第五章 同步电机数学模型

5.1 同步电机的基本结构和特点 5.2 同步电机的一般方程式 5.3 d.q坐标下的同步电机方程 5.4 转子磁场定向控制的同步电机数学模型 5.5 永磁同步电动机（PMSM）的模型 5.6 气隙磁场定向控制的同步电机数学模型

5.1 同步电机的基本结构和特点 同步电机由定子和转子组成。 定子结构和异步电机定子结构基本相同，由定子铁芯、三

相对称绕组、以及机座构成。 转子按其磁极形状可分为凸极式和隐极式两种。

基本结构和特点（ 2 ）

同步电机转子：磁极铁芯，磁极绕组等组成。 中大容量同步电机的励磁绕组由直流励磁绕组供

电，一般做成无刷励磁系统。 小容量同步电机转子常用永久磁铁励磁（永磁同

步机），其磁场可视为恒定。

基本结构和特点（ 3 ） 凸极式转子：有明显磁极、气隙不均匀，造成直轴

磁阻小，与之垂直的交轴磁阻大，两轴电感不等。 凸极转子的磁极极靴上一般装有阻尼绕组，其作用：

① 恒频下运行时，用于起动，和抑制重载时容易发生的振震；

② 变频运行时，抑制变频器引起的谐波和负序分量； ③ 减小同步电动机的暂态电流，加速动态响应。

基本结构和特点（ 4 ） 在调速系统中采用同步电机有以下特点： 1 ．同步电机的转速与电源的基本频率之间保持

着同步关系→ 转速精确控制。 2 ．同步电机比异步电机对负载（转矩）扰动具

有更强的承受能力，能作出较快反应。 3 ．同步电机转子有励磁，即使在极低的频率下

也能运行，调速范围宽。而异步电机：转子电流靠电磁感应产生，频率极低时，难以很好励磁。

4 ．同步电机的功率因数：调节转子励磁，调节电机电流功率因数。 φ=1→ 损耗小

φ 超前→负载换流

5.2 同步电机的一般方程式 先作如下假定 （ 1 ）电机铁芯的导磁系数为无穷大，不考虑磁滞、涡

流影响，并且磁路不饱和：忽略磁场中的非线性因素，从而可利用叠加原理来计算合成磁场。

（ 2 ）定子对称。 （ 3 ）定子所产生的磁场沿定子正弦分布，也就是略去

磁场中所有的空间谐波分量。 （ 4 ）阻尼绕组的阻尼条及转子导磁体对转子 d .q 轴对称。

电压方程式

定子电压方程 ：

ccc

bbb

aaa

Ripu

Ripu

Ripu

(5.1)

励磁电压方程 ： ffff iRpu (5.2)

直轴和交轴电压方程 ：

DqDqDq

DdDdDd

iRp0

iRp0

(5.3)

磁场方程式

Dq

Dd

f

c

b

a

DqDqcDqbDqa

DdDdfDdcDdbDda

fddffcfbfa

fDqfDdfccbcac

bDqbDdbfbcbab

aDqaDdafacaba

Dq

Dd

f

c

b

a

i

i

i

i

i

i

LOOMMM

OLMMMM

OMLMMM

MMMLMM

MMMMLM

MMMMML

(5.4)

同步机绕组布置图

磁场方程式分析

由于转子旋转和转子凸极性的关系，定子绕组和转子绕组间的互感，定子绕组各相之间，甚至定子绕组本身的自感均随转子的位置变化 .

