30cos

501

50

UIpI

UZ

最大功率为

S

S

R

UP

4

2

max

例：一 R 、 L 串联的电感线圈，用电压表测端口的电压为50V ，电流表读数为 1A ，功率表的读数为 30W ，工频情况下求 R 、 L 值。

解：

13.53)50

30arccos(

30cos

501

50

UIpI

UZ

mHL

R

jZ

12740

30

)4030(13.5350

mHL

L

I

ULRZ

RRIP

12740

403050

50)(

3030

22

22

2

另解：

含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全

补偿，使电路的功率因数等于 1 ，即： u 、 i 同相，便称此电路处于谐振状态。

谐振串联谐振： L 与 C 串联时 u 、 i 同相

并联谐振： L 与 C 并联时 u 、 i 同相

谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。

谐振概念： 3-8 电路中的谐振

R

XXtgXXR

ZXXjRZ

CLCL

CL

122

串联谐振的条件

CU

R

L

C

U

RU

LU

I

串联谐振电路

IU 、 同相

若令： CL XX 0则： 谐振

CL XX 串联谐振的条件是：

一、串联谐振：

fCCXfLLX CL

2

11 2

谐振频率： of

CL

00

1

CL XX

LC

10

LCf

2

10

串联谐振的特点

RXXRZZ CL 22

min

CL XX

01

R

XXtg CLU 、 I 同相

RXX CL 当 时

RIUXIUXIU CCLL 000

当电源电压一定时：R

UIII max0

UC 、 UL 将大于电源电压 U

注：串联谐振也被称为电压谐振

当 时，RXRX CL 、

UUU CL

R

UI 0

谐振时：

UR

XX

R

UXIU

UR

XX

R

UXIU

CCCC

LLLL

0

0

LU

CU

IUUR

CL XX 、

品质因素 --- Q 值 定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的 电压和总电压之比。

UCR

UR

XU

UR

LU

R

XU

CC

LL

0

0

1

谐振时 :

RCR

L

U

U

U

UQ CL

0

0 1

在谐振状态下 ,若 R>XL 、 R>XC ， Q 则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。

串联谐振特性曲线

0I

0f

20I

1f 2f f

I R

UI 0

谐振电流

:0f 谐振频率

下限截止频率

上限截止频率12

2

1

fff

f

f

通频带

0

关于谐振曲线的讨论

0I

I

(a) 不变，00I 变化。

(b) 不变， 变化。0

0I(c) 不变，

f 变化。

00I

不变，

01 02

0II

0

0I

I

谐振曲线讨论（之一）

结论： R 的变化引起 变化 R愈大 愈小（选择性差） R愈小 愈大（选择性好）

0I

0I

0I

R 小

R 大

不变，00I 变化。

0I

0

I

0I

0（ 1 ） 不变

即 LC 不变LC

10

R

UI 0

R 改变 0I 改变

（ 2 ）

0I分析：（ 1 ） 不变

即 U 、 R 不变R

UI 0

（ 2 ） 改变0LC

10

结论： LC 的变化引起 变化

L 变小或 C 变小 变大

L 变大或 C 变大 变小0

0

0

谐振曲线分析（之二）

0102

0II

不变， 变化。0

0I

谐振曲线分析（之三）

结论： Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。 Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。

Q

f

L

Rf 0

2

分析： 0I 不变， 不变0（ LC ）、 R 不变，

f 12 如何改变或 ？可以 证明：

可见 与 Q 相关。f不变，

f 变化。

0I

0 不变，

0

0II

20I

串联谐振时的阻抗特性

0

L

R

C

1

容性 0

感性 0

22)( CLCL XXRXXjRZ

Z

收音机接收电路

1L

2L 3L

C

:1L 接收天线

2L 与 C ：组成谐振电路

:3L 将选择的信号送 接收电路

串联谐振应用举例

1L

2L 3L

C

组成谐振电路 ，选出所需的电台。C - 2L

321 eee 、、 为来自 3个不同电台（不同频率）的电动势信号；

C2L2L

R

1e2e3e

已知： 20 H250

22 LRL 、kHz8201 f

C2L2L

R

1e2e3e

解：CL

f2

12

1

222

1

LfC

pF15010250108202

1623

C

如果要收听 节目， C 应配多大？1e问题（一）：

结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。1e

问题（二）：

1e 信号在电路中产生的电流 有多 大？在 C 上 产生的电压是多少？

V101 μE pF1501 C

H2502 μL 20

2LR

已知：

kHz8201 f解答：12902 1 fLXX CL

A5.02

1 REI V645C1 CIXU

所希望的信号 被放大了 64倍。

C2L2L

R

1e2e3e

当 时 领先于 ( 容性 )

