บทที่ 2 เมทริกซ์

เมทริ�กซ์� หน้�า 1

บทท�� 2เมทริกซ์�(Matrix)

1. สั�ญลั�กษณ์�ของเมทริกซ์�สำ�าหริ�บข้�อม�ลท��เก��ยวข้�องก�บจำ�าน้วน้ ถ้�าจำ�ดจำ�าน้วน้ท��ปริากฏให�

เริ�ยงก�น้เป!น้แถ้ว ๆ ละเท%า ๆ ก�น้ จำะสำะดวกใน้การิศึ'กษาข้�อม�ลน้�)น้ ๆ ตั�วอย%าง เมทริ�กซ์� ริาคาอาหาริข้องริ�าน้ค�าแห%งหน้'�ง ม�ด�งน้�)

ก,วยเตั�-ยว ธริริมดา 15 บาท พิ�เศึษ 20

บาทข้�าวริาดแกง ธริริมดา 20 บาท พิ�เศึษ

25 บาทเกาเหลา ธริริมดา 25 บาท พิ�เศึษ

30 บาทถ้�าน้�าตั�วเลข้ซ์'�งเริ�ยงอย%างเป!น้ริะเบ�ยบเป!น้แถ้ว เป!น้หล�ก เข้�ยน้ไว�

ภายใน้วงเล2บ ( ) หริ3อ [ ] จำะได�ชุ5ดข้องตั�วเลข้ด�งน้�)

[15 2020 2525 30 ]

หริ3อ (15 2020 2525 30 )

จำะเริ�ยกชุ5ดตั�วเลข้ข้�างตั�น้ว%า เมทริกซ์� “ ” และเริ�ยกจำ�าน้วน้แตั%ละจำ�าน้วน้ว%า สัมาชิกของเมทริกซ์� “ ”

สำมาชุ�กข้องเมทริ�กซ์�ท��เริ�ยงอย�%ใน้แน้วน้อน้ เริ�ยกว%า สัมาชิกท��อยู่��ในแถว ( Row) ของเมทริกซ์�และ สำมาชุ�กข้องเมทริ�กซ์�ท��เริ�ยงอย�%ใน้แน้วด��ง เริ�ยกว%า สัมาชิกท��อยู่��ในหลั�ก (Coloum) ของเมทริกซ์�

ตั�วอย%างเชุ%น้

[15 136 10 ] เป!น้เมทริ�กซ์�ท��ม� 2 แถ้ว 2 หล�ก


[ 2 4 6 ] เป!น้เมทริ�กซ์�ท��ม� 1 แถ้ว 3 หล�ก

[654 ]เป!น้เมทริ�กซ์�ท��ม� 3 แถ้ว 1 หล�ก

[1 2 34 3 25 3 0 ]

เป!น้เมทริ�กซ์�ท��ม� 3 แถ้ว 3 หล�ก


บทนยู่าม ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ท��ม� m แถ้วและม� n หล�ก จำะเริ�ยก A ว%า ม�ม�ตั� m n (อ%าน้ว%า เอ2ม ค�ณ เอ2น้)


[2 3 16 5 4 ] ม�ม�ตั� 2 3 เริ�ยกว%า 2 3 เมทริ�กซ์�

[ 10 20 ] ม�ม�ตั� 1 2 เริ�ยกว%า 1 2 เมทริ�กซ์�

[715 ]ม�ม�ตั� 2 3 เริ�ยกว%า 2 3 เมทริ�กซ์�

โดยท��วไปเริาใชุ�อ�กษริภาษาอ�งกฤษตั�วพิ�มพิ�ใหญ่% เชุ%น้ A , B , C ,

… , Z แทน้ชุ3�อเมทริ�กซ์� และใชุ�อ�กษริภาษาอ�งกฤษตั�วพิ�มพิ�เล2ก เชุ%น้ a , b , c , … , z แทน้สำมาชุ�กข้องเมทริ�กซ์� โดยใชุ�ดริริชุน้�ล%าง (Subscript) ij ท��ม5มล%างข้วาม3อไว�ด�วย เชุ%น้ aij แทน้ สำมาชุ�กท��อย�%ตั�าแหน้%งแถ้วท�� i หล�กท�� j

A = [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34]

หริ3อเข้�ยน้ได�อ�กริ�ปหน้'�งค3อ A=[ a ij]3×4

แถ้วท��1

แถ้วท�� 2

แถ้วท�� 3หล�กท��1 หล�กท�� 2 หล�กท��


2. ทริานสัโพสัเมทริกซ์�(Transpose of matrix)บทน้�ยาม ถ้�า A เป!น้ m n เมทริ�กซ์� แล�ว ทริาน้สำโพิสำข้อง

เข้�ยน้แทน้ด�วย At ค3อ n m เมทริ�กซ์�ท��สำริ�างข้')น้โดยสำล�บก�น้ริะหว%างแถ้วก�บหล�กข้องเมทริ�กซ์�A น้��น้เอง


A =[1 23 45 6 ]

At = [1 3 52 4 6 ]

B =[−1 0

0 1 ]Bt =

[−1 00 1 ]

C =[ 1 4 −2 ] Ct = [ 1

4−2]

3. เมทริกซ์�บางชินดท��ควริริ�%จั�ก1) เมทริกซ์�จั�ตุ(ริ�สั (Square matrix )หมายถ้'ง เม

ทริ�กซ์�ท��ม�จำ�าน้วน้แถ้ว เท%าก�บจำ�าน้วน้หล�ก เข้�ยน้แทน้ด�วยสำ�ญ่ล�กษณ� A=[ a ij]n×n เม3�อ n เป!น้จำ�าน้วน้เตั2มบวกเชุ%น้ A=[ a ij]3×3

A = [a11 a12 a13 ⋯ a1n

a21 a22 a23 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 an3 ⋯ ann

]


เสำ�น้ทแยงม5มหล�ก

เสำ�น้ทแยงม5มหล�ก จำะผ่%าน้สำมาชุ�ก a11 , a22 ,

a33 , . . . ann

ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำ ม�ตั� n n

[ 5 ][−1 0

0 1 ] [1 2 34 3 25 3 0 ]

2) เมทริกซ์�ศู�นยู่� (Zero matrix) หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�ท��ม�

สำมาชุ�กท5กตั�วเป!น้ศึ�น้ย� เข้�ยน้แทน้ด�วย 0 หริ3อ 0m n

ตั�วอย%างเมทริ�กซ์�ศึ�น้ย�

[ 0 ] [ 0 0 0 ] [0 00 0 ]