只有转子绕组自感、磁绕组与直轴阻尼回路之间的互感是常数，与转子位置无关。

同步电机磁链方程是一个随转子位置变化的变系数方程，求解相当困难。

出路 : 坐标变换。

5 ． 3 d.q 坐标下的同步电机方程

由于电机定子内腔是对称的 , 对一个与转子一起转动的观察者来说 , 不论转子位置如何 , d 轴和 q 轴绕组的磁路始终保持不变。

因此在 d.q 坐标系中 , 在磁势一定的条件下 , 绕组的磁链就不再含有交变分量 , 也就是电机的基本方程式中将具有常系数，这就带来分析研究的巨大简化。

dq 坐标系下同步电机的磁链方程

采用 dq 旋转坐标系 , 经正交变换 , 同步电机的磁链方程为 :

DqDqq1mqDq

DdDdfmdd1mqDd

Ddmdffd1mdf

000

Dqmqq1qq1

Ddmdfmdd1dd1

iLiL

iLiLiL

iLiLiL

iL

iLiL

iLiLiL

(5.5)

dq 坐标系下同步电机的电压方程 同异步电机分析，可得到电压方程为 ：

000

q1d1q1q1

d1q1d1d1

RiPU

RiPPU

RiPPU(5.6)

励磁和直轴、交轴阻尼绕组的方程式 ：

DqDqDq

DdDdDd

ffff

iRP0

iRP0

iRPU

(5.7)

同步电机的等效模型

它相当于一台直轴和交轴上各有一对电刷的直流电机，但它的电枢绕组在定子上，在空间是静止的，而磁极和电刷是旋转的，电枢绕组通过换向器与电刷相连，其绕组的轴线决定于电刷的位置，它始终和转子的磁极轴线重合。

dq 坐标系下的数学模型

电机的力矩方程为：

Dq

Dd

f

q1

d1

DqDqmq

DdDdmdmd

mdffmd

mqmdmdqd

mpmdmddd

f

q1

d1

i

i

i

i

i

pLR00pL0

0pLRpL0pL

0pLpLR0pL

pLLLpLRL

LpLpLLpLR

0

0

U

U

U

(5.8)

)ii(nTe q1d1d1q1p (5.9)

5.4 转子磁场定向控制的同步电机数学模型

由（ 5.8 ）第 4 行得 :

0i)pLR(ipLipL DdDdDdfmdd1md

)ii(pLR

pLi fd1

DdDd

mdDd

(5.10)

数学模型 (2)

由 (5.8) 第五行得 :

q1DqDq

mdDq i

pLR

pLi

(5.11)

数学模型 (3)

将 (5.10) 、 (5.11)代入到 (5.5), 可得转子磁链方程 :

)ii(pLR

pLLiLiL fd1

DdDd

mdmdffd1mdf

fDdDd

2md

fd1DdDd

mdmdf i)

pLR

pLL(i)

pLR

pL1(L

(5.12)

数学模型 (4)

电机的力矩方程 :

q1ff

mdpe i

L

LnT (5.13)

同步电动机转子磁链定向控制时：① 转矩只和转子磁链及定子电流的 q 轴分量成正比。② 转子磁链只和转子励磁电流以及定子电流的 d 轴分量有

关与定子电流 q 轴分量无关。也就是转子磁链与力矩电流分量相互解耦 , 彼此独立。 同步机就和他励式直流电机具有相同的品质。

数学模型 (5)

由式 (5.12) 可以看到，转子磁链方程比较复杂。 为了简化控制系统，可把定子电流矢量始终控制

在 q 轴上，即定子电流无 d 轴分量。 转子磁链方程为：

fDdDd

mdff i

PLR

PLL )(

2

(5.14)

分析

这样一来 , 定子电流与转子励磁电流分别独立调节和控制 ,与真正直流电机极为相似。

这种控制方式对小容量同步电机比较适合，目前交流伺服系统，特别是采用永磁同步机的系统，主要采用转子磁场是向控制。

中大容量的同步电动机，一般不采用这种控制，而采用气隙磁场定向的控制方法。

为什么 ? 因为气隙磁链随负载变化较大，引起电压比的波动。

5.5 永磁同步电动机（ PMSM ）的模型 永磁同步机具有正弦形的反电动势，其定子电压、电流

也应为正弦波，转子无阻尼绕组。 在 d.q 坐标系下，永磁同步电动机定子磁链方程为：

qqq

fddd

iL

iL

(5.15)

