重点重点

复阻抗复导纳 相量图

用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析

第九章 正弦稳态电路的分析第九章 正弦稳态电路的分析

9. 1 9. 1 阻抗、导纳及其等效变换阻抗、导纳及其等效变换9. 1 9. 1 阻抗、导纳及其等效变换阻抗、导纳及其等效变换

9. 2 9. 2 电路的相量图电路的相量图9. 2 9. 2 电路的相量图电路的相量图

9. 3 9. 3 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析9. 3 9. 3 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析

9.4 9.4 正弦电流电路中的功率正弦电流电路中的功率9.4 9.4 正弦电流电路中的功率正弦电流电路中的功率

9. 5 9. 5 复功率复功率9. 5 9. 5 复功率复功率

9. 6 9. 6 最大功率传输最大功率传输9. 6 9. 6 最大功率传输最大功率传输

9. 7 9. 7 串联电路的谐振串联电路的谐振9. 7 9. 7 串联电路的谐振串联电路的谐振

9. 8 9. 8 并联电路的谐振并联电路的谐振9. 8 9. 8 并联电路的谐振并联电路的谐振

9. 9 9. 9 串并联电路的谐振串并联电路的谐振9. 9 9. 9 串并联电路的谐振串并联电路的谐振

1. 1. 复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳

正弦激励下正弦激励下I

ZU+

-

无源线性

I

U+

-

φ|Z|I

UZ

iu 单位：

I

UZ 阻抗模

阻抗角

9. 1 阻抗、导纳及其等效变换

复阻抗

当无源网络内为单个元件时有：

RI

UZ

LjXLjI

UZ

CjXC

jI

UZ

1

I

RU+

-

I

CU+

-

I

LU+

-Z 可以是实数，也可以是虚数

复导纳 Y

)ΨΨ'φ('φ|Y|UIY ui

ZY

YZ

1 ,

1对同一二端网络 :

2. R 、 L 、 C 元件的阻抗和导纳（ 1 ） R ： GRYRZ RR 1,

（ 2 ） L ：L

jLj

YLjZ LL

11,

（ 3 ） C ： CjYCjC

jZ CC

,11

单位： S

3. 3. RLCRLC 串联电路串联电路

用相量法分析 R 、 L 、 C 串联电路的阻抗

由 KVL ：. 1

j.

j. . . . .

IC

ILIRUUUU CLR

IXXjRIC

LjR CL )]([)]

1([

IjXR )(

CLR uuuu

其相量关系也成立

L

C

R

u

uL

uC

i

+

-

+

-

+ -+ -uR

.

I j LR

+

-

+

-

+ -.

U

LU.

CU.

Cωj

1+

jXRC

jLjRZ

1

jXRC

jLjRZ

1

|Z|XRI

UZ j.

.

则

Z— 复阻抗； R— 电阻 ( 阻抗的实部 ) ； X— 电抗 ( 阻抗的虚部 ) ； |Z|— 复阻抗的模； —阻抗角。

关系：

arctg

| | 22

R

Xφ

XRZ或

R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|

R

Xj

阻抗三角形iu

I

UZ

具体分析一下 R 、 L 、 C 串联电路：

Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠φ

ωL > 1/ωC ， X>0 ， φ >0 ，电路为感性，电压超前电流

ωL<1/ωC ， X<0 ， φ <0 ，电路为容性，电压滞后电流

ωL=1/ωC ， X=0 ， φ =0 ，电路为电阻性，电压与电流同相

画相量图：选电流为参考向量 (ωL > 1/ω C )

三角形 UR 、 UX 、 U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即

CU

IRU

LU

U

UX

22XR UUU

0i

例 . L

C

R

u

uL

uC

i

+

-

+

-

+ - 已知： R=15, L=0.3mH, C=0.2F,

. Hz103 ),60sin(25 4 ftu

求 i, uR , uL , uC .

解：

其相量模型为.

I j LR

+

-

+

-

+ -.

U

LU.

CU.

Cωj

1

V

605

U

CLRZ

1

jj

uuuu CLR

Ω556j10301032jj 34 ..L

Ωπ

526j10201032

1j

1j 64 .

.C

5.26j5.56j15 Ω 4635433 o..

A4314904635433

605 oo

o

....Z

UI

则 A4321490 o ).t(sin.i ω

UL=8.42>U=5 ，分电压大于总电压分电压大于总电压。

V 43235243149015 oo

....IRU R

V 48642843149090556j ooo

.....ILU L

V 4.9395.34.3149.0905.26C

1j ooo

IU C

V 4322352 o ).tωsin(.uR

V 6862428 o ).tωsin(.uL

V 4932953 o ).tωsin(.uC

IRU

LUCU

－ 3.40

U

φ

4. RLC 并联电路

由 KCL ： CLR IIII. . . .

i

L CRu

iL iC+

-

iL

.

I

j L.

U

LI.

CI.

Cωj

1R

+

-

RI.

. j

. j

. UCU

LUG

1

. jj UC

LG )

1(

. j( UBBG CL )[

. j UBG )(

uiu

i ψψU

I

ψU

I

U

IY

.

.