[0 0 00 0 0 ]

3) เมทริกซ์�แถว (Row Matrix)หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�ท��ม� 1 แถ้ว เท%าน้�)น้ แตั%จำะม�ก��หล�กก2ได�

ตั�วอย%าง เมตัริ�กซ์แถ้ว[ 10 ] [ 2 3] [ 1 0

-1 ]

4) เมทริกซ์�หลั�ก (Coloum Matrix)หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�ท��ม� 1

หล�ก เท%าน้�)น้ แตั%จำะม�ก��แถ้วก2ได�ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�หล�ก

[ 100 ][25 ] [482 ]


5) เมทริกซ์�สัามเหลั��ยู่มบน (Upper triangular

matrix)หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำท��ม�สำมาชุ�กท5กตั�วท��อย�%ใตั�เสำ�น้ทแยงม5มหล�กเป!น้ 0ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�สำามเหล��ยมบน้

[3 −60 10 ] [2 2 3

0 3 00 0 5 ] [−1 2 0 3

0 4 10 50 0 5 30 0 0 2

] 6) เมทริกซ์�สัามเหลั��ยู่มลั�าง (Lover triangular

matrix)หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำท��ม�สำมาชุ�กท5กตั�วท��อย�%เหน้3อเสำ�น้ทแยงม5มหล�กเป!น้ 0ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�สำามเหล��ยมล%าง

[3 04 10 ] [2 0 0

2 6 04 2 5 ] [−1 0 0 0

0 4 0 05 -2 5 02 7 1 2

]7) เมทริกซ์�สัามเหลั��ยู่ม (Triangular matrix)หมาย

ถ้'ง เมทริ�กซ์�สำามเหล��ยมบน้ หริ3อ เมทริ�กซ์�สำามเหล��ยมล%าง อย%างใดอย%างหน้'�งหริ3อท�)งสำองอย%าง

[2 2 30 3 00 0 5 ] [2 0 0

2 6 04 2 5 ] [2 0 0

0 6 00 0 5 ]

8) เมทริกซ์�เฉี�ยู่ง (Diagonal matrix) หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำ ท��ม�สำมาชุ�กใน้แถ้วทแยงม5มหล�กไม%เป!น้ศึ�น้ย�ท�)งหมด และสำมาชุ�กท��เหล3อเป!น้ศึ�น้ย�ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�เฉี�ยง


[3 00 −10 ] [2 0 0

0 6 00 0 4 ]

9) เมทริกซ์�สัเกลัาริ�(Scalar matrix)หมายถ้'งเมทริ�กซ์�เฉี�ยงท��ม�สำมาชุ�กท5กตั�วบน้แถ้วทแยงม5มหล�ก ม�ค%าเท%าก�น้ ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�สำเกลาริ�

[2 00 2 ] [0 0

0 0 ] [3 0 00 3 00 0 3 ]

10) เมทริกซ์�เอกลั�กษณ์� (Identity matrix)หมายถ้'งเมทริ�กซ์�สำเกลาริ�ท��ม�สำมาชุ�กท5กตั�วบน้เสำ�น้ทแยงม5มหล�กม�ค%าเป!น้ 1

น้�ยมใชุ�สำ�ญ่ล�กษณ� I n n เม3�อ n เป!น้จำ�าน้วน้เตั2มบวกตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�เอกล�กษณ�

I 1 1 = [ 1 ] , I 2 2 = [ 1 00 1 ]

, I 3 3 =

[1 0 00 1 00 0 1 ]

11) เมทริกซ์�สัมมาตุริ (Symmetric

matrix)หมายถ้'ง เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำท��เม3�อเปล��ยน้จำาก แถ้วเป!น้หล�กแล�วย�งคงเป!น้เมทริ�กซ์�เด�ม ตุ�วอยู่�าง เมทริ�กซ์�สำมมาตัริ

A = [2 11 3 ]

และ At = [2 11 3 ]

จำะได� A = At


B = [1 2 32 4 53 5 1 ]

และ Bt = [1 2 32 4 53 5 1 ]

จำะได� B = B t

เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 11. จำงเตั�มชุ%องว%างให�สำมบ�ริณ�

เมทริกซ์� มตุ ชินดของเมทริกซ์�

1. [ 12 ]

2. [−3

57 ]

3. [5 -23 -1 ]

4. [ 2 0 00 2 00 0 2

]5. [ 0 0 0 0 ]

6. [1 2 30 4 50 0 6 ]


7. [1 0 00 4 00 0 6 ]

8. [1 00 1 ]

2. ก�าหน้ดให�

A=[2 13 24 5 ]

จำงหา1) ม�ตั�ข้อง A ค3อ

..................................................................2) เมทริ�กซ์�A ม� ................................. แถ้ว และม�

................................. หล�ก3) เมทริ�กซ์�A ม�สำมาชุ�ก

.................................................... จำ�าน้วน้4) a21 = ........................ , a32

= ........................ , a23= ........................ และ 2a22 + a31 - 3a12

= .......................................................................

3. จำงเข้�ยน้เมทริ�กซ์� A=[ a ij] ม�ตั� 3 3 โดยท��

a ij={120เม3�อ i =

j

เม3�อ i <


4. จำงเข้�ยน้ทริาน้สำโพิสำข้องเมทริ�กซ์�ท��ก�าหน้ดให�ตั%อไปน้�)

1) [−2 6 8 ] 2) [2 4 −50 1 −2 ]

3) [1 88 2 ]

4) [ 1 -2 0-7 4 30 1 6 ]


4. การิเท�าก�นของเมทริกซ์�บทนยู่าม เมทริ�กซ์� A เท%าก�บเมทริ�กซ์� B ก2ตั%อเม3�อ เมทริ�กซ์�ท�)งสำองม�ม�ตั�เท%าก�น้ และสำมาชุ�กใน้ตั�าแหน้%ง

เด�ยวก�น้ม�ค%าเท%าก�น้ หริ3อ a ij=b ij สำ�าหริ�บท5กค%าข้อง i และ j

ตั�วอย%างเชุ%น้ [5 23 4 ]=[√25 2

2+1 22 ][1 2 34 5 67 8 9 ]≠[1 2 3

4 5 67 8 12 ]

