第第 1212 讲 向量空间讲 向量空间 ,, 齐次线性方程齐次线性方程组的结构解组的结构解

主要内容：主要内容： 1. 1. 向量空间向量空间 (1) (1) 向量空间的定义向量空间的定义 (2) (2) 向量空间的基向量空间的基 2. (2. ( 最重要内容最重要内容 )) 齐次线性方程组的齐次线性方程组的

结构解结构解

3.4 3.4 向量空间向量空间

给定向量组给定向量组 AA 及其极大无关组及其极大无关组 BB ，由于，由于 AA 与与BB 等价，等价， AA 中的每个向量都是中的每个向量都是 BB 的线性组合的线性组合 . .

现在的问题是，是否现在的问题是，是否 BB 的任意线性组合都属的任意线性组合都属于于 AA? ? 回答是否定的回答是否定的 . . 若若 AA 是向量空间，则是向量空间，则答案是肯定的答案是肯定的 ..

向量空间的几何背景是解析几何中的向量空间的几何背景是解析几何中的 RR22 和和 RR33 ，，直到直到 1919 世纪上半叶才推广到一般的向量空间世纪上半叶才推广到一般的向量空间 ..

3.4.1 3.4.1 向量空间的定义向量空间的定义 Def 3.9Def 3.9 设设 VV 是向量组，若是向量组，若 VV 满足以下满足以下

两个条件，则称两个条件，则称 VV 为为向量空间向量空间 .. (1) (1) 任意任意 , , VV, , 有有 + + VV. (. (VV 关关

于向量的加法运算封闭于向量的加法运算封闭 )) (2) (2) 任意任意 VV,, 以及任意以及任意 RR ，有，有 VV. (. (VV 关于向量的数乘运算封闭关于向量的数乘运算封闭 ))

为了简单，我们忽略了向量空间所在的为了简单，我们忽略了向量空间所在的数域，通常在实数范围内讨论数域，通常在实数范围内讨论 . .

例如例如 RRmm 是向量空间，因为是向量空间，因为 RRmm 是所有是所有 mm维向量构成的向量组，它关于向量的加维向量构成的向量组，它关于向量的加法运算和数乘封闭法运算和数乘封闭 ..

例例 3.14 3.14 设设

则则 VV 是向量空间是向量空间 . .

RV yxy

x

,

0

例子中的例子中的 VV 实际上是实际上是 RR33 中的中的 xOyxOy 坐标坐标面，但面，但

不是向量空间，因为取不是向量空间，因为取 = 2, = 2,

RV yxy

x

,

1

Vα

1

3

3

Vαα

2

6

6

1

3

3

22

例例 3.15 3.15 设设 aa 和和 bb 是是 RR33 中的两个线性无中的两个线性无关的向量，如关的向量，如

令 令

则则 VV 是向量空间是向量空间 ..

1

1

1

,

0

1

1

βα

R, 2121 kkkkV βα

VV 是由向量是由向量 aa 和和 bb 生成的向量空间，在生成的向量空间，在RR33 中，它是通过中，它是通过 aa 和和 bb 的平面的平面 ..

一般地，设向量组为一般地，设向量组为 11, , 22,…, ,…, nn,, 则则

是向量空间，称为是向量空间，称为由由 11, , 22,…, ,…, nn 生成生成的向量空间的向量空间 ,, 可表示为 可表示为 Span{Span{11, , 22,…, ,…,

nn} }

R,,, 212211 nnn kkkkkkV ααα

3.4.2 3.4.2 向量空间的基与坐标向量空间的基与坐标 由于向量空间是特殊的向量组，把由于向量空间是特殊的向量组，把

Def 3.10Def 3.10 向量空间向量空间 VV 的极大线性无关组的极大线性无关组称为是向量空间的称为是向量空间的基基 (basis)(basis) ，极大线性，极大线性无关组中所含的向量个数称为是无关组中所含的向量个数称为是 VV 的的维维数数 (dimensionality)(dimensionality) ，记为，记为 dim(dim(VV).).

显然，若显然，若 VV = { = {00}} ，， VV 不存在基，这时不存在基，这时dim(dim(VV) = 0. ) = 0.

由于由于

是是 RR33 的极大无关组，所以它是的极大无关组，所以它是 RR33 的一的一个基个基 . . 实际上，实际上， ii, , jj, , kk 是空间直角坐标是空间直角坐标系的三个坐标向量系的三个坐标向量 . . 于是，于是， dim(dim(RR33) = 3) = 3 ，，即即 RR33 是是 33 维空间维空间 . .

