小学数学知识讲座小学数学知识讲座 《空间与图形、统计与概率》《空间与图形、统计与概率》

一、课程标准的要求： 一、课程标准的要求： • 《标准》将以往的“几何”拓广为“空间与图形“，它加强和削弱了哪些内容呢？《标准》将以往的“几何”拓广为“空间与图形“，它加强和削弱了哪些内容呢？• 1.1. 加强方面及其依据加强方面及其依据• 第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅• 包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。• 第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。• 三个学段的要求如下：三个学段的要求如下：• 第一学段：感受平移、旋转、对称现象。第一学段：感受平移、旋转、对称现象。• 第二学段：进一步学习图形的变换。第二学段：进一步学习图形的变换。• 第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏• 并体验变换在现实生活中的广泛应用。并体验变换在现实生活中的广泛应用。• 第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。• 《标准》注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出《标准》注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出• 几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学• 段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角• 度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第• 三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式• 的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认• 识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。• 2.2. 削弱的方面及依据削弱的方面及依据• 第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学• 段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观• 念，因而《标准》把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段 念，因而《标准》把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段 • 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明 ,, 减少定理的数量减少定理的数量 ..

统计与概率统计与概率• 一、强调与注意的方面一、强调与注意的方面 ::• 标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一 ,, 主要主要

有两个原因有两个原因 ::• ⑴⑴ 现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的

能力，这种能力要从小培养。能力，这种能力要从小培养。• ⑵⑵ 随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规

律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实。能使学生所学的数学更加贴近现实。

• 1.1. 强调统计与概率过程性目标的达成强调统计与概率过程性目标的达成• 2.2. 强调对统计表特征和统计量实际意义的理解强调对统计表特征和统计量实际意义的理解• 3.3. 注意与现代信息技术的结合注意与现代信息技术的结合• 4.4. 注意统计与概率和其他内容的联系注意统计与概率和其他内容的联系• 5.5. 注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达• 二、各学段实施时要注意的问题二、各学段实施时要注意的问题