5. การิบวกแลัะลับเมทริกซ์� การิบวกเมทริกซ์�

บทนยู่ามก�าหน้ด A = [ aij] m x n และ B = [ bij]m x n

จำะได� A + B = [ aij+ bij ] m x n


[1 32 5 ]+[ 3 −1

−2 4 ]=[ 1+3 3+(−1)2+(−2) 5+4 ]=[4 2

0 9 ]ข้�อสำ�งเกตัเมทริ�กซ์�จำะบวกก�น้ได�ก2ตั%อเม3�อ 1. เมทริ�กซ์�น้�)น้จำะม�

ม�ตั�เท%าก�น้2. น้�าสำมาชุ�กใน้ตั�าแหน้%งเด�ยวก�น้

มาบวกก�น้3. เมทริ�กซ์�ผ่ลล�พิธ�จำะม�ม�ตั�เท%า

เด�ม การิลับเมทริกซ์�

บทนยู่ามก�าหน้ด A = [ aij] m x n และ B = [ bij]m x n


จำะได� A - B = [ aij-bij ] m x n


[1 32 5 ]−[ 3 −1

−2 4 ]=[ 1−3 3−(−1)2−(−2) 5−4 ]=[−2 4

4 1 ]ข้�อสำ�งเกตัเมทริ�กซ์�จำะลบก�น้ได�ก2ตั%อเม3�อ 1. เมทริ�กซ์�น้�)น้จำะม�

ม�ตั�เท%าก�น้2. น้�าสำมาชุ�กใน้ตั�าแหน้%งเด�ยวก�น้

มาลบก�น้3. เมทริ�กซ์�ผ่ลล�พิธ�จำะม�ม�ตั�เท%า

เด�ม


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 21. จำากตัาริาง จำงพิ�จำาริณาว%าเมทริ�กซ์�ท��ก�าหน้ดให�เท%าก�น้หริ3อไม% ถ้�าไม%เท%าก�น้ให�บอกเหตั5ผ่ลด�วย

เมทริกซ์�A เมทริกซ์�B เท�าก�น ไม�เท�าก�น

[ 1 √45−2 4 ] [ 1 2

√9 2×2 ][ 2 −5 4 ] [ (√2 )2 10−15 4 ]

[ 0 ¿ ] [0 ¿ ]¿¿

¿¿ [ 0 0 0 ]

[125134 ] [135

124 ]

[ 23√8

3√−27 |4| ] [ 23√8

√9 |−4|][0 00 0 ] [00 ]

[ 1 −2 4 ] [ 1 2 4 ]

[1 32 4 ] [12 3

400 ]


[1 2 12 5 23 1 3 ] [1 2 1

2 5 23 1 3 ]


2. จำงหาค%าตั�วแปริ x , y และ z จำากสำมการิเมทริ�กซ์�ตั%อไปน้�)

1) [1 3x 4 ]=[1 y

2 4 ]2)

[2 x3 y ]=[2 1

3 4 ]x = ………………………. x =

……………………….y = ………………………. y =

……………………….

3) [ 3 5x+1 -3 ]=[3 2y-1

2 z ]4)

[y-3 8x+5 4 ]=[3 2z

5 4 ]x = ………………………. x =

……………………….y = ………………………. y =

……………………….z = ………………………. z =

……………………….

5) [ x−25

34

y6 ]=[15 3

4−2z ]

6) [ x− y 2

4 −3 ]=[1 24 x+ y ]

x = ………………………. x = ……………………….

y = ………………………. y = ……………………….

z = ……………………….

7) [ x+13

3y2

4z ]=[2x+3

334

45 ]

8)

[ 3 −1 yx+1 0 22x −4 1 ]=[3 −1 x

4 0 y−16 −4 1 ]


x = ………………………. x = ……………………….

y = ………………………. y = ……………………….

z = ……………………….

9) [a bc d ]=[3 −2

x 4 ]และ c = a – 2b + d

x = ……………………….


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 3การิบวกลับเมทริกซ์�

1. จำงพิ�จำาริณาว%าเมทริ�กซ์�

ผลับวกของเมทริกซ์� หาได%หาไม�

ได%ผลัลั�พธ์�


ผลับวกของเมทริกซ์� หาได%หาไม�

ได%ผลัลั�พธ์�

2. ก�าหน้ดให� A = , B = และ C =

จำงหา1) A + B 2) B + A

3) B + C 4) C + B


5) (A + B) + C 6) A + (B + C)


7) A + B - C 8) C – A - B

9) (A + B)t 10) At + Bt

11) (A – B – C)t 12) At – Bt – Ct

13) (A – B)t 14) At - Bt

15) ((A – B)t)t


6. การิค�ณ์เมทริกซ์�6.1 การิค�ณ์เมทริกซ์�ด%วยู่จั1านวนจัริง

บทน้�ยาม ถ้�า A=[a ij ]m×n และ c เป!น้จำ�าน้วน้จำริ�ง แล�ว cA=[caij ]m×n

ตุ�วอยู่�าง ก�าหน้ดให� A = [1 2 -1

4 1 30 5 1 ]

และ B =

[ 1 3 2-2 0 51 -4 -1 ]

จำงหา

1) 2A = 2[1 2 -1

4 1 30 5 1 ]

= [2 4 -2

8 1 6

0 10 2 ]2) -5A = -5

[1 2 -1

4 1 30 5 1 ]

=

[ -5 -10 5

-20 -5 -150 -25 -5

]3) A + 2B =

[1 2 -1

4 1 30 5 1 ]

+ 2[ 1 3 2-2 0 51 -4 -1 ]


= [1 2 -1

4 1 30 5 1 ]

+ [ 2 6 6-4 0 102 -8 -2 ]

= [4 8 5

0 1 132 10 -1 ]

4) 2A – 3B = 2[1 2 -14 1 30 5 1 ]

- 3[ 1 3 2-2 0 51 -4 -1 ]

= [2 4 -28 2 60 10 2 ]

+ [-3 -9 -66 0 -153 12 3 ]

= [ -1 -5 -814 2 -93 22 5 ]

สัมบ�ตุการิค�ณ์เมทริกซ์�ด%วยู่จั1านวนจัริง1. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆ แล�ว 1A = A

2. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆ แล�ว (-1)A = - A

3. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆ และ c, d เป!น้จำ�าน้วน้จำริ�ง แล�ว (c + d )A = cA + dA

4. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆ และ c, d เป!น้จำ�าน้วน้จำริ�ง แล�ว (c d )A = c ( dA )