Y— 复导纳； G— 电导 ( 导纳的实部 ) ； B— 电纳 ( 导纳的虚部 ) ； |Y|— 复导纳的模； '— 导纳角。

关系：

arctg'

| | 22

G

Bφ

BGY或

G=|Y|cos '

B=|Y|sin '

|Y|

G

Bj

导纳三角形ui

U

IY

'j φYBG ||

Y=G+j(ωC-1/wL)=|Y| ∠

ωC > 1/ωL ， B>0 ， '>0 ，电路为容性， i 领先 u

ωC<1/ωL ， B<0 ， '<0 ，电路为感性， i 落后 u

ωC=1/ωL ， B=0 ， =0 ，电路为电阻性， i 与 u 同相画相量图：选电压为参考向量 (ωC < 1/ωL ， <0 )

2222 )( CLGBG IIIIII

U

GI.

LI.

I

'

CI.

0u

RLCRLC 并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象RLCRLC 并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象

CLG IIII

.

I

j L.

U

LI.

CI.

Cωj

1R

+

-

RI.

5. 复阻抗和复导纳的等效互换

j φ|Z|XRZ

一般情况 G1/R B1/X 。若 Z 为感性， X>0 ，则 B<0 ，即仍为感性

º

º

ZR

jX

º

º

G jBY

'φ|Y|BGY j

BGXRXR

XRZY jj

j11 22

2222 , XRXBXR

RG

φ' φ,|Z|

|Y| 1

同样，若由 Y 变为 Z ，则有：

'φ φ,|Z|

|Y|

BGBXBG

GR

XRBG

BGBGYZ

φ|Z|XRZ,'φ|Y|BGY

1

,

jj

j11

j j

2222

22

º

º

ZR

jX

º

º

G jBY

返回

1. 电路的相量模型 (phasor model )

相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。

L

C RuS

iL iC

iR

+

-

jL

1/jCSULI CI

RI

R+

-

时域电路 相量模型

9. 2 电路的相量图

相量图的画法相量图的画法

以电路并联部分电压为参考方向：以电路并联部分电压为参考方向：

1 、由支路的 VCR 确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角

2 、根据节点上的 KCL 方程，利用相量平移求和法则画节点各支路电流相量多边形

以电路串联部分电流为参考方向：以电路串联部分电流为参考方向：

1 、由支路的 VCR 确定各并联支路的电压相量与电流相量之间的夹角

2 、根据节点上的 KVL 方程，利用相量平移求和法则画回路上各电压相量多边形

时域列写微分方程 相量形式代数方程

RCL iii RCL III

Sdd

duti

Ct

iL C

L 1

tiC

iR CR d1

S

j

UIC

ILj CL

1

CR IC

IR

ωj

1

2. 相量图

1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中2. 反时针旋转角速度

3. 选定一个参考相量 ( 设初相位为零。 )

例：选 ÙR 为参考相量

ULU

LICI

RI CURU =

用途：

②利用比例尺定量计算

①定性分析

jL

1/jCSULI CI

RI

R+

-

小结

1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。

2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。

3. 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（ f =0) 是一个特例。

返回

电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：

Gui

Riu

u

i

:

0 :KVL

0 :KCL

:

或元件约束关系

电阻电路

:

0 :KVL

0 :KCL

:

UYI

IZU

U

I

或

元件约束关系

正弦电路相量分析

可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。

9. 3 正弦稳态电路的分析

例 1 ：已知 Z1=10+j6.28, Z2=20-j31.9 , Z3=15+j15.7 。

ZZZZZZ

ZZ 321

213ab

Z1Z2

Z3

a

b

求 Zab 。

931j20286j10931j20286j10

21

21

..).)(.(

ZZ

ZZZ

o

oo

54045396157653713328111

......

862j8910 ..

Ω 6359315618j8925

862j8910715j15o

3ab

....

...ZZZ

同直流电路相似：

Z

Z1

Z2

+ + +

-

-

-

U1

U2

U

I

I

Y+

-

U Y1 Y2

1

I 2

I

IY

YI,YY:

UZ

ZU,ZZ:

k

kkk

k

kkk

并联

串联

阻抗串并联的计算

UZ

ZU

ZZZ

11

21

IY

YI

YYY

11

21

IZZ

ZI

ZZ

ZZZ

21

21

21

21

例 2: 已知 :

,/314,100

,10,500,10,1000 21

sradVU

FCmHLRR

求 : 各支路电流。

Z1Z2

R2+

_ L

i1

i2

i3

R1

C

u UR2+

_

R1

1I2I

3IC

j

1

Lj

解：画出电路的相量模型

13289119237245303

71751049

901047318

473181000

4731810001

1 3

1

1

1

.j...

..

.

.j

).j(

CjR

)Cj(RZ

1571022 jLjRZ

Z1Z2U

R2+

_

R1

1I2I

3IC

j

1

Lj 35299166

1313211102

15710132891192 21

..

.j.

j.j.

ZZZ

A....Z

UI

35260

35299166

01001

A.....

.jI

CjR

CjI

20181035260

71751049

473181

1

1

1

2

A.....

I

CjR

RI

7057035260

71751049

10001 1

1

13

A).tsin(.i 3523142601

A....Z

UI

35260

35299166

01001

A.....

.jI

CjR

CjI

20181035260

71751049

473181

1

1

1

2

A.....

I

CjR

RI

7057035260

71751049

10001 1

1

13

A)tsin(.i 20314218102

A)tsin(.i 7031425703

瞬时值表达式为：

解毕！

列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 3.

