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主題 : 質數與其應用 解題技巧

如何判斷質數 建造質數表 類題討論 ( 含因數分解 )

例題講解 : A.10622 歷年題目

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質數的定義 一個大於等於 2 的數，除了 1 及本身，沒有其他因數，就是質數

1 是不是質數依題目規定 ( 正確而言，不是 )

今天討論假設 : 無需處理「大數」

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如何判斷質數 只要 2 到 n - 1 間的整數都不是 n 的因數，則 n 是質數

is_prime1(int n) {for(i = 2 ; i < n ; i++)

if((n % i) == 0)return

false;return true;

} 最慢，省記憶體

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只要 2 到 sqrt(n) 間的整數都不是 n 的因數，則 n 是質數is_prime2(int n) {

int m= (int)sqrt(n);for(i = 2 ; i <= m ; i++)

if((n % i) == 0)return fa

lse;return true;

} 次慢，省記憶體

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假設已建好一範圍在 2 到 n - 1 (n 3) 之間的質數表，存在陣列 prime 中 prime[i] 代表第 i+1 個質數

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只要比 sqrt(n) 小的所有質數都不是 n 的因數，則 n 是質數 (n 3)

is_prime3(int n) {int m = (int)sqrt(n);for(i = 0 ; prime[i] <= m ; i++)

if((n % prime[i]) == 0)return false;

return true;}

最快，浪費記憶體

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建造質數表 基本法 6N 1 法 Sieve 法（篩法） 假設我們要求出在 1 ~ range 的範圍內所有的質數

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基本法 利用判斷質數的方法造表

num_prime = 1;prime[0] = 2;for(i = 3 ; i <= range ; i++) {

if(is_prime3(i) == true) {prime[num_prime] = i;num_prime++;

}} // 最後 prime 中，依序儲存所有質數

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6N 1 法 只有 6N 1 的數字才需要測試，其他都是 2 or 3 的倍數

num_prime = 2;prime[0] = 2, prime[1] = 3;for(i = 5 ; i <= range ; i++) {

if(i%6 == 1 || i%6 == 5) {if(is_prime3(i) == true) {

prime[num_prime] = i;num_prime++;

}}

} // 最後 prime 中，依序儲存所有質數

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Sieve 法 ( 篩法 ) 不使用除法的建表法 對於每個質數來說，它的倍數一定不是質數，所以建立一個大小是 range 的陣列 is_prime ，每看到一個質數，就把它的所有倍數砍掉，剩下就是質數 優點：快速 缺點：範圍有限 (range 不可以太大 ) 類題

406, 686

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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

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memset(is_prime, 0, sizeof(is_prime));// 初始設定 is_prime 中所有 element 為 0for(i = 2; i <= range; i++) {

if(is_prime[i] == 0) {for(k = i*2 ; k <= range ; k = k+i) {

is_prime[k] = 1;}

}} // 最後 is_prime 中， index 存 0 是質數

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Problem: 因數分解 解法 : 先建質數表，從質數表的第一個質數往後看到超過 sqrt(num) 為止，只要除的盡就不斷的除以該質數

建立一個 list array (plist) 代表質因數列表 建立一個 counter array (ppow) 來代表每個質數的次數

類題 516、 583

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2 3 5

2 1 1 60

plist

ppow

60 = 2^2 3^1 5^1

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memset(ppow, 0, sizeof(ppow));num_pfac = 0; // 質因數的個數for(i = 2 ; i <= (int)sqrt(num) ; i++) {

if(is_prime[i] == 0 && num%i == 0) { // 使用篩法的質數表plist[num_pfac] = i; // 放入質因數列表while(num%i == 0) {

ppow[num_pfac]++; // 更新次數列表num = num/i;

}num_pfac++;

}}if(num_pfac == 0) { // 質數表中找不到因數 : 自己就是質數

plist[0] = num;ppow[0] = 1;num_pfac = 1;

