第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

1

2

... i

n

xx

x R

x

定义 1 设 V 为 n 维向量的非空集合，若 V 对向量的加法、数乘两种线性运算封闭（即运算的结果仍为 V 中向量），则称 V 为向量空间 .

1.n 维实向量全体的集合：例 1. 考察下列向量的集合是否为向量空间 .

是Rn=

第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续 1)

2

0

... i

n

xx R

x

2

1

... i

n

xx R

x

nS R

3.V2=

例 1. 考察下列向量的集合是否为向量空间 .

4.n 元齐次线性方程 AX=0 解向量全体的集合 S.

2.V1= 是

不是

是

1nV R

第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续 2)

定义 2 设 V1,V2 是两个向量空间 , 且 V1 V2, 则称 V1 为 V2 子空间 .

例 2 设 L=L(α1, α2,..., αs)= {k1 α1+k2 α2+...+ks αs|ki R, ∈ α i R∈ n}

则 L 为向量空间，且 L Rn

即 L 为向量空间 Rn 的子空间，称其为由向量 α1, α2,..., αs 生成的子空间 .

第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续3)

定义 3 设向量空间 V 中一组向量 A0: α1, α2,..., αr 满足：

称 k1,k2,...,kr 为向量 α 在 A0 这组基下的坐标

1) α1, α2,..., αr 线性无关；

α =k1α1 +k2α2+...+krαr,

2) V 中任意向量 α 均可由向量 α1, α2,..., αr 线性表示 :

则称 α1, α2,..., αr 为 V 的一组基，称 V 为 r 维向量空间 (V 的维数为 r), 记作 :dimV=r.


2

0

... i

n

xx R

x

1 2

1 0 00 1 0

, ,...,... ... ...0 0 1

n

1.n 维实向量全体的集合 Rn

2.V1=

dimRn=n

( 任意 n 个线性无关的 n 维实向量均为 Rn 的一组基 )

为 Rn 的一组基

ε2, ε3,…, εn 为 V1 的一组基 . dimV1=n-1


3.n 元齐次线性方程 AX=0 的解空间 S.

4. L=L(α1, α2,..., αs)= { k1 α1+k2 α2+...+ks αs |ki R, ∈ αi R∈ n}

方程的基础解系为 S 的一组基 . dimS=n-R(A).

α1, α2,..., αs 的最大无关组为 L 的一组基 . dimL=R[α1 α2 ... αs]


.01

,11

)( 21

II;

10

,01

)( 21

I

例 3. R2 中 , 分别求向量 β =(2,3)T 在下列两组基下的坐标 .

解： β=2ε1+3ε2 ∴ β 在基 (I) 下的坐标为 2,3;

又 β =3α1- α2 ∴ β 在基 (II) 下的坐标为 3,-1.

第四章向量空间 §2 Rn 中的内积标准正交基

1 1

2 2,... ...

n n

a ba b

a b

.0),.(4

);,(),(),.(3 kkk

向量空间是几何空间的抽象 . 基是坐标系的抽象 .

性质：

定义： n 维向量

1 1 2 2( , ) ... n na b a b a b

几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来 .

的内积

TT

);,(),.(1 );,(),(),.(2

（等号当且仅当 α=0 时成立）

第四章向量空间 §2 Rn 中的内积标准正交基 ( 续 1)

||||||),(),(|||| 2 kkkkk

2 2 21 2|| || ( , ) ... na a a

1||||||||

1||||||

1||

性质：

定义向量 α 的长度：

|| α||=1 时，称 α 为单位向量 .

||||

10 称为 β 的单位化向量（标准化向量） .

1

2

...

n

aa

a


01 1

|| || || ||k

k

例 1 设 α=k β, 求 α 的单位化向量 α0.

||||

10 称为 β 的单位化向量（标准化向量） .

解：

01

| | || ||k

k


( , ), arccos|| || || ||

(α, β)=0 时，称 α 与 β 正交 .

零向量与任何向量正交 .