解：

+_ su

siL R1

R2

R3R4

C SI

+_

R1

R2

R3R4

Lj

cj1

SU

1I

2I

4I3I

回路法 :

SUIRI)LjR(I)LjRR( 3221121

033112431 IRI)LjR(I)LjRRR(

011

42312332 IC

jIRIRI)C

jRR(

SII 4

SI

+_

R1

R2

R3R4

Lj

cj1

SU1nU

2nU

3nU节点法 :

Sn UU 1

011

)111

( 33

12

2321

nnn U

RU

RU

RRLjR

Snnn IUCjUR

UCjRR

123

343

1)

11(

.

45 , 30 30j , A904

3

21o

S

I

ZZZZI

求：

已知：ΩΩ

Ω

法一：电源变换

15153030

)30(30// 31 j

j

jZZ

解：

例 4. Z2

SI Z1 ZZ3

I

S31 )//( IZZ

Z2

Z1Z3

Z

I

+

-

ZZZZZZI

I

231

31

//)//(S

45301515

)1515(4

jjjj

o

o

36.9-5455.657

A o9.8113.1

法二：戴维南等效变换

V4586.84

)//(o

310

ZZIU S

Z0

Z0

U

I

+

-

例 5. 用叠加定理计算电流 2

IZ2

SI

Z1

Z3

2I

S

U

+

-

. 3050 ,3050

A,04 V,45100 o

3o

31

oS

o

S

ΩΩ

ZZZ

IU:已知

Z2

SI Z1 Z3 0U

求开路电压：

求等效电阻：

Ωj 4515

// 2310

ZZZZ

A9.8113.1454515

4586.84 o

0

0

jZZU

I

解： :)( )1( SS

短路单独作用

UI

Z2

SI

Z1

Z3

'2I

32

3S2

'

ZZ

ZII

Z2Z1

Z3

''2I

S

U

+

-

:)( )2( SS

开路单独作用

IU 32

S 2

'' ZZ

UI

oo

222

135155.13031.2

'''

III

oo

oo

30503050

305004

A3031.2350

30200 o

o

A135155.1350

45100 o

o

j0.817)0.817(j1.155)(2

A9.1523.1

j0.3381.183 o

已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jω L3 。

求： Zx=Rx+jωLx 。由平衡条件： Z1 Z3= Z2 Zx 得

R1(R3+jωL3)=R2(Rx+j ωLx)

∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2

例 6.

解：Z1 Z2

Zx Z3

* |Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x

|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|

1 +3 = 2 +x

已知： Z=10+j50W , Z1=400+j1000W 。

?90o1 相位差和等于多少时，问： SUIβ

11111S 1 IZI)β(ZIZIZU

例 7.

解：

I

1

I1

Iβ

Z

Z1

+

_S

U 关系和分析：找出 SUI 1

)β(βZZ)β(I

U10005050j104101 1

1

S

41 010410 ββ ，令

.I

U o

1

S 90 1000j 故电流领先电压

I

已知： U=115V , U1=55.4V , U2=80V ,

R1=32W , f=50Hz

求： 线圈的电阻 R2 和电感 L2 。

画相量图进行定性分析

例 8.

解：

R1

R2

L2

+

_

1U

U 2U

+

_

+ _

I

1U

LU

2RU

2Uθ2

U

θ

cos2 2122

21

2 UUUUU

A73.132/4.55/ 11 RUI

22121 LR UUUUUU

1.1154237.0cos 9.641802

H133.0)2/(

8.41sin ||

6.19cos ||

2.4673.1/80/||

2

222

222

22

fXL

θZX

ZR

IUZ

π

Ω

Ω

Ω

VUU L 45.729.64sin80sin 222

VUU R 9.339.64cos80cos 222

6.1973.19.3322 IUR R

HL

IUL L

133.031488.41

88.4173.145.722

用相量图分析

oo 0180 ~θ 为移相角，移相范围

例 9. 移相桥电路。当 R2 由 0时， ?ab

如何变化

U

解： 1U U

CU

CI

CU

CI

; ,2

1 , , ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR

当 R2=0 ， θ=-180；当 R2 ， θ=0。

º ºa b

1U

2U CU

CI

R2R1

R1

+

_U

abU

+

-+

-

+

-

RU

2U

2RU2RU

12

2121 2,

UUU

UUU

UUUUUU

Rab

CR

abU

abU

返回

无源一端口网络吸收的功率 ( u, i 关联 )

iu ΨΨφiuφ

φtIti

tUtu

)sin(2)(

sin2)(

的相位差和为

1. 瞬时功率 (instantaneous power)

tUItφUI

φtφUI

φtItUuitp

2sinsin)2cos1(cos

)]2cos([cos

)sin(2sin2)(

无源

+u

i

_

第一种分解方法

第二种分解方法

9.4 正弦电流电路中的功率

第一种分解方法

tO

UIcos (1-cos2 t)

- UIsin sin2 t

第二种分解方法

pp 有时为正有时为正 , , 有时为负有时为负 pp>0>0 ，电路吸收功率，电路吸收功率 pp<0<0 ，电路发出功率，电路发出功率

UIUIcoscos (1-cos2(1-cos2 t t)) 为不可逆分量为不可逆分量

UIUIsinsin sin2sin2 t t 为可逆分量为可逆分量

t i

O

u

p

UIcos

- UIcos(2 t )