5. ถ้�า A และ Bเมทริ�กซ์�ท��ม�ม�ตั�เท%าก�น้ และ c เป!น้จำ�าน้วน้จำริ�งแล�ว c(A + B ) = cA + cB

6. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆ และ n เป!น้จำ�าน้วน้เตั2มบวก แล�ว cA = A + A + A + … + A


7. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆ แล�ว 0 A = 0

8. ถ้�า เป!น้จำ�าน้วน้จำริ�งใด ๆ c 0 = 0


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 4การิค�ณ์เมทริกซ์�ด%วยู่จั1านวนจัริง

1. ก�าหน้ดให� A=[1 4

3 5 ],B=[0 12 3 ] และ

C=[−2 −10 5 ] จำงหา

1) (2A – B) + C =

2)(A – 2B) + 3C =

3)5A – 3(B – C) =

4)2[A + (2B – C)] =

5)A + 2B – 3C =

6)

12A−

23B =


7)

12

(B+C )−14A =

8) 3A – 2(B + 2C) =

9)3[5(A – B) + 2C] =

10) At – 3(B + C)t =

2. จำงหาเมทริ�กซ์�X ท��ท�าให� [1 43 5 ]

t

−X=[1 −24 2 ]

t

−[ 1 0−2 5 ]

3. จำงหาเมทริ�กซ์�X ท��ท�าให�

¿¿


6.2 การิค�ณ์เมทริกซ์�ด%วยู่เมทริกซ์�

บทนยู่าม ก�าหน้ดให� A = [ ai j] m x n และ B = [ bi j]n x

p

ผ่ลค�ณข้อง AB จำะเป!น้เมทริ�กซ์�ท��ม�ม�ตั� m p โดยท�� AB

= C = [ cij ] และci j= a i 1 b 1 j + a i 2 b 2j + . . . + a i n bn j

จำากน้�ยาม AB = [a11 a12 .. . a1n

a21 a22 .. . a2n

am1 am2 .. . amn][b11 b12 .. . b1p

b21 b22 .. . b2p

bn1 bn2 .. . bnp]

= [c11 c12 .. . c1p

c21 c22 .. . c2p

cm1 cm2 .. . cmp]

น้��น้ค3อ ci j = ( สำมาชุ�กแถ้วท�� i ข้อง A ) ค�ณก�บ ( สำมาชุ�กหล�กท�� j ข้อง B )

ตุ�วอยู่�าง AB = [1 2 3 ][456 ]

= [(1×4 )+(2×2)+(3×1)] = [ 32 ]

เน้3�องจำาก A ม�ม�ตั� 1 3 และ B ม�ม�ตั� 3 1 ด�งน้�)น้ AB

จำ'งม�ม�ตั� 1 1


AB =[1 2 34 5 6 ][321]

= [(1×3)+(2×2)+(3×1)(4×3)+(5×2)+(6×1)] =

[1028 ]

เน้3�องจำาก A ม�ม�ตั� 2 3 และ B ม�ม�ตั� 3 1 ด�งน้�)น้ AB

จำ'งม�ม�ตั� 2 1


AB = [1 3 52 4 6 ][1 2

0 11 0 ]

= [(1)(1)+(3 )(0)+(5)(1) (1)(2)+(3 )(1)+(5 )(0)

(2)(1)+(4)(0 )+(6 )(1) (2)(2)+(4)(1)+(6)(0) ]=

[6 58 8 ]

เน้3�องจำาก A ม�ม�ตั� 2 3 และ B ม�ม�ตั� 3 2 ด�งน้�)น้ AB จำ'งม�ม�ตั� 22

AB = [1 20 11 0 ]

[1 3 52 4 6 ]

=

[(1)(1)+(2)(2) (1)(3 )+(2)(4 ) (1)(5)+(2)(6)

(0)(1)+(1)(2) (0)(3)+(1)(4 ) (1)(5)+(2)(6)

(1)(1)+(2)(2) (1)(3)+(0)(4) (1)(5)+(0)(6)]

= [5 11 172 4 175 3 5 ]

เน้3�องจำาก A ม�ม�ตั� 3 2 และ B ม�ม�ตั� 2 3

ด�งน้�)น้ AB จำ'งม�ม�ตั� 3 3


AB = [1 23 4 ][-13 ]

= [59 ]

BA = [-13 ][1 2

3 4 ] ไม%สำามาริถ้หาได�

เน้3�องจำาก B ม�ม�ตั� 2 1 และ A ม�ม�ตั� 2 2

หล�กข้องเมทริ�กซ์�ตั�วตั�)งและแถ้วข้องเมทริ�กซ์�ตั�วค�ณไม%เท%าก�น้ จำ'งไม%สำามาริถ้หา BA ได�

สัมบ�ตุเก��ยู่วก�บการิค�ณ์เมทริกซ์�ด%วยู่เมทริกซ์� เม3�อ A , B , C และ I เป!น้เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำ ม�ตั� 2 2 และ S เป!น้เมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำ ม�ตั� 2 2

1. สำมบ�ตั�ป<ดการิค�ณ ถ้�า A และ B เป!น้เมทริ�กซ์�ใด ๆใน้ S แล�ว AB S เสำมอ

2. สำมบ�ตั�การิเปล��ยน้กล5%มการิค�ณ( AB ) C = A ( BC )

3. สำมบ�ตั�การิม�เอกล�กล�กษณ�การิค�ณA I = I A = A เริ�ยก I เป!น้เมทริ�กซ์�เอกล�กษณ�

4. สำมบ�ตั�การิม�อ�น้เวอริ�สำการิค�ณA( A-1 ) = ( A-1) A = I เริ�ยก A-1 เป!น้อ�น้เวอริ�สำการิค�ณข้องเมทริ�กซ์�A


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 5การิค�ณ์เมทริกซ์�ด%วยู่เมทริกซ์�

1. จำงหาผ่ลค�ณข้องเมทริ�กซ์�ท��ก�าหน้ดให�เมทริกซ์�A เมทริกซ์�B มตุของ

Aมตุของ

B

AB มตุของ AB

[8 ] [12 ]

[1 2 ] ¿¿¿¿ ¿¿

[−¿4 ¿3 −¿2 ¿1 ] [ 40

−¿1 ¿3]

¿¿ ¿¿[2 3 41 0 ¿

0 ¿] ¿¿

¿¿ [1 23 4 ]


¿¿ ¿¿2. ก�าหน้ดให� A =

[1 20 3 ]