第二部分 有关空间与图形基础知识第二部分 有关空间与图形基础知识 一、线、角和距离一、线、角和距离1.1. 直线、线段、射线直线、线段、射线

名称名称 图形 图形 意 义 意 义 区 别 区 别 联 系 联 系 直直 线 线

不定义，应理解不定义，应理解为是直的线，无为是直的线，无头无尾 头无尾

每条直线都可向每条直线都可向两边无限延伸；两边无限延伸；不能量出其长不能量出其长

它们都是直的；它们都是直的；射线、线段都是射线、线段都是直线的一部分；直线的一部分；线段也可以看成线段也可以看成

是射线的一部分是射线的一部分 线线 段 段

直线上两点间的直线上两点间的一段。这两点称一段。这两点称为线段的端点为线段的端点

线段不能向两端线段不能向两端无限延长；有两无限延长；有两个端点；可以量个端点；可以量出其长度 出其长度

射射 线线

直线上一点一旁直线上一点一旁的部分。这一点 的部分。这一点 称为射线的端点。称为射线的端点。射线向一端无限射线向一端无限延伸延伸

射线可以向一个射线可以向一个端点无限延长，端点无限延长，有一个端点；不有一个端点；不能量出其长度能量出其长度

角的概念 从一点引出两条射线，就组成一个角。点叫角的顶点，两条射线叫角的边。角的大小取决于两条边叉开的大小，与边的长短没有关系。

量角器量角

先把量角器的圆心与角的顶点重合，再把量角器的 0度线与角的一边重合，看角的另一边落在量角器的哪一条刻度线上，读出读数

角的类型 图 形 意 义 度 数 直角 90度的角 n=90度

锐 角 小于 90度的角 0度＜ n＜ 90度

钝角 大于 90度小于 180度的角

90度＜ n＜ 180度

平角 角的两边成一条直线的角

n=180度

周角 一条射线绕它的端点旋转一周所成的角

n=360度

3.垂直和平行

位置关 系 图 形 意 义 性 质

垂 直

两条直线相交成直角时，叫做两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。交点叫垂足

两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么其他三个角也是直角

平 行

在同一平面内两条不相交的直线叫平行线

平行线不论画多长都不会相交

4 . 距 离

名 称 图 形 意义

性 质

两点间的距离连接两点的线段的长叫这两点间的距离

连接两点的线中，线段最短

点到直线的距离

从直线外一点向这条直线画垂线，这点到垂足间的线段长叫点到直线的距离

从直线外一点，分别向这条直线画垂线和斜线段，垂线段最短

两条平行直线的距离

平行线间的垂直线段的长，叫做这两条平行线间的距离

平行线间的距离处处相等

一平面图形1.三角形的分类

分类方式 类 型

按角分

锐角三角形

三个角都为锐角

直角三角形

有一个角为直角

钝角三角形

有一个角为钝角

按边分

不等边三角形

三条边都不相等

等腰三角形

只有两条边相等

等边三角形

三条边都相等

一般一般四边形四边形

两边对边分别平行 有一个角是直角 两边对边分别平行 有一个角是直角 长方形长方形邻边相等 邻边相等 正方形正方形只有一组对边平行只有一组对边平行 两腰相等 两腰相等

一角为直角 一角为直角

3.3. 几种简单平面图形的特征、周长和面积几种简单平面图形的特征、周长和面积 定义定义 周长：平面图形各边长的总和；周长：平面图形各边长的总和；

面积：平面图形的大小面积：平面图形的大小

名称名称 图形图形 特征特征 周长周长 CC 和面积和面积 SS

正方形正方形 四条边都相等四条边都相等四个角都是直四个角都是直角角

C=4aC=4aS=a×aS=a×a

长方形长方形 两对边相等四两对边相等四个角都是直角个角都是直角

C=2C=2 （（ a+ba+b ））S=abS=ab

平行四边形平行四边形 两组对边分别两组对边分别平行而且相等平行而且相等

S=ahS=ah

菱形菱形 四条边相等两四条边相等两条对角线互相条对角线互相垂直垂直

S=ah÷2S=ah÷2

名称名称 图形图形 特征特征 周长周长 CC和面积和面积SS

三角形三角形 a-a- 底底h-h- 高高

三条边和三个角内三条边和三个角内角和为角和为 180180 度任意度任意两边的和大于第三两边的和大于第三边边

S=ah÷2S=ah÷2

梯形梯形 a-a- 上底上底 b-b-下底下底h-h- 高 高 m-m- 中位线中位线

只有一组对边平行只有一组对边平行 S=S= （（ a+ba+b ）） h÷2h÷2 =mh=mh

圆圆 同圆中所有半径和同圆中所有半径和直径都相等，直径直径都相等，直径是半径的是半径的 22 倍倍

C=2C=2∏r=∏d∏r=∏d

S=∏S=∏rr

扇形扇形

三、简单几何体三、简单几何体

1.1.表面展开图表面展开图

名称名称 表面展开图及说明表面展开图及说明长方形表面展开图中，前面和后面、上面和下面、长方形表面展开图中，前面和后面、上面和下面、左面和右面面积相等左面和右面面积相等

正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形

圆柱的侧面展开图为长方形，长是圆柱底面圆的周圆柱的侧面展开图为长方形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高长，宽是圆柱的高

圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径为圆锥的圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长母线，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长

2.2.简单几何体的特征、表面积与体积简单几何体的特征、表面积与体积

定定义义

表面积：物体表面各个面的总面积；表面积：物体表面各个面的总面积；体积：物体所占空间的大小叫体积体积：物体所占空间的大小叫体积容积：容器所能容纳物体的体积叫容积容积：容器所能容纳物体的体积叫容积

名名称称

图图形形

特 征特 征 表（侧）面积表（侧）面积 SS 体积体积 VV

长长方方形形

66 个面都是长方形、相对的两个面面积个面都是长方形、相对的两个面面积相等；相等； 1212 条棱，相对棱长相等；条棱，相对棱长相等； 88 个个顶点顶点

S=2S=2 （（ ab+ah+bab+ah+bhh ））V=abhV=abh

正正方方形形

66 个面都是相等的正方形；个面都是相等的正方形； 1212 条棱长相条棱长相等，等， 88 个顶点个顶点

S=a×a×6S=a×a×6V=a×a×aV=a×a×a

圆圆柱柱

上下两个面叫底面是相等的两圆，两底上下两个面叫底面是相等的两圆，两底面的距离叫高面的距离叫高

S =chS =chV=shV=sh

圆圆锥锥

圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距离叫高离叫高

V=sh÷3V=sh÷3

四、图形位置与变换四、图形位置与变换

1.1. 图形位置图形位置

位位置置

相对位置包括上、下、左右、前后。相对位置包括上、下、左右、前后。通常我们把从正面（前面）、右面、通常我们把从正面（前面）、右面、上面三个方位看到的物体的图形画上面三个方位看到的物体的图形画成平面图，叫这个物体的三视图，成平面图，叫这个物体的三视图，并且把三个不同位置的图分别叫主、并且把三个不同位置的图分别叫主、侧和俯视图侧和俯视图