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

kji

ij

k

O

容易验证 容易验证

是是 RR33 的一个基的一个基 ..

由定理由定理 3.53.5 知，对于维数为知，对于维数为 nn 的向量空的向量空间间 VV ，若，若 VV 存在存在 nn 个线性无关的向量个线性无关的向量11, , 22, …, , …, nn ，则，则 11, , 22,…, ,…, nn 一定是一定是 VV

的基的基 ..

1

1

1

,

0

1

1

,

0

0

1

321 eee

例例 3.16 3.16 设设 VV 是向量空间， 是向量空间， 11, , 22,…, ,…, nn

是是 VV 的基的基 , , 则则

ProofProof

R,,, 212211 nnn kkkkkkV ααα

Vααα R,,, 212211 nnn kkkkkk

R,,, 212211 nnn kkkkkk αααV

取取 RR33 中的基为中的基为 ii, , jj, , kk ，对于任意，对于任意

xx, , yy, , zz 为该向量在为该向量在基基 ii, , jj, , kk 下下的坐标的坐标 . . Def 3.11Def 3.11 设设 VV 是向量空间是向量空间 , , 11, , 22,…, ,…, nn

是是 VV 的一个基，对于任意的一个基，对于任意 VV, , 令令

则称则称 ((xx11, , xx22,…, ,…, xxnn)) 为向量为向量在基在基 11, , 22,…,,…,

nn 下的下的坐标坐标 ..

kji zyxzyx

z

y

x

1

0

0

0

1

0

0

0

1

nnxxx αααα 2211

例例 3.17 3.17 计算向量计算向量 =(=(xx, , yy, , zz))TT 在基在基

下的坐标下的坐标 . .

1

1

1

,

0

1

1

,

0

0

1

321 eee

1

1

1

0

1

1

0

0

1

321332211 xxxxxx

z

y

x

eee

zx

zyx

yxx

3

2

1

1e 2e

3e

i

j

k

O

3.5 3.5 线性方程组的结构解线性方程组的结构解

本节在前面建立的向量空间的基础上讨论线本节在前面建立的向量空间的基础上讨论线性方程组解与解之间的联系，它可以看作是性方程组解与解之间的联系，它可以看作是向量空间理论的一个应用向量空间理论的一个应用 . .

对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组 AAmmnnxx = = bb 的讨论，可的讨论，可归结到其对应的齐次线性方程组为归结到其对应的齐次线性方程组为 AAmmnnxx = = 00的讨论，此讨论方法可用于诸如非齐次线性的讨论，此讨论方法可用于诸如非齐次线性微分方程微分方程 (( 组组 )) 的解的讨论等的解的讨论等 ..

本节涉及内容较多，解题方法灵活，是本章本节涉及内容较多，解题方法灵活，是本章的重点内容之一的重点内容之一 . . 首先对齐次线性方程组进首先对齐次线性方程组进行单独讨论行单独讨论 . .

3.5.1 3.5.1 齐次线性方程组的结构解齐次线性方程组的结构解 Theorem 3.6Theorem 3.6 设设 SS 是是 nn 元齐次线性方程元齐次线性方程

组组 AAmmnnxx = = 00 的所有解向量组成的集合，的所有解向量组成的集合，即即 SS = { = {xx||AxAx = = 00}. }.

则则 SS 是向量空间，称为是向量空间，称为 AxAx = = 00 的的解空间解空间(solution space).(solution space).

Proof Proof 显然显然 00 SS .. (1) (1) SS 关于向量的加法运算封闭关于向量的加法运算封闭 : : 任意任意

11, , 22 SS,, 这时这时 AA11= = 00, , AA22= = 00..

于是于是 , , AA((1 1 + + 22) ) = = AA1 1 + + AA22 = = 00 + + 00 = = 00..

因此因此 ,,1 1 + + 22 SS..

(2) (2) SS 关于向量的数乘运算封闭关于向量的数乘运算封闭 : : 任意任意 SS,, 以及任意以及任意 RR ，由于，由于 AA = = 00, , 所所以以 AA(()) = = ((AA)) = = 0 0 = = 00,, 因此因此有有 SS. .