, B = [−¿1¿2¿

0¿ ] , C = [1 03 2 ]และ I

= [1 00 1 ]จำงหา

1) AB 2) BA

3) (AB)C 4) A(BC)

5) AI 6) IA

7) BI 8) IB

9) A(B+C) 10) AB + AC


11) (B+C)A 12) BA+CA

13) I2 14) A2

15) AO 16) OA

17) (AB)t 18) BtAt

19) AAt 20) (AAt)t


3. ก�าหน้ดให� A = [1 −10 2 ]และ B =

[1 01 2 ]จำงหา

1)(A+B)(A-B)

2)A2+2AB+B2

3)A2 - B2

4. ก�าหน้ดให� A = [a b4 2 ]ถ้�า A2 - 2A – I = 0 จำงหาค%า a และ

b


7. ด�เทอริ�มน�นตุ� (Determinant )

จำากน้�ยาม 1) ด�เทอริ�มน�นตุ�ของ 1 1 เมทริกซ์�ถ้�า A = [ a11 ] แล�ว det (A) = a11

ตั�วอย%างเชุ%น้ A = [ -52 ] จำะได� det (A) = -52

2) ด�เทอริ�มน�นตุ�ของ 22 เมทริกซ์�

ถ้�า A = [a bc d ]แล�ว det (A) = ad - bc

ตั�วอย%างเชุ%น้ A = [7 −15 0 ]จำะได� det (A) = (7)(0) –

(5)(-1) = 0 + 5= 5

B =[ 2 -2-5 5 ]จำะได� det (A) = (2)(5) – (-5)(-

2) = 10 - 10=0

C =[ 4 -9-5 6 ]จำะได� det (A) = (4)(6) – (-5)(-9)

= 24 - 45=- 21

3) ด�เทอริ�มน�นตุ�ของ 33 เมทริกซ์�

บทนยู่าม ถ้�า A = [a11 a12

a21 a22]และ a11 , a12 , a21 , a22

เป!น้จำ�าน้วน้จำริ�ง แล�ว ด�เทอริ�ม�น้�น้ตั�ข้อง A ค3อ a11 a22 - a21 a12 และสำามาริถ้เข้�ยน้แทน้ได�ด�วย


ถ้�า A =[a b cd e fg h i ]แล�ว det (A) = (aei + bfg +

cdh ) - (ceg + hfa + idb)


ตุ�วอยู่�างท�� 1 จำงหาค%า ด�เทอริ�ม�น้�น้ตั�ข้องเมทริ�กซ์�ท��ก�าหน้ดให�แตั%ละข้�อ

1) A =[ 3 1 -2

4 2 5-6 3 1 ]

จำะได� det (A) = (3)(2)(1) + (1)(5)(-6) + (-2)(3)(4) – (-6)(2)(-2) – (3)(5(3) – (1)(4)(1)

= 6 – 30 – 24 – 24 – 45 – 4 = - 121

2)A =[2 7 -31 0 44 -1 -2 ]

จำะได� det (A) =

|2 7 −31 0 44 −1 −2

|2 71 04 −1

= ( 0 + 112 + 3) - ( 0 – 8 -14 ) = 115 - (-22 ) = 137

ตุ�วอยู่�างท�� 2 จำงหาค%า x จำาก | x x+3-5 4

|+|2 4x+13 x

|=25

ว�ธ�ท�า | x x+3-5 4

|+|2 4x+13 x

| = 25

4x -(-5)(x + 3) + 2x - 3(4x + 1) = 25

31120

-140 -8


4x + 5x + 15 + 2x – 12x – 3 = 25 - x + 12 = 25

x = 12 - 25 = 13

เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 6ด�เทอริ�มน�นตุ�

1. จำงหาค%าด�เทอริ�ม�น้�น้ตั�ข้องเมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำท��ก�าหน้ดให�ใน้แตั%ละข้�อตั%อไปน้�)

1) A =[ 5 ] 2) B = [−7 2−9 4 ]

3) A = [10 9

6 7 ]4) B =

[1 23 4 ]

5) A = [1 00 1 ]

6) B = [0 00 0 ]


2. จำงหาค%า x เม3�อก�าหน้ดให�


1) | x 2−3 4

|=252)

| x x+1x−1 2x

|=53. จำง

หาค%าด�เทอริ�ม�น้�น้ตั�ข้องเมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำท��ก�าหน้ดให�ใน้แตั%ละข้�อตั%อไปน้�)

1) A =[ 1 2 3

4 5 6−1 2 −3 ]

2) B =

[1 1 32 0 11 −2 0 ]

3) A =[2 3 −10 5 24 1 −3 ]

4) B = [ 1 5 3−2 4 10 6 −1 ]

5) A =[ 1 3 5−4 2 60 7 −1 ]

6) B =

[ 3 5 0−2 0 13 4 5 ]


4. จำงหาค%า x เม3�อก�าหน้ดให�

1)

|2 x 11 0 13 4 2

|=0

2)

|1 x x

−x −x −3−x −2 x

|=0


ด�เทอริ�มน�นตุ�ของ n n เมทริกซ์�เม2�อ n เป็4นจั1านวนเตุ5มท��มากกว�า 2

บทนยู่าม ก�าหน้ดให� A = [ aij ] n x n โดยท�� n เป!น้จำ�าน้วน้เตั2มท��มากกว%า 2

ไมเน้อริ�ข้อง aij ข้องเมทริ�กซ์�A ค3อ ด�เทอริ�ม�น้�น้ตั�ข้อง n n เมทริ�กซ์�ท��ได�จำาก การิตั�ดแถ้วท�� i และ หล�กท�� j ข้องเมทริ�กซ์�A ออก

ตุ�วอยู่�าง ก�าหน้ด A = [2 7 -31 0 44 -1 -2 ]

จำงหา M11(A) , M12(A) , M13(A) , M21(A) ,

M23 (A) , M32(A)

วธ์�ท1าM11(A) = |0 4-1 -2

| = (0)(-2)- (4)(-1)

= -2 + 4 = 2

M12(A) = |1 44 -2

| = (1)(-2)- (4)(4) =

-2 - 16 = -18

M13(A) = |1 04 -1

| = (1)(-1)- (4)(0) =

-1 - 0 = -1

M21(A) = |7 -3-1 -2

| = (7)(-2)- (-1)(-3)

= -14 -3 = -17


M23 (A) = |2 74 -1

| = (2)(-1)- (4)(7) =

-2 - 28 = - 30

M32 (A) = |2 -31 4

| = (2)(4)- (1)(-3)

