探究探究未知的数学空间未知的数学空间

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——“——“ 黑洞数”探究活动黑洞数”探究活动——关于黑洞数的探究

走进“黑洞数” “黑洞数”的定义 “黑洞数”的例子 神秘的6174——“黑洞数” 6174 有什么奇妙之处？ 另一种简单的黑洞数 小试牛刀 黑洞数的性质及应用 寄语

走进“黑洞数”• 大家都知道，“黑洞”是广义相对论所预言的一种天体。它的本质至今还不十分清楚。通俗一点说，黑洞是一密度大得惊人的天体。外来的物质可以被吸引进入，而任何物质都不能从黑洞内部逃逸出来。但是，我们今天的主角是黑洞数，所以，我就来为大家介绍黑洞数。

我与“黑洞”有个约会

“黑洞数”的定义• 黑洞数又称陷阱数 ,是类具有奇特转换特性的整数。 任何一个数字不全相同整数 ,经有限“重排求差”操作 ,总会得某一个或一些数 ,这些数即为黑洞数。“重排求差”操作即组成该数重排后的最大数减去重排的最小数。

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“黑洞数”的例子• 例：三位数的黑洞数为 495 。推导过程：任意找个数，如 297 ，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为 972 和 279 ，相减，得 693 。 按上面做法再做一次，得到 594 ，再做一次，得到 495 。 之后反复都得到 495 。 再如，四位数的黑洞数有 6174 。但是，五位数及五位以上的数还没有找到对应的黑洞数。

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神秘的 6174——“ 黑洞数”

• 随便一个四位数。如： a1=1628, 先把组成部分 1628的四个数字由大到小排列得到 a2＝ 8621 ，再把 1628 的四个数字由小到大排列得 a3＝ 1268 ，用大的减去小的 a2-a3=8621-1268 ＝ 7353 ，把 7353 按上面的方法再作一遍，由大到小排列得 7533 ，由小到大排列得 3357 ，相减 7533-3367 ＝ 4176把 4176 再重复一遍： 7641-1467 ＝ 6174 。如果再往下作，奇迹就出现了！ 7641-1467 ＝ 6174 ，又回到 6174 。这是偶然的吗？

神秘的 6174——“ 黑洞数”

• 我们再随便举一个数 1331 ，按上面的方法连续去做：3311-1133 ＝ 2178 ， 8721-1278 ＝ 7443 ， 7443-3447 ＝ 3996 ， 9963-3699 ＝ 6264 ， 6624-2466 ＝ 4174 ， 7641-1467 ＝ 6174

神秘的 6174——“ 黑洞数”

• 6174 的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全相同的四位数，最多运算 7步，必然落入陷阱中。这就是“黑洞数”。

神秘的 6174——“黑洞数”

• 苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了这个奇妙的四位数 6174 ，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

我与“黑洞”有个约会

6174 有什么奇妙之处？ 写出任意一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但这四个数不准完全相同，例如 3333 、 7777 等。写出后，把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列，得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，一定在经过若干次变换之后，得到6174 。

6174 有什么奇妙之处？

•所有的四位数都会掉入 6174设的陷阱，不信可以取一些数进行验证。验证之后，你不得不感叹 6174 的奇妙。

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另一种简单的黑洞数 • 可称西西弗斯数。相传，西西弗斯是古希腊时一个暴君，死后被打入地狱。此人力大如牛，颇有蛮力，上帝便罚他去做苦工，命令他把巨大的石头推上山。他自命不凡，欣然从命。可是将石头推到临近山顶时，莫明其妙地又滚落下来。于是他只好重新再推，眼看快要到山顶，可又“功亏一篑”，石头滚落到山底，如此循环反复，没有尽头。

另一种简单的黑洞数• 现在随便选一个很大的数，作为一块“大石头”：43005798 。我们以此为基础，按如下规则转换成一个新的三位数。 8位数中的偶数个数有 4个（ 0作为偶数），奇数的个数有 4个，原数为八位数。于是得出新数为 448 ， 448 作同样的变换， 3个偶数，奇数有 0个，原数为三位数。于是就得出 303 ，再经转换就得到 123 。一旦得到 123 后，就再也不变化了。好比推上山的石头又落到地上，一番辛苦白费。

另一种简单的黑洞数

• 如果你有兴趣，可以换上别的自然数来试。尽管步数有多有少，但最后总归是 123 。如 2007630。偶数个数为 5，奇数个数为 2，原数一共7 位数，则得新数为 527 ，因为只有 1个偶数，奇数个数为 2，原数个数为 3。所以，最后还是进入“黑洞数” 123 。

另一种简单的黑洞数• 有人还是不服气，西西弗斯没有本领把大石头推上山，带一块小石头总可以吧。那就是你不知道“黑洞”的厉害，这个禁区不讲情面，金科玉律不可违背。如选 1 ，根据上面的变换规则，偶数个数为 0，奇数个数为 1，只有 1位数，即为 011 ，最后还是黑洞数 123 。如以 11计算，则可转换为 022→303→123 。

小试牛刀• （ 2004 年舟山市中考题）有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止。不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的。最后这个相同的数就叫它为黑洞数。请你以 2004 为例尝试一下： 2004 ，一步之后变为 ，再变为 ，再变为 ……黑洞数是 。

404303 123 123

小试牛刀

• （ 2003 年青岛市中考题）探究数字“黑洞”：任意找一个 3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字都立方、求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数 T＝ ，我们称之为数字“黑洞”。

153

小试牛刀

• 研究发现，只要你写的数是 3的倍数，按上述法则运算 ,结果总会得到 153 这个数，且此后重复出现 153 ，怎么也无法 " 跳出 "这个结果。因此 ,153 就是一个数字“黑洞”。

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黑洞数的性质及应用 • 请大家解这个一元一次方程：

-x+6=6-x

黑洞数的性质及应用• 相信如果算的没错，结果应该是：

x-x=0

黑洞数的性质及应用• 在日常学习计算中，化简含有未知数的代数式或方程经常会像刚才得到 x-x=0的结果。此前，人们只是把这种情况定义为“此算式没有意义”而终结。黑洞数理论的出现 ，让人们看到了代数式或方程中未知数可任意取值时的另一层含义。

黑洞数的性质及应用• 定义：在含有未知数变量的代数式中，当未知数变量任意取值时其运算结果都不改变，我们把这时的数字结果叫黑洞数。根据运算性质的不同，我们把黑洞数分为以下三种类型：Ⅰ、整数黑洞数 Ⅱ、模式黑洞数 Ⅲ、方幂余式黑洞数。此处我们只作简略了解。

我与“黑洞”有个约会

寄语• 如果大家有兴趣，可以尝试用其他的规则去探寻黑洞数。在探寻的过程中，你会体验到被“黑洞”吸引的感觉，这就是数学的神秘之美。在数学中有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学的乐趣中得到更多知识！