方方向向

东、南、西、北、东北、西北、东东、南、西、北、东北、西北、东南、西南。南、西南。 地图方向为上北、下南、左西右东。地图方向为上北、下南、左西右东。

2.2. 图形变换图形变换 名称名称 意 义意 义 生活实例生活实例

平移平移 平面内将图形沿某个方向移动一定距离平面内将图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫平移。它只是位置发生了的图形运动叫平移。它只是位置发生了变化其大小和形状没变，平移后的位置变化其大小和形状没变，平移后的位置由平移的方向和距离确定由平移的方向和距离确定

电梯上下移动电梯上下移动

旋转旋转 平面内将图形绕一定点按某个方向转动平面内将图形绕一定点按某个方向转动一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物体的方向发生改变，形状和大小不变。体的方向发生改变，形状和大小不变。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。

钟摆的运动；方向钟摆的运动；方向盘的转动盘的转动

对称对称 对称图形沿着一条直线（对称轴）对折对称图形沿着一条直线（对称轴）对折后，直线两旁的部分能够重合后，直线两旁的部分能够重合

蝴蝶的形状；对称蝴蝶的形状；对称的剪纸图案的剪纸图案

缩放缩放 按一定比例放大或缩小，缩放以后的图按一定比例放大或缩小，缩放以后的图形与原图形相似形与原图形相似

绘制地图绘制地图

3.3. 平面对称图形平面对称图形

对对称称图图形形

等腰三等腰三角形角形

等边三角等边三角形形

长方形长方形 菱形菱形 等腰梯等腰梯形形

正方形正方形 圆圆

对对称称轴轴

11 条条 33 条条 22 条条 22 条条 11 条条 44 条条 无数条无数条

第三部分 统计与概率第三部分 统计与概率一、统计表一、统计表

1.1. 统计表的意义 和结构统计表的意义 和结构

2.2. 单式统计表和复式统计表单式统计表和复式统计表

3.3. 统计表的制作步骤统计表的制作步骤

二、统计图二、统计图

1.1. 统计图的意义及类型统计图的意义及类型

2.2. 统计图的特征统计图的特征

3.3. 统计图的 制作步骤统计图的 制作步骤

三、统计特征量三、统计特征量

名称名称 意 义 意 义 举 例举 例平均平均数数

一般是算术平均数一般是算术平均数 ,, 求几个数的 平均数就是求几个数的 平均数就是用这几个数的和除以这些数的个数用这几个数的和除以这些数的个数

中位中位数数

把一组数按其大小次序排序把一组数按其大小次序排序 ,, 以排在正中间以排在正中间位置上的那一个数叫这组的中位数当数的个位置上的那一个数叫这组的中位数当数的个数为技术时数为技术时 ,,取正中间的一个为中位数；当取正中间的一个为中位数；当为偶数时，取正中间的两个数，它们的平均为偶数时，取正中间的两个数，它们的平均数就是中位数数就是中位数

一次考试，一次考试， 66 名同学的成绩名同学的成绩从高到低依次为：从高到低依次为： 5454 ，， 5858 ，，6363 ，， 6767 ，， 7272 ，， 9797 ，这组，这组数的中位数是（数的中位数是（ 63+6763+67 ））÷2÷2

众数众数 在一组数据中，出现次数最多的数叫这组数在一组数据中，出现次数最多的数叫这组数的众数。的众数。

一个单位一个单位 1616 名职工的月工名职工的月工资如下：资如下：月工资：月工资： 600 800 1000 600 800 1000 11 人 人 22 人 人 66 人人 1200 15001200 1500 44 人 人 33 人众数为人众数为 10001000

比较比较 平均数较稳定可靠，波动性比中位数小，但计算较繁，受极端数据影响较平均数较稳定可靠，波动性比中位数小，但计算较繁，受极端数据影响较大；中位数可靠性较小，但不受极端数据影响，计算简便，众数作代表数大；中位数可靠性较小，但不受极端数据影响，计算简便，众数作代表数的可靠性也较小，但计算简便，不受极端数据影响，在需找出频繁出现的的可靠性也较小，但计算简便，不受极端数据影响，在需找出频繁出现的数时常用众数数时常用众数