= 8 + 3 = 11


บทนยู่าม ก�าหน้ดให� A = [ aij ] n x n โดยท�� n เป!น้จำ�าน้วน้เตั2มท��มากกว%า 2

โคแฟคเตัอริ�ข้อง aij ข้องเมทริ�กซ์�A ค3อ (-1)i+j ค�ณ ไมเน้อริ� ข้องเมทริ�กซ์�A ท��ได�จำาก

การิตั�ดแถ้วท�� i และ หล�กท�� j ข้องเมทริ�กซ์�A ออกไป

ตุ�วอยู่�าง ก�าหน้ด A = [2 7 -31 0 44 -1 -2 ]

จำงหา C11(A) , C 12(A) , C 13(A) , C 21(A) , C

23 (A) , C 32(A)

วธ์�ท1าC 11(A) = (-1)1+1 |0 4-1 -2

| = (0)(-2)- (4)(-1)

= -2 + 4 = 2

C 12(A) = (-1)1+2|1 44 -2

| = -((1)(-2)- (4)

(4)0 = -(-2 – 16) = 18

C 13(A) = (-1)1+3 |1 04 -1

| = (1)(-1)- (4)(0)

= -1 - 0 = -1

C 21(A) = (-1)2+1 |7 -3-1 -2

| = -((7)(-2)- (-1)(-

3) ) = -(-14 -3) = 17

C 23 (A) = (-1)2+3 |2 74 -1

| = -((2)(-1)- (4)

(7) ) = -(-2 – 28) = 30


C 32 (A) = (-1)3+2 |2 -31 4

| = -((2)(4)- (1)(-

3) ) = -(8 + 3) = -11


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 7ไมเนอริ�แลัะโคแฟคเตุอริ�

1. ก�าหน้ดให� A = [ 3 0−4 2 ]จำงหา

1) M11(A) = ………………………… 2) M12(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………3) M21(A) = ………………………… 4) M22(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………5) C11(A) = ………………………… 6) C12(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………7) C21(A) = ………………………… 8) C22(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

2. ก�าหน้ดให� A = [ 1 3 5−4 2 60 7 −1 ]

จำงหา

1) M11(A) = ………………………… 2) M12(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………


3) M13(A) = ………………………… 4) M21(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

5) M22(A) = ………………………… 6) M23(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

7) C11(A) = ………………………… 8) C12(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………


9) C21(A) = ………………………… 10) C22(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

11) C23(A) = ………………………… 12) C31(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

13) C32(A) = ………………………… 14) C33(A) = …………………………

= ………………………… = …………………………

= ………………………… = …………………………

2. จำงหาค%าด�เทอริ�ม�แน้น้ตั�ข้องเมทริ�กซ์�จำ�ตั5ริ�สำท��ก�าหน้ดให�แตั%ละข้�อตั%อไปน้�) โดยใชุ�โคแฟคเตัอริ�ข้องเมทริ�กซ์�

1) A =[ 2 1−3 6 ]

det (A) = a11C11(A) + a12C12(A) = 2 (-1)1+1 |6| + 1 (-1)1+2 |-3|

= ………………………………………………….

= ………………………………………………….

2) B =[−1 2

3 4 ]


det (A) = a21C21(A) + a22C22(A) = ………………………………………………….

= ………………………………………………….

= ………………………………………………….

3) C =[3 4 −10 5 23 1 −2 ]

det (A) = a21C21(A) + a22C22(A) + a23C23(A) = ………………………………………….

= ………………………………………….

= ………………………………………….


สัมบ�ตุของด�เทอริ�มแนนตุ�

1. ถ้�า A เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์� ซ์'�งม�แถ้วใดแถ้วหน้'�ง (หริ3อหล�กใดหล�กหน้'�ง) เป!น้ 0 ท�)งแถ้ว (หริ3อท�)งหล�ก) จำะได�ว%า det(A) = ………………………….. เชุ%น้

2. ถ้�า A เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์� ซ์'�งม� สำองแถ้ว หริ3อสำองหล�กใดๆ เท%าก�น้ จำะได� det (A) = ………

เชุ%น้

3. ถ้�า เมทริ�กซ์�B เก�ดจำากการิสำล�บท��แถ้วค�%ใดค�%หน้'�ง (หริ3อสำล�บหล�กค�%ใดค�%หน้'�ง) ข้องเมทริ�กซ์�A ม�ตั� n¿n จำะได� det (B) = ……………………………เชุ%น้

4. ถ้�าเมทริ�กซ์�B เก�ดจำากการิค�ณแถ้วใดแถ้วหน้'�ง (หริ3อหล�กใดหล�กหน้'�ง) ข้องเมทริ�กซ์�A ม�ตั� n¿n ด�วยจำ�าน้วน้จำริ�ง k จำะได� det (B) = …………………………….เชุ%น้


5. ถ้�าเมทริ�กซ์�B เก�ดจำากการิค�ณแถ้วใดแถ้วหน้'�ง (หริ3อหล�กใดหล�กหน้'�ง) ข้องเมทริ�กซ์�A ม�ตั� n¿n ด�วยจำ�าน้วน้จำริ�ง k แล�วน้�าไปบวกก�บอ�กแถ้วหน้'�ง (หริ3อหล�กหน้'�ง) จำะได� det (B) = ……...

เชุ%น้

6. ถ้�า A เป!น้เมทริ�กซ์�สำามเหล��ยม จำะได� det (A) = ……………………………………………….เชุ%น้

7. ถ้�า A และ B เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์� จำะได�7.1 det (AB) = ………………………………7.2 det (At) = ………………………………7.3 det (A-1) = ………………………………7.4 det (An) = ………………………………7.5 det (kA) = ………………………………7.6 det (I) = ………………………………7.7 det (0) = ………………………………


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 8สัมบ�ตุของด�เทอริ�มแนนตุ�

1. ก�าหน้ดให� A = [2 14 3 ]และ B =

[6 33 −1 ]

จำงหาค%าด�เทอริ�ม�แน้น้ตั�แตั%ละข้�อตั%อไปน้�)โดยใชุ�สำมบ�ตั�ข้องด�เทอริ�ม�แน้น้ตั�

1) det (A) = …………………………………. 2) det (B) = ………………………………….

3) det (AB) = ……………………………….. 4) det (A)t = …………………………………

5) det (A)t = …………………………………. 6) det (A-1) = ………………………………..