从定理从定理 3.63.6 的证明过程知，齐次线性方的证明过程知，齐次线性方程组程组 AAmmnnxx = = 00 具有下列性质具有下列性质 ..

性质性质 11 若若 AA11= = 00, , AA22= = 00, , 则则 AA((1 1 + + 22) ) = =

00..

性质性质 22 若若 AA = = 00, , R R ，则，则 AA(()) = = 00..

推而广之，齐次线性方程组推而广之，齐次线性方程组 AAmmnnxx = = 00

若干个解的线性组合仍是它的解若干个解的线性组合仍是它的解 ..

为了方便，将解空间为了方便，将解空间 SS 的基称为齐次线的基称为齐次线性方程组性方程组 AxAx = = 00 的的基础解系基础解系 (system of f(system of fundamental solutions). undamental solutions).

基是对向量空间而言，基础解系是对齐基是对向量空间而言，基础解系是对齐次线性方程组次线性方程组 AxAx = = 00 而言而言 ..

根据定理根据定理 3.63.6 知，只要得出知，只要得出 AxAx = = 00 的一的一个基础解系，则个基础解系，则 SS 是由这个基础解系生是由这个基础解系生成的向量空间，就可得出成的向量空间，就可得出 AxAx = = 00 的所有的所有解，即通解解，即通解 ..

求出基础解系，实际上是得出齐次线性求出基础解系，实际上是得出齐次线性方程组解的一个框架结构，这样得出所方程组解的一个框架结构，这样得出所有的通解称为有的通解称为 AxAx = = 00 的的结构解结构解 (structur(structural solutions of al solutions of AxAx = = 00)) ，它也是通解的一，它也是通解的一种形式种形式 ..

下面介绍求齐次线性方程组下面介绍求齐次线性方程组 AxAx = = 00 的基的基础解系的方法础解系的方法 . .

首先证明首先证明

Theorem 3.7Theorem 3.7 设设 SS 是是 nn 元齐次线性方程元齐次线性方程组组 AAmmnnxx = = 00 的解空间，若的解空间，若 RR((AA) = ) = rr ，，则则 dim(dim(SS) = ) = nn – – rr. . 换句话说，换句话说， nn 元齐次元齐次线性方程组线性方程组 AAmmnnxx = = 00 的基础解系中含的基础解系中含解向量的个数为解向量的个数为 nn – – rr..

Proof Proof 若若 RR((AA) = ) = nn ，由定理，由定理 1.21.2 知，齐知，齐次线性方程组次线性方程组 AAmmnnxx = = 00 只有零解，这只有零解，这时时 dim(dim(SS) = 0) = 0 ，结论成立，结论成立 ..

假设假设 RR((AA) = ) = rr < < nn ，则，则 AAmmnnxx = = 00 有有 nn – – rr

个自由未知量，不妨设为 个自由未知量，不妨设为 .,,, 21 nrr xxx

按按 1.31.3 节节 ,, 令 令

则则 AAmmnnxx = = 00 的所有解为的所有解为

.,,, 2211 rnnrr kxkxkx

.

*

*

2

1

2

1

1

rnn

r

r

r

k

k

k

x

x

x

x

x

x

令 令

.

1

0

0

*

*

,,

0

1

0

*

*

,

0

0

1

*

*

21

rnξξξ

.

1

0

0

*

*

0

1

0

*

*

0

0

1

*

*

21

2

1

1

rn

n

r

r

r

kkk

x

x

x

x

x

x

一方面，由于 一方面，由于

另一方面，另一方面， SS 中任意向量可写成中任意向量可写成 (3.9)(3.9) 式，式，即即 SS 中任意向量都是 的线性中任意向量都是 的线性组合组合 . . 因此，它是齐次线性方程组因此，它是齐次线性方程组 AAmmnnxx

= = 00 的基础解系，其中含的基础解系，其中含 nn – – rr 个解向量个解向量 ..##

1

0

0

,,

0

1

0

,

0

0

1

2

1

n

r

r

x

x

x

rn ξξξ ,,, 21

rnξξξ ,,, 21

设设 RR((AA) = ) = rr,, 只要得出任意的只要得出任意的 nn – – rr 个线性个线性无关的无关的 AAmmnnxx = = 00 的解向量的解向量 ,, 它就是它就是 AAmmnnxx

= = 00 的基础解系，进而的基础解系，进而 SS 是由其基生成的是由其基生成的向量空间向量空间 ..