四、事件与可能性四、事件与可能性

1.1.事件事件

事件分类事件分类 意 义意 义 举例举例

确定性确定性事件事件

必然事件必然事件 在一定条件下必然要发生的在一定条件下必然要发生的事件事件

从装有从装有 1010 个红球个红球的袋中摸到一个的袋中摸到一个红球红球

不可能事件不可能事件 在一定条件下不可能发生的在一定条件下不可能发生的事件事件

在正常气压下，在正常气压下，水加热到水加热到 8080 度会度会沸腾沸腾

不确定性事件不确定性事件在一定的条件下可能发生，在一定的条件下可能发生，也可能不发生的事件叫不确也可能不发生的事件叫不确定事件（或偶然事件）定事件（或偶然事件）

下周三本地下雨下周三本地下雨

2.2.简单事件发生的可能性简单事件发生的可能性

意意义义

不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循的，事件发生的可能性是有大小的，事件发生的可能性是有大小

可可能能性性的的大大小小

实验统计实验统计如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为 90%90% ，即，即说明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为说明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为 90%90%

分析计算分析计算

对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有数字数字 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 ，， 55 ，， 66 ，掷一次每一个数字出，掷一次每一个数字出现的可能性相同，因此出现现的可能性相同，因此出现 66 的可能性为的可能性为 1/61/6

三、考点范围：三、考点范围：

1.1. 几何基础；几何基础； 数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小 数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形周长的意义及计算等。周长的意义及计算等。 这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确 这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。

例例 1:1: 如图在直线上有如图在直线上有 AA、、 BB、、 CC、、 DD 四个点，图中有几条直四个点，图中有几条直线？几条射线？几条线段？线？几条射线？几条线段？

分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。 如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如 如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以图中有一条直线即直线图中有一条直线即直线 ADAD 有有 88条射线，即以条射线，即以 AA、、 BB、、 CC、、 DD每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有 66条：条：ABAB、、 BCBC、、 CDCD 、、 ACAC、、 BDBD 、、 ADAD 。。

1.1. 求下面平行四边形求下面平行四边形 ABCDABCD 的周长 （单的周长 （单位：位： CMCM））

2.2. 如下图如下图 ,, 已知角已知角 1=151=15 度度 ,, 角角 2=352=35 度，求角度，求角 33 的大小的大小

3.3. 一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的 同 一条一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的 同 一条直径上，它们之间都相切，大圆的周长是直径上，它们之间都相切，大圆的周长是 1010 ㎝ 求这三个小圆的周长。㎝ 求这三个小圆的周长。

4.4. 有有 77 根直径都是根直径都是 22 分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结的长不计） 短需要多少米的绳子？（打结的长不计）

5.5. 如图，如图， BB 、、 CC 、、 DD 依次是线段依次是线段 AEAE上三点，若上三点，若 AE=15AE=15 ㎝，㎝， BD=6BD=6 ㎝，求图㎝，求图中以中以 AA、、 BB 、、 CC 、、 DD 、、 EE 这这 55 个点为端点的所有线段长度的和个点为端点的所有线段长度的和

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有 1010 条线段，为了求出这条线段，为了求出这1010 条的长就要把这些线段都用条的长就要把这些线段都用 AEAE 、、 BDBD 表示出来表示出来

2.2. 基本的面积计算基本的面积计算面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。 例 例 11 ：一个直角三角形的一个锐角为：一个直角三角形的一个锐角为 4545度，最长的边长是度，最长的边长是 1414㎝求这个三角形 的面㎝求这个三角形 的面积。积。分析分析 :: 过过 CC 点作点作 CDCD 的的 ABAB 高高 ,,那么那么 CD=AD=AB×1/2CD=AD=AB×1/2 所以三角形的面积所以三角形的面积 =CD×A=CD×AB÷2B÷2

练习：练习： 1.1. 如下图，求四边形如下图，求四边形 ABCDABCD 的面积是多少？的面积是多少？

2.2. 把一个正方形的一边减少把一个正方形的一边减少 20%20%，相邻的一边增加，相邻的一边增加 22 ，得到一个长方形，这个长方，得到一个长方形，这个长方形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。