)]2cos([cos )( φtφUItp

tUItφUItp 2sinsin)2cos1(cos)(

瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。2. 平均功率 (average power)P

T

tpT

P0

d1

=u-i ：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角阻抗角

cos ：功率因数（用 λ 表示）。

P 的单位： W （瓦）

T

ttUIUIT 0

d)]cos(cos[1

φUI cos

一般地 , 有 0cos 1

X>0, >0 , 感性， 滞后功率因数

X<0, <0 , 容性， 超前功率因数例： cos =0.5 ( 滞后 ) ， 则 =60o ( 电压领先电流 60o)

cos 1, 纯电阻0 ， 纯电抗

平均功率平均功率实际上是电阻消耗的功率电阻消耗的功率，亦称为有功功率有功功率。表示电路实际消耗的功率实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别 , 主要由于主要由于电压、电流存在相位差。电压、电流存在相位差。

4. 视在功率 ( 表观功率 )S

反映电气设备的容量

3. 无功功率 (reactive power) Q

φUIQdef

sin表示交换功率交换功率的最大值，单位： var ( 乏 ) 。

Q>0 ，表示网络吸收无功功率；Q<0 ，表示网络发出无功功率。

Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L 、 C 的性质决定的

)( VA : def

伏安单位UIS

5. 5. RR 、、 LL 、、 CC 元件的有功功率和无功元件的有功功率和无功功率功率

u

i

R+

-

PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R

QR =UIsin =UIsin0 =0

对电阻， u, i 同相，故 Q=0 ，即电阻只吸收( 消耗 ) 功率，不发出功率。

i

u L+

-

PL=UIcos =UIcos90 =0

QL =UIsin =UIsin90 =UI

对电感， u 领先 i 90°, 故 PL=0 ，即电感不消耗功率。由于 QL>0 ，故电感吸收无功功率。

i

u C+

-

PC=UIcos =Uicos(-90)=0

QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI

对电容， i 领先 u 90°, 故 PC=0 ，即电容不消耗功率。由于 QC<0 ，故电容发出无功功率。

6. 电感、电容的无功补偿作用

L

C

R

u

uL

uC

i

+

-

+

-

+ - i

tO

uL

uC

pL pC

当 L 发出功率时， C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为 pL+pC 。因此， L 、 C 的无功具有互相补偿的作用。

7. 7. 交流电路功率的测量交流电路功率的测量

u

i

Z+

-

W*

*

i1

i2

R 电流线圈

电压线圈

单相功率表原理电流线圈中通电流 i1=i ；电压线圈串一大电阻 R(R>

>L) 后，加上电压 u ，则电压线圈中的电流近似为 i2u

/R2 。)sin(2 ),sin(2 21 φt

R

U

R

uiφtIii 设

PKUIKIR

UKM 'cos'cos 则

指针偏转角度 ( 由 M 确定 ) 与 P 成正比，由偏转角(校准后 ) 即可测量平均功率 P 。

使用功率表应注意

(1) 同名端：在负载 u, i 关联方向下，电流 i从电流线圈“ *”号端流入，电压 u 正端接电压线圈“ *”号端，此时 P 表示负载吸收的功率。

(2) 量程： P 的量程 = U 的量程 I 的量程 cos ( 表的 )测量时， P 、 U 、 I 均不能超量程。

已知：电动机 PD=1000W ， U=220V ， f =50Hz ， C =30

F 求负载电路的功率因数。（ cosφD=0.8 ）

)( 96.0)]3.16(0cos[cos

3.1673.433.1j54.4

08.2jj0220 , 8.3668.5

0220

8.36 ,0.8(cos

A68.58.0220

1000cos

oo

oD

ooD

o

oDD

D

DD

滞后

设

滞后）

φ

III

CII

U

φφ

φUP

I

C

C

+

_D CU

I CI

DI

例 .

解：

例 . 三表法测线圈参数

已知 f=50Hz ，且测得 U=

50V ， I=1A ， P=3W 。

H127.0314

403050

1||

1

)(||

Ω501

50||

Ω301

30

2222

22

222

314RZL

LRZ

I

UZ

I

PRRIP

解：

R

L

+

_

U

I

ZV

A W*

*

返回

1. 复功率

”功率“来计算功率，引入 复和为了用相量 IU

)eeRe(

]Re[)cos(

,

jj

)j(

iu

iu

IU

eUIΨΨUIP

ΨIIΨUU

iu

iu

U *I

]Re[ *IUP ]Re[ *IUP

))Var( , sin( j

sinjcos

)(

VA , *

乏单位无功功率其中

则

单位为复功率记

φUIQQP

φUIφUI

φSφUIΨΨUIS

IUS

iu

U

I

负载

+

_

9. 5 复功率

有功，无功，视在功率的关系有功，无功，视在功率的关系有功，无功，视在功率的关系有功，无功，视在功率的关系

有功功率 : P=UIcosφ 单位： W

无功功率 : P=UIsinφ 单位： var

视在功率 : S=UI 单位： VA

22 QPS

φS

P

Q φZ

R

X φU

UR

UX

RX

+

_

+ _

º

º

+

_U

RU

XU

功率三角形 阻抗三角形 电压三角形

jQPS

P

Qarctan

电压、电流的有功分量和无功分量：电压、电流的有功分量和无功分量：

( 以感性负载为例 )

RX

+

_

+ _

+

_U

RU

XU

I

I

U

RU

XU

的无功分量为称

的有功分量为称

sin

cos

UU

QIUIU

UU

PIUIU

X

X

R

R

的无功分量为称

的有功分量为称

sin

cos

II

QφUIUI

II

PφUIUI

B

B

G

G

I

U

BI

GI

G B

+

_

GI

I

BI

U

根据定义

吸收无功为负

吸收无功为正

0)90sin(

090sin

0

sin

22o

22o

CCC

LLL

R

XUXIUIUIQ

XUXIUIUIQ

Q

UIQ

( 发出无功 )