PMSM 定子电压方程

PMSM 定子电压方程为 :

fdqqdq

qqdddd

LPiLRiU

iLPiLRiU(5.16)

PMSM 转矩方程为 :

]ii)LL(i[n)ii(nT qdqdfqpdqqdpe

(5.17)

PMSM 常用控制模型（ 1 ）

在 PMSM 中 , 由于转子磁链恒定不变 , 故通常采用转子磁场定向方式来控制。

在基速以下恒转矩运转中 , 把定子电流矢量固定在 q 轴上，即定子电流中无 d 轴分量，这时：

fqqqq

qqd

piLRiu

iLu(5.18)

电压方程：

转矩方程 : qfPe inT (5.19)

PMSM 常用控制模型（ 2 ） 这种方法和永磁直流电动机控制极为相似：永磁转子提供磁场 , 定子电流产生电磁力矩 , 电磁力矩与定子电流矢量成正比。

在基速以上 , PMSM 应运行在恒功率调速 , 如何实现？

定子弱磁方法 ：也就是令定子电流矢量超前 q 轴 , 产生一个与转子磁场相反的分量 , 起去磁作用。

由于定转子有效空隙大 , 也就是较小，这种“电枢反应弱磁方法”需要一个较大的定子电流直轴分量，不宜长时间运行。

5.6 气隙磁场定向控制的同步电机数学模型

气隙磁场的定义（ dq 坐标系下写成分量形式）：

气隙磁场定向：采用 MT 坐标系，气隙磁场定向在 M 轴上。

Dqmqq1mqq

Ddmdfmdd1mdd

iLiL

iLiLiL

(5.20)

MT 坐标系下的表示 (1)

M 轴与 d 轴夹角为 L:

q

d

LL

LL

T

M

cossin

sincos

q1

d1

LL

LL

T1

M1

i

i

cossin

sincos

i

i

Dq

Dd

LL

LL

DT

DM

i

i

cossin

sincos

i

i

MT 坐标系下的表示 (2)

于是：

qLLdM sincos

其中：

DTiLiLiLiLiL 2DM1fMmdT12M11M (5.21)

0iLiLiLiLiL DT1DM2fTmdT11M12T (5.22)

L2

mqL2

md1 sinLcosLL

LLmqmd2 cossin)LL(L (5.23)

MT 坐标系下的表示 (3)

进一步 , 重写式 (5.21) ：

fML1

2mdDMM11

221M i)tg

L

L1(L)ii)(L/LL(

(5.24)或

fL1

2LmdDMM11

221M i)sin

L

L(cosL)ii)(L/LL(

(5.25)

MT 坐标系下的表示 (4)

在 M.T 坐标系 中 , 同步电动机电压方程为 ：

11111 jpiRu (5.26)

由于 : 11 iL

)]jii(L[j

)]jii(L[p)jii(R

juuu

T1M1

T1M1T1M11

T1M11

(5.27)

MT 坐标系下的表示 (5)

分离实部与虚部，得：

M1T1T11T1

T1M1M11M1

iLiLiRu

piLiLiRu(5.28)

电磁转矩方程为：

T1pe inT (5.29)

若保持气隙磁场恒定， 0P

结论 气隙磁场定向控制，要保证气隙磁场为恒值，由于

不仅是定子电流 M 轴分量的函数，而且还是负载角 L

的数函数，这为系统的解耦控制带来困难，系统复杂。

气隙磁场定向控制可有效抵消电枢反应的影响。定子压降若不考虑定子阻抗压降影响，基本与空载感应电动势相同。这对大容量电机，该方法可提高同步电机利用率，减小电控制装置及变压器的容量。

3 ．由于磁链关系式的复杂性，这种定向方式属静态解耦控制。负载变化时， L 变化。