3.3. 如图，直角三角形如图，直角三角形 ABCABC内有 一个正方形内有 一个正方形 BDEFBDEF ，， AB=3AB=3㎝㎝，， BC=4BC=4㎝，㎝， AC=5AC=5 ㎝，㎝，EGEG垂直于垂直于 EGEG ，且，且 EG=0.3EG=0.3 ㎝，求正方形㎝，求正方形 BDEFBDEF 的面积的面积

33、等积变换、等积变换当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。

1.1. 等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。2.2. 如果两个具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那如果两个具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那么这两个三角形的面积相等么这两个三角形的面积相等3.3. 如果一个三角形的某一边被一边分成如果一个三角形的某一边被一边分成 nn等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点的几个三角形面积相等的几个三角形面积相等4.4. 平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形5.5. 夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三角形（或平行四边形）的面积相等角形（或平行四边形）的面积相等基本方法：基本方法：1.1. 将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系2.2. 待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度3.3. 图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积例例 11 ：如下图在梯形：如下图在梯形 ABCDABCD 中对角线 中对角线 ACAC与与 BDBD 相交于相交于 EE ，且，且 CE=2AECE=2AE ，若梯形，若梯形 ABCDABCD 的的面积为面积为 540540平方米，求三角形平方米，求三角形 ABEABE 面积面积 分析：要求三角形 分析：要求三角形 ABEABE 的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形 AEFAEF ，，DECDEC，， BCEBCE 与与 ABEABE 的关系。的关系。

练习练习 (1)(1) ：已知下图中平行四边形的底：已知下图中平行四边形的底 ABAB是是 1515㎝，高㎝，高 77 ㎝，㎝， MM 是是 ABAB的中点，求阴的中点，求阴影的面积？影的面积？

（（ 22 ）如下图，已知小正方形的边长为）如下图，已知小正方形的边长为 33 ，大正方形的边长适当，求三，大正方形的边长适当，求三角形面积。角形面积。

44 、分数法求面积、分数法求面积 在分数应用题中，我们利用某个单位“ 在分数应用题中，我们利用某个单位“ 1”1” 的分率与对应量来求出这个单位的分率与对应量来求出这个单位““ 1”1” ，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分率的关系求出作，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分率的关系求出作为单位“为单位“ 1”1” 的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问题的一种思路。题的一种思路。 基本方法： 基本方法： 11 、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此 、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此 得出两图形的面积比。 得出两图形的面积比。 22 、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面 、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面 积比等于高的比。积比等于高的比。 利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比 利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形的面积。的面积。 例 例 11 ：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的 1/81/8 ，是小圆的，是小圆的 1/61/6 ，求大圆，求大圆与小圆面积的比是多少？与小圆面积的比是多少？ 分析： 分析：

练习：练习： 1.1. 平行四边形平行四边形 ABCDABCD 的面积为的面积为 120120 ，， FF 为为 BCBC 的中点，四边形的中点，四边形 EEFGHFGH 的面积为的面积为 99 ，求三块阴影的面积之和。，求三块阴影的面积之和。 2.2. 已知正方形的已知正方形的 ABCDABCD 的边长为的边长为 44 ，， AE=2/5ABAE=2/5AB ，， GG 是 是 DEDE 与与 ACAC的交点求三角形的交点求三角形 GCDGCD 的面积。的面积。

55、应用面积比解应用题、应用面积比解应用题 ::在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理 ::11 、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。22 、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。33、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的比。比。 例 例 11 ：如下图每个四边形是平行四边形：如下图每个四边形是平行四边形 ,, 其中三个平行四边形面积分别是其中三个平行四边形面积分别是 1010，， 1515，， 2424，，那 么 阴影的面积是多少？那 么 阴影的面积是多少？ 分析：因为面积为 分析：因为面积为 1010与面积为与面积为 2424的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面积的比，所以阴影的面积与面积 为积的比，所以阴影的面积与面积 为 1515的也是的也是 1212 ：： 55

例例 22 ：如下图，已知平行四边形的面积为：如下图，已知平行四边形的面积为 7.27.2 平方厘米平方厘米 .E.E 为为 BCBC中点中点 ,, 图中阴影部分的面图中阴影部分的面积是多少积是多少 ?? 分析分析 :: 因为因为 SS△△ADE:SADE:S△△CDE=SCDE=S 阴阴 : S: S△△OEC OEC 又因为又因为 SS△△ADE:SADE:S△△CDE=2CDE=2 所以所以 SS 阴阴 =7.2×1/4×2/3=1.2=7.2×1/4×2/3=1.2 厘米厘米 ..