当 α ， β 均非零向量时，定义 α 与 β 的夹角：

定理 1 .|||||||||),(|


定理 2 设 α1 ， α2 ，…， αs 为两两正交的非零向量 . 则 α1 ， α2 ，…， αs 线性无关

证明：设 k1α1+k2α2+…+ksαs=0.两边与 αi 作内积 , 得： ( , ) 0i i

∴ki=0, i=1,2,...,s.

∴ α1 ， α2 ，…， αs 线性无关 .

ki(αi ， αi)=0, ∵


定义 : 设 α1 ， α2 ，…， αs 是向量空间 V的一组基 , 且两两正交 , 则称α1 ， α2 ，…， αs 为 V 的一组正交基 .

若又有 ||αi||=1(i=1,2,…,s), 则称α1 ， α2 ，…， αs 为 V 的一组标准正交基 .


3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , )

11 111

1222 ),(

),(

Schmidt 正交化方法设向量组 A: α1 ， α2 ，…， αr 线性无关 ,求与 A 等价的标准正交向量组 .1. 正交化：

则 β1,β2,…, βr 两两正交 .

...

1 2 11 2 1

1 1 2 2 1 1

( , ) ( , ) ( , )...( , ) ( , ) ( , )

r r r rr r r

r r

取


Schmidt 正交化方法设向量组 A: α1 ， α2 ，…， αr 线性无关 ,求与 A 等价的标准正交向量组 .

ii

ie ||||1

2. 标准化：(i=1,2,...,r)

e1,e2,…,er 即为所求标准正交向量组 .

令


][ 21 n

定义 : 若 n 阶实矩阵 A 满足：ATA=E ，

1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 2 21 2

1 2

...

......

... ... ... ... ......

T T T Tn

T T T Tn

n

T T T Tn n n n n

则称 A 为正交矩阵 .

ATA=

正交矩阵

证：设 A=

)(0

1jij

Ti

iTi

(1) |A|2=1 ；(3) A 的行（列）向量组为标准正交向量组 .

所以 A 的列向量两两正交且长度为 1.

=E

性质：设 A 为正交矩阵，则(2)A-1=AT 亦为正交矩阵 ;

反之亦然 .


则 ATA=E, ∴ A 为正交矩阵 .

21

2100

002

12

121

21

21

21

21

21

21

21

(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=

证： A*=|A|A-1,

例 1 设 A 为正交矩阵，则 A* 亦为正交矩阵 .

=E

如 A=

|A|2AA-1

∴A* 亦为正交矩阵 .


22 T T TE k k

( ) ( )T T TE k E k

0

例 2 . 设 α 为 n 维列向量，且 αT α=1, 求实数 k, 使 H=E- kα αT 为正交矩阵 .解 :E=HTH

( )( )T TE k E k

0T ∴-2k+k2=0,k=2 或 k=0.

2( 2 ) TE k k

第四章向量空间 §3 Rn 上的线性变换

),()()(),( TTTT AAAAAA

则称 T 为 Rn 上的线性变换 . 称 Y 为 X 在 T 下的像 .

例设 A=[aij]n×n, 对任意 X R∈ n,Y=T(X)=AX, 则 T 为 Rn

上的一个线性变换（从 X 到 Y 的线性变换） .

定义：若对 Rn 中的任意向量Ｘ，按照某一确定规则 T ， Rn 中总有唯一确定的向量Ｙ与之对应 . 记为 :Y=T(X).且满足：

A 为可逆矩阵时，称 Y=AX 为可逆线性变换；

1 ） T(X1+X2)=T(X1)+T(X2);

A 为正交矩阵 , 称 Y=AX 为正交变换 .设 Y=AX 为正交变换，则对任意 α, β R∈ n,

即正交变换保持内积不变，从而保持长度、夹角不变 .

2 ） T(kX)=kT(X). (k R;∈ X1,X2∈Rn)

第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

Documents

Transcript of 第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

Documents

Transcript of 第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

Transcript of 第四章向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标