7) det (B-1) = ………………………………… 8) det (A2) = …………………………………

9) det (B3) = …………………………………. 10) det (3A) = ……………………………….

11) det (-B) = ………………………………....12) det (-2B) = ………………………………

2. จำงหาค%าด�เทอริ�ม�แน้น้ตั�ข้องเมทริ�กซ์�ตั%อไปน้�)

1) A = [1 2 13 1 31 2 1 ]

2) A = [1 2 23 1 12 1 1 ]


3) A = [1 0 10 1 30 0 4 ]

4) A = [1 0 10 0 40 1 3 ]

5) A = [2 0 20 0 40 1 3 ]

6) A = [1 4 20 0 02 5 1 ]

7) A = [1 2 35 10 153 −2 1 ]

8) A = [−2 3 6

0 1 21 2 4 ]

9) A = [2 0 00 3 00 0 −4 ]

10) A = [1 0 4 12 0 2 11 0 1 33 0 1 0

]


เมทริกซ์�เอกฐาน

บทนยู่าม ให� A เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์�A เป!น้เมทริ�กซ์�เอกฐาน้(singular matrix) เม3�อ det(A)

= 0A เป!น้เมทริ�กซ์�ไม%เอกฐาน้(non - singular matrix) เม3�อ

det(A) ¿ 0

ตั�วอย%างท�� 1 จำงพิ�จำาริณาว%าเมทริ�กซ์�ใดบ�างเป!น้เมทริ�กซ์�เอกฐาน้

A = [3 12 0 ]

B =[2 −11 3 ]และ C =

[3 26 4 ]

ว�ธ�ท�า det(A) = -2det(B) = 7det(C) = 0ด�งน้�)น้ C เป!น้เมทริ�กซ์�เอกฐาน้

แอดจัอยู่ตุ�เมทริกซ์� หริ2อ เมทริกซ์�ผ�กพ�นธ์�

บทนยู่าม ให� A เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์�เม3�อ n¿ 2

แอดจำอยตั�เมทริ�กซ์�หริ3อเมทริ�กซ์�ผ่�กพิ�น้ข้อง A ค3อ เมทริ�กซ์�[Cij(A)]t

เข้�ยน้แทน้แอดจำอยตั�ข้องเมทริ�กซ์�A ด�วย adj(A)

ตั�วอย%างท�� 2 ก�าหน้ดให� A = [ 4 −1−5 2 ]จำงหา adj(A)


ว�ธ�ท�า adj(A) = [C11(A ) C12( A )C21( A ) C22( A ) ]

t

= [2 −32 1 ]

t

=

[ 2 2−3 1 ]

ตั�วอย%างท�� 3 ก�าหน้ดให� A = [2 7 −31 0 44 −1 −2 ]

จำงหา adj(A)

ว�ธ�ท�า adj(A) = [C11(A ) C12( A ) C13( A )C21( A ) C22( A ) C23( A )C31( A ) C32( A ) C33( A ) ]

t

=[ 4 18 -117 8 3028 -11 −7 ]

t

=

[ 4 17 2818 8 −11−1 30 −7 ]


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 9เมทริกซ์�เอกฐาน แลัะ แอดจัอยู่ตุ�เมทริกซ์�

1. เมทริ�กซ์�แตั%ละข้�อตั%อไปน้�)เป!น้เมทริ�กซ์�เอกฐาน้หริ3อเมทริ�กซ์�ไม%เอกฐาน้

1) [−10 ]…………………………………… 2) [0 ] ……………………………………..

3) [2 18 4 ]

………………………………… 4) [0 18 -3 ]

……………………………….

5) [ 2 3-1 -2 ]

……………………………… 6)

[2 1 31 -2 02 1 3 ]

…………………………


7) [1 0 −13 −1 −22 5 8 ]

……………………… 8)

[ 4 1 0-1 -2 03 1 0 ]

………………………..


2. จำงหาเมทริ�กซ์�ผ่�กพิ�น้ หริ3อแอดจำอยตั�เมทริ�กซ์� เม3�อก�าหน้ดเมทริ�กซ์�A ให�

1) A = [2 31 4 ]

2) A = [−2 5

0 −3 ]

3) A =[3 2 11 3 −41 −1 3 ]

4) A =

[2 1 35 −1 41 −2 3 ]


อนเวอริ�สัการิค�ณ์ของเมทริกซ์�

ทฤษฎี�บท ให� A เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์� เม3�อ n¿ 2 จำะได�ว%า A ม�อ�น้เวอริ�สำการิค�ณก2ตั%อเม3�อ A เป!น้เมทริ�กซ์�ไม%เอกฐาน้ และอ�น้เวอริ�สำกา

ริค�ณข้องเมทริ�กซ์�A เข้�ยน้แทน้ด�วย A-1 โดยท�� A-1 =

1det( A )

⋅adj(A )

ตั�วอย%างท�� 1 ก�าหน้ดให� A = [1 −23 2 ]จำงหา A-1

ว�ธ�ท�า A-1 =

1det( A )

⋅adj(A )

det(A) = |1 −23 2

|= (1)(2) – (3)(-2) = 8

adj(A) = [C11(A ) C12( A )C21( A ) C22( A ) ]

t

= [2 −32 1 ]

t

= [ 2 2−3 1 ]

A-1 =

1det( A )

⋅adj(A )

=

18 [ 2 2

−3 1 ]

= [ 2

828

−38

18

]


ตั�วอย%างท�� 2 ก�าหน้ดให� A = [2 7 −31 0 44 −1 −2 ]

จำงหา A-1

ว�ธ�ท�า A-1 =

1det( A )

⋅adj(A )

det(A) =

|2 7 −31 0 44 −1 −2

|

= 0 + 112 + 3 + 0 + 8 + 14 = 137

adj(A) = [C11(A ) C12( A ) C13( A )C21( A ) C22( A ) C23( A )C31( A ) C32( A ) C33( A ) ]

t

= [ 4 18 -117 8 3028 -11 −7 ]

t

= [ 4 17 2818 8 −11−1 30 −7 ]

A-1 =

1137

[ 4 17 2818 8 −11−1 30 −7 ]


เอกสัาริฝึ,กห�ดท�� 10

อนเวอริ�สัการิค�ณ์ของเมทริกซ์�จำงหาอ�น้เวอริ�สำการิค�ณข้องเมทริ�กซ์�ท��ก�าหน้ดให�

1) A = [2 13 2 ]

2) A = [4 15 1 ]

3) A = [1 00 1 ]

4) A = [1 22 4 ]

5) A = [1 02 -3 ]

6) A = [1 60 3 ]

7) A = [3 2 11 3 -41 -1 3 ]

8) A = [2 1 35 -1 41 -2 3 ]


การิใชิ%เมทริกซ์�ในการิแก%ริะบบสัมการิเชิงเสั%น

ริะบบสำมการิเชุ�งเสำ�น้ หมายถ้'ง ชุ5ดสำมการิท��ท5กสำมการิเป!น้สำมการิเชุ�งเสำ�น้ และจำ�าน้วน้สำมการิเท%าก�บจำ�าน้วน้ตั�วแปริ เชุ%น้

x+ y=2x− y=8} สำมการิเชุ�งเสำ�น้ 2 ตั�วแปริ

2x+4y=5x−2y=−3} สำมการิเชุ�งเสำ�น้ 2 ตั�วแปริ

x+ y−z=62x+ y−3z=4x−2y−z=−2} สำมการิเชุ�งเสำ�น้ 3 ตั�วแปริ

ริะบบสำมการิเชุ�งเสำ�น้ สำามาริถ้เข้�ยน้ใน้ริ�ปเมทริ�กซ์�ได�ด�งน้�)

ตั�วอย%างเชุ%น้ 2x + y = 23x – y = 8

เข้�ยน้ริะบบสำมการิใน้ริ�ปเมทริ�กซ์�ได�ด�งน้�)

[2 13 −1 ][ xy ]=[28 ]

x + y – z = 62x + y – 3z = 4x – 2y – z = -2

เข้�ยน้ริะบบสำมการิใน้ริ�ปเมทริ�กซ์�ได�ด�งน้�)


[1 1 −12 1 −31 −2 −1 ][ xyz ]=[ 6

4−2]



การิใชิ%เมทริกซ์�แก%ริะบบสัมการิเชิงเสั%นจำงเข้�ยน้ริะบบสำมการิเชุ�งเสำ�น้ตั%อไปน้�)ให�อย�%ใน้ริ�ปเมทริ�กซ์�

ข%อ ริะบบสัมการิเชิงเสั%น เมทริกซ์�

1 x + y = 2x - y = 8 [ __ __

__ __ ][ ____ ]=[__

__ ]2 2x + 3y = 2

x - 4y = -1 [ __ ____ __ ][ __

__ ]=[____ ]

3 3x + 6y = 12-2x = -8 [ __ __

__ __ ][ ____ ]=[__

__ ]4 x - 5y – 2 = 0

3 + 2y = 0 [ __ ____ __ ][ __

__ ]=[____ ]

5x + y – z = 12x – y + 3z = -8x – 2y – z = 3 [__ __ __

__ __ ____ __ __ ][ __

____ ]=[__

____ ]

65x + y – z = 10x – 6y + 4z = 9x – 4y – 4z = -3 [__ __ __

__ __ ____ __ __ ][ __

____ ]=[__

____ ]

7x + y – z = 62x + y - 3z = 4x – 2y – z = -2 [__ __ __

__ __ ____ __ __ ][ __

____ ]=[__

____ ]

8x – 3z = 1x – y + 6z = 32y + 2z = 4 [__ __ __

__ __ ____ __ __ ][ __

____ ]=[__

____ ]


การิใชิ%เมทริกซ์�ในการิแก%ริะบบสัมการิเชิงเสั%น (ตุ�อ)

การิแก�ริะบบสำมการิโดยใชุ�เมทริ�กซ์�ท�าได�หลายว�ธ� ด�งน้�)

1. ใชุ�อ�น้เวอริ�สำการิค�ณเมทริ�กซ์�

ตุ�วอยู่�างท�� 1 จำงแก�ริะบบสำมการิ 2x + 3y = 5x + y = 2

วธ์�ท1า เข้�ยน้ริะบบสำมการิใน้ริ�ปเมทริ�กซ์� ได�ด�งน้�)

[2 31 1 ][ xy ] =[52]

[ xy ] =[2 31 1 ]−1[52 ]

[ xy ] = 1(2 )(1)−(3)(1 ) [ 1 −3

−1 2 ] [52 ][ xy ] =(−1 )[ 1 −3

−1 2 ][52 ][ xy ] =[−1 3

1 −2 ][52] =[11 ]ด�งน้�)น้ x = 1 และ y = 1

2.ใชุ�กฎคริาเมอริ�

กฎข้องคริาเมอริ� ถ้�า A เป!น้ n¿n เมทริ�กซ์� และ det(A) ¿

0 แล�วริะบบสำมการิน้�)สำามาริถ้เข้�ยน้เป!น้สำมการิเมทริ�กซ์� ได� AX =B

และม�ค�าตัอบด�งน้�)


x1=det (A1 )det (A )

x2=det(A2 )det(A )

x3=det (A3 )det (A )⋮

xn=det (An )det (A )

} เม3�อ Ai ค3อเมทริ�กซ์�ท��ได�จำากการิแทน้หล�กท��

i ข้อง A ด�วย B

ตุ�วอยู่�างท�� 2 จำงแก�ริะบบสำมการิ 2x + 3y = 5x + y = 2

วธ์�ท1า เข้�ยน้ริะบบสำมการิใน้ริ�ปเมทริ�กซ์� ได�ด�งน้�)

[2 31 1 ][ xy ] =[52]

x

=|5 32 1

|

|2 31 1

| =5−62−3 = 1

y

=|2 15 2

|

|2 31 1

| =4−52−3 = 1

ด�งน้�)น้ x = 1 และ y = 1



การิใชิ%เมทริกซ์�แก%ริะบบสัมการิเชิงเสั%น1. จำงแก�ริะบบสำมการิตั%อไปน้�)โดยใชุ�อ�น้เวอริ�สำการิค�ณเมทริ�กซ์�และกฏข้องคริาเมอริ�

1) 3x – 2y = 55x + y = 15

ใชุ�อ�น้เวอริ�สำการิค�ณเมทริ�กซ์� ใชุ�กฏข้องคริาเมอริ�

2) 8x + 4y = 0-x – 3y = -5



3) x + 5y = 123x – 4y = -2


4) x + 2y – z = 73y + 2z = 72x – y – 5z = 2


บทที่ 2 เมทริกซ์

Documents

Transcript of บทที่ 2 เมทริกซ์