练习：练习： 1.1. 如下图，正方形如下图，正方形 ABCDABCD 的面积为的面积为 120120平方厘米 ，平方厘米 ， EE 是是 ABAB的中点，的中点， FF 是是 BCBC的中点，四边形的中点，四边形 BGHFBGHF 的面积是多少？ 的面积是多少？

6.6. 分割法求面积：分割法求面积： 图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积没有现成 图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积没有现成的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，又可以直接运用面积公式进行计算。又可以直接运用面积公式进行计算。例例 11 ；如下图，两个正方形的边长分别为；如下图，两个正方形的边长分别为 11 和和 22 ，求图中阴影的面积。，求图中阴影的面积。分析：连分析：连 BGBG ，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。

练习：练习： 1.1. 已知长方形长与宽的比是已知长方形长与宽的比是 33：： 22 ，， ACAC为长边的为长边的 1/31/3，， DD 为宽的中点，三角形为宽的中点，三角形 AABCBC的面积为的面积为 2828，求四边形，求四边形 BCDFBCDF 面积。面积。 2. 2. 如图，角如图，角 1=151=15度，圆周长为度，圆周长为 75.3675.36，平行四边形的面积是，平行四边形的面积是 144144，求阴影的面积。，求阴影的面积。

7.7. 割补法求面积：割补法求面积：区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。基本方法：基本方法： 例 例 11 ：如图，边长为：如图，边长为 44的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是 22 ，求，求三块阴影的面积？三块阴影的面积？分析：把这三块阴影拼成一个三角形分析：把这三块阴影拼成一个三角形 ABCABC

练习：练习： 1.1. 三个圆的周长都是三个圆的周长都是 25.1225.12 ，图中阴影部分的面积是多少？，图中阴影部分的面积是多少？ 2.2. 如图，把长方形如图，把长方形 ABCD ABCD 绕顶点绕顶点 AA 向右旋转向右旋转 9090度，求度，求 CDCD边扫过的阴影部分的面边扫过的阴影部分的面积。 积。

8.8. 重叠法求面积：重叠法求面积：重叠法是一种较为特殊的饿方法，其方法如下：重叠法是一种较为特殊的饿方法，其方法如下：如图，如图， AA，， BB 为两圆，它们的公共部分即为两圆，它们的公共部分即 AA，， BB 的重叠部分，记为的重叠部分，记为 A∩A∩BB ，那么由，那么由 AA，， BB 所盖部分的面积为所盖部分的面积为 S=S + S - S S=S + S - S 是一种特殊的方法，是一种特殊的方法，叫重叠法。叫重叠法。

例例 11 ：如图是由：如图是由 66 个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是 1717/6/6 ，占每个圆面积的，占每个圆面积的 1/61/6 ，求这个图形的总面积。，求这个图形的总面积。分析：先求每个圆的面积 ，再求总面积分析：先求每个圆的面积 ，再求总面积 =6S-5S=6S-5S

练习练习 :: 如图，两个半径相等的圆如图，两个半径相等的圆 AA与圆与圆 BB 相交相交 ,, 三角形三角形 BCDBCD 是等腰直角三角是等腰直角三角形，面积是形，面积是 6060 ，， ABCDABCD 是平行四边形，求阴影的面积。是平行四边形，求阴影的面积。