电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。反映了电源和负载之间交换能量的速率。

maxmax2

m

222

2π221

)2(21

:

WTfWLIω

ILωLIXIQ LL

π

举例

无功的物理意义 :

CXC

1

CXC

1

)(*

*

:

*2***

2*

YUYUUYUUIUS

ZIIIZIUS

S

也可以表示为以下式子复功率

复功率守恒定理复功率守恒定理：：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即

0

0 0)j(

0 0

1

1

1

1

*

1

b

kk

b

kkb

kkk

b

k

kk

b

k

k

Q

PQP

IUS

此结论可用特勒根定理证明。

21

21

2121

21

**

*)(*

SSS

UUU

SSIUIU

IUUIUS

一般情况下：

b

kkSS

1

+

_

+ _+

_U

1U2U

I

** 复功率守恒，不等于视在功率守恒复功率守恒，不等于视在功率守恒。。

已知如图，求各支路的复功率。

VA 3345j1113

VA 1920j768)2510

1(236

VA 1424j1882010)1.37(236

V )1.37(236

)]15j5//()2510[(010

*2

22

*2*1

21

oo

o

1o

YUS

jYUS

S

jI

吸

吸

发

例 .

+

_U10 0∠ o A

10Ω

j25Ω

5Ω

-j15Ω

1I2I

解一：

VA 1423j1885

)25j10)(3.105(77.810

VA 3348j1116)15j5(94.14

VA 1923j769)25j10(77.8

A5.3494.14

A)3.105(77.815j525j10

15j5010

o11

*

22

222

21

211

o12

oo1

ZIIS

ZIS

ZIS

III

I

S

S

发

吸

吸

解二：

+

_U10 0∠ o A

10W

j25W

5W

-j15W

1I2I

2 、功率因数提高设备容量 S (额定 ) 向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。

P=ScosφS

75kVA负载 cosφ =1, P=S=75kW

cosφ =0.7, P=0.7S=52.5kW

一般用户： 异步电机 空载 cosφ =0.2~0.3 满载 cosφ =0.7~0.85

日光灯 cosφ =0.45~0.6

(1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；

(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucosφ ) ，线路压降损耗大。

功率因数低带来的问题功率因数低带来的问题：：功率因数低带来的问题功率因数低带来的问题：：

解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备 ) 。

分析 :

UI

LICI

φ1 φ2

L

RCU

I

LI

CI

+

_

.cos

,, , . ,90

.

. , ,

φ

IUI

UI C

电源端的功率因数从而提高了的夹角减小了从相量图上看减少总电流

领先由于并联电容的电流生任何变化即负载工作状态没有发

吸收的有功无功都不变不变原感性负载取用的电流并联电容后

补偿容量的确定补偿容量的确定补偿容量的确定补偿容量的确定 UI

LICI

φ1 φ2

)tgtg(

)tgtg(

cos

, coscos

cos

sinsin

212

21

122

1

21

UPC

UPI

UPI

UPI

I

III

C

LL

LC

代入得将

)tgtg( 212 φPCUQC

补偿容量不同 全——不要求 ( 电容设备投资增加 ,经济效果不明显 )

欠

过——使功率因数又由高变低 ( 性质不同 )

综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 ) 。

功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。

再从功率这个角度来看 :

并联 C 后，电源向负载输送的有功 UIL cosφ1=UI c

osφ2 不变，但是电源向负载输送的无功 UIsinφ2<UILsin

φ1减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”来补

偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。

已知： f=50Hz, U=380V, P=20kW, cosj1=0.6( 滞后 ) 。要使功率因数提高到 0.9 , 求并联电容 C 。

o11 13.53 6.0cos φφ 得由

例 .

P=20kW cosφ1=0.6

+

_

CUL

RCU

I

LI

CI

+

_

解：o

22 84.25 9.0cos φφ 得由 UI

LICI

φ1 φ2

F 375

)84.25tg13.53tg(380314

1020

)tgtg(

2

3

212

φφU

PC

补偿容量也可以用功率三角形确定

φ1φ2

P

QC

QL

Q )tgtg(

)tgtg(

212

2

21

φφωU

PC

ωCUQ

φφPQQQ

C

LC

单纯从提高 cosφ 看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。

思考：能否用串联电容提高 cosφ ?

返回

讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 PPmaxmax 的条的条件件讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 PPmaxmax 的条的条件件

S

UZL

Zi

I

+

-

Zi= Ri + jXi ， ZL= RL + jX

L

2Li

2Li

S

Li

S

)()( ,

XXRR

UI

ZZ

UI

(1) ZL= RL + jXL 可任意改变

2Li

2Li

2SL2

L )()(

XXRR

URIRP

有功功率

9. 6 最大功率传输

(a) 先讨论 XL改变时， P 的极值显然，当 Xi + XL=0 ，即 XL = － Xi 时， P获得极值

2Li

2SL

)( RR

URP

(b) 再讨论 RL改变时， P 的最大值

当 RL= Ri 时， P获得最大值

i

2S

max 4R

UP

综合 (a) 、 (b) ，可得负载上获得最大功率的条件是：

ZL= Zi* ，即

RL= Ri

XL =-Xi

此结果可由 P 分别对 XL 、 RL 求偏导数得到。

(2) 若 ZL= RL + jXL 只允许 XL改变

此时获得最大功率的条件 Xi + XL=0 ，即 XL = － Xi 。

(3) 若 ZL= RL + jXL=|ZL|， RL 、 XL 均可改变，但 XL/ RL 不变

( 即 |ZL| 可变，不变 )