CL II I U

U

I

LI

CI

谐振 当 时

CL II

0I

LIU

CI

理想情况：纯电感和纯电容 并联。

当 时 落后于 ( 感性 )

CL II I U

U

LI

CI

I

I

U LI CI二、并联谐振

CL X

U

X

U

CL

00

1

LC

10

LCf

2

10 或

LIU

CI

CL II

理想情况下并联谐振条件I

ULI

CI

CC

LRL

jX

UI

jXR

UI

U

RLI

CI

I

CRL III

非理想情况下的并联谐振

U

IRLI CI

UI 、 同相时则谐振

UC

LR

Lj

LR

R

UCjLjR

I

2222

1

虚部实部

则 、 同相 IU虚部 =0 。 谐振条件：

U

IRLI CICRL III

非理想情况下并联谐振条件

002

02

0

CLR

L

由上式虚部

并联谐振频率

U

IRLI CI

22

2

0 111

RL

C

LCL

R

LC得：

LC

10

LCf

2

10 或 02 R

L

C当 时

并联谐振的特点 I 同相。U 、

电路的总阻抗最大。

定性分析 :

I

ULI

CI

Z

U

LI

CI

理想情况下 谐振时： max0 ZZI

总阻抗：

RC

LZZ max0

UC

LR

Lj

LR

RI

2222

得： IRC

LU

2

2

0

1

L

R

LC代入

并联谐振电路总阻抗的大小

U

IRLI CI

谐振时虚部为零 , 即 :

U

LR

RI

22

什么性质 ?

并联谐振 电路总阻抗：

RC

LZZ max0

0Z0R当 时

U U

所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。

minIZ

UI

O

外加电压一定时， 总电流最小。

I

U LICI

Z

OU

SI

maxZZO

OSO ZIUU max

外加恒流源 时， 输出电压最大。

SI

并联支路中的电流可能比总电流大。

支路电流可能 大于总电流

U

RLI

CI

I

电流谐振

U

IRLI CI

U

IRLI CI 0CU

X

UI

CC

0

UL

RC

Z

UI

R

L

I

IQ C 0

IIC 则 RL 0若

品质因素 --Q : Q 为支路电流和总电流之比。

当 时 , RL 0 CRL II CR

1

0Q

并联谐振特性曲线

Z

I

0容性感性

思考 为什么？

be

LC

i

O

r

RR

U

UA

//

CCV

CR

LR 0UiU

CR

替代后，在谐振 频率下放大倍数 将提高。该种频 率的信号得到较 好的放大，起到 选频作用。

并联谐振应用举例

消除噪声

（三）谐振滤波器：利用谐振进行选频、滤波

LCff N 2

10

令滤波器工作在噪声频率下， 即可消除噪声。

---信号源)sSE （

---噪声源）（ NNE

已知：

接 收 网 络

SE

NE

r谐振 滤波器

提取信号

SE

NE

r 接 收 网 络

谐振 滤波器

LCff S 2

10

令滤波器工作在 频率下， 信号即可顺利地到达接收网 络。

Sf

---信号源)sSE （

---噪声源）（ NNE

已知：

分析（一）：抑制噪声

I

2LI

CI

信号被滤掉了NE

NfCL

f 2

0

1令：

消除噪声提取信号

C接 收 网 络

SE

NE谐振 滤波器

1L2L

分析（二）： 提取信号

CU

CI

1LUNS ff

1LI

接 收 网 络

SE

NE谐振 滤波器

1L2L

C

则信号全部降落在接收网络上。01 LC UU 若在 Sf 下

CU1LI

2LI

CI

1LU

2LI

谐振 滤波器

接 收 网 络

SE

NE

NS ff 如果 ， 网络应如何设计？

?

思考题：用上页类似的形式，设计消除噪声、提取信号的电路。