RR((AA) = ) = rr ，，求解求解 AxAx = 0 = 0 的基础解系的方法的基础解系的方法：： Step1 Step1 将系数矩阵化成行最简形将系数矩阵化成行最简形 .. Step2 Step2 确定出确定出 nn – – rr 个自由未知量个自由未知量 .. Step3 Step3 得出类似于得出类似于 (10)(10) 式式 nn – – rr 个线性无个线性无

关的向量组，进而可得出类似于关的向量组，进而可得出类似于 (3.8)(3.8) 式式的的 nn – – rr 个线性无关的解向量，它就是齐个线性无关的解向量，它就是齐次线性方程组次线性方程组 AAmmnnxx = = 00 的基础解系的基础解系 ..

例例 3.19 3.19 求下列齐次线性方程组的结构求下列齐次线性方程组的结构解解 ..

SolutionSolution

可确定可确定 xx22 和和 xx44 为自由未知量为自由未知量 ..

0

04

032

5

43

421

x

xx

xxx

10000

04100

03021

A

令令

结构解为结构解为

0

1

4

0

3

,

0

0

0

1

2

1

0,

0

121

4

2 ξξx

x

0

1

4

0

3

0

0

0

1

2

212211 kkkk ξξx

RemarkRemark 1. 1. 最后得到的结构解最后得到的结构解 (3.12)(3.12) 与在第与在第 11 章章

用高斯消元得到的通解用高斯消元得到的通解

是完全一致的是完全一致的 . .

0

1

4

0

3

0

0

0

1

2

0

4

32

21

2

2

1

21

kk

k

k

k

kk

x

2.2. 若在若在 Step 3Step 3 令 令

0

1

4

1

1

,

0

0

0

1

2

1

1,

0

121

4

2 ξξx

x

0

1

4

1

1

0

0

0

1

2

212211 kkkk ξξx

令 令

0

1

4

1

1

,

0

1

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1

5

1

1,

1

121

4

2 ξξx

x

0

1

4

1

1

0

1

4

1

5

212211 kkkk ξξx

由向量空间理论知由向量空间理论知 ,, 任意两个基础解系任意两个基础解系都是解空间都是解空间 SS 的基的基 ,, 它们是等价的它们是等价的 ,, 因因而而 (3.12)(3.12) 、、 (3.13)(3.13) 和和 (3.14)(3.14) 都是齐次线都是齐次线性方程组性方程组 (3.11)(3.11) 的通解的通解 ,, 它们本质上是它们本质上是完全相同的完全相同的 ,, 由此可以看出解与解之间由此可以看出解与解之间的联系的联系 . . 不过不过 ,, 通常按上例中的所谓通常按上例中的所谓“标准方法”“标准方法” (3.10)(3.10) 式去求基础解系式去求基础解系 ..

结构解是通解的一种形式结构解是通解的一种形式 ,, 它与第它与第 11 章章1.31.3 节用高斯消元法得出的通解本质相节用高斯消元法得出的通解本质相同同 . . 对于非齐次线性方程组有同样的结对于非齐次线性方程组有同样的结论论 ,, 见下面的讨论见下面的讨论 ..

实际上实际上 ,, 若不要求给出结构解若不要求给出结构解 ,, 按第按第 11章高斯消元法得出其通解更方便章高斯消元法得出其通解更方便 . .

容易知道容易知道 ,, 求结构解比用高斯消元法得求结构解比用高斯消元法得出通解更灵活出通解更灵活 ,, 只需要得出一个基础解只需要得出一个基础解系即可系即可 . . 在下一章计算方阵的特征向量在下一章计算方阵的特征向量时就需要这种基础解系时就需要这种基础解系 ,, 换句话说换句话说 ,, 基基础解系本身也是非常重要的础解系本身也是非常重要的 . .

利用线性方程组的有关理论利用线性方程组的有关理论 ,, 主要是定主要是定理理 3.7,3.7, 可以证明一些关于矩阵秩的重要可以证明一些关于矩阵秩的重要结论结论 ..

Theorem 3.8Theorem 3.8 设设 AAmmnnBBnnkk = = 00 ，则，则 RR((AA) )

+ + RR((BB)≤)≤nn. . ProofProof ),,,( 21 kbbbB

.,...,2,1, kii OAbOAB

)()()()dim( ABAS RnRRn

nRR )()( BA