2Li

2SL

max )( RR

URP

最大功率为

此时获得最大功率的条件 |ZL| = |Zi| 。

)sincos(2||2

cos

iii

2S

max

XRZ

UP

最大功率为

证明如下：

(3) 的证明：

)sin2cos(2||||

||

cos

sin||2cos||2||||

cos||

22

cos||

)()(

iiLL

2i

2S

LiLi2

L2

i

2SL

2LLi

2i

2LLi

2i

2SL

2Li

2Li

2SL

φXφRZZZ

U

φZXφZRZZ

UZ

XXXXRRRR

UZ

XXRR

URP

φ

|||| ||||

01||

|| 0,)||

||

||(

||d

d

)|(| )||||

||( ,

iL2

L2

i

2L

2i

LL

2i

L

LLL

2i

ZZZZ

Z

ZZ

Z

Z

Z

ZZZ

ZP

即

得即

改变最小需使最大若使

此时 Pmax 即如 (3) 中所示。 证毕！返回

谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。

含有 L 、 C 的电路，当电路中端口电压、电流同相时，称电路发生了谐振。

一、 谐振的定义

R,L,C电路U

I

相，电路发生谐振。纯电阻。电压、电流同为时当输入端阻抗 RZXjXRZ ,0,

9. 7 串联电路的谐振

XR

XXRωC

ωLRZ CL

j

)(j)1(j

I R

j L+

_Cωj

1

U

二、 RLC 串联电路的谐振

1 、谐振条件：（谐振角频率）

谐振角频率 (resonant angular frequency)LC

ω 10

谐振频率 (resonant frequency) LC

fπ2

10

谐振周期 (resonant period)LCfT π2/1 00

时，电路发生谐振。当C

Lω0

01

22 、使、使 RLCRLC 串联电路发生谐振的条件串联电路发生谐振的条件

（（ 11 ）） . . L CL C 不变，改变不变，改变 ω ω 。。

（（ 22 ）） . . 电源频率不变，改变 电源频率不变，改变 L L 或 或 C C ( ( 常改变常改变C C )) 。。

ω 0 由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的 ω 0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。

通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变 C

使电路达到谐振。

33 、、 RLCRLC 串联电路谐振时的特点串联电路谐振时的特点

. ).1(

同相与

IU

根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振

(2). (2). 入端阻抗入端阻抗 ZZ 为纯电阻，即为纯电阻，即 ZZ==RR 。电路中阻抗值。电路中阻抗值 ||ZZ|| 最最小。小。 |Z|

ww0O

R

(3). (3). 电流电流 II 达到最大值达到最大值 II00==UU//R R ((UU 一一定定 )) 。。

I R

j L

+

_ Cωj

1

U

+ +

+

_

_

_

RU

LU

CU

相当于短路。LCUU CL ,0

(4). (4). LCLC 上串联总电压为零上串联总电压为零

。上，电源电压全部加在电阻 UU R

即

串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称电压谐振。

LU

CU

RU

I

谐振时的相量图谐振时的相量图

当 ω0L=1/(ω0C )>>R 时， UL= UC >>U 。

(5). (5). 功率功率P=RI0

2=U2/R ，电阻功率达到最大。

即 L 与 C 交换能量，与电源间无能量交换。

20

0

200

1 , ,0 I

CωQLIωQQQQ CLCL

三、特性阻抗和品质因数三、特性阻抗和品质因数

1. 1. 特性阻抗 特性阻抗 ((characteristic impedancecharacteristic impedance) )

单位：

与谐振频率无关，仅由电路参数决定。CL

CL

00

1

CL

CL

00

1

2. 2. 品质因数品质因数 ((quality factorquality factor))QQ

它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。

无量纲C

L

RRCωR

Lω

RQ

11

0

0

C

L

RRCωR

Lω

RQ

11

0

0

谐振时的感抗或容抗

(a) (a) 电压关系：电压关系：

RIUU R

0

UQIRR

LILU L j

jj 0

000

UQIRCRC

IUC j

1j

j0

00

0

品质因数的意义品质因数的意义

U

U

U

U

RI

LIω

R

LωQ CL 00

0

000 U

U

U

U

RI

LIω

R

LωQ CL 00

0

000

即 UL0 = UC0=QU

谐振时电感电压 UL0( 或电容电压 UC0) 与电源电压之比。

表明谐振时的电压放大倍数。

UL0 和 UC0 是外施电压 Q倍，如 ω0L=1/(ω0C )>>R ，则 Q 很高， L 和 C 上出现高电压 ,这一方面可以利用，另一方面要加以避免。例：某收音机 C=150pF ， L=250mH ， R=20