99 、立体图形的表面积、立体图形的表面积 ::考点要求考点要求 :: 立体图形表面积各部分的面积之和称为立体图形的表面积立体图形表面积各部分的面积之和称为立体图形的表面积 .. 这一类问题是培这一类问题是培养或考察学生对空间图形的想象能力养或考察学生对空间图形的想象能力 ,, 要求能准确分辨出一个画在平面上的 空要求能准确分辨出一个画在平面上的 空间图形或一个文字描述的空间图形的具体情况间图形或一个文字描述的空间图形的具体情况 ,, 并能分辨出各个表面的具体图并能分辨出各个表面的具体图形形 ,, 从而计算出其表面积。从而计算出其表面积。 例 例 11 ：一个正方体的木块。表面积为：一个正方体的木块。表面积为 9696 平方厘米，如果把它锯成体积相等的平方厘米，如果把它锯成体积相等的88 个小正方体的木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？个小正方体的木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？分析：每个正方体的每个面为：分析：每个正方体的每个面为： 9696÷÷6=166=16 平方厘米 由于四个小正方体的小平方厘米 由于四个小正方体的小面恰好拼成大正方体的一个大面，所以每个小面为：面恰好拼成大正方体的一个大面，所以每个小面为： 1616÷÷4=44=4 平方厘米平方厘米 故每个小正方体的表面积为： 故每个小正方体的表面积为： 66××4=244=24 平方厘米平方厘米例例 22 ：有：有 10001000 个体积为平方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为个体积为平方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为 1010 平平方厘米的大立方体，表面积涂油漆后再分为原来的小立方体，这些小立方体中方厘米的大立方体，表面积涂油漆后再分为原来的小立方体，这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少？至少有一面被油漆涂过的数目是多少？分析：大正方体的表面积被涂油漆后。得到的小正方体可以分为四类：分析：大正方体的表面积被涂油漆后。得到的小正方体可以分为四类： 11 、一、一面涂过的；面涂过的； 22 、两面涂过的；、两面涂过的； 33 、三面涂过的；、三面涂过的； 44 、六面无油漆。、六面无油漆。完全没有被涂过的小立方体，都在中间完全没有被涂过的小立方体，都在中间 88××88××88 的立方体中，所以至少一面涂的立方体中，所以至少一面涂油漆有：油漆有： 1000-81000-8××88××8=4888=488 个个

1010 、立体图形的体积：、立体图形的体积：考点指要：考点指要： 立体图形的体积计算存在着规则图形和不规则图形的计算。 立体图形的体积计算存在着规则图形和不规则图形的计算。 对于不规则的图形的体积计算应用分割、拼接、割补等于平面图形面积相 对于不规则的图形的体积计算应用分割、拼接、割补等于平面图形面积相类似的方法。类似的方法。例例 11 ：求下面图形的体积：求下面图形的体积

分析：运用补形法，将两个同样大小的几何体截几对接粘在一起形成一个圆分析：运用补形法，将两个同样大小的几何体截几对接粘在一起形成一个圆柱，这么其体积为圆柱体积的一半。柱，这么其体积为圆柱体积的一半。 例 例 22 ：一个长方体木块长为：一个长方体木块长为 3030 厘米，宽为厘米，宽为 2020 厘米，高为厘米，高为 2525 厘米，先在这厘米，先在这个木块上截一个尽量大的正方体，在用剩下的木块截出一个体积尽量大的圆个木块上截一个尽量大的正方体，在用剩下的木块截出一个体积尽量大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？柱体，这个圆柱体的体积是多少？ 分析：先切最大的正方体边长为 分析：先切最大的正方体边长为 2020 厘米，剩下的部分只能是：底厘米，剩下的部分只能是：底面直径为面直径为 2020 厘米，高为厘米，高为 1010 厘米，体积为（厘米，体积为（ 20/220/2 ）（）（ 20/2020/20 ））××3.143.14××110=31400=3140 立方厘米。立方厘米。

例例 33：唐老鸭用一个圆锥体容器装满了：唐老鸭用一个圆锥体容器装满了 20002000克油，米老鼠趁唐克油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直老鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止。如下图，问：米老鼠共偷油多少克？偷到油面与小洞平齐为止。如下图，问：米老鼠共偷油多少克？

分析：小圆锥表示剩下的油，大圆锥表示原来的油。 分析：小圆锥表示剩下的油，大圆锥表示原来的油。 大小圆锥的体积比即可。 大小圆锥的体积比即可。

统计与概率的考点范围统计与概率的考点范围 ::

1.1. 会求一些简单事件发生的可能性会求一些简单事件发生的可能性2.2. 能设计一个方案，符合指定的要求能设计一个方案，符合指定的要求3.3. 能把统计与概率同所学的数学知识结合运用能把统计与概率同所学的数学知识结合运用基本方法：求概率的这类问题往往借助枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根基本方法：求概率的这类问题往往借助枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根据总数，求出概率。据总数，求出概率。

例例 11 ：从一只装有：从一只装有 55个红球、个红球、 55个黑球的袋子里摸出一个球，这个黑球的袋子里摸出一个球，这 1010个球除了颜色外个球除了颜色外完全相同，摸到红球的可能性是多少？完全相同，摸到红球的可能性是多少？

例例 22 ：要在一只口袋中装入若干个形状与大小完全相同的球，使得从袋中摸到一个红：要在一只口袋中装入若干个形状与大小完全相同的球，使得从袋中摸到一个红球的可能性为球的可能性为 1/51/5 可以怎样放球？可以怎样放球？