}

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Problem: 求因數的個數 解法 : 先做因數分解，代入求因數個數的公式 類題

294mq

mqq pppn ...21

21

(q1+1) (q2+1) … (qm+1)

因數個數

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Problem: 約分 以 為例，直接將分母分子算出，再做除法，有可能 overflow 解法 : 將所有質數代入約分，再把分子乘出 類題

369 ， 530 ， 160

nmC

4201

74353

749512347891010

4

C

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Problem: Goldbach’s conjecture Goldbach 假說 : 所有的偶數都是兩個質數相加的和 類題

543 ， 686 ， 10168 ， 10311

Problem 10168: 給一個偶數 n ，找四個質數 p1， p2， p3，

p4，使得 n = p1 + p2 + p3 + p4

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Problem: 孫子點兵 有一數除以 3 餘 2 ，除以 5 餘 3 ，除以 7 餘 2 ，這個數字是多少 ? 類題

498

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x 2 (mod 3) x = 3 q1 + 2

x 3 (mod 5) x = 3 (5 q2 + r2) + 2 r2 = 2， x = 15 q2 + 8

x 2 (mod 7) x = 15 (7 q3 + r3) + 8 r3 = 1， x = 105 q3 + 23

// m[] 是除數， z[] 是餘數， num_inp 是組數r = z[0];q = m[0];for(i = 1 ; i < num_inp ; i++) {

for(j = 0 ; j < m[i] ; j++)if (((j*q+r) % m[i]) == z[i])

break;r = r + j*q;q = q*m[i];

}

test from 0 to 4

test from 0 to 6

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進階中國餘式定理 x = (mod M)

M = m[0] m[1] … m[num_inp - 1] M[i] = M / m[i] M’[i] M[i] 1 (mod m[i])

1_

0]['][][

inpnum

iiMiMiz

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例題講解 : A.10622(http://acm.uva.es/p/v106/10622/html)

給一個 int 允許的數字 x ，且該數字絕對值大於等於 2 找 p ， p 必須是所有可能的 x = b^p 中，最大的一個， b ， p 為整數

64 = 8^2 = 4^3 = 2^6 ans: 6

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171073741824 250

Sample input

Sample output1302

Sample input/output

// input 結束

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資料結構 #define range 66000 // 比 65536 大即可 int num

輸入的數字 int is_prime [range]

篩法建立的質數表 int num_pfact

num 的質因數個數 int ppow[range]

num 因數分解後，每個質因數的次方數

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解法 建質數表 質因數分解 決定最大次方數 考慮 num 是負數的狀況

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Program structureconstruct_is_prime(); // 建質數表while(1) {

scanf(“%d”, &num);if(num == 0) break; // input 結束flag = 0; // 假設 num 為正if(num < 0) flag = 1; // num 為負，改變 flagfactorial(num); // 因數分解，只需記次方數find_max_power();if(flag == 1)

num_is_minus();output();

} // end of while

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決定最大次方數 如何決定最大次方數 ?

n = 129600 = 26 34 52 = (23 32 5)2

n 的次方數必是質因數次方數的公因數 最大次方數為所有的質因數次方數求最大公因數

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求公因數 a, b 兩數求公因數

輾轉相除法int gcd(int a, int b) {

int c;if(a < b) swap(a, b); // 讓 a > bif(a%b != 0)

return gcd(b, a%b);else

return b;}

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若 num 是負的 只有奇數次方才有可能為負數

將之前求得的次方數不斷除以二，直到成為奇數為止

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歷年題目 練習題

A.10168 Summation of Four Primes http://acm.uva.es/p/v101/10168.html

A.10622 Perfect Pth Powers http://acm.uva.es/p/v106/10622.html

A.10140 Prime Distance http://acm.uva.es/p/v101/10140.html

挑戰題 A.10311 Goldbach and Euler

http://acm.uva.es/p/v103/10311.html

其他歷年題目 無