但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。

如信号电压 10mV , 电感上电压 650mV 这是所要的。

65R

Q

Ω 1290CL

(b) (b) 功率关系：功率关系：

电源发出功率：无功

电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

200 cos RIUIP

0sin0 UIQ

有功

+

_ P

Q

L C

R

)(

|| 0020

2000

功率谐振时电阻消耗的有功中无功功率的绝对值或电容谐振时电感

P

Q

P

Q

RI

LI

R

LQ CL

)(

|| 0020

2000

功率谐振时电阻消耗的有功中无功功率的绝对值或电容谐振时电感

P

Q

P

Q

RI

LI

R

LQ CL

(c) (c) 能量关系：能量关系：

tLItCUCuw cmCC cos21cos

2

121 22

0m22

02

tICLt

CI

tUu CC cos)90 sin()90 sin( m0o

0

m0om0

tLILiwL sin21

21 22

0m2

tUu sinm0 设

tItR

Ui sin sin m0

0m 则

电场能量

磁场能量

电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm 。

总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。

20

20m

20m 2

121 LICULIwww CCL 总

20

20m

20m 2

121 LICULIwww CCL 总

电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。

电感、电容储能的总值与品质因数的关系：电感、电容储能的总值与品质因数的关系：

UC0=QU ，则 UCm0=QUm

品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。

Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q 值。

2m

220m

20m 2

121

21 UCQCULIw C 总

2m

220m

20m 2

121

21 UCQCULIw C 总 与 Q2 成正比

由 Q 的定义：

耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的

π

π

2

20

20

20

20

20

00

TRI

LI

RI

LIR

LQ

耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的

π

π

2

20

20

20

20

20

00

TRI

LI

RI

LIR

LQ

从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：

维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的“品质”愈好。

四、四、 RLCRLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性串联谐振电路的谐振曲线和选择性

1. 1. 阻抗的频率特性阻抗的频率特性

RX

RXX

RωC

ωLω CL 111 tgtg

1

tg) (

)(|)(|)1(j ωφωZCω

LωRZ

222222 )()1(|)(| XRXXRCω

LωRωZ LL

2. 2. 电流谐振曲线电流谐振曲线谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。

幅值关系：

可见 I(ω ) 与 |Y(ω)| 相似。

UωY

CLR

UωI |)(|)1(

)(22

UωY

CLR

UωI |)(|)1(

)(22

幅频特性

相频特性

X( )

|Z( )| XL( )

XC( )

R 0

Z ( )

O

阻抗幅频特性

( )

0 O

–/2

/2

阻抗相频特性

电流谐振曲线

0 O

|Y( )|

I( )

I( )U/R

从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 ω

偏离 ω0 时，电流从最大值 U/R降下来。换句话说，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出 ( 表现为电流最大 ) ，而对远离谐振频率的信号加以抑制 ( 电流小 ) 。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。

3. 3. 选择性与通用谐振曲线选择性与通用谐振曲线

(a)(a) 选择性 选择性 ((selectivityselectivity))

0 O

I( )

例 . 一接收器的电路参数为：

L=250mH, R=20W, C=150pF(调好 ),

U1=U2= U3 =10mV, ω0=5.5106 rad/s,

f0=820 kHz.

+

_+

_+

L

C

R

u1

u2

u3_

f (kHz)

北京台 中央台 北京经济台

L820 640 1026

X1290 –1660 1034

0 – 660 577

1290 1000 1611

I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (mA)

ωC

1

从多频率的信号中取出 ω0 的那个信号，即选择性。选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。若 LC 不变， R 大，曲线平坦，选择性差。

I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (mA)

%04.30

1 II 小得多

∴收到北京台 820kHz 的节目。

Q 对选择性的影响： R 变化对选择性的影响就是 Q 对选择性的 影响。

820640 1200

I(f )

f (kHz)0

%46.30

2 I

I

为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以 ω0 和 I(ω0) ，即

000

)()()(

)( ,IηI

ωIωI

ωIηωωω

(b) (b) 通用谐振曲线通用谐振曲线

2220 )1

(1

1

)1

(/

||/

)(

)(

RCωRLω

CωLωR

R

RU

ZU

ωI

ωI

20

0

20

00

0 )(1

1

)1

(1

1

ω

ωQ

ω

ωQ

ω

ω

RCωω

ω

R

Lω

220 )1

(1

1)(

ηηQ

I

ηI

220 )1

(1

1)(

ηηQ

I

ηI

Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。

Q=10

Q=1

Q=0.5

1 21

0

)(

I

ηI

0.707

0

通用谐振曲线：

因此， Q 是反映谐振电路性质的一个重要指标。

'

Q=10Q=1

Q=0.5

1 21

0

)(

I

ηI

0.707

0

.

,

,707.02/1/

21

0

ηη

II

和标分别为对应横坐点与每一谐振曲线交于两

处作一水平线在

. , , 120

22

0

11 ωω

ω

ωη

ω

ωη

12 ωω 称为通频带 BW (Band Width)

可以证明：

.1

,1

12

0

1212 ωω

ω

ηηQ

Qηη

即

I/I0=0.707 以分贝 (dB) 表示：20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.

所以， 1 ， 2 称为 3 分贝频率。

Q=1

0 21

I

0.707I0

0

4. UL(ω ) 与 UC(ω ) 的频率特性

2222

22

)1(

)1()(

ηQη

QUCω

LωRCω

UCωIωUC

22

22

22

)11(1

)1(||)(

ηQ

η

QUCω

LωR

LUωZ

ULωLIωωU L

UL(w ) ：

当 ω =0 ， UL(ω)=0 ； 0<ω<ω0 ， UL(ω)增大；ω =ω0 ， UL(ω )= QU ； ω >ω 0 ，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大， UL 仍有增大的趋势，但在某个 ω 下 UL(ω) 达到最大值，然后减小。 ω ， XL

， UL()=U 。类似可讨论 UC(ω) 。

U

UC(Cm)

QU

Cm Lm 0

UL( )

UC( )

U( )

1

根据数学分析，当 = Cm 时， UC()获最大值；当 = Lm

时， UL()获最大值。且 UC( Cm)=UL( Lm) 。 )2/1 ( Q条件是

Q越高， wLm 和 wCm 越靠近 w0 。

w Lm•w Cm =w 0 。020m 2

11 ω

Qωωc

02

2

0m 12

2ω

Q

QωωL

QU

Q

QUωUωU LLcC

2

mm

4

11

)()(

上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路参数，则变化规律就不完全与上相似。

上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要进行具体分析，不能简单搬用。

由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。

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一、简单 G 、 C 、 L 并联电路

对偶： R L C 串联 G C L 并联

LCω 1

0

)1(jωC

ωLRZ )1(jωL

ωCGY

+

_S

I G C L

U

LCω 1

0

9. 8 并联电路的谐振

R L C 串联 G C L 并联|Z|

ww0O

R

0 O

I( )U/R

0 O

U( )IS/G

LU

CU

UUR

I

CI

LI

SG II

U

|Y|

ww0O

G

R L C 串联 G C L 并联

电压谐振 电流谐振

UL(w 0)=UC (w 0)=QU IL(w 0) =IC(w 0) =QIS

LC

GGLωGCω

Q 110

0 CL

RRCωRLω

Q 110

0

推导过程如下：由定义得

GCω0

2

2

21

π2GUT

CUQ

Cm

GCf0π2

二 、电感线圈与电容并联 上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现象也就较为复杂。

BG j

LωRCωY

j1j

))(

(j)( 2222 LωR

LωCωLωR

R

谐振时 B=0 ，即 0)( 2

02

00

LωR

LωCω

由电路参数决定。求得 20 )(1

LR

LCω

CL

R

此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。

在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，要由下列条件决定：

当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：

RCL

RLωR

RωZ

2

02

00

)()(

可以发生谐振时即当 , ,)(1

2

C

LR

L

R

LC

. , , 0是虚数因不会发生谐振时当 ωC

LR

CL

R

等效电路：

其中： C 不变。)) (

(j) ( 2222 LR

LCLR

RY

22 )( LR

RGe

。或 , CR

LR

L

CRG ee 谐振时：

L

LRL

LR

L

L ee

2

22

22

)(,

)(

1

Ge CLe

近似等效电路：

)1(

)1(

)1(

)(

)1(

)1)((

CLjR

LRjC

L

CLjR

CRjC

L

CLjR

CjLjRZ

CL

R

当线圈 Q 值很高时，即： 1R

L时，上式可近似为：

LjCjLRC

CjLjRC

LZ

11

1

LjCj

L

CR

ZY

11

Ge C L

近似等效电路：其中， L 、 C 不变， 。或 , CR

LR

L

CRG ee

LC

10 LC

10

返回

讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：

(a) (b)

L1

L3

C2 L1 C2

C3

上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0) ，又可以发生并联谐振 (Z=) 。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。

对 (a) 电路， L1 、 C2 并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率 w1 下发生并联谐振。 w >w1 时，并联部分呈容性，在某一角频率 w2 下可与 L3 发生串联谐振。

9. 9 串并联电路的谐振

对 (b) 电路可作类似定性分析。 L1 、 C2 并联，在低频时呈感性。在某一角频率 w1 下可与 C3 发生串联谐振。 w >

w1 时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率 w2 下发生并联谐振。定量分析：

(a)

1

)( j

1

j

j1

j

)j

1(j

j)(

212

312313

212

13

21

21

3

CLω

LLωCLLω

CLω

LωL

ωCωL

ωCωL

ωLωZ

当 Z(w )=0 ，即分子为零，有：

0)( 31223132 LLωCLLω

L1

L3

C2

可解得：)( 02 舍去ω

)( 231

312 串联谐振

CLL

LLω

当 Y(w )=0 ，即分母为零，有：0121

21 CLω

)( 1

21

1 并联谐振CL

ω

可见， w 1<w 2 。

L1

L3

C2

21 ωω

)1(

)(1j

1

j j

1

j1 j

j1 j

j1)(

212

3

3212

212

1

3

21

21

31

CLωωC

CCLω

CLω

ωLωC

ωCωL

ωCωL

ωCωZ

(b)

分别令分子、分母为零，可得：

串联谐振)(

1

321

1CCL

ω

并联谐振21

21CL

ω

L1 C2

C3

阻抗的频率特性：

1

X( )

O 2

Z ( )=jX( )

1

X( )

O 2

(a)

(b)

例：激励 u1(t) ，包含两个频率 w1 、 w2 分量 (w1<w2) ：

要求响应 u2(t) 只含有 w1 频率电压。

u1(t) =u11(w1)+u12(w2)

如何实现？

LC 串并联电路的应用：

可构成各种无源滤波电路 (passive filter) 。

+

_u1(t) u2(t)

可由下列滤波电路实现：

21

21CL

ω

)(1

321

1CCL

ω

并联谐振，开路

串联谐振，短路

w1 信号短路直接加到负载上。该电路 w2 >w1 ，滤去高频，得到低频。

C RC2

C3L1

+

_u1(t)

+

_u2(t)

返回

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5 WC WLWC＋ WL

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