例例 33：小红和小明参加一种有奖游戏，每人中奖可能性为：小红和小明参加一种有奖游戏，每人中奖可能性为 50%50%，求两人中至少一人，求两人中至少一人中奖的可能性为百分之几？中奖的可能性为百分之几？ 分析：用枚举方法知道可能出现四种情况，其中有三种是至少一人中奖的所以中奖 分析：用枚举方法知道可能出现四种情况，其中有三种是至少一人中奖的所以中奖的可能性是的可能性是 75%75%

练习：练习： 1.1. 小华有双式样相同的袜子，其中两双为兰色，两双为白色。这小华有双式样相同的袜子，其中两双为兰色，两双为白色。这 88 双袜双袜子散放在一起，小华不看而取，一次取一次，子散放在一起，小华不看而取，一次取一次， ⑴小华必须去几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子？ ⑴小华必须去几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子？ ⑵⑵他连取两次，这时取得一双兰色袜子的可能性是多少？他连取两次，这时取得一双兰色袜子的可能性是多少？ 2.2. 有一种防空导弹每枚击中敌机的可能性为有一种防空导弹每枚击中敌机的可能性为 80%80% ，现要求组成确保命中率 ，现要求组成确保命中率 超过超过 95%95% 的战斗小组，问：每个小组每次必须同时发射几枚这样的导弹？的战斗小组，问：每个小组每次必须同时发射几枚这样的导弹？

3.3. 甲乙两人进行围棋比赛，规定：采用甲乙两人进行围棋比赛，规定：采用 77局局 44胜制（既谁先胜胜制（既谁先胜四局就算获胜），现在前三盘统计如下：甲胜第一和第二盘，乙胜四局就算获胜），现在前三盘统计如下：甲胜第一和第二盘，乙胜第三盘，照这样下去请算出本次比赛甲乙获胜的可能性各为百分之第三盘，照这样下去请算出本次比赛甲乙获胜的可能性各为百分之几？几？

例例 44：小华：小华 99 点从点从 AA地步行出发，途中经过地步行出发，途中经过 CC地，在地，在 AA地与地与 BB地之间往返（如下图所地之间往返（如下图所示）返回的速度是去时速度的示）返回的速度是去时速度的 22倍，在倍，在 BB地停留了地停留了 3030分钟，那么分钟，那么⑴到达⑴到达 BB地时是几时几分？地时是几时几分？⑵小华在返⑵小华在返回回的途中，的途中， 1111 点通过的地点距离点通过的地点距离 AA地地 30003000 米，那么返回时每分钟米，那么返回时每分钟行多少米？行多少米？

分析分析 :⑴ :⑴ 从图知从图知 ::去时去时 99 点点 5050 分路过分路过 cc地返回时地返回时 1010 点点 5050 分路过分路过 cc地，这之间地，这之间有有 6060 分钟其中分钟其中 3030 分钟在分钟在 BB 地停留，又返回时间是去时的一半 所以去时时间从地停留，又返回时间是去时的一半 所以去时时间从CC 地到地到 BB 地用：地用： 30÷ 30÷ （（ 2+12+1 ）） × 2=20 × 2=20 那么到那么到 BB 地是地是 1010 时时 1010 分分⑵ 去时共用⑵ 去时共用 7070 分，从分，从 BB 地返回到地返回到 AA 共用共用 3535 分分 从 从 AA地出发到返回地出发到返回 AA地共用地共用 135135 分，即返回分，即返回 AA地时刻是地时刻是 1111 时时 1515 分，由于返回时分，由于返回时 1111 点离点离 AA地还有地还有 30003000 米，所以速度是米，所以速度是 200200 米 米

练习：下图表示从练习：下图表示从 AA站到站到 BB 站的特快车和普通车时间与距离的关系。普站的特快车和普通车时间与距离的关系。普通车出发通车出发 77 分钟后，特快车从分钟后，特快车从 AA站出发追上了停在途中的普通车后，继站出发追上了停在途中的普通车后，继续行驶到续行驶到 BB 地。特快车从地。特快车从 AA站出发经过多长时间到达站出发经过多长时间到达 BB 站？另外，普通站？另外，普通车在特快车到达车在特快车到达 BB 站后的站后的 55 分钟也随之到达，那么普通车在途中停车多分钟也随之到达，那么普通车在途中停车多少分